2024年高考第二次模拟考试数学试题（江苏专用新题型）全解全析

2024年高考第二次模拟考试

高三数学（江苏卷）•全解全析

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓

名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4.测试范围：高考全部内容

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷（选择题）

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的）

1.某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：

858788898990919192939393949698

则这组数据的40%分位数为（）

A.90B.91C.90.5D.92

【答案】C

【解析】由题意，15x0.4=6,故这组数据的40%分位数为从小到大第6,7位数据的平均数,

即矢工=90.5.故选：C

2.已知双曲线C:/一与=1（"0）的离心率e<a,贝脑的取值范围是（）

A.(0,1)B.(1,72)C.D.(V2,+oo)

【答案】A

【解析】由已知可得双曲线的焦点在了轴上时，a=l,c2=l+b2,

所以e，='+"<&,1+〃<2,由b>0,解得0<6<1.故选：A.

a1

3.设等差数列｛%｝的前〃项和为S”，若%+您+%+即）+〃11=20,贝|工7=（）

A.150B.120C.75D.68

【答案】D

【解析】由等差数列的性质可知%+/+。9+%0+。“=5%=2。,

所以%=4,席=17"%7)=17%=68,故选：D.

已知角。满足tan[-()=；，则sin2a=()

4.

4474

A.-B.—C.—D.-

5599

【答案】A

・.n-tI4、1>>tail。一11_

【解析】因为tan|tz-丁卜w,化简得------=-,所以tantz=2,

k4J3l+tan«3

d.2sintzcosa2tana.2x24田立

Xsin2a=­---------=一5——->所以$1112(/=7二==，故选：At.

sin-a+cos-atan-a+14+15

5.已知在ASC中，点。在边2C上，且5D=5OC,则AD=()

151uum「Ulini441

A.-AB+-ACB.-AC+-ABC.-AB+-ACD.-AB+-AC

66665555

【答案】A

【解析】在.ASC中，BC=AC-AB,又点。在边BC上，且2O=5OC,

贝！］AO=AB+2Z”+AB+9(AC-AB)」AB+9AC,故选：A.

66、766

6.已知加，”是两条不同的直线，a夕是两个不同的平面，下列说法正确的是()

A.若mHn,且〃ua,则机//夕B.若〃z_1_〃，且"ua,则机J_a

C.若血/a,且他〃/,则a//£D.若机_L(z,且机J_4，则a///7

【答案】D

【解析】如图所示正方体，

对于A,若“〃。对应直线A8,CD与平面ABC。，显然符合条件，但mu。，故A错误；

对于B,若对应直线AB,C8与平面ABCD,显然符合条件，但机ua,故B错误；

对于C,若犯d力对应直线A3与平面HGCD,平面HGFE,显然符合条件，但0ca=HG,故C

错误；

对于D,若加，打,且机■1£,又口,夕是两个不同的平面，则&〃£,故D正确.

故选：D

7.2023年9月8日，杭州第19届亚运会火炬传递启动仪式在西湖涌金公园广场举行.秉持杭州亚

运会“绿色、智能、节俭、文明”的办赛理念，本次亚运会火炬传递线路的筹划聚焦简约、规模适度.在

杭州某路段传递活动由甲、乙、丙、丁、戊5名火炬手分五棒完成.若第一棒火炬手只能从甲、乙、

丙中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙中产生，则不同的传递方案种数为()

A.18B.24C.36D.48

【答案】B

【解析】当第一棒为丙时，排列方案有C；A；=12种；

当第一棒为甲或乙时，排列方案有A；A；=12种；

故不同的传递方案有12+12=24种，故选B

20221_

8.已知标，人=ln2024-ln2023,c=sin^j,贝(]()

A.c<a<bB.a<c<bC.c<b<aD.b<a<a

【答案】D

【解析】令〃x)=e'-l,x<0,

贝！Jf(x)=e，-1<0在(一。,0)上恒成立，故/(x)在(一双0)上单调递减,

2022

故〃">〃0)=1-0-1=0,故4-卷e-20232022)

2023J-1>0,

20221

即e2023>1—任上=—即

202320232023

令g(X)=x-sinx,则，(x)=l-cosxN0,故g(%)在定义域内单调递增,

1

故gsin>g(0)=0-0=0,即〃>c；

20232023-------2023-----17

令/z(x)=sinx-ln(x+l),0<x<l,

2

ixiI1

贝！]"（x）=cos%-----=1-2sin2-------->l-2xX

x+121+x21+x

1x（2+x）（l-x）

>。在（0,1）上恒成立,

1+x2（l+x）

故/2（X）在（0,1）上单调递增，

X/?（0）=sin0-lnl=0,故彳表卜（0）=0，

以.1,12024、,

故sin---->ln-----,gnpnc>Z?,

2023（2023）

故有a>c>b.

故选：D.

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.已知复数Z1=l-3i,Z2=（2-丁，Z3=^生，则（）

A.4+Z2=4+7iB.z”Z2，Z3的实部依次成等比数列

C.A/i0|Z||=2|z2|D.4/2/3的虚部依次成等差数列

【答案】ABC

【解析】因为Z2=（2—i2=3—4i,z3=——=\J）./=9+i,所以Z|+Z2=4-7i,所以

、11+1（l+ij（l-ij

Z]+z?=4+7i,故A正确；

因为Z1,Z2，Z3的实部分别为1,3,9,所以4，4，Z3的实部依次成等比数列，故B正确;

Z]

因为Z2，Z3的虚部分别为_3,-4,1,所以z，z2,Z3的虚部依次不成等差数列，故D错误;

7io|Z1|=VK）X5/1T9=2|z2|=2x5=10,故C正确.

故选：ABC.

10.如图，点A,B,C是函数/a）=sin（0x+9）（0>O）的图象与直线y=日相邻的三个交点，且

\BC\-\AB\=^,f（-^\=0,则（）

A.co=4

9TI

B.

8

C.上单调递减

D.若将函数“X)的图象沿x轴平移，个单位，得到一个偶函数的图像，则冏的最小值为最

【答案】ACD

兀2兀

【解析】令/(x)=sin(啰x+o)=三得，GX+0=1+2fai或刃力+O=可+2E，左eZ,

jl兀2,71

由图可知：coxA+(p-—+2kn,coxc+(p=—+2kji+2ji,a)xB+(p=-+2kn,

所以忸C卜尤c-/='一尹2兀,Mi一4二1奉

CD

2兀、

所以上忸一y+27il,所以。=4,故A选项正确,

3(D\

兀=0得sin]_；+e

所以〃x)=sin(4x+0),由7=0,

12

兀C

所以一4+0=兀+2E,kwZ,

4TI

所以0=可+2也，keZ,

所以/(x)=sin14%+g+2E=sin4x+”=-sinf4x+y1,

(3

里+工

-sin故B错误.

23

,“71竽/，

当次£时，4x+—G

因为y=-sint在fe(g,2兀+三)为减函数，故〃x)在7171

上单调递减，故C正确;

32

将函数的图象沿x轴平移。个单位得g(x)=-sin4x+46»+|j,(6<0时向右平移，。〉0时向

左平移),

g(x)为偶函数得4。+三=]+也，keZ,

所以6=/+与，keZ，则网的最小值为会故D正确.

故选：ACD.

11.已知定义域为R的函数〃x),满足/(x+y)=/(x)/(y)-/(2-x)/(2-y),且〃O)wO,

/(-2)=0,则()

A./(2)=1B.是偶函数

C.[/(.X)]2+[/(2+X)]2=1D.X"i)=T

i=\

【答案】BCD

【解析】对于A项，由〃尤+y)=/(x)〃y)T(2r)/(2-y),

令x=y=l,贝！J〃2)="⑴]2一"⑴]2=。，故A项错误；

对于B项，令尤=y=0,则于0)="(0)『-"(2)]2="(0)]2,

因了(0)W。，故了(。)=1,

令丁=2,贝！)/a+2)=/•a)〃2)-/(2-x)/(。)=一/(2-x)①，

知函数关于点(2,0)成中心对称，

令x=y=2,则/(4)=[/(2)]2-[/(0)]2=-1,

令丫=4,贝！)/'(x+4)=/•a)〃4)一/(2-x)〃-2)=-/'(x)②，

由①可得：/(％+4)=-/(—*)③，由①③可知：/(-%)=/«,

且函数“X)的定义域为R,则函数/(无)是偶函数，故B项正确；

对于C项，令》=一了,贝!J〃0)=/(x)/(T)—/(2—x)/(2+x),

因"0)=1,/(-%)=/(%),/(x+2)=-/(2-x),

故得：[/(X)]2+[/(2+X)]2=1,故C项正确；

对于D项，由上可知：/(%+4)=-/(%),则于x+8)=-/(x+4)=/(*),

故函数了(幻的一个周期为8.

令x=2,y=l,则/(3)=〃2)/(1)—/(。)/(1)=一/(1),即有〃3)+/(1)=0,

因函数/⑴是偶函数，故有〃-3)+/(-1)=0,

由函数f(x)的一个周期为8,则/(5)+/(7)=由一3)+/(-I)=0,

由上知：/⑵=0,/(4)=-1,/(6)=/(-2)=0,/(8)=/(0)=1,

于是：/(1)+/(2)+于3)+/(4)+/(5)+/(6)+/(7)+/(8)=0+0+(-1)+0+0+1=0,

2023

则£/（0=253x0-/（2024）=-/（8）=-1,故D项正确.

Z=1

故选：BCD.

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.1+-2x>的展开式中常数项为.

【答案】25

【解析】（1-2x/中常数项为1,尤2项为c；（一2x）2=241,

因此所求常数项为1+24=25.

13.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为侧面积分别为S甲和％,体积

分别为脸和勿.若。=2,贝.

D乙V乙

【答案】还《出

55

【解析】设母线长为/,甲圆锥底面半径为勺乙圆锥底面圆半径为4,

则白胃二

=2,所以4=24,

5乙兀r2

2叫2g_3无片+4_3斫以//

又丁十丁一万'则丁一"所以马一“

所以甲圆锥的高%=/一%=与,

乙圆锥的高色=卓/

所以选一如1_1£且一更

所以％一1".一1而「5.

14.在三棱锥P-ABC中，AP,AB,AC两两互相垂直，AB=AC,AB+AP=9,当三棱锥尸-ABC

的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球半径为.

【答案】4/0.75

4

【解析】设AP=x（0<x<9）,贝!]AS=AC=9—x,

由题意知AP，AB,AC两两互相垂直，

尸c

B

可得三棱锥尸-ABC的体积为丫=1LA3.AC.AP=』(9一同尤2=』(_/+9X2),

3266'7

令/(x)=一九3+9x2,0<x<9,贝！J/'(X)=—3%2+18x=-3x(x-6),

当0vxv6时，jT(x)>0,当6vxv9时，/r(x)<0,

故/(无)在(0,6)上单调递增，在(6,9)上单调递减,

故当x=6时，/(元)取到最大值，此时三棱锥尸-ABC的体积取得最大值,

设此时三棱锥P-ABC的内切球的半径为r,

贝U"=6,45=4。=3,3。=30,依=巾=病方=3石，

则=次加一(苧2=93也小—(*="

SPBC

则/ABC=---A5,AC,AP=—(sPAB+Sp+S4D+Sp),F

/、Tr_ADC323\rJ\t5ZArlCCADCCrBolC^/

3

gp3x3x6=(2x3x6+3x3+27)-r,解得r=±,

4

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)已知函数/(x)=xln%-G；2+a(a£R).

(1)若函数在％=1处的切线与直线2x-y+l=0垂直，求实数。的值.

(2)若函数/(九)存在两个极值点，求实数〃的取值范围.

【解】(1)/(x)=lnx+l-2ax,

f(X)=l-2a9

3

则(1—2a)x2=—1,解得〃==.

4

(2)/(x)=lnx+l-2ax,

由题设可知f'(x)=0有两个不同的零点，且尸(X)在零点的附近尸(X)的符号发生变化.

令g(x)=Inx+1—2ax,贝(］，(无)=—-2a,

x

若贝!!g'a)>。，贝(JgQ)为(0,+8)上为增函数，

g(x)在(0,+")上至多有一个零点.

当。>0时，若0<x<二-,贝!Jg'(无)>0,故g(x)在上为增函数，

2aI2a)

若无贝！|g，(x)<0,故g(x)在1;,+8］上为减函数，

2a12a)

故g(x)max=g(；］=ln；>0,故0<a<〈.

\2aJla2

X-<-^-Kg(-)=-—<o,故g(x)在上存在一个零点；

e2aee\laJ

下证当"2时，总有21n/<"

^h(t)=2lnt-t9贝!］//(。=：_1=亍，

当1>2时，h\t)=--l=-^<09故〃(。为(2,+。)上的减函数，

故g)</i(2)=21n2-2<0,故21n%々成立.

令，=\［x,x>49贝！JIn%<Vx,

故当x>4时，有g(x)<«+l-2Qx,

(1+Jl+84)

取〃=max{4,^———则当时，

16a

有6+1一2办-

I4a乂4aJ

故g(x)<0,故在9+勺上，存在实数x,使得g(x)<0,

由零点存在定理及g⑴的单调性可知可得g(x)在,+［上存在一个零点.

综上可知，实数”的取值范围是

16.(本小题满分15分)为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神,

某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，

规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，首先获得5分者获胜，比赛结束.

假设每局比赛甲获胜的概率都是3|.

(1)求比赛结束时恰好打了6局的概率；

(2)若甲以3：1的比分领先时，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列及期望.

【解】⑴比赛结束时恰好打了6局，甲获胜的概率为邛=柒向:(213=%，

y5J53125

恰好打了6局，乙获胜的概率为鸟=C；x(IJx。△，

所以比赛结束时恰好打了6局的概率为「=《+鸟=黑+黑=黑.

(2)X的可能取值为2,3,4,5,

9

p（X=2）=

25

尸（X=3）=C*x|*|=含

4

32jx|+2I124

P（X=4）=C；XgX

55625

尸(X=5)=〈x|x]|卜|+C：x(|)x|x|嚏

所以X的分布列如下：

17.(本小题满分15分)如图，多面体PS-ABCD由正四棱锥P-ABCD和正四面体S-P3C组合

而成.

⑴证明：尸S//平面A5CD；

⑵求AS与平面PAD所成角的正弦值.

【解】(D分别取AABCPS的中点E,EG,连接PE,PF,GF,SF,EF,

由题意可知多面体PS-A3CD的棱长全相等，且四边形A3CD为正方形，

所以EF±BC,PF±BC,SF±BC,

因为跖门尸尸二孔五6尸尸^^平面PEF,

所以3cl平面P£F,同理平面PFS.

又平面尸防平面尸邠=尸尸，所以P,E,£S四点共面.

又因为功=AB=PS,PE=PF=SF,所以四边形PEFS为平行四边形，

所以PS//EF,又Ebu平面ABCRPSu平面ABCD,

所以尸S〃平面ABCD.

(2)以尸为原点，以此,冏，尸G所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设

AB=1,

P______Gs

AB

则P,£1(1,0,0),Af1,—,o\S——,0,友)

21

乙乙\乙)乙

所以EP=-；,0,4,E4=[o,g,o],AS=-3_J_叵

2,-2,-r•

7

f1

EPn=0~^X

设平面尸AD的一个法向量为"=(x,y,z),则，即

EA-n=01

1—2，y=

令z=l,则x=/,y=0,所以”=(0,0,1).

设AS与平面PAD所成角为6,

.|队题|_五一也

则sm[，讣IASI[9~r-T-3，

即AS与平面PAD所成角的正弦值为叵.

3

22

18.(本小题满分17分)已知椭圆C:J+「=l(a>6>0)的右焦点是F,上顶点4是抛物线x?=4y

ab

的焦点，直线反的斜率为-g.

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵直线/：>=丘+7”(〃-1)与椭圆C交于尸、。两点，P。的中点为V,当=时，证

明：直线/过定点.

【解】(1)由题意知40,1),即6=1,

F(c,0),k=—=——c=2.

AFc2

222

从而a=b+c=59

故椭圆C:《+y2=l；

5

(2)•・,在△AMQ中，ZPMA=ZMQA+ZMAQ,

且/。肱4=2/尸。4

ZMQA=NM4Q,从而MA=MQ=^PQ,:.AP1.AQ

y=kx+m

由1丁,得(5f+1)/+10初a+5(加2-1)=0,

,T+y=

设尸(西，乂)、。(巧，％)

10km5(/7?-1)

X+x=----5——,X,X------

1?25k2+11925k2+1

贝1|AP・AQ=(%，x—1)=%九2+(g+m-l)(Ax2+m-l)

5俨10(皿m-l)

+0-1)2

5r+15k2+1

6m2-2m-42(m-1)(3/?/+2)

=0,

5^+15左2+1

2

解得：机=-1或根=1（舍去），

所以直线/过定点（0,-

19.（本小题满分17分）已知数表4“J/牝-%］中的项％81,2"=1,2,…互不相同，

ga22a2J

且满足下列条件：

①%.@{1,2,,2〃}；

②（T产M-%”）＜。（加=1，2,，江

则称这样的数表4“具有性质P.

（1）若数表与具有性质产，且%=4,写出所有满足条件的数表42,并求出的值；

⑵对于具有性质尸的数表当%+%+-+%取最大值时，求证：存在正整数上三小，使

得&t=2〃；

⑶对于具有性质尸的数表4",当“为偶数时，求知+%2+*，,+%”的最大值.

【解】（1）满足条件的数表42为^{3:;

所以+%的值分别为5,5,6.

（2）若当%+%++4.取最大值时,存在14/4”，使得％,=2”.

由数表4"具有性质尸可得•/为奇数，

不妨设此时数表为&.=［；"%

（2〃/2…

①若存在八（上为偶数，14左＜〃），使得阳＞%,交换%和2〃的位置，所得到的新数表也具有性

质P,

调整后数表第一行和大于原数表第一行和，与题设矛盾，所以存在使得即=2”.

②若对任意的阳（上为偶数，14左〈“），都有%＜小,交换%和小的位置，所得到的新数表也具

有性质P,此时转化为①的情况.

综上可知，存在正整数内14左4"）,使得阳=2".

(3)当〃为偶数时，令〃=2M(l<k<n),对任意具有性质P数表匕=［孙