2024届福建七市1月联考数学试题含答案

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准考证号姓名

(在此卷上答题无效)

福建省部分地市2024届高中毕业班第一次质量检测

数学试题2024.1

本试卷共4页,22小题，满分150分，考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的学校,班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码.

2.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑.

3.非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂

改液.

4.考试结束后，考生上交答题卡.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.已知z・i=z+l(i为虚数单位),则|z|=

A』B.冬

C.1D.Q

22

2.设集合M={X|-2,N={y|y=2"+1],则MUN=

A.[-2,+oo)B.(1,2]C.[1,2]D.(l,+8)

3.已知直线/与曲线尸3一％在原点处相切，则/的倾斜角为

A.4B.子C.蓼D.a

6446

4.已知a,b为单位向量,若|a+5|=|a-)|,贝Ua+b与a-b的夹角为

A.粤B.多C.孕D.红

3234

5.已知/G)为定义在R上的奇函数，当与<0时，/(%)=/-2X+1,则f(2)+f(0)=

A.2B.1C.-8D.-9

6.已知6=ex+e^,c=sincosx,则下列结论错误的为

%

A.3%e[-1,1],a>cB.3xe[-1,1],b>c

C.3%E[-1,1],a<cD.3xe[-1,1],b<c

7.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所

排列的形状把数分成许多类，如图所示的1,5,12,22被称为五边形数，将所有的五边

形数从小到大依次排列，则其第8个数为

A.51B.70C.92D.117

数学试题第1页(共4页)

(第7题图)

&已知函数/(工)的定义域为R,VX,yeR；)/(y+1)=/G+y)-f(x-y)，若/(O)/O,

则了(2024)=

A.-2B.-4.C.2-D.4

二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知函数/(%)=2sin(2r-W),则

=卜八3%+&<>知且忒僻代&恢由>8.R.曲内由3处4联3

AJG)的最小正周期为q

2••,1»

BJG)的图象关于点(手,0)成中心对称「1'

CJG)在区间［O号］上单调递增

D.若fG)的图象关于直线但与对称，则Sin2x尸J

10.已知甲、乙两组数据分别为：20,21,22,23,24,25和a,23,24,25,26,27,若乙组数据的平均

数比甲组数据的平均数大3,则

A.甲组数据的第70百分位数为23B.甲、乙两组数据的极差相同

C.乙组数据的中位数为24.5D.甲、乙两组数据的方差相同

11.设桶圆C.£+£=l(a>b>0)的左、右焦点分别为后，&过后的直线与C交于4,B两点，

若山同|=2,且△四B的周长为8,则

A.a=2B.C的离心率为!

C.Ms|可以为BD.乙姻可以为直角

12.如图所示，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，△⑭F和ADCE均是等边三角形，

且四=2封后尸=/G>0)期

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若sin(a+^)=―1■，贝4cos(a-^)=.

14.《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从

中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有_种.

15.已知平面a的一个法向量为"=(1,0,1),且点4(1,2,3)在a内，则点8(1,1,1)到a的距

离为.

16.设是面积为1的等腰直角三角形是斜边熊的中点，点尸在△熊，所在的平面

内，记△PCO与△R45的面积分别为*,S2,且S「S2=1.当|尸且|以|>|心|时，

\PA\=;记||以|-|尸川|=a,则实数a的取值范围为.(注：第一空2分，

第二空3分)

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(10分)

已知A4BC的内角4,5,C的对边分别为a,6,c,且a2cos5+a^co&4=2c.

(1)求a；

⑵若4=手，且△他C的周长为2+后，求△熊C的面积.

18.(12分)

如图，在四棱锥E-ABCD中，AD〃BC,24D=BC=2,4B=yi,AB_L4D,E4J.平面ABCD,过点B

作平面a_LBD

(1)证明：平面a〃平面及4C；

(2)已知点尸为棱EC的中点，若EA=2,求直线4D与平面EBO所成角的正弦值.

(第18题图)

数学试题第3页(共4页)

19.（12分）

已知数列M｝的前n项和为S„,a2=2ai=4,当neN,，且22时,SZI=3SR-2sl.

（1）证明：a｝为等比数列；-------------------------------

（2）设6户一■R,记数列也｝的前n项和为7；,若乙+4白>1,求正整数m的最

（On-1）（0»+1-1）/X2

小值.

20.（12分）

已知甲、乙两支登山队均有几名队员，现有新增的4名登山爱好者a,b,c,d将依次通过摸

出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下:在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2

个,小球除颜色不同之外，其余完全相同.先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个

小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个

小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放

球完毕.新增登山爱好者若摸出红球,则被分至甲队，否则被分至乙队.

（1）求a,b,c三人均被分至同一队的概率；.-

（2）记甲、乙两队的最终人数分别为外,%设随机变量X=|白-汝|,求E（X）,

21.（12分）

已知函数有两个极值点的，物

（1）求实数a的取值范围；

（2）证明:小】）力孙）>上2a2

的一“2G-1

22.（12分）

在平面直角坐标系X。7中，点P（l,0）,点4为动点，以线段AP为直径的圆与y轴相切，记

A的轨迹为r,直线4P交F于另一点B.

（1）求「的方程；

（2）△048的外接圆交F于点C（不与。,4,8重合），依次连接0,A,C,B构成凸四边形

O4C丛记其面积为S.

（i）证明：△4BC的重心在定直线上；

5）求S的取值范围.

数学试题第4页（共4页）

绝密★启用前试卷类型：A

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数学试题答案及详解2024」

一、单项选择题：

题号12345678

答案BACBDDCA

1.已知z-i=z+l(i为虚数单位)，则|?|=

1M

A.-B.—C.1D.V2

22

解析：z•i=z+1,z=-------=----------,|z|=---，应选B.

-1+i222

2.设集合M={x|-2WxW2},N={y\y=2x+1},则MUN=

A.[-2,+oo)B.Q，2]C.口，2]D.(1,+s)

解析：：N={y|y>l},.•.MUN={X|X2-2},应选A.

3.已知直线/与曲线y=x3-x在原点处相切，则/的倾斜角为

兀「兀一3兀一5兀

A.一B.一C.—D.—

6446

解析：；y=x3-x,了=3/一1,.•.曲线了=/-x在原点处的切线/的斜率为V(0)=-l,

3IT

・・・/的倾斜角为三，应选C.

4

4.已知〃为单位向量，若|〃+。|=|。-川，则〃+〃与〃的夹角为

7T7T27T3兀

A.-B.—C.—D.—

3234

解析：：，(a+b)2=(a-b)2,，“1=0,即4_1_5,又a,6为单位向量,

：.a,5可视为边长为1的正方形相邻两条边作为有向线段所对应的向量，

显然a+b与a-b为该正方形的两条对角线作为有向线段所对应的向量，

易知正方形的对角线相互垂直，即a+8与的夹角为乌，应选B.

2

5.已知/(x)为定义在R上的奇函数，当x<0时，/(x)=/-2x+l,则/(2)+/(0)=

A.2B.1C.-8D.-9

高三数学参考答案及评分标准第1页共17页

解析：..•当x<0时，/■(>)=%2-2》+1,二7'(-2)=9,：/0)为定义在区上的奇函数,

，/(2)=-9,且/(0)=0,.•./(2)+/(0)=—9,应选D.

6.已知a=x+L/)=eT+e-x,c=sinx+百cosx，则下列结论错误的为

A.3xe[-l,l],a>cB.3XG[-1,1],b>c

C.3xe[-l,l],a<cD.3xe[-l,l],b<c

解析：（方法一）：c=sinx+百cosx=2sin（x+/，c<2,ex>0，e-v>0>，由基

本不等式可知b=e‘+e-'N2JeJe-'=2，：-b>c,故选项D中的结论错误，应选D.

（方法二）易知当x=0.1时，a>c-当x=0时，b>c；当x=-0.1时，a<c,故A,B,

C中结论正确，由排除法可知应选D.

7.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子

所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1,5,12,22被称为五边形数，将所有的

五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为

A.51B.70C.92D.117

（第7题图）

解析：不妨设五边形数从小到大依次为外,出，的，…%，观察图形，将第一个图形视为

一层小石子，第二个图形视为两层小石子，第三个图形视为三层小石子（从左下角的小石子

开始作为第1层，沿右上角方向依次为第2层，第3层，…，第〃层），以此类推，从第二个

图形起，每个图形中的第左（左22）层小石子排成三条长度相等的线段（每条线段上的小石子

数目恰为仅422）,连接处有两个公用小石子），易知每层的小石子数目为弘-2/22）,

...第8个图形的小石子数目为1+（3、2-2）+（3乂3-2）+-+（3*8-2）=92（即等差数列

{3〃-2}的前8项和），，应选C.

8.已知函数“X）的定义域为R,Vx/eR,/（x+l）/（y+l）=/（x+y）-/（x-y）,若

/（0）w0,则/（2024）=

A.-2B.-4C.2D.4

解析:(方法一)令x=y=0,则[/(1)]2=/(0)—/(0)=0,A/(1)=0,

高三数学参考答案及评分标准第2页共17页

令x=0，y=x,则/(l)/(x+l)=/(O+x)一/(O一x)=0，二/(x)=/(-x),

令尸-x，则f(x+1)/(1-x)=/(0)-f(2x)，

令一,则/(x+l)/(x+1)=f(2x)-/(0)，

•••f(x+1)/(1-x)=-f(x+l)/(x+1)，

若/(x+1)=0恒成立,则与题设条件/(0)片0矛盾，二/(I一x)=-/(x+l),

又•:/«=f(-x)，/(%)=f(-x)=-/(2-x),

，/(x)=/(x+4),，4为/(x)的周期，.•./(2024)=/(0),

令x=j=l,则/(2)/⑵=%2)-/(0),

又•；/(2)=-/(0)，,/(0)/(0)=-2/(0)，解得/(0)=-2，.•./(2024)=-2,应选A.

(方法二):cos(x+y)-cos(x-y)=-2sinxsiny,

-2cos(x+—)cos(j+m=c0s(x+y)-cos(x-y),

-2c°s(x+别-2c°”+衿［-2cos(x+y)--2cos(x5‘

由此联想去构造函数，；/(工+1)/(了+1)=/。+内一/(》一了)，；.可令/(工)=一235号，

显然/(x)=—2cos:符合Vx/eR,f{x+1)/(7+1)=f{x+y)-f{x-y),且/(O)wO,

/,/(2024)=-2COS(1012TI)=-2,应选A.

二、多项选择题：

题号9101112

答案BCBDACACD

IT

9.已知函数/(x)=2sin(2x-§),贝(I

A./(x)的最小正周期为三

2

2冗

B./(X)的图象关于点(y,0)成中心对称

C.“X)在区间［0,手上单调递增

D.若/(X)的图象关于直线x=x0对称，则sin2x0=；

27r

解析：(选项A)/(x)的最小正周期为兀，.•.选项A错误;

2

高三数学参考答案及评分标准第3页共17页

/ITIT7IT

（选项8）当》=学时，2万一］=兀，又5皿兀=0,.../'（X）的图象关于点（三,0）成中心对称,

选项B正确；

（选项C）当OWxW纭时，一四421-040，又函数＞=sinx在区间［-二，与上单调递增,

333333

二/（x）在区间［0,y］上单调递增，，选项C正确；

（选项D）..•/1）的图象关于直线％=/对称，，2/-1=也+5（左€2）,

5jr1

2x-kn-\---（左eZ）,sin2x=±—,二选项D错误，

0602

综上所述，应选BC.

10.已知甲、乙两组数据分别为：20,21,22,23,24,25和。，23,24,25,26,

27,若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3,则

A.甲组数据的第70百分位数为23B.甲、乙两组数据的极差相同

C.乙组数据的中位数为24.5D.甲、乙两组数据的方差相同

解析：•.•乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3,注意到两组数据的特点（将。调到乙

组数据的最后位置，则每个数值对应大3）,.•.易知。=28,

（选项A）易知甲组数据的第70百分位数为第5个数24,.♦•选项A错误；

（选项B）；25-20=28-23=5,；.甲、乙两组数据的极差均为5•.选项B正确；

（选项C）乙组数据的中位数为生士生=25.5,.•.选项C错误；

2

（选项D）・・,设甲组数据为七，乙组数据为％,则％=须+3,易知甲、乙两组数据的方差

相同，，选项D正确，

综上所述，应选BD.

22

11.设椭圆C：三+方=1（4＞人＞0）的左、右焦点分别为耳，F2,过片的直线与C交于/,

8两点，若因81=2,且△/B用的周长为8,则

A.a=2B.C的离心率为工

4

C.|48|可以为兀D.NA4月可以为直角

解析：（选项A）由△/陷的周长为8,及椭圆定义可知4a=8,即。=2,・,•选项A正确;

cl

（选项B）V\FF1\=2=2c,。=2,的离心率为一=—,.,•选项B错误；

{a2

高三数学参考答案及评分标准第4页共17页

（选项C）•••/=22一F=3,，c的方程为土+匕=1,易知二3/切<2a,即34M3|<4,

43a

•.<3<K<4,[48|可以为兀，，选项C正确；

（选项（方法一）不妨设月|=加,1=〃，则冽+〃。=・••加22

D）\AF2=24,+2mn+n=16,

若NR4K为直角，则冽2+〃2=4/=4,二.4+2加〃=16,即加〃=6,

.・・冽，〃为方程％2一41+6=0的两个实数根，易知A=42-4X6<0,

・・・方程――4工+6=0无实数根，・・・Z5盟不可能为直角，选项D错误，

（方法二）不妨设直线48的方程为％=吵一1,4X，弘），5（%2，%），则方=（%-再,%-%），

AF2=（1—%,一切），若/BAF2为直角，则AB-AF2=（%-玉）（1一匹）一（%-/）%=。，

2m

：.（my2-myx）（2-my,）-（y2-）yx=0,显然%w/，二加（2=0,即弘—,

x=my-l,

联立/v2得（3疗+4）/一6〃》-9=0①，♦.•必=V是方程①的实数根,

—+—=1,m~+l

143

••.（3根2+4）（学）2-岑匚一9=0，化简得126*+20〃/+9=0②，

m+1m+1

②显然不可能成立，不可能为直角，选项D错误，

综上所述，应选AC.

12.如图所示，在五面体N8CDE厂中，四边形/3CZ）是矩形，△AS尸和△Z）CE均是等边

三角形，且48=2百，EF=x（x>0）,贝I]

A.〃平面4BCD

B.二面角尸-8随着x的减小而减小

27

C.当3c=2时，五面体/3CDE尸的体积V（x）最大值为一

2

3、C

D.当3C=士时，存在x使得半径为组的球能内含于五面体/3CDE尸

（第12题图）

解析：（选项A）显然/,D,E,尸四点共面，且5,C,E,尸四点共面,

高三数学参考答案及评分标准第5页共17页

•/BCHAD,'：ADu平面ADEF,BC<Z平面ADEF,：.BCH平面ADEF,

平面BCEFPl平面ADEF=EF,BC//EF,

：BCu平面4BCD,£尸u平面48CD,EF〃平面4BCD,故选项A正确；

（选项B）设二面角A-EF-B的大小为2a,点、F到平面ABCD的距离为/z,则tana=〜士,

h

•.•点F到平面ABCD的距离当且仅当平面FABI平面ABCD时取得最大值，

...当x=8C时，tana=也取得最小值，即a取得最小值，亦即二面角N-E尸-3取得最

h

小值，故选项B错误；

（选项C）当3c=2时，如图所示，把五面体4BCDE尸补全成直三棱柱尸G/-EK7,

分别取45,G/的中点M,H,易得尸平面48CD,FM=3,

7T

^ZFMH=0（O<0<-）,则MH=3cos。，FH=3sin3,

,,/=勺面体Z58跖='三棱柱尸G/-FK7-2。棱锥F—/8/G

=-^-X2A/3x3sin0x（2+2x3cos0）-2x-^x3sin0x2V3X3COS0=6A/3sin0+6^3sin0cos^,

令/（。）=60sine+66sinecos。，贝!1/'（6）=6百85。+6百8$2。=0,解得。=三，

易知e=1是函数/（。）的极大值点,则/（叽ax=/（j）=6^sin566sin|cos卜g,

27

・・・五面体ABCDEF的体积7（x）最大值亦为—,故选项C正确；

2

3

（选项D）当8。=—时，若厂和△QCE所在平面均垂直于平面时，构成正三

2

棱柱/8R-OCE,易知此时正三棱柱内最大的球半径「=3<且，此时半径为且的球不

422

能内含于五面体/BCD跖，对于一般情形，如下图所示，左图为左视图，右图为正视图，

由C的结果可以想到，当五面体/8CDE尸体积最大时，其可内含的球的半径较大,

易知当NRMH=四时，FH=^~,m=垂>，且3=退9,

322

高三数学参考答案及评分标准第6页共17页

设AF/G的内切圆半径为八，则J_x迪x2百='q(2百+叵)，解得4=31—＞号；

2222713+22

另一方面，设等腰梯形EFMN中的圆的半径为弓，则弓=3tan巴=2叵＞「些一=q,

434V13+2

・・・半径为甘•的球能内含于五面体Z5CQE尸，

V13+2

.・・半径为的球亦能内含于五面体/5。。所，故选项D正确,

2

综上所述，应选ACD.

三、填空题：

13.--；14.24；15.V2;16.726；(延,2).

55

13.若sin(a+工)=-3,贝!!cos(a一三)=.

454

解析：.；cos(a_[)=cos[(a+：)一■1■]=sin(a+：),；.cos(a-：)=-g,应填一g.

14.《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计

划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有种.

解析：显然甲、乙、丙三名同学每人均有三种选法，由分步乘法原理可知有3,=27种选法，

若三人选择的书全部相同，则有3种选法，.•.若三人选择的书不全相同，则有27-3=24种

不同选法，应填24.

15.已知平面。的一个法向量为“=(1,0,1),且点4(1,2,3)在a内，则点3(1,1,1)到a的距离

为.

1君川=2叵,

解析：易知益=(0,-1,-2).•.点3(1,1,1)到a的距离为应填行.

|«|V2'

16.设△48C是面积为1的等腰直角三角形，。是斜边Z8的中点，点尸在AMC所在

的平面内，记△尸CD与面积分别为百，$2,且耳-邑=1.当|尸0=«),

且|尸/|＞|尸3|时，1尸4=；记||上4|-|尸8||=a,则实数。的取值范围为

.(注：第一空2分，第二空3分)

解析：以。为原点，方为了轴正方向建立直角坐标系HL。)，C(0,l),A-1,0),

设P(XoJo)，则岳=；上|,二=l①，

高三数学参考答案及评分标准第7页共17页

22

当PB=M,且尸3时，x0>0,|PS|=(xo-l)+^=lO②,

联立①，②，解得Xo=4,I盟1=1,

|尸/2=(毛+1)2+就=26,：.\PA\=y/26,故应填而;

（或者由|R4|2Tp3『=4/亦可得|尸/|2=26,从而|尸出=而）

若||尸/|-|尸3||=。，则由双曲线的定义知点P在以4,8为焦点的双曲线上，但不包含

22

2E_____2!_i4x24v2

双曲线的两个顶点，且该双曲线的方程为（夕i_（q）2=，即千一二》=i'

V该双曲线的顶点的横坐标的绝对值小于半焦距1,

...双曲线和曲线:|刈-1却=1有交点即双曲线的渐近线和曲线3刈-|田=1有交点，

二双曲线渐近线斜率的绝对值小于工，即0<、日三<

2\a22

解得ae（¥，2）,故应填（手⑵.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（10分）

2

已知△/8C的内角/,B,C的对边分别为。，b,c,S.acosB+abcosA=2c.

（1）求。；

(2)若/=3-，且△/BC的周长为2+石，求△48C的面积.

解：(1)Va2cosB+abcosA=2c,a(acosB+bcosA)=2c,.................................1分

由正弦定理，得a(sin/cos8+sin8cosN)=2sinC,....................................................2分

即asin(^4+5)=2sinC,..............................................................................................3分

'：A+B+C=TI,：.sin(Z+B)=sinC,.......................................................................4分

asinC=2sinC,

*.*0<C<7i,sinC>0,

,a=2•.........................................................................................................................5分

(2)由(1)知。=2,

在A/BC中，由余弦定理，得cos/=2■二一■―1,.............................6分

2bc2bc

高三数学参考答案及评分标准第8页共17页

A22-41

+r~整理得：b2+c2+bc=4①，.........................................7分

2bc2

a+b+c=45+2,：.b+c=45②，..........................................................8分

由①，(2)^b2+c2+be=(b+c)2-be=4,bc=\,................................................9分

记△ABC的面积为S,

S=—besiriy4=—sin—=-........................................................................10分

2234

18.(12分)

如图，在四棱锥E—Z5CD中，ADIIBC,2AD=BC=2,AB=42>AB1AD,EA1

平面715cO,过点3作平面

(1)证明：平面a〃平面E4C；

(2)已知点尸为棱EC的中点，若£4=2,求直线与平面F8D所成角的正弦值.

证明：(1)设ZC与8。的交点为。，

AD//BC,且C.ABLBC,

AB=^，ABLAD,

且AB=亚,BC=2,ABA.BC,

：.△ABD~△BCA,............................

ZABD=ZBCA,

/.ZBAC+ZABD=ZBAC+ZBCA,

:ABIBC,：.ZBAC+ZBCA=90°,

/.ZBAC+ZABD=90°,

高三数学参考答案及评分标准第9页共17页

即ZBAO+ZABO=90°,ZAOB=90°,

：.AOIBO,即ZCLBD,.......................................................................................4分

：E4_L平面48CD,3。u平面715cD,

EALBD,

EAPlAC=A,EA,ACu平面EAC,

BD_L平面EAC,

又•：aLBD,且8e平面E4C,

，平面a〃平面胡C......................................................................................................5分

(2)(方法一)AB1AD,E4_L平面MCO,

/.AB,AD,/£两两垂直.

如图，以/为原点，AB,AD,/E分别为x轴,

y轴，z轴，建立空间直角坐标系/-盯z,

则/(0,0,0),D(0,1,0),8(-技0,0),

£(0,0,2),C(-V2,2,0),

.,.25=(0,1,0),而=(血，1,0),前=(0,2,0),屉=(行，0,2),.....................8分

:点尸为棱EC的中点，

—•1—•—■正

/.5F=-(5C+5£,)=(^-,l,l),...............................................................................9分

设平面FAD的一个法向量为〃=(x,y,z),

\BD-n=0,［瓜+片0，

则一V2

BF-n=0,-^-x+y+z=0,

取x=2,得了=-2亚，z=血，

平面的一个法向量为“=(2,-2夜，血)，...............................10分

记直线AD与平面FBD所成角为。,

…八，F,\AD-n\I-2V2I2"

贝!Jsm。=cos<AD,n>=^=；---=----.=----,

\AD\\n\lxJ4+8+27

...直线/。与平面尸8D所成角的正弦值为短................................12分

7

(方法二)如图，取NC中点连接

:尸为棱EC的中点，

高三数学参考答案及评分标准第10页共17页

.OADA

,OC-BC-2

V6日口八，ACV6

OA①BPOA=——=~,

233

又AM=----=/.OM=AM-OA=—,

22

•：FM^l,且FA/LOM,8分

：8。_L平面£4C,OEu平面E4C,

BD1OF,

；•S&FBD=gxBDX°F=gX△X/=，...................................9分

•"二】‘①行’且GQFB."；..........................1。分

设〃为/到平面BED的距离,

,^A-BFD=^F-ABD9,*J^BFD,'=§，\ABD'FN,

即巫X〃=^xl,解得卜=亚,.........................................11分

427

记直线与平面EBZ)所成角为8,则sine=2-=2互，

AD7

・・・直线AD与平面FBD所成角的正弦值为壁................................12分

7

19.(12分)

已知数列数“｝的前n项和为一，%=2%=4,当"eN*，且〃22时，S“+i=35n-2sz.

(1)证明：｛q,｝为等比数列;

,记数列也J的前〃项和为《，若，+—匚＞1，求正整

⑵设“=

(«„-1)(«„+1-1)7x2

高三数学参考答案及评分标准第11页共17页

数机的最小值.

解：⑴•；当〃eN*,且“22时，Sn+l=3Sn-2Sn_l

...当心2时,S"+「S”=2(S,-S,T),

an+l=2an(«>2),......................................................................................................3分

•a2=2。]=4,••:—2。“(〃wN),且a1=2,

...也,｝是以首项为2,且公比也为2的等比数列.............................5分

(2)由(1)易知｛%,｝的通项公式为%=2"(〃eN*),..............................................................6分

=H+1=B+1

(«„-1)(«„+1-1)(2--1)(2-1)-2-1

；1

T=(1--)+(---)+---+(^---------^-)+(----------~~)=1-9分

"3372"-12"-12"-12"-12,^-1

T+—]—r11

>1,/.1-m+1+m-2>1,

7x2m-22-17x2

，2m+1-1>7x2m-2，即8义2m-2-l>7x2"'-210分

2™-2>1，/.m-2>0,m>2,

：.m>3,即正整数m的最小值为3.12分

20.(12分)

已知甲、乙两支登山队均有〃名队员，现有新增的4名登山爱好者。，b,c,1将

依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放

有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同.先由第一名新增登山爱好

者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着

由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重

复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕.新增登山爱好者若摸出红球，则被分

至甲队，否则被分至乙队.

(1)求6,c三人均被分至同一队的概率；

(2)记甲、乙两队的最终人数分别为4,n2,设随机变量X=|%-求E(X).

解：(1)。，b,c三人均被分至同一队当且仅当三人同分至甲队或同分至乙队.

设事件/="4被分至甲队”，8=被分至甲队”，C=“。被分至甲队”，

当。即将摸球时，箱中有2个红球和2个黑球，则。被分至甲队即。摸出红球的概率为

当。被分至甲队时，箱中有2个红球和3个黑球，则b被分至甲队即b摸出红球的概率为

高三数学参考答案及评分标准第12页共17页

22

尸⑻/)=有=不，...................................................2分

当。，b均被分至甲队时，箱中有2个红球和4个黑球，则。被分至甲队即c摸出红球的

21

概率为尸(C|/8)=1=],...............................................3分

121

P(AB)=P(A)P(B\A)=-x-^~,

：.P(ABC)=尸(/3)尸(C|/B)=gx,.....................................4分

同理可知，新增登山爱好者。，b,。均被分至乙队的概率也为，，

112

工。，b,。三人均被分至同一队的概率为；一+；—=；—......................5分⑵

由题设可知，X的可能取值为4,2,0,..............................6分

X=4表明新增的4名登山爱好者均被分至甲队或乙队,

2x2x2x24

p(X=4)=2x