2024届黑龙江哈尔滨市道里区中考适应性考试数学试题含解析

2024届黑龙江哈尔滨市道里区中考适应性考试数学试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图，的半径OC与弦AB交于点D,连结OA,AC,CB,BO,则下列条件中，无法判断四边形OACB为

菱形的是（）

4*--~

（

A.ZDAC=ZDBC=30°B.OA〃BC,OB//ACC.AB与OC互相垂直D.AB与OC互

相平分

2.如图是用八块相同的小正方体搭建的几何体，它的左视图是（）

t视方向

出。由

3.如图，共有12个大不相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分.现从

其余的小正方形中任取一个涂上阴影，则能构成这个正方体的表面展开图的概率是（）

3

777

点A（-2,5）关于原点对称的点的坐标是

A.(2,5)B.(2,-5)C.(-2,-5)D.(-5,-2)

5.数据4,8,4,6,3的众数和平均数分别是（）

A.5,4B.8,5C.6,5D.4,5

6.主席在2018年新年贺词中指出，2017年，基本医疗保险已经覆盖1350000000人.将1350000000用科学记数法表

示为（）

A.135xl07B.1.35x109c.13.5x10sD.1.35X1014

7.下列实数中，在2和3之间的是（）

A.nB.万一2C.标D.^28

8.如图，G,E分别是正方形ABCD的边AB,BC上的点，且AG=CE,AE±EF,AE=EF,现有如下结论：①BE

=DH;②AAGE义Z\ECF;③NFCD=45。;④△GBEsaECH.其中，正确的结论有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

9.如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C,再

经过一段坡度（或坡比）为i=l：0.75,坡长为10米的斜坡CD到达点D,然后再沿水平方向向右行走40米到达点E

（A,B,C,D,E均在同一平面内）.在E处测得建筑物顶端A的仰角为24。，则建筑物AB的高度约为（参考数据:

sin24tM）.41,cos24Ko.91,tan240=0.45）（）

A

A.21.7米B.22.4米C.27.4米D.28.8米

10.下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（）

A.事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是随机事件

B.体育彩票的中奖率为10%,则买100张彩票必有10张中奖

C.在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品

D.掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为工

3

11.nABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）

A.BE=DFB.AE=CFC.AF//CED.ZBAE=ZDCF

12.如图是二次函数y=ax?+bx+c（a#0）图象如图所示，则下列结论，①cvO,（2）2a+b=0；③a+b+c=0,@b2-4ac<0,

其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.若Damb，与5a29+7是同类项，则m+n=.

14.如图是由大小完全相同的正六边形组成的图形，小军准备用红色、黄色、蓝色随机给每个正六边形分别涂上其中

的一种颜色，则上方的正六边形涂红色的概率是.

15.观察如图中的数列排放顺序，根据其规律猜想：第10行第8个数应该是.

1

-23

-45-6

7-89-10

11-1213-1415

16.分解因式：a2b+4ab+4b=.

17.分解因式：3a2-12=__.

18.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率是—.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来.

2%-7<3（%-1）@

V1

5——（尤+4）2逾）

、2

20.（6分）某学校为了解学生的课余活动情况，抽样调查了部分学生，将所得数据处理后，制成折线统计图（部分）

和扇形统计图（部分）如图：

（1）在这次研究中，一共调查了学生，并请补全折线统计图；

（2）该校共有2200名学生，估计该校爱好阅读和爱好体育的学生一共有多少人?

21.（6分）为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施

工任务.该工程队有AB两种型号的挖掘机，已知3台4型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A

型和7台3型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米.每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一

小时的施工费用为180元.分别求每台4型，3型挖掘机一小时挖土多少立方米?若不同数量的4型和B型挖掘机共

12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元.问施工时有哪几种调配方案，并指出哪

种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？

22.（8分）如图，直线I切。。于点A,点P为直线1上一点，直线PO交。O于点C、B,点D在线段AP上，连接

DB,且AD=DB.

ADP1

（1）求证：DB为。。的切线；（2）若AD=LPB=BO,求弦AC的长.

23.（8分）如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60。角，在离电线杆6米的B处

安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30。，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）.

24.（10分）（1）计算：-22+,712-4|+（1）“+2tan60°

6-2x>0

⑵求不等式组Q、的解集.

2x>x-\

25.（10分）先化简，再求值：二+-——）,其中x=J^.

1+xx+1

26.（12分）已知A5是。。的直径，弦CDLA5于H,过CD延长线上一点E作。。的切线交A5的延长线于歹，切

点为G,连接AG交C。于K.

（1）如图1,求证：KE=GE；

（2）如图2,连接CABG,若/厂G5=L/ACT/,求证：CA//FE；

2

3

（3）如图3,在（2）的条件下，连接CG交A5于点N,若sinE=二，AK=yflQ,求CN的长.

27.（12分）为了解黔东南州某县中考学生的体育考试得分情况，从该县参加体育考试的4000名学生中随机抽取了100

名学生的体育考试成绩作样本分析，得出如下不完整的频数统计表和频数分布直方图.

成绩分组组中值频数

25<x<3027.54

30<x<3532.5m

35<x<4037.524

40<x<45a36

45<x<5047.5n

(1)求a、m、n的值，并补全频数分布直方图；

(2)若体育得分在40分以上(包括40分)为优秀，请问该县中考体育成绩优秀学生人数约为多少？

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、C

【解析】

(1)VZDAC=ZDBC=30°,

...NAOC=NBOC=60。，

XVOA=OC=OB,

.,.△AOC和小OBC都是等边三角形，

AOA=AC=OC=BC=OB,

二四边形OACB是菱形；即A选项中的条件可以判定四边形OACB是菱形；

(2)VOA/7BC,OB〃AC,

二四边形OACB是平行四边形，

XVOA=OB,

二四边形OACB是菱形，即B选项中的条件可以判定四边形OACB是菱形；

(3)由OC和AB互相垂直不能证明到四边形OACB是菱形，即C选项中的条件不能判定四边形OACB是菱形；

(4)...AB与OC互相平分，

四边形OACB是平行四边形，

XVOA=OB,

二四边形OACB是菱形，即由D选项中的条件能够判定四边形OACB是菱形.

故选C.

2^B

【解析】

根据几何体的左视图是从物体的左面看得到的视图，对各个选项中的图形进行分析，即可得出答案.

【详解】

左视图是从左往右看，左侧一列有2层，右侧一列有1层1,选项B中的图形符合题意，

故选B.

【点睛】

本题考查了简单组合体的三视图，理解掌握三视图的概念是解答本题的关键.主视图是从物体的正面看得到的视图，左

视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图.

3、D

【解析】

由正方体表面展开图的形状可知，此正方体还缺一个上盖，故应在图中四块相连的空白正方形中选一块，再根据概率

公式解答即可.

【详解】

因为共有12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分，所以剩下7

个小正方形.

在其余的7个小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的小正方形有4个，因此先从其余的小

4

正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是一.

7

故选D.

【点睛】

本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，掌握概率公式是本题的关键.

4、B

【解析】

根据平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是(-x,-y).

【详解】

根据中心对称的性质，得点P(-2,5)关于原点对称点的点的坐标是(2,-5).

故选:B.

【点睛】

考查关于原点对称的点的坐标特征，平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是(-X,-y).

5、D

【解析】

根据众数的定义找出出现次数最多的数，再根据平均数的计算公式求出平均数即可

【详解】

；4出现了2次，出现的次数最多，

•••众数是4；

这组数据的平均数是：(4+8+4+6+3)4-5=5；

故选D.

6、B

【解析】

科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中lW|a|V10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，

小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝

对值VI时，n是负数.

【详解】

将1350000000用科学记数法表示为：1350000000=1.35xl09,

故选B.

【点睛】

本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10〃的形式，其中l<|a|<10,n为整数，表示时

关键要正确确定a的值及n的值.

7、C

【解析】

分析：先求出每个数的范围，逐一分析得出选项.

详解：

A、3<花<4,故本选项不符合题意；

B、l<7t-2<2,故本选项不符合题意；

C、2<^25<3,故本选项符合题意；

3<病<4,故本选项不符合题意；

故选C.

点睛：本题考查了估算无理数的大小，能估算出每个数的范围是解本题的关键.

8、C

【解析】

由N5EG=45。知N5£4>45。，结合NAE斤=90。得NHECV45。，据此知HC<EC,即可判断①；求出NG4E+NAEG

=45°,推出NG4£=NbEC,根据SAS推出△G4Eg/\C£F,即可判断②；求出NAGE=NECb=135。，即可判断

③；求出/方£。<45。，根据相似三角形的判定得出AGBE和△ECH不相似，即可判断④.

【详解】

解：:四边形ABCD是正方形，

：.AB=BC=CD,

9：AG=GE,

：.BG=BE,

：.ZBEG=45°,

：.ZBEA>45°f

VZAEF=90°,

AZHEC<45°,

：.HC<EC,

：.CD-CH>BC-CE9即DH>BE,故①错误；

,:BG=BE,ZB=90°,

・•・ZBGE=ZBEG=45°9

:.ZAGE=135°,

：.ZGAE+ZAEG=45°9

VAE±EF,

ZAEF=90°9

VZBEG=45°,

:.ZAEG+ZFEC=45°,

:.ZGAE=ZFEC9

在4GAE和4CEF中，

VAG=CE,

ZGAE=ZCEF,

AE=EF,

:AGAE/ACEF(SAS)),

•••②正确；

，ZAGE=ZECF=13>5°,

/.ZFCD=135°-90°=45°,

.•.③正确；

；NBGE=N3EG=45。，ZAEG+ZFEC^45°,

：.ZFEC<45°,

：./\GBE和4ECH不相似，

.•.④错误；

故选：C.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定，勾股定理等知识点的

综合运用，综合比较强，难度较大.

9^A

【解析】

作BM±ED交ED的延长线于M,CN±DM于N.首先解直角三角形RtACDN,求出CN,DN,再根据tan24°=^^,

EM

构建方程即可解决问题.

【详解】

作BM_LED交ED的延长线于M,CN_LDM于N.

CN14

在RtACDN中,V——=------=—，设CN=4k,DN=3k,

DN0.753

.\CD=10,

:.(3k)2+(4k)2=100,

；.k=2,

/.CN=8,DN=6,

•••四边形BMNC是矩形，

.*.BM=CN=8,BC=MN=20,EM=MN+DN+DE=66,

AM

在RtAAEM中，tan24°=------,

EM

8+AB

.*.0.45=----------

66

/.AB=21.7（米）,

故选A.

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.

10、C

【解析】

根据随机事件，必然事件的定义以及概率的意义对各个小题进行判断即可.

【详解】

解：A.事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是必然事件，故错误.

B.体育彩票的中奖率为10%,则买100张彩票可能有10张中奖，故错误.

C.在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品，正确.

D.掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为故错误.

2

故选:C.

【点睛】

考查必然事件，随机事件的定义以及概率的意义，概率=所求情况数与总情况数之比.

11、B

【解析】

【分析】根据平行线的判定方法结合已知条件逐项进行分析即可得.

【详解】A、如图，I•四边形ABCD是平行四边形，二0人=0（：,OB=OD,

•.•BE=DF,；.OE=OF,...四边形AECF是平行四边形，故不符合题意;

B、如图所示，AE=CF,不能得到四边形AECF是平行四边形，故符合题意;

D

C、如图，：四边形ABCD是平行四边形，.•.OA=OC,

VAF//CE,.\ZFAO=ZECO,

X"."ZAOF=ZCOE,.•.△AOF^ACOE,.*.AF=CE,

AAF//CE,...四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；

D、如图，•.,四边形ABCD是平行四边形，/.AB=CD,AB//CD,

/.ZABE=ZCDF,

XVZBAE=ZDCF,A△ABECDF,/.AE=CF,ZAEB=ZCFD,AZAEO=ZCFO,

/.AE//CF,

••.AE//CF,.,.四边形AECF是平行四边形，故不符合题意，

故选B.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键.

12、B

【解析】

由抛物线的开口方向判断。与1的关系，由抛物线与）轴的交点判断c与1的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴

交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

【详解】

①抛物线与y轴交于负半轴，则cVL故①正确；

b

②对称轴丫=----=1,则2a+Z>=l.故②正确；

2a

③由图可知：当x=l时，y=a+b+c<l.故③错误；

④由图可知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则庐-4ac>l.故④错误.

综上所述：正确的结论有2个.

故选B.

【点睛】

本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的值求2a与》的关系，以及二次函数与方程之间的转换,

根的判别式的熟练运用.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、-1.

【解析】

试题分析：根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得方程组，根据解方程组，可得m、n的值，根据有

理数的加法，可得答案.

试题解析：由Damb，与5a2y+7是同类项，得

匚=：

f.

解得心=2

=­

，m+n=-l.

考点：同类项.

14、-

3

【解析】

试题分析：上方的正六边形涂红色的概率是二，故答案为一.

考点：概率公式.

15、1

【解析】

由n行有n个数，可得出第10行第8个数为第1个数，结合奇数为正偶数为负，即可求出结论.

【详解】

解：第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，…，

...第9行9个数，

二第10行第8个数为第1+2+3+...+9+8=1个数.

又•.•第2n-1个数为2n-l,第2n个数为-2n,

.•.第10行第8个数应该是1.

故答案为：L

【点睛】

本题考查了规律型中数字的变化类，根据数的变化找出变化规律是解题的关键.

16、b(a+2)2

【解析】

根据公式法和提公因式法综合运算即可

【详解】

a2b+4ab+4b=b(a°+4a+4)=b(a+2)2.

故本题正确答案为仇a+2)2.

【点睛】

本题主要考查因式分解.

17、3(a+2)(a-2)

【解析】

要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是

完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式.因此，

3a2-12=3(a2-4)=3(a+2)(a-2).

1

18、一.

4

【解析】

试题分析：画树状图为：

正反

z\/\

正反正反

共有4种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为1,所以两枚硬币全部正面向上的概率='.故答案

4

为卜

考点：列表法与树状图法.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、原不等式组的解集为-4<xS,在数轴上表示见解析.

【解析】

分析：根据解一元一次不等式组的步骤，大小小大中间找，可得答案

详解：解不等式①，得x>-4,

解不等式②，得烂1,

把不等式①②的解集在数轴上表示如图

—।।二-------------->，

^5-4^3^01234V

原不等式组的解集为-4VxWl.

点睛：本题考查了解一元一次不等式组，利用不等式组的解集的表示方法是解题关键.

20、（1）200名；折线图见解析；（2）1210人.

【解析】

（1）由“其他”的人数和所占百分数，求出全部调查人数；先由“体育”所占百分数和全部调查人数求出体育的人数，进

一步求出阅读的人数，补全折线统计图；

（2）利用样本估计总体的方法计算即可解答.

【详解】

（1）调查学生总人数为40+20%=200体育人数为：200x30%=60（人），阅读人数为：200-（60+30+20+40）

=200-150=50（人）.

答：估计该校学生中爱好阅读和爱好体育的人数大约是1210人.

【点睛】

本题考查了统计知识的应用，试题以图表为载体，要求学生能从中提取信息来解题，与实际生活息息相关，符合新课

标的理念.

21、（1）每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台3型挖据机一小时挖土15立方米；

（2）共有三种调配方案.方案一：A型挖据机7台,3型挖掘机5台；方案二：A型挖掘机8台,3型挖掘机4台；方

案三：4型挖掘机9台,3型挖掘机3台.当A型挖掘机7台，3型挖掘机5台的施工费用最低，最低费用为12000元.

【解析】

分析：（1）根据题意列出方程组即可；

（2）利用总费用不超过12960元求出方案数量，再利用一次函数增减性求出最低费用.

详解：⑴设每台A型,B型挖掘机一小时分别挖土x立方米和V立方米，根据题意，得

3x+5y=165,

“4x+7y=225,

x—30,

解得

。=15.

所以，每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖据机一小时挖土15立方米.

⑵设A型挖掘机有机台，总费用为W元,则B型挖据机有(12-m)台.根据题意，得

W=4x300/n+4xl80(12—帆)=480加+8640,

4x30m+4x15(12—m)>1080fm>6

因为4v解得)

[4x300/7/+4x180(12-zn)<129605[m<9)

又因为mwl2-m，解得w6,所以7W7〃W9.

所以,共有三种调配方案.

方案一:当机=7时,12=5，即A型挖据机7台,3型挖掘机5台；

方案二:当机=8时,12—加=4，即4型挖掘机8台,3型挖掘机4台；

方案三:当机=9时,12—m=3，即A型挖掘机9台,3型挖掘机3台.

480>0,由一次函数的性质可知,W随〃？的减小而减小，

当加=7时，％小=480x7+8640=12000,

此时A型挖掘机7台，5型挖掘机5台的施工费用最低，最低费用为12000元.

点睛：本题考查了二元一次方程组和一次函数增减性，解答时先根据题意确定自变量取值范围，再应用一次函数性质

解答问题.

22、(1)见解析；(2)AC=1.

【解析】

(1)要证明DB为。O的切线，只要证明NOBD=90即可.

(2)根据已知及直角三角形的性质可以得到PD=2BD=2DA=2,再利用等角对等边可以得到AC=AP,这样求得

AP的值就得出了AC的长.

【详解】

(1)证明：连接OD；

；PA为。O切线，

.,.ZOAD=90°；

在40人口和4OBD中，

0A=0B

DA=DB,

DO=DO

AAOAD^AOBD,

:.ZOBD=ZOAD=90°,

AOB1BD

，DB为。O的切线

(2)解:在R3OAP中;

VPB=OB=OA,

AOP=2OA,

AZOPA=10°,

AZPOA=60°=2ZC,

APD=2BD=2DA=2,

AZOPA=ZC=10°,

AC=AP=1.

【点睛】

本题考查了切线的判定及性质，全等三全角形的判定等知识点的掌握情况.

23、CE的长为（4+3）米

【解析】

由题意可先过点A作AH_LCD于H.在RtAACH中，可求出CH,进而CD=CH+HD=CH+AB,再在RtACED中,

求出CE的长.

【详解】

过点A作AHLCD,垂足为H,

由题意可知四边形ABDH为矩形，NCAH=30。,

，AB=DH=1.5,BD=AH=6,

*»,CH

在RtAACH中，tanNCAH=——，

AH

/.CH=AH«tanZCAH,

：.CH=AH»tanZCAH=6tan30°=6x（米）,

；DH=1.5,

，CD=26+1.5,

在RtACDE中，

CD

VZCED=60°,sinZCED=——，

CE

2肉1.5_

ACE=~~=（4+73）（米），

~2

答：拉线CE的长为（4+遂）米.

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题

24、（1）1；（2）-1<X<1.

【解析】

试题分析：（1）、首先根据绝对值、募、三角函数的计算法则得出各式的值，然后进行求和得出答案;、分半求出每

个不等式的解，然后得出不等式组的解.

试题解析：解：⑴、原式=—4+4—26+3+2君=3

6-2%>0①^

⑵、〈c9由①得：X<1,由②得：XN-1,...不等式的解集：

2x21②

25、1+72

【解析】

先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可.

【详解】

2、

x(x+2).1%+%X

解:原式=

l+xI%+1

x+l?

x(x+2)%2

1+xx+1

_x(x+2)x+1

1+xx2

_x+2

x

当X=后时，

原式=与2=1+&.

V2

【点睛】

考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键.

26、(1)证明见解析；(2)AEAD是等腰三角形.证明见解析；(3)^A/10.

13

【解析】

试题分析：

(1)连接OG,则由已知易得NOGE=NAHK=90。，由OG=OA可得NAGO=NOAG,从而可得

ZKGE=ZAKH=ZEKG,这样即可得至(jKE=GE；

(2)设NFGB=a,由AB是直径可得NAGB=90。，从而可得NKGE=9(T-a,结合GE=KE可得NEKG=9(T-a,这样

在AGKE中可得NE=2a,由NFGB=』NACH可得NACH=2a,这样可得NE=NACH,由此即可得到CA〃EF；

2

(3)如下图2,作NPLAC于P,

AH3

由(2)可知NACH=NE,由此可得sinE=sinNACH=------=—,设AH=3a,可得AC=5a,CH=4a,贝!)

AC5

CH4

tanZCAH=——=-,由(2)中结论易得NCAK=NEGK=NEKG=NAKC,从而可得CK=AC=5a,由此可得HK=a,

AH3

AH

tanZAKH=——=3,AK=48a,结合AK=W可得a=l,则AC=5；在四边形BGKH中，由NBHK=NBKG=90。,

HK

可得NABG+NHKG=180。，结合NAKH+NGKG=180。，ZACG=ZABG可得/ACG=NAKH,

4PNPN

在RtAAPN中，由tan/CAH=—=——，可设PN=12b,AP=9b,由tan/ACG=——=tanNAKH=3可得CP=4b,

3AP