2024年高考模拟数学试题与答案 (三)

高三数学

本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知集合/={x卜l<x<3},5={xeN卜1<XW3},则幺门3=()

A.(-l,3)C.{1,2}D.{0,l,2}

2.设z=^—+z

则目=（）

1+z

1B亚

A.-D.2

22

31

3.设某批电子手表正品率为一，次品率为一，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则

44

尸（X=3）等于（）

--►--►--►--►I--►I--►-------►I

4.设。，6为单位向量，［在6方向上的投影向量为一万6,则k—2々二（)

A.V2B.V3C.V5D.V7

5.设,b=tan（-130°）,c=log130.4,则a,b,。的大小关系为（）

A.b<a<cB.a<c<bC.c<b<aD.a<b<c

6.公元9世纪，阿拉伯计算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三

角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中,「一个锐角的斜边与其邻边的

比，叫做该锐角的正割，用sec（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用esc（角）表

示，贝！)6esc200-sec20°=()

A.V3B.2V3C.4D,8

V2

7.双曲线E:J—=1的一条渐近线与圆C:（x—3丫+丁=4相交于4,8若△48C的面积为2,则双曲

ab2

线E的离心率为（

775c37711V7

A还B.----D.-----

557

1jr

8、若函数/（x）=5cos2x+3a（sinx+cosx）+（2a—l）x在0,—上单调递减，则实数a的取值范围为

（）

「，1]「1J

A,-1,-B.——,1

15」L5J

u[l,+8）D.（-oo,-l]0，+0°）

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列结论中，所有正确的结论是（）

A.若a>b>0,c<d<0,则ac<bd

B.命题p:e[l,+oo）,e*。2玉）+1的否定是：Vxe[l,+℃）,e，<x+l

h+ch

C.若0<4<力且。>0,则——>-

a+ca

D.若e（0,+8）,ax<x2+1,则实数aw（-8,2]

10.已知某圆锥的母线长为2,其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中正确的有（）

A.圆锥的体积为迪万B.圆锥的表面积为2缶

3

C.圆锥的侧面展开图是圆心角为后万的扇形D.圆锥的内切球表面积为（24-16收）"

11.过抛物线E:/=2py（夕〉0）的焦点厂的直线/交抛物线E于/,8两点（点/在第一象限），M为线

段45的中点.若14rl=2忸制=4,则下列说法正确的是（）

Q

A.抛物线E的准线方程为j=—

B.过4,8两点作抛物线的切线，两切线交于点N,则点N在以45为直径的圆上

c.若。为坐标原点，则|<w|=孚

D.若过点厂且与直线/垂直的直线加交抛物线于C,。两点，则|4B“CD|=288

12.分形几何学是数学家伯努瓦•曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，分形几何学不仅让

人们感悟到数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义.按照如图甲所示的分形规律可得如图

乙所示的一个树形图:

乙

记图乙中第“行白圈的个数为与，黑圈的个数为句，则下列结论中正确的是（）

A.%十十%=9B%+i=2〃+%

C.当左=±1时，｛。“+屹,｝均为等比数列D.4+A2H-----F/）5=58

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.今年3月23-24日东华港澳台高三年级与外校进行了一次联合联考模拟考试，这次测试的数学成绩

X〜N（90@2）,且P（X<60）=0.15,规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀.若此次联考共有900名

学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是.

14.（X2-2）^X-1^的展开式中/的系数是.（用数字作答）

15.在海岸4处，发现北偏东45。方向，距/处（G-1）海里的8处有一艘走私船，在/处北偏西75。方向，

距/处2海里的。处的缉私船奉命以10G海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速

度从5处向北偏东30°的方向逃窜，缉私船要最快追上走私船，所需的时间约是分钟.（注：灰合2.5）

16.已知函数/（X）=（犬一2x）e工，若方程/（x）=a有3个不同的实根X],x2,x3（Xj<x2<x3）,则一--

2—x2

的取值范围是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）如图，已知直线4是4,，2之间的一定点，并且点/到八%，的距离分别为、历和2.5,

7F

。分别是直线/,上的动点，且/氏4C=—,设=

123

DB

(1)写出△4BC面积S关于x的函数解析式S(x)；

(2)求函数S(x)的最小值及相对应的x的值.

18.(12分)如图，在三棱锥P—中，必，平面/BQ,BA=BP=BQ=2,D,C,E,尸分别

是/。，BQ,AP,AP的中点，ABVBQ,PD与EQ交于点、G,PC与FQ交于点、H,连接G//.

(1)求证：AB//GH■,

(2)求平面P48与平面PCD夹角的余弦值;

(3)求点/到平面PCD的距离.

19.(12分)设｛叫是等差数列，也｝是等比数列，公比大于0.已知q=4=3,b2=a3,4=4%+3.(1)

求｛%｝和也｝的通项公式;

工〃为奇数

⑵设数列｛g｝满足q求3+%。2+…+%,C2.(“eN)

上,“为偶数

12

20.(12分)根据社会人口学研究发现，一个家庭有X个孩子的概率模型为：

X1230

a

概率a。(1-))a(l-2)2

P

其中a〉0,0＜夕＜1.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为g且相互独立，事件4表示一个家庭有i个

孩子(7=0,1,2,3),事件B表示一个家庭的男孩比女孩多(例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多.)

(1)为了调控未来人口结构，其中参数?受到各种因素的影响(例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增

加等)，是否存在?的值使得E(X)=:，请说明理由.

13

(2)若夕=—,求a,并根据全概率公式尸(B)=Z尸(吊4),求尸(5).

2z=o

21.(12分)已知函数/(x)=21nx+4—加x,(mGR).

x

（1）讨论函数/（X）的单调性;

inb-]naa2+b2

(2)若b>a>0,证明:

--b-a---a-b-+a-br-

4c

22.（12分）设动点m与定点E（c,0）（c>0）的距离和河到定直线/:x=—的距离的比是

（1）求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状；

（2）当。=正时，记动点河的轨迹为O,动直线加与抛物线「：/=4x相切，且与曲线O交于点/,B.

求△208面积的最大值.

二、逸舞届

l23456789101112

DBCDCCCAABACDBDBCD

三、填空题

13.13514.2715.150.-

四、解答题17.a)sa)=。号｝⑵当x=^时，S(x)取得最小值2席.

2sinxcos(x+-^j9XG

6

【详解】(1)•••4BD=x,..ZZMB=q-x,

又•••ZA4CJ,，04£*[J),=x+HNC4E告，则Ovxvg,—1'

3{2}36,

RtZUBD中，sinZ^BD=~,R1A4CE中，cosZC4E=—,-

ASAC

:.S(x)=U♦4C•sinZRAC=-—­AEx叵

22sinxxe

cosx+—2sin#cos卜+春

I6

巫

⑵即

2sinxcosfx+-1有sinxcosx-sinG

二尸—一———

^sin2x-i(l-oosZx)sinf2x+-j-i9

22I0)z

♦冗

・••X伺,z.2x+-€

6

当2X+9M即x=3时，9's(x)取得最小值为2席.--10'

0X6

18.(D证明见解析；(2)¥；(3)苧,

【详解】(DD,C,E,尸分别是BQ,AP,BP的中点，•

所以EF//AB,DC//AB,所以DC//EF.

又因为瓦'仁平面PCD,DCu平面PCD,

所以所〃平面PCD.

又因为即u平面即Q,平面平面PCD=GH,

所以EF//GH,又因为EF/7AB,所以4B〃GH.—I

(2)因为超■LBQ,2平面侬，所以R4,B0,即两两垂直.

以点8为坐标原点，分别以9司2,助所在直线为x轴、7轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标

由R4=BP=BQ=2,则A(2,0,0),Z>(l,l,0),C(0,l,0XP(0,0,2),

所以万=(-LLO»而=(T-L2)，丽=(0,-L2).

设平面上西的一个法向量为二，则可取1=(0,1,0)

设平面PDC的一个法向量为7=(x,y,z),由7•而=0，n-CP=0»

(~x-y+2z=0

得j_y+2z=0取z=l,得7=(0,2J)・

lp-»IO+2+Ol2^5

所以8sM”"用=蒜=丁,

所以平面与平面PDC夹角的余弦值为挈.一8'

(3)由点到平面的距离公式可得，点A到平面PCD的距离为d

19.⑴4=3rmH3"(2)(2”73二+6,叱

2

【详解】(D设公差为(,公比为q(q＞。)，—1'

由4=4=3也=a),6j=4%43,

得3獴0==34+(23(/+d)+3,叫fd=3g=3Q或=-第1.3(舍去)，

所以.=3»«4=3"；-----4

为奇数

(2)由(1)得H,-----5

,3彳,〃为偶数

则4G+-+•"+%%=(0|+/+as+…+*)+(贴+她+*+―+^A)

=[3+9+15+—+3(2n-l)]+(6x3+12x32+18x3J+—+6nx3")

r3+3(2n-l)lnz.

=k——\一U_+6(3+2x3、3x33+…+n3")

=3??+6(3+2x32+3x33+-+n3*),——8'

令零=3+2x32+3x3’+・“+n3”,

则37；=32+2x3,+3x3*+-+(n-l)3"+M3"**,-—二

两式相减得-24=3+3,+3'+3"-"3川=生，严="也士,——10'

1-32

所以q=色二!户川+3,]「

4

所以%+•2+•••+,,“=3,2+6&1/+3=色二史詈+6才+9.—12'

42

20.⑴不存在P的值使得E(X)4,理由见解析(2)a=白，P®4

s133

【详解】(1)不存在P的值使需E(X)=g,理由如下：

由题意得，楙+a+a(l_p)+a("p)2=1①，-----J

且&+2ix+3a(l-p)+0xa(l-p)。=:②,----2-

5

由②得到=3(L5-3pJ将其代入①，整理得到5p'-6P2+2=0,--3,

令/(P)=5p'-6p?+2,0<p<l,则/*(p)=l5p2_12p,-----4*

当0<pv。时，Z(p)<0,〃P)单调递减，当：<P<1时，/*(P)>O,f(p)单调递增，

故/(P)在P=2处取得极小值，也是最小值，又胆)=察察24>0,

故57-6P2+2=0无解，所以不存在P的值使得E(x)=:一一6'

(2)若p=g,则3+以+a(l-p)+a(l-p)2=2i+a+：a+Ja=l,解得@=上，一—一7

zp2415

尸(叫4)=C：T=T，p(M4)=c；出=；,尸(3|4)=H扛6出=g,

由全概率公式可得P(B)=/(却4)P(4)=|x4+Ja+|a(l-p),

/-02P42

414119

因为口=77，P=r»所以P(B)=不+大+^=不----12'

u/ID1JN

21.。)答案见解析(2)证明见解析

【详解】(1)/(x)=^-±-m=-^?^i±l(x>0)-1-

令8(%)=会一办:+1(%>0),

当m=O时，g(x)=-2x+l,

当x>；时，g(x)<0=>//(x)>0,

当Ovxvg时，g(x)>0=>//(x)<0,

所以/(X)在(of上单调递减，在&司上单调递场——2,

当加W0时，一元二次方程g(x)=H-2x+l=0的判别式为A=4-4m,

当mvO时，方程有一个正根匕正反，

m

当xw0,--“1时，/'(%)<°，当xe(^—4厦,+00)时,fx>°，

f(x)在(o,^-4■卫)上单调递减，在

当Ovm<l时，方程有两个正根，分别为不广"、怎，

&里耳或xe件学mJ

当xw时，/'(x)<0.

上单调递增I

当府士7时，/'(X)MO恒成立，所以f(x)在(0,2)上单调递减：——5'

(2)要证里吧<锣=只需证她二蛔<丝七竿

6、

b-aab+abb-aah(a+h)

口.plnb-lnaa+b2ft*-a2.b—a

只需证----<-------只需证Ini-Ifna<----------2----

b-aaba+b必a+b

设r=2>l,则需证In/<，一1一2•仁^,(r>1)

atf+1''

只需证21nr—In/<r—2・，(’>1)

由(1)知，21«<»-1,(r>l)

所以只需-In/v-如二D,(f>l)

z+1

即证lm>如二D,(r>l)

/+1

令g(，)=ln/-坐?，则g'(f)=》^20恒成立,

所以当时，g(r)在(L*o)上单调递增，所以g«)>g⑴=0,

所以lnr>坐?，（，>1）成立，因此，原不等式得证.一一12.

J（x-c）“2c

⑴答案见解析（）应【惮解】（）设（）则iI，-I=—

22.21Mx,y,42•

化简得=4-c‘，c>0,

当c=2时，y-0,轨迹为一条直线：

当0<c<2时，鸟+/^.=1,此时轨迹为焦点在x轴上的椭ffih

44-c

当c>2时，=1,此时轨迹为焦点在x轴上的双曲线।

综上：当c=2时，轨迹方程为>HQ,轨迹为一条直线，

当0<c<2时，轨流方程为1+£_=1,轨迹为焦点在*轴上的椭圆।

当c>2时，轨迹方程为鸟一£_=1,轨迹为焦点在x轴上的双曲线；———4,

4c-4

（2）当c=V5时.O:―+—•=195