2024年高考数学终极押题密卷3（全国甲卷理科）含答案

2024年高考数学终极押题密卷3（全国甲卷理科）一．选择题（共10小题）1．满足M⊆{a，b，c，d}且M∩{a，b，c}＝{a}的集合M的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．在△ABC中，“∠ACB是钝角”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图，已知甲的成绩的极差为31，乙的成绩的平均值为24，则下列结论错误的是（）A．x＝9 B．y＝6 C．乙的成绩的中位数为28 D．乙的成绩的方差小于甲的成绩的方差4．若复数z＝（x+yi）（x﹣4yi）（x，y∈R）的实部为4，则点（x，y）的轨迹是（）A．短轴长为4的椭圆 B．实轴长为4的双曲线 C．长轴长为4的椭圆 D．虚轴长为4的双曲线5．函数f（x）＝2sinx﹣sin2x是（）A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为2π的奇函数 C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为2π的偶函数6．在平行四边形ABCD中，，且∠BAC＝∠CAD，则四边形ABCD的面积为（）A．4 B． C．8 D．7．如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A＝ B．A＝2+ C．A＝ D．A＝1+8．若直线l与曲线y＝和圆x2+y2＝都相切，则l的方程为（）A．y＝2x+1 B．y＝2x+ C．y＝x+1 D．y＝x+9．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别是棱AA1，BC的中点，则平面D1EF截该正方体所得的截面图形周长为（）A．6 B．10 C． D．10．已知F1，F2分别是双曲线Γ：的左、右焦点，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，BF2平分∠F1BC，则双曲线Γ的离心率为（）A． B． C． D．二．多选题（共2小题）（多选）11．的展开式中，下列结论正确的是（）A．二项式系数最大项为第五项 B．各项系数和为0 C．含x4项的系数为4 D．所有项二项式系数和为16（多选）12．甲，乙，丙，丁等4人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外3人中的任何1人，经过n次传球后，球在甲手中的概率为Pn（n＝1，2，…），则下列结论正确的是（）A．经过一次传球后，球在丙中概率为 B．经过两次传球后，球在乙手中概率为 C．经过三次传球后，球在丙手中概率为 D．经过n次传球后，三．填空题（共4小题）13．的展开式中的常数项是．14．已知f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝﹣eax．若f（ln2）＝8，则a＝．15．底面半径为4的圆锥被平行于底面的平面所截，截去一个底面半径为1，母线长为3的圆锥，则所得圆台的侧面积为．16．在△ABC中，D是BC边上一点，BD＝4CD，若AC2＝BC•CD，∠BAD＝2∠DAC，且，则BD＝．四．解答题（共7小题）17．乒乓球，被称为中国的“国球”．某中学对学生参加乒乓球运动的情况进行调查，将每周参加乒乓球运动超过2小时的学生称为“乒乓球爱好者”，否则称为“非乒乓球爱好者”，从调查结果中随机抽取100份进行分析，得到数据如表所示：乒乓球爱好者非乒乓球爱好者总计男4056女24总计100（1）补全2×2列联表，并判断我们能否有99%的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关？（2）为了解学生的乒乓球运动水平，现从抽取的“乒乓球爱好者”学生中按性别采用分层抽样的方法抽取3人，与体育老师进行乒乓球比赛，其中男乒乓球爱好者获胜的概率为，女乒乓球爱好者获胜的概率为，每次比赛结果相互独立，记这3人获胜的人数为X，求X的分布列和数学期望．P（χ2≥k）0.050.0100.0050.001k3.8416.6357.87910.828参考公式：．18．已知在△ABC中，A+B＝3C，2sin（A﹣C）＝sinB．（1）求sinA；（2）设AB＝5，求AB边上的高．19．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A﹣MA1﹣N的正弦值．20．已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2＝0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．21．已知函数f（x）＝ex﹣ax2﹣x．（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，求证f（x）在（0，+∞）上存在极值点x0，且．22．在极坐标系中，O为极点，曲线M的方程为4tanθ＝ρcosθ，曲线N的方程为ρsinθ＝m，其中m为常数．（1）以O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系，求曲线M与N的直角坐标方程；（2）设m＝1，曲线M与N的两个交点为A，B，点C的极坐标为（t，0），若△ABC的重心G的极角为，求t的值．23．已知a+b＝3（a＞0，b＞0）．（1）若|b﹣1|＜3﹣a，求b的取值范围；（2）求的最大值．

2024年菁优高考数学终极押题密卷3（全国甲卷理科）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．满足M⊆{a，b，c，d}且M∩{a，b，c}＝{a}的集合M的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】子集与真子集；交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】整体思想；综合法；集合；数学运算．【答案】B【分析】由已知结合集合的包含关系及集合的交集运算即可求解．【解答】解：由题意可得{a}⊆M，b，c∉M．又因为M⊆{a，b，c，d}，所以M＝{a}或M＝{a，d}．故选：B．【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．2．在△ABC中，“∠ACB是钝角”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件．【专题】对应思想；定义法；简易逻辑；数学运算．【答案】C【分析】根据充要条件的定义求解．【解答】解：等价于，平方得，即，显然A，B，C不共线，原条件等价于∠ACB是钝角，在△ABC中，“∠ACB是钝角”是“”的充要条件．故选：C．【点评】本题考查充要条件的应用，属于基础题．3．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图，已知甲的成绩的极差为31，乙的成绩的平均值为24，则下列结论错误的是（）A．x＝9 B．y＝6 C．乙的成绩的中位数为28 D．乙的成绩的方差小于甲的成绩的方差【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】C【分析】结合茎叶图的数据分布特点，以及统计数据的极差、平均数、中位数、方差，依次分析选项，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，甲得分的极差为31，30+x﹣8＝31，解得：x＝9，A正确；对于B，乙的平均数为，解得y＝6，B正确；对于C，乙的数据为：12、25、26、26、31，其中位数是26，C错误；对于D，甲的平均数，与乙的平均数相同，但根据茎叶图可得乙得分比较集中，则乙得分的方差小于甲得分的方差，D正确；故选：C．【点评】本题主要考查了茎叶图的应用，考查了极差和平均数的计算，属于基础题．4．若复数z＝（x+yi）（x﹣4yi）（x，y∈R）的实部为4，则点（x，y）的轨迹是（）A．短轴长为4的椭圆 B．实轴长为4的双曲线 C．长轴长为4的椭圆 D．虚轴长为4的双曲线【考点】复数的代数表示法及其几何意义；虚数单位i、复数．【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算．【答案】C【分析】化简复数z，求出实部，列方程可得点（x，y）的轨迹．【解答】解：（x+yi）（x﹣4yi）＝x2+4y2﹣3xyi，则x2+4y2＝4，即，所以点（x，y）的轨迹是长轴长为4的椭圆．故选：C．【点评】本题考查复数的运算与实部以及曲线与方程，考查数学运算的核心素养，属于基础题．5．函数f（x）＝2sinx﹣sin2x是（）A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为2π的奇函数 C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为2π的偶函数【考点】三角函数的周期性；二倍角的三角函数．【专题】函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．【答案】B【分析】利用三角函数的周期性与奇偶性判断可得答案．【解答】解：∵f（﹣x）＝2sin（﹣x）﹣sin（﹣2x）＝﹣2sinx+sin2x＝﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数；又y＝sinx，y＝sin2x的最小正周期分别为2π，π，∴f（x）＝2sinx﹣sin2x的最小正周期为2π．故选：B．【点评】本题考查三角函数的周期性与奇偶性，考查逻辑推理的核心素养，属于基础题．6．在平行四边形ABCD中，，且∠BAC＝∠CAD，则四边形ABCD的面积为（）A．4 B． C．8 D．【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用；逻辑推理；数学运算．【答案】C【分析】由条件结合特殊四边形的特点可得四边形ABCD为正方形，再由正方形的面积公式计算即可．【解答】解：在平行四边形ABCD中，，，因为，所以四边形ABCD为矩形，又因为∠BAC＝∠CAD，所以四边形ABCD为正方形，所以四边形ABCD的面积为．故选：C．【点评】本题考查平面向量的线性运算和模，考查直观想象与逻辑推理的核心素养，属于基础题．7．如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A＝ B．A＝2+ C．A＝ D．A＝1+【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【答案】A【分析】模拟程序的运行，由题意，依次写出每次得到的A的值，观察规律即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得：A＝，k＝1；满足条件k≤2，执行循环体，A＝，k＝2；满足条件k≤2，执行循环体，A＝，k＝3；此时，不满足条件k≤2，退出循环，输出A的值为，观察A的取值规律可知图中空白框中应填入A＝．故选：A．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．若直线l与曲线y＝和圆x2+y2＝都相切，则l的方程为（）A．y＝2x+1 B．y＝2x+ C．y＝x+1 D．y＝x+【考点】直线与圆的位置关系．【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算．【答案】D【分析】根据已知条件，结合切线的性质和点到直线的距离公式，即可求解．【解答】解：设直线l与曲线y＝相切于M（a，b），（a＞0），则由可知，曲线y＝在点P处的切线方程为，即，该方程即为直线l的方程，∵直线l与圆相切，∴，解得a＝1，故直线l的方程为y＝．故选：D．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题．9．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别是棱AA1，BC的中点，则平面D1EF截该正方体所得的截面图形周长为（）A．6 B．10 C． D．【考点】平面的基本性质及推论；棱柱的结构特征．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算．【答案】D【分析】取CC1的中点G，连接BG，则D1E∥BG，取CG的中点N，连接FN，延长D1E，DC交于H，连接CH交AB于点M，连接ME，作出截面图形D1EMFN，由此能求出平面D1EF截该正方体所得的截面图形周长．【解答】解：取CC1的中点G，连接BG，则D1E∥BG，取CG的中点N，连接FN，则FN∥BG，∴FN∥D1E，则直线FN⊂平面D1EF，延长D1E，DC交于H，连接CH交AB于点M，连接ME，则A为HD的中点，则平面D1EF截该正方体所得的截面图形为D1EMFN，由题意得A1E＝AE＝2，则C1N＝3，CN＝1，＝2，＝5，FN＝＝，取AD中点Q，连接QF，则AM∥FQ，∴＝，∴AM＝＝，则MB＝，则ME＝＝＝，MF＝＝＝，∴平面D1EF截该正方体所得的截面图形D1EMFN的周长为：D1E+EM+MF+FN+ND1＝2++＝．故选：D．【点评】本题考查平面截该正方体所得的截面图形周长的求法，考查正方体的结构特征、线线平行的判定与性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10．已知F1，F2分别是双曲线Γ：的左、右焦点，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，BF2平分∠F1BC，则双曲线Γ的离心率为（）A． B． C． D．【考点】双曲线的性质．【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】A【分析】因为，所以△F1AF2∽△F1BC，设|F1F2|＝2c，则|F2C|＝8c，设|AF1|＝t，则|BF1|＝5t，|AB|＝4t．由角平分线的性质可得|AF2|＝4t，由双曲线的定义可得，|BF2|＝2t，再结合余弦定理可得c2＝6t2，从而可求解．【解答】解：因为，则CB∥F2A，所以△F1AF2∽△F1BC，设|F1F2|＝2c，则|F2C|＝8c，设|AF1|＝t，则|BF1|＝5t，|AB|＝4t．因为BF2平分∠F1BC，由角平分线定理可知，，所以|BC|＝4|BF1|＝20t，所以，由双曲线定义知|AF2|﹣|AF1|＝2a，即4t﹣t＝2a，，①又由|BF1|﹣|BF2|＝2a得|BF2|＝5t﹣2a＝2t，在△ABF2中，由余弦定理知，在△F1BF2中，由余弦定理知，即，化简得c2＝6t2，把①代入上式得，解得．故选：A．【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题．二．多选题（共2小题）（多选）11．的展开式中，下列结论正确的是（）A．二项式系数最大项为第五项 B．各项系数和为0 C．含x4项的系数为4 D．所有项二项式系数和为16【考点】二项式定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑推理；数学运算．【答案】BD【分析】直接利用二项式的展开式，赋值法，组合数的应用求出结果．【解答】解：根据的展开式（r＝0，1，2，3，4）；①故二项式系数的最大项为第三项，故A错误；②令x＝1时，系数的和为0，故B正确；③，故含x4项的系数为1，故C错误；④所有项的二项式的系数和为24＝16，故D正确．故选：BD．【点评】本题考查的知识要点：二项式的展开式，赋值法，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题．（多选）12．甲，乙，丙，丁等4人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外3人中的任何1人，经过n次传球后，球在甲手中的概率为Pn（n＝1，2，…），则下列结论正确的是（）A．经过一次传球后，球在丙中概率为 B．经过两次传球后，球在乙手中概率为 C．经过三次传球后，球在丙手中概率为 D．经过n次传球后，【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；古典概型及其概率计算公式．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数学运算．【答案】BC【分析】根据古典概型公式、相互独立事件乘法公式求解即可．【解答】解：A选项，经过一次传球后，球在丙中概率为，A错误；B选项，经过两次传球后，球在乙手中概率为，B正确；C选项，经过三次传球后，球在丙手中概率为，C正确；D选项，经过n次传球后，球在甲手中的概率为Pn，Pn+1＝＝，整理得，，即{}是首项为，公比为的等比数列，＝，，D不正确．故选：BC．【点评】本题考查古典概型概率公式，考查相互独立事件乘法公式，是中档题．三．填空题（共4小题）13．的展开式中的常数项是240．【考点】二项式定理．【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数学运算．【答案】240．【分析】根据展开式的通项公式，即可求解．【解答】解：中，，当12﹣3r＝0，r＝4时，常数项．故答案为：240．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14．已知f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝﹣eax．若f（ln2）＝8，则a＝﹣3．【考点】函数奇偶性的性质与判断．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】奇函数的定义结合对数的运算可得结果【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣ln2）＝﹣8，又∵当x＜0时，f（x）＝﹣eax，∴f（﹣ln2）＝﹣e﹣aln2＝﹣8，∴﹣aln2＝ln8，∴a＝﹣3．故答案为：﹣3【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，对数的运算性质，属于基础题．15．底面半径为4的圆锥被平行于底面的平面所截，截去一个底面半径为1，母线长为3的圆锥，则所得圆台的侧面积为45π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；数学运算．【答案】45π．【分析】根据题意，设原来圆锥的母线长为l，由圆锥的结构特征可得＝，求出l的值，进而求出原来圆锥的侧面积和截去圆锥的侧面积，进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，设原来圆锥的母线长为l，其底面半径为4，其轴截面如图：截去圆锥的底面半径为1，母线长为3，则有＝，解可得l＝12，则原来圆锥的侧面积S1＝π×4×12＝48π，截去圆锥的侧面积S2＝π×1×3＝3π，故所得圆台的侧面积S＝S1﹣S2＝45π．故答案为：45π．【点评】本题考查圆锥的侧面积计算，涉及圆锥的结构特征，属于基础题．16．在△ABC中，D是BC边上一点，BD＝4CD，若AC2＝BC•CD，∠BAD＝2∠DAC，且，则BD＝2．【考点】三角形中的几何计算．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；解三角形；数学运算．【答案】2．【分析】根据AC2＝BC•CD，证出△ABC∽△DAC，从而得到∠B＝∠DAC，由对应边成比例算出，然后设∠B＝∠DAC＝θ，则∠BAD＝2∠DAC＝2θ，在ΔABD中利用正弦定理建立关于角θ的等式，算出cosθ＝，进而推导出BD＝2ADcosθ＝2，即可得到本题的答案．【解答】解：由AC2＝BC•CD，可得，结合∠ACD＝∠BCA，可得△ABC∽△DAC，所以∠B＝∠DAC，＝，可得（）2＝＝＝＝5，即，设∠B＝∠DAC＝θ，则∠BAD＝2∠DAC＝2θ，ΔABD中，∠BDA＝π﹣∠B﹣∠BAD＝π﹣3θ，由正弦定理，得，可得＝＝＝＝＝＝，整理得4cos2θ﹣1＝，可得cosθ＝（舍负）．由，得＝＝2ADcosθ＝2××＝．故答案为：2．【点评】本题主要考查正弦定理、三角恒等变换公式、相似三角形的判定与性质等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．四．解答题（共7小题）17．乒乓球，被称为中国的“国球”．某中学对学生参加乒乓球运动的情况进行调查，将每周参加乒乓球运动超过2小时的学生称为“乒乓球爱好者”，否则称为“非乒乓球爱好者”，从调查结果中随机抽取100份进行分析，得到数据如表所示：乒乓球爱好者非乒乓球爱好者总计男4056女24总计100（1）补全2×2列联表，并判断我们能否有99%的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关？（2）为了解学生的乒乓球运动水平，现从抽取的“乒乓球爱好者”学生中按性别采用分层抽样的方法抽取3人，与体育老师进行乒乓球比赛，其中男乒乓球爱好者获胜的概率为，女乒乓球爱好者获胜的概率为，每次比赛结果相互独立，记这3人获胜的人数为X，求X的分布列和数学期望．P（χ2≥k）0.050.0100.0050.001k3.8416.6357.87910.828参考公式：．【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】（1）列出2×2列联表，求出χ2并与6.635比较即可；（2）分别求抽取的3人中男生和女生的人数，写出X的可能取值，求出概率，求出期望．【解答】解：（1）依题意可得2×2列联表如下：乒乓球爱好者非乒乓球爱好者总计男401656女202444总计6040100，我们有99%的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关；（2）由（1）得抽取的3人中人为男生，人为女生，则X的可能取值为0，1，2，3，所以，，，，所以X的分布列为：X0123P所以．【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．18．已知在△ABC中，A+B＝3C，2sin（A﹣C）＝sinB．（1）求sinA；（2）设AB＝5，求AB边上的高．【考点】正弦定理．【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由三角形内角和可得C＝，由2sin（A﹣C）＝sinB，可得2sin（A﹣C）＝sin（A+C），再利用两角和与差的三角函数公式化简可得sinA＝3cosA，再结合平方关系即可求出sinA；（2）由sinB＝sin（A+C）求出sinB，再利用正弦定理求出AC，BC，由等面积法即可求出AB边上的高．【解答】解：（1）∵A+B＝3C，A+B+C＝π，∴4C＝π，∴C＝，∵2sin（A﹣C）＝sinB，∴2sin（A﹣C）＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C），∴2sinAcosC﹣2cosAsinC＝sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC＝3cosAsinC，∴，∴sinA＝3cosA，即cosA＝sinA，又∵sin2A+cos2A＝1，∴，解得sin2A＝，又∵A∈（0，π），∴sinA＞0，∴sinA＝；（2）由（1）可知sinA＝，cosA＝sinA＝，∴sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝×＝，∴＝＝5，∴AC＝5sinB＝5＝2，BC＝5＝5＝3，设AB边上的高为h，则＝，∴＝，解得h＝6，即AB边上的高为6．【点评】本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．19．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A﹣MA1﹣N的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行．【专题】数形结合；向量法；空间角．【答案】见试题解答内容【分析】（1）过N作NH⊥AD，证明NM∥BH，再证明BH∥DE，可得NM∥DE，再由线面平行的判定可得MN∥平面C1DE；（2）以D为坐标原点，以垂直于DC得直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面A1MN与平面MAA1的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣MA1﹣N的正弦值．【解答】（1）证明：如图，过N作NH⊥AD，则NH∥AA1，且，又MB∥AA1，MB＝，∴四边形NMBH为平行四边形，则NM∥BH，由NH∥AA1，N为A1D中点，得H为AD中点，而E为BC中点，∴BE∥DH，BE＝DH，则四边形BEDH为平行四边形，则BH∥DE，∴NM∥DE，∵NM⊄平面C1DE，DE⊂平面C1DE，∴MN∥平面C1DE；（2）解：以D为坐标原点，以垂直于DC的直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则N（，，2），M（，1，2），A1（，﹣1，4），，，设平面A1MN的一个法向量为，由，取x＝，得，又平面MAA1的一个法向量为，∴cos＜＞＝＝＝．∴二面角A﹣MA1﹣N的正弦值为＝＝．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20．已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2＝0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．【考点】抛物线的标准方程；抛物线的性质；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用焦点到直线l：x﹣y﹣2＝0的距离建立关于变量c的方程，即可解得c，从而得出抛物线C的方程；（2）先设，，由（1）得到抛物线C的方程求导数，得到切线PA，PB的斜率，最后利用直线AB的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB的方程；（3）根据抛物线的定义，有，，从而表示出|AF|•|BF|，再由（2）得x1+x2＝2x0，x1x2＝4y0，x0＝y0+2，将它表示成关于y0的二次函数的形式，从而即可求出|AF|•|BF|的最小值．【解答】解：（1）焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2＝0的距离，解得c＝1，所以抛物线C的方程为x2＝4y．（2）设，，由（1）得抛物线C的方程为，，所以切线PA，PB的斜率分别为，，所以PA：①PB：②联立①②可得点P的坐标为，即，，又因为切线PA的斜率为，整理得，直线AB的斜率，所以直线AB的方程为，整理得，即，因为点P（x0，y0）为直线l：x﹣y﹣2＝0上的点，所以x0﹣y0﹣2＝0，即y0＝x0﹣2，所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0＝0．（3）根据抛物线的定义，有，，所以＝，由（2）得x1+x2＝2x0，x1x2＝4y0，x0＝y0+2，所以＝．所以当时，|AF|•|BF|的最小值为．【点评】本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力，有一定的综合性．21．已知函数f（x）＝ex﹣ax2﹣x．（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，求证f（x）在（0，+∞）上存在极值点x0，且．【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；逻辑推理．【答案】（1）[1，2）．（2）证明详情见解答．【分析】（1）由题意f′（x）＝ex﹣2ax﹣1，令g（x）＝ex﹣2ax﹣1，当a＝时，g（x）＝ex﹣x﹣1，求导分析g（x）的单调性，进而可得g（x）≥g（0）＝0，进而可得f（x）在R上单调递增，则f（﹣1）＜1＝f（0），可得﹣1＜0，即可得出答案．（2）当a＞时，由（1）令g′（x）＝ex﹣2a＝0，可得x＝ln2a，分析g（x）的单调性，证明ex＞x2在（0，+∞）上恒成立，分析f（x）的单调性，f（x）存在极小值f（x0），再证f（x0）＜，即可得出答案．【解答】解：（1）由题意f′（x）＝ex﹣2ax﹣1，令g（x）＝ex﹣2ax﹣1，当a＝时，g（x）＝ex﹣x﹣1，则g′（x）＝ex﹣1，所以当x∈（﹣∞，0）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（0，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）≥g（0）＝0，即f′（x）≥f′（0）＝0，所以f（x）在R上单调递增，又f（0）＝1，由f（﹣1）＜1＝f（0），可得﹣1＜0，解得1≤x＜2，所以不等式f（﹣1）＜1的解集为[1，2）．（2）证明：当a＞时，由（1）令g′（x）＝ex﹣2a＝0，可得x＝ln2a＞0，当0＜x＜ln2a时，g′（x）＜0，g（x）＝f′（x）单调递减，当x＞ln2a时，g′（x）＞0，g（x）＝f′（x）单调递增，又f′（0）＝0，所以f′（x）min＝f′（ln2a）＝2a﹣2aln2a﹣1＜0，下证ex＞x2在（0，+∞）上恒成立，令h（x）＝ex﹣x2，则h′（x）＝ex﹣2x，令m（x）＝ex﹣2x，则m′（x）＝ex﹣2，所以当0＜x＜ln2时，m′（x）＜0，m（x）为减函数，当x＞ln2时，m′（x）＞0，m（x）为增函数，所以m（x）＞m（ln2）＝eln2﹣2ln2＝2（1﹣ln2）＞0，即h′（x）＞0，所以h（x）＝ex﹣x2在（0，+∞）上是增函数，所以h（x）＞h（0）＝1＞0，即ex＞x2在（0，+∞）上恒成立，所以当x∈（ln2a，+∞）时，f′（x）＝ex﹣2ax﹣1＞x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣（1+a2），取x＝2a+1，则f′（2a+1）＞（2a+1﹣a）2﹣（1+a2）＝2a＞0，所以存在x0∈（ln2a，2a+1），使得f′（x0）＝e﹣2ax0﹣1＝0，即a＝，所以在（0，x0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（x0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以x0是f（x）在（0，+∞）上的极小值点，所以f（x）存在极小值f（x0）＝e﹣ax02﹣x0＝[（2﹣x0）e﹣x0]，若f（x0）＜，则[（2﹣x0）e﹣x0]＜，需要证明（x0﹣2）e+3＞0，令φ（x）＝（x﹣2）ex+3（x＞0），则φ′（x）＝（x﹣1）ex，所以在（0，1）上，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减，在（1，+∞）上，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，所以φ（x）min＝φ（1）＝3﹣e＞0，因为x0＞0，所以φ（x0）＝（x0﹣2）e+3＞0，所以f（x0）＜．【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．22．在极坐标系中，O为极点，曲线M的方程为4tanθ＝ρcosθ，曲线N的方程为ρsinθ＝m，其中m为常数．（1）以O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系，求曲线M与N的直角坐标方程；（2）设m＝1，曲线M与N的两个交点为A，B，点C的极坐标为（t，0），若△ABC的重心G的极角为，求t的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程；逻辑推理；数学运算．【答案】（1）x2＝4y（x≠0），y＝m；（2）t＝2．【分析】（1）直接利用转换关系，在极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（2）利用重心坐标求出结果．【解答】解：（1）由4tanθ＝ρcosθ，得4sinθ＝ρcos2θ（cosθ≠0），则4ρsinθ＝ρ2cos2θ（cosθ≠0），根据，所以x2＝4y（x≠0），所以曲线M的直角坐标方程为x2＝4y（x≠0）．曲线N的方程为ρsinθ＝m，转换为直角坐标方程为y＝m．（2）因为m＝1，所以曲线N的直角坐标方程为y＝1，代入x2＝4y，得x＝±2，不妨设A（﹣2，1），B（2，1），依题意可得C的直角坐标为（t，0），则G的坐标为，即．因为重心G的极角为，所以，解得t＝2．【点评】本题考查的知识点：极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，重心的坐标的应用，主要考查学生的运算能力，属于中档题．23．已知a+b＝3（a＞0，b＞0）．（1）若|b﹣1|＜3﹣a，求b的取值范围；（2）求的最大值．【考点】基本不等式及其应用；函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】（1）．（2）8．【分析】（1）由a+b＝3得|b﹣1|＜b，则﹣b＜b﹣1＜b，可得结果．（2）利用基本不等式先求出+的最值，再求出（a+1）b的最值，可得结果．【解答】解：（1）因为a+b＝3（a＞0，b＞0），所以a＝3﹣b且0＜b＜3，所以|b﹣1|＜b，则﹣b＜b﹣1＜b，解得，又0＜b＜3，所以b的取值范围为．（2），当且仅当a+1＝b，即a＝1，b＝2时，等号成立，，即，当且仅当a＝1，b＝2时，等号成立，所以的最大值为4+4＝8．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题．

考点卡片1．集合的包含关系判断及应用【知识点的认识】概念：1．如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；2．如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，即A＝B．【解题方法点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．2．子集与真子集【知识点的认识】1、子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）．记作：A⊆B（或B⊇A）．2、真子集是对于子集来说的．真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则称A是B的子集，若B中有一个元素，而A中没有，且A是B的子集，则称A是B的真子集，注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集．所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集．{1，3}⊂{1，2，3，4}{1，2，3，4}⊆{1，2，3，4}3、真子集和子集的区别子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等；注意集合的元素是要用大括号括起来的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．【解题方法点拨】注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，A⊆B，并且B⊆A时，有A＝B，但是A⊂B，并且B⊂A，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的．【命题方向】本考点要求理解，高考会考中多以选择题、填空题为主，曾经考查子集个数问题，常常与集合的运算，概率，函数的基本性质结合命题．3．交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算形状：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．4．充分条件与必要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．5．基本不等式及其应用【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．实例解析例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．A：a，b均为负数，则．B：．C：．D：．解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．对于C选项中sinx≠±2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值．故选：C．A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．解：当x＝0时，y＝0，当x≠0时，＝，用基本不等式若x＞0时，0＜y≤，若x＜0时，﹣≤y＜0，综上得，可以得出﹣≤y≤，∴的最值是﹣与．这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．【解题方法点拨】基本不等式的应用1、求最值例1：求下列函数的值域．2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【命题方向】技巧一：凑项点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离例3：求y＝的值域．解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．y＝＝＝（x+1）++5，当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）技巧四：换元对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．技巧六：整体代换点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．技巧七：取平方点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．6．函数的最值及其几何意义【知识点的认识】函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．【解题方法点拨】①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．【命题方向】本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．7．函数奇偶性的性质与判断【知识点的认识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶D．与p有关解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数．故选B．【命题方向】函数奇偶性的应用．本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．8．三角函数的周期性【知识点的认识】周期性①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T＝．【解题方法点拨】1．一点提醒求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sint的相应单调区间求解，否则将出现错误．2．两类点y＝sinx，x∈[0，2π]，y＝cosx，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．3．求周期的三种方法①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为．③利用图象．图象重复的x的长度．9．二倍角的三角函数【知识点的认识】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．【解题方法点拨】例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是π．解：∵y＝sin2x+2sinxcosx＝+sin2x＝sin2x﹣cos2x+＝sin（2x+φ）+，（tanφ＝﹣）∴其周期T＝＝π．故答案为：π．这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．【命题方向】本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．10．利用导数研究函数的极值【知识点的认识】1、极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．2、极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．4、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．11．利用导数研究曲线上某点切线方程【知识点的认识】利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．【解题方法点拨】例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），即y＝x﹣1．我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．12．平面向量数量积的性质及其运算【知识点的认识】1、平面向量数量积的重要性质：设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：（1）＝＝||cosθ；（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）（4）cosθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）（5）||≤||||2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：；（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；（3）分配律：（）•≠•（）平面向量数量积的运算平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．【解题方法点拨】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“”②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是①②．解：∵向量的数量积满足交换律，∴“mn＝nm”类比得到“”，即①正确；∵向量的数量积满足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，即②正确；∵向量的数量积不满足消元律，∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，即③错误；∵||≠||•||，∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；即④错误；∵向量的数量积不满足结合律，∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，即⑤错误；∵向量的数量积不满足消元律，∴”不能类比得到，即⑥错误．故答案为：①②．向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．【命题方向】本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．13．正弦定理【知识点的认识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC变形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝，cosB＝，cosC＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．2、三角形常用面积公式1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．【解题方法点拨】正余弦定理的应用1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．14．三角形中的几何计算【知识点的认识】1、几何中的长度计算：（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：①已知两角和任一边，求其他两边和一角．②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．（2）利用余弦定理可以求解：①解三角形；②判断三角形的形状；③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．2、与面积有关的问题：（1）三角形常用面积公式①S＝a•ha（ha表示边a上的高）；②S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．③S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．（2）面积问题的解法：①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．【解题方法点拨】几何计算最值问题：（1）常见的求函数值域的求法：①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：①当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1；正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．②当角度在90°～180°间变化时，正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．15．虚数单位i、复数【知识点的认识】i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．16．复数的代数表示法及其几何意义【知识点的认识】1、复数的代数表示法建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．3、复数中的解题策略：（1）证明复数是实数的策略：①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔＝z．（2）证明复数是纯虚数的策略：①z＝a+bi为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）；②b≠0时，z﹣＝2bi为纯虚数；③z是纯虚数⇔z+＝0且z≠0．17．棱柱的结构特征【知识点的认识】1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．认识棱柱底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．高：棱中两个底面之间的距离．3．棱柱的结构特征根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：（1）侧面都是平行四边形（2）两底面是全等多边形（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．4．棱柱的分类（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱．5．棱柱的体积公式设棱柱的底面积为S，高为h，V棱柱＝S×h．18．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【知识点的认识】旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．1．圆柱①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．②认识圆柱③圆柱的特征及性质圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．④圆柱的体积和表面积公式设圆柱底面的半径为r，高为h：2．圆锥①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．②认识圆锥③圆锥的特征及性质与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2④圆锥的体积和表面积公式设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：3．圆台①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．②认识圆台③圆台的特征及性质平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．④圆台的体积和表面积公式设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：．19．平面的基本性质及推论【知识点的认识】平面的基本性质及推论：1．公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内．2．公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．①推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．②推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．③推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．3．公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．【解题方法点拨】1．公理1是判定直线在平面内的依据．2．公理2及推论是确定平面的依据．3．公理3是判定两个平面相交的依据．20．直线与平面平行【知识点的认识】1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．1、直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．2、直线和平面平行的性质定理的实质是：已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．21．二面角的平面角及求法【知识点的认识】1、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．2、二面角的平面角﹣﹣在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．3、二面角的平面角求法：（1）定义；（2）三垂线定理及其逆定理；①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；（4）平移或延长（展）线（面）法；（5）射影公式；（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则（1）当0≤＜，＞≤，θ＝＜，＞，此时cosθ＝cos＜，＞＝．（2）当＜＜，＞＜π时，θ＝π﹣＜，＞，cosθ＝﹣cos＜，＞＝﹣．22．直线与圆的位置关系【知识点的认识】直线与圆的位置关系【解题方法点拨】判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离d＝①相交：d＜r②相切：d＝r③相离：d＞r（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．由消元，得到一元二次方程的判别式△①相交：△＞0②相切：△＝0③相离：△＜0．23．抛物线的标准方程【知识点的认识】抛物线的标准方程的四种种形式：（1）y2＝2px，焦点在x轴上，焦点坐标为F（，0），（p可为正负）（2）x2＝2py，焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，），（p可为正负）四种形式相同点：形状、大小相同；四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．下面以两种形式做简单的介绍：标准方程y2＝2px（p＞0），焦点在x轴上x2＝2py（p＞0），焦点在y轴上图形顶点（0，0）（0，0）对称轴x轴焦点在x轴长上y轴焦点在y轴长上焦点（，0）（0，）焦距无无离心率e＝1e＝1准线x＝﹣y＝﹣24．抛物线的性质【知识点的认识】抛物线的简单性质：25．双曲线的性质【知识点的认识】双曲线的标准方程及几何性质标准方程（a＞0，b＞0）（a＞0，b＞0）图形性质焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称关于x轴，y轴和原点对称顶点（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）轴实轴长2a，虚轴长2b离心率e＝（e＞1）准线x＝±y＝±渐近线±＝0±