2024年北京大学“物理卓越计划”选拔考试数学试题含答案

2024年北京大学“物理卓越计划”选拔考试数学试题

1.求满足10(尤y+yz+zx)=9xyz(x<y<z)的所有正整数解.

2.若x2—xy—6y2=1,求x2+xy+y2的最小值.

2

3.已知数列｛aj满足C-m+n=|(«2m+«2n)-(m-Zl),d0=11,=11,求。2023.

4.函数y=%3+ax的图像有唯一内接正方形，求a与正方形的边长.

5.求单位正方形的内接正三角形的最大面积与最小面积.

6.网球比赛，本来要求每两个人之间要比一场比赛，有三位选手每人比了2场比赛后

就退出了，最后只进行了50场比赛，问退出的三位选手之间比了几场赛？

22九

7.求积分〃=用空一)dx.

u\sin%+cosxJ

8.30个同学，每个同学有23个朋友.现在定义好三角组为选择三个同学，这三个人

互相都是朋友或互相都不是朋友，问有多少个好三角组？

9.对于任意正整数m,n证明：£匕0(-1)匕/岛=£忆。(一1"魔焉.

1O.对于四边形ABCD,有AB=^Y，BC=^-,CD=l,DA=y/3,且有ZX=75°,求

对边中点距离之和.

北京大学2024年“物理卓越计划”选拔考试数学试题解答

1.【解析】：10(-+-+-)=9<10--；所以》三"，故x=2或3.

xyzx3

若x=2,贝心0(工+工)=4；5(-+-)=2<—,所以yV5,故y=3,4,5.

yzyzy

当y=3时，2=15;

20

当y=4时，z=—^z(舍)；

当y=5时，2=5；

故(羽y,z)=(2,3,15)或(2,5,5).

若x=3,贝也0(工+工)="三型，所以yW竺，故y=2,3.

yz3y17

30

当y=3时，z=—z(舍)；

而y=2<3=x.

综上，原方程所有解为(2,3,15)或(2,5,5).

2.

【解析】由（一冷一6十2=I可得（x+2y）（x—3y）=1.

设m=x+2)\〃=工一3v,则有mn=1,

且有x二+(3"7+2〃),y=/(〃7—〃).

因此X2+y2+xy

二[J(3〃7+2〃)]~++-y(3/w+2/?)•!(/〃一〃)

="y^"(13/犷+3〃~+9/〃〃)=13/〃-+3〃一+9)

〉=(2回+9)=2弋+9

：（i_y

当且仅当腐&即/〃=

,时等号成立.

n=岁

3.【解析】：令〃=m+1

1、，

■1-a2m+l=~9z2m+%加+1)1

^m+2-a2m+l=a2m+l-a2n+2

ba

记k=k-4-i#GN*,b2m+2=b2m+1+2.①

令〃=m+2

1、)

za

a2nl+2=-(2,„+a2m+4)_4

a2m+4_a2m+2=%m+2—°2m+8

2。2nl+3+2=262nl+2-2+8

故2鼠+3=葭+2+2・②

由①、②知：4—4_1=2

{4}是以2为公差的等差数列.

•;a=0,/.bk=2k-2

=11+(0+4044)X2023=2023X2022+11=4090517

^2023=a0+Z-

i=l2

4.

【解析】①当时,y=f+ax在R上递增，不存在内接正方形.

②当a＜（）时，首先证明正方形的中心出现在原点处.设

5（x2,v2）,C（-v?，3\）,£＞（x4,v4）J

于是"一=x；+xk2+V+。，

X|一不

同理可得女⑺=X；+XyX4+X4+a.

2

由=CO及kAli=ken可得⑶一占＞=（与-/），

联H（X「X—=3f）2可得取一凶.

同理有勺4=、凶，因此有x2=一相，

结合函数P=/+4工为奇函数，有为=—乂，同理X1=—x3，—=—乃.

即正方形的中心出现在原点.

设直线OA:y=kx、与y=.r+ar联立可得工力=T—a+k,

于是OA—J1+。,1—〃+A.

化简可得（”十）2—水一+）+2=0.令/="+，%＞0,

则/€火且/与片是一一对应的.

方程化为r—。/+2=0,

讨论方程在R上解的个数即对应着正方形的个数,L=cr-8.

(1)当-2V2<«<0Ht，A<0,贝［函为攵y=x'+"x不存在内接正

方形.

(2)当"=一2，1叱△=(),则函数j=x'+"x存在1个内接正方

形.

(3)当aV—20时,△>0,则函数.y=A；+av存在2个内接正方

形.

因火匕a=—2V2,/=k—J7=-6,A=.

KZ.

于是正方形边长为，产•，一a+左=72：.

5.【解析】

如图，正方形A5CD的边长为1,不失一般性假设AERG是其满足条件的内接正三角形，边长为。，过ER

的中点“作MNLA5垂足为N,连的4、MG、MN、MB,又设NAEG=a,

:.ZAEM=600+a

:.ZAGE=900-a

ZMGB=60°+a=ZAEM

.,.点A、E、M、G四点共圆，同理点3、G、M、F,

ZMEG=ZMAB=60°

ZMFG=ZMBA=60°

.,.点ER必过M点，AAMB是边长为1的等边三角形,

MN=F，，当G点与N重合时=g，..•(SAEFG)mm=^AMAB=金.

•••石6三。6，当且仅当七点与。点重合时，EG最大，止匕时a=15°

2

.-.(EG)max=V6-V2,/.(SA£CF)max=^-(V6-V2)=2V3-3,

所以所求内接正三角形的最大面积与最小面积分别为2百-3、—.

4

6.【解析】：设共有”(〃eN*且〃〉3)名选手，除去这3名，还剩下(〃-3)名选手.

设这3名选手之间比了x场比赛(x=0,l或2).

除去这3名选手的比赛，剩余人共比赛了("—4)5—3)场.

2

(1)x=0时，——_^+6=50na?—7〃-76=0n力仁N",不符合；

2

(2)x=l时，——‘("_12+1+1+3=50=>7/-7”-78=0=>"=13或一6；

2

由于，且〃>3,故〃=13符合；

(3)x=2时，——_^+1+1+1+1=50n〃2_7"-80=0=>〃任N",不符合;

2

所以，x=1时，满足条件，故退出的3名选手之间比赛了1场。

7.

/\3/

Lz丽办工一CO&T(7t\

:"/-------------=tailITI.

'siivx-+COST14-

.../；仁川比［Cgr)在=

J(i\sinx-rcosx;

/3俨G一学《一方

•「0w工W彳一彳Wz—Jwo,设-Jwh-Jwo.妥求.原积分也就

444

是吴求然分jtan2ntdt.

被四函数是修函数二切力a=f\a,^xtb.

"7"

X2N三2L

=p(8in.r-co^\,=Ifan211xdx—1/an27,~2x(scc2^—l)(ir

nJ。口力比+d'JnJi)

=jtan-rt~2x'sec2xdx-jtan2n^2xdx

JOJ1)

=J4tan2"-2zdxdianx-/4lan'^xdx

二得通推公式/“

=9i+/“T,由/«=j,所以：

・，/=(T)"［彳'(13+5……+2n-l)］

8.【答案】：2080个

k

证法递推公式迭代)SAm,n)=E?=0(-l)C*^r.则由C=CT+C2可得

外，璜=白郎+2(-a(*++(-1)-^^^

+茄«1)七二；岛+(-1)"』c舄

^TT6"-1+第”-1)k(:»-1m+k+l7T7

=阳(+器式T"舄目短

Iik

=«m，"D一Q匕(一a』*；ETT=3,n-D-滔-(一D""不罚

="-'=式-aF(1-常专)

=/(m,n-l)-i[S=1(-1)*C*m：：；]一驾八(一1)阉

=f(m,n-l)--^Ek=o(-1)上瑞丁+.+]-E*=o(-l)*^n]

=f(m,n-1)--l)"dm+；+]=f(m,n-1)-n)

m

故f(m,n)=—^—1)=加+震，+G/(m,n-2)=•••=，m+B,n，"；n'fm+3.f(>D

?n+n+i(ni+n+i)(Tn+n)(m+n+i)(m+n)…(m+s)

乂f(，n,D=-^+2=(m+2)(m+l)'

则"m，n)=仙+"+1而+”：5+2)而+b=而喘声于是"m,n)=f(n,m).

9.【解析1

即瑞)(-1)9用=酿。(-1)F/

if汉：（教学，I纳法）Q=

nt+lr”

/(m,1)=£；~o(-1)*日wiM/l=w44-wt+2-(Nt^lKiiH-2>a

f(m,2)。EL«(-1)，GR■MKI….

ffm.3).yl^(-i】Y-----i-__L♦-2_—JL_________t______.

'."73wi"*l*4*1m>2wH-SwiX(NH-IXWH-ZXM^IXM4M)

wtnl

M£i/(".").卜面川教学打纳法证期.

I-n=1frf,你m，D.而最;而•隔•

②以设-PSGAT)时，。想成立.W"m,p)・・E・P+1时.

f(m,p+l)-^(-l)*CjHm+L]

Y"STT+*=i(tF+im+；+i+(t*谒，：72咽

7“』+匾(FC+c尸)5r占订+(-1尸；^"端

・+Ek，一齐夕srrkisrrkr+(一产

--1)tc?i；rnFTT+^(-1W^n-

・〃m,p)-C：；(-1广号:+(\1)+2・八m，L(-»^srrrr2

m!p!(m4*l)!p!

■―/Xm+1»p)-_._4,

(m/*p*1)!(m>p42)!

m!p!(m+p♦2)-(m♦l)!p!(m11)!(pf1)?

(m>p>2)?(M♦p♦2)(

山，②及数学“纳法可知；((

i"E,n(JW)fl，=&JIr«rm,n)=rn,m).

即黑o（-i）y$=E1（-ip《岛p

10.【解析工以A3为x轴正反向建立平面直角坐标系，所以得出3（7,0）,。（3—］、，3—：、）

C为以3为圆心，半径等于巫的圆与以3为圆心，半径等于1的圆的交点，存在两个C.

2

.-.qc21BD,^KBD=-l,.-.KClC2=l

设C点坐标为（x,y）

,36-屈、2/3V2+V6