2024年高三数学练习题及答案（十）

一、单项选择题：

1.已知集合屈=卜,2一2%<0},7V=(x|j=log2(x-1)},则WN=()

A.{x|l<x<2}B.{x|l<x<2}C.{x|x〉l}D.{x|x>0}

【答案】D

【解析】

集合"中：1_2》<0解得0<x<2,即M={x[0<xW2},

集合N中描述的是x的范围，即函数>=log2(x-1)的定义域，x-1>0解得x>l

即N={x|x〉l}；

所以MUN={HXNO}

故选D项.

2.已知复数(1+2»=。+4，aeR,beR,a+b=()

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】B

【解析】因为(l+2i)i=-2+i,所以。=—2,b=l,a+b=—1,选B.

3.甲：4、4是互斥事件；乙：4、4是对立事件，那么()

A.甲是乙的充要条件B.甲是乙的充分但不必要条件

C.甲是乙的必要但不充分条件D.甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条

件

【答案】C

【解析】当4、4是互斥事件时，4、4不一定是对立事件，所以甲是乙的非充分条

件.

当4、4是对立事件时，4、4一定是互斥事件，所以甲是乙的必要条件.

所以甲是乙的必要非充分条件.

故选c.

4.等比数列｛%｝的前〃项和为S“，且4%、2a2、4成等差数列，若q=1，则$5=()

A.15B.16C.31D.32

【答案】C

【解析】设等比数列｛叫的公比为心由于4%、2a八4成等差数列，且为=1，

.二4%=4%+%,即4q=4+q2,即夕2_4夕+4=0,解得q=2,

因此,：lx(l-25)

=31•

1-2

故选：C.

兀兀

5.函数/(x)=sin2x-Gcos2x在区间一3万上的零点之和是()

【答案】B

［解析］由/(x)=sin2x-V3cos2x=0得sin2x=6cos2x,即tan2、=也

所以2%=左〃+工，gpx=—+-

7171

又因为xe

77TT

所以当左=一1时》=—,左=0时x=—

36

函数/（x）=sin2x-百cos2x在区间-上的零点之和是-f+£=-£

_22」366

故选B

6.已知（1+%）71的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数

和为（）.

A.212B.211C.210D.29

【答案】D

【解析】因为（1+无产的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C：=C，解

得”=10,

-x210=29

所以二项式（1+%>°中奇数项的二项式系数和为二一-.

7.已知：2"=6&=10，则3,ab,a+6的大小关系是（）

A.ab<a+b<3B.ab<3<a+b

C.3<a+b<abD.3<ab<a+b

【答案】D

【解析】«=log210>log28=3,6=log610>l,

:・ab>3；

又Q+b=J_+j_=Ig2+lg6=lgl2>1na+b>ab,a+b>ab>3.D.

abab

22

8.已知双曲线「二-「=1(。〉0,/)〉0)的一条渐近线与函数^=1+111》+1112的图象相

ab

切，则双曲线r的离心率等于()

A.V2B.V3C.1D.V5

【答案】D

【解析】由函数y=l+lnx+ln2,(x>0).可得/=L假设渐近线与函数的切点为

X

ay1+Inx+In211

尸(X。，外).则渐近线的斜率为工=2n所以可得----n2——=一解得.所以可得

bx0x0x02

2」/,h=?

a~T~…一上又因为c2=，+>.即可解得£=".故选口.

2a

二、多项选择题：

9.下列命题正确的是()

A.3a,beJ?,|<2—2|+(Z)+1)2<0B.\/aGR,BXeR,使得tix>2

c.仍wo是/+/N0的充要条件D.a^b>-l,则

l+a1+b

【答案】AD

【解析】A.当a=2,b=-1时，不等式成立，所以A正确.

B.当a=0时，0-x=0<2,不等式不成立，所以B不正确.

C.当。=0,670时，/+620。成立，此时仍=0,推不出仍wO.所以C不正确.

,aba(l+b)-/?(l+a)a-b一、，、M,ab

D.由i/=—/I/x—=fi।vi-uMJ因为。26〉一1，贝I:;-------■一所以D

l+a\+b(1+a)V(1\+b)(l+a)(l+6)l+a1+b

正确.

故选：AD.

10.如图，在矩形4SCD中48=240=2,E为45的中点，将AADE沿DE翻折到A4QE

的位置,4e平面/BCD,M为4c的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（）

A.恒有W〃平面

B.B与M两点间距离恒为定值

C.三棱锥4-DEM的体积的最大值为变

12

D.存在某个位置，使得平面平面4。。

【答案】ABC

【解析】取4。的中点N,连结EN,可得四边形斜WE是平行四边形,

所以BM〃EN,所以W〃平面故A正确；

（也可以延长DE,CB交于H,可证明也〃Z",从而证明BM//平面&DE）

因为DN=；,DE=42,NA\DE=NADE=45。,

根据余弦定理得

ft

iiB

EN2=-+2-2xV2x-x—,

422

得EN=M

2

因为£N=W,故BM=也,故B正确；

2

因为"为4。的中点，

所以三棱锥C-的体积是三棱锥4DE的体积的两倍，

故三棱锥ARE的体积V_=-h,其中力表示到底面ABCD的

c-cAiDEVVAI_DEC=^SACDE4

距离，当平面NQE，平面/BCO时，力达到最大值，

此时〃一小。取到最大值也，所以三棱锥4-DEN体积的最大值为无，故C正确；

612

考察D选项，假设平面平面4。。，平面4。£口平面，AE±AXD,

故4E,平面4c。，所以4E，4C,

则在△4CE中，NE4C=90。，AXE=\,EC=42,所以4。=1.

又因为4。=1,8=2,所以故4,C,£»三点共线，

所以4eCD,得4e平面48c与题干条件4e平面48。。矛盾，故D不正确；

故选A,B,C.

11.等差数列｛%｝的前“项和为S”，若4〉0,公差dwO,则下列命题正确的是（）

A.若工=风，贝IJ必有几=0B.若Ss=Sg,则必有邑是S“中最大的项

C.若56〉邑，则必有S’〉'D.若S6〉E，则必有S5〉£

【答案】ABC

[解析】•••等差数列｛a,,｝的前“项和公式s“=〃/+〃（〃—，）"，

2

若2=89,则5%+10（7=9%+36d,

]3d

24+13d=0,a]=———,tZ]>0,t/<0,

..+%4=。，***S]4=7（。]+。]4）=0，A；

.cn（n-｛\d13〃dn（n-\\d-7），-491,,八„

••Sn=nax+△—!—=-----+△—」=_L1_________J,由二次函数的性质知S]是

2222

S,,中最大的项，8对；

若$6>S7,贝I]%=1+61<0,.，.为<-6J,

：%〉0,d<0,a6=a[+5d<-6d+d=-d>0,as=a7+d<a-,<Q,

S5<$6=S5+4,S7>Sg=S7+“8,C对,D错；

故选:ABC.

12.在尺/△48C中，AB=AC,BC=4,在边上分别取M,N两点，;沿MN将'AAMN

翻折，若顶点/正好可以落在边上，则如f的长可以为（）

A.V2B.逑C.4--D.4-2北

22

【答案】ABD

【解析】

在中，AB=AC,BC=4,所以48=/。=2a，如上图，在翻折过程中有

AM=MA',设=BM=MA'=272-x)所以设N/'NM=N4TM=6,

则乙=/必'8=180。-2。-45°=135°-2夕在4氏4'8中由正弦定理可得：

MBA'Mx

_________—______nJ___2__V__2_-_x__________

sin/KTB-sin/5sin(1350-20)-sin45。

0°<0<90°

n00<26<135。，

2^<135°

135°-2^G[0,135]°.-,V2+2sin(135°-2^)e[V2,V2+2]

444

—SX=-----------------£----------即nxe[4-20,2&]

—,V2+2sin(135°-2^)[行+2’行.

只有4-也不在范围内，所以答案选择ABD

2

三、填空题:

13.已知点/(TO),5(1,0),若圆/+/—0―6y+25-加=0上存在点P使万.方=0,

则m的最大值为;此时点P的坐标为.

【答案】36-，-J

【解析】由12+/—8%一63；+25—加=0可得(］一4)2+3—3)2=冽,

所以圆的圆心。(4,3),半径〃二标,

/(_1,0),5(1,0),设尸(4+V^cos8,3+4Tsine),

则PA-(-5-4mcos仇一3-4msin0),PB=(-3-4mcos仇一3-yfmsin0),

因为圆12+/一8%一6;7+25-加=0上存在点尸使力.万=0，

所以PA-PB=15+8Vmcos0+mcos2^+9+6而sin0-]-msm20

=24+加+10Vmsin(。+0)=0(tan0=1)，

所以加-10j^+24:0,解得加=16或加=36,

所以加的最大值为36；

34

止匕时满足sin(6+0)=-1,即sin。=-cos。=-—,cos0=-sin(p=,

4343

所以点尸的坐标为尸(4+6x(-小3+6x(-7),即尸(_父_/

43

故答案是：36；

14.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为〃地球留给人类保留宇宙秘密的最后

遗产〃，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径4,5两点

间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD=80,NADB=135。,

/BDC=NDCA=15。,ZACB=120°9则儿5两点的距离为.

【答案】8075

【解析】由已知，△ACD中，ZACD=15°,ZADC=150°,

_80sinl50°

••.NDAC=15。由正弦定理得“sin150

4

△BCD中，ZBDC=15°,Z6CD=135°,

AZDBC=30°,

用CDBC

由正弦JE理，.，

smACBDsinZBDC

CD-sinZBDC80x;nl50=160szm5°=40

所以BC—sin/CBD

2

△ABC中，由余弦定理,

AB2=AC2+BC2-2AC・BC・cosNACB=

1600（8+4V3）+1600（8-4A/3）+2X1600（V6+V2）X（V6-V2）X1

=1600x16+1600x4=1600x20

解得：AB=8045,

则两目标4B间的距离为80e.

故答案为80班.

15.已知函数/(x)=<:设g(x)="+l,且函数y=/(x)-g(x)的图象经

x-12x+3,x>0

过四个象限，则实数化的取值范围为.

【答案】［-9,J

【解析】当X40时,f(x)-g(x)=|x+3\-kx-l,须使f(x)-g(x)过第三象限,

所以f(-3)-g(-3)<0,解之得k<；.

当x>0时,f(x)-g(x)=卜一(12+4)x+2,

因为/'(x)—g'(x)=3——12—左,

所以须使f(x)-g(x)过第四象限,

综合得-9Vk<g

故答案为：卜9,J

16.已知F为抛物线y2=x的焦点，点4B在该抛物线上且位于x轴的两侧，区.丽=2(其

中0为坐标原点)，则△AB。与△AF。面积之和的最小值是.

【答案】3

【解析】如图，可设4m2,m),B(n2,n),其中m>0,n<0,则厉=(«，m),~0B=

(n2,n),OAOB=m2n2+mn=2,解得mn=l(舍)或mn=-2.

222

.".IAB：(m—n)(y—n)=(m-n)(x—n),BP(m+n)(y—n)=x—n2,令y=0,解得x=—mn

=2,."(2,0).

,1,1111nl

SZIOB=SAZIOC+SABOC=-x2xm+-x2x(—n)=m—n,SOF=~x-xm=-m,则SB+S

A2224oMA/(O

92

1992(92"—in——4

AOF=m—n+-m=-m—n=-m-\--->2J—-=3，当且仅当｛8m,即m=Q时

A888m\8m

m>0

等号成立.故△AB。与△AF。面积之和的最小值为3.

四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）已知数列｛4｝中，%=加，且%+i=3an+2n-l,bn=a“+〃（〃eN*）.

（1）判断数列｛，｝是否为等比数列，并说明理由；

（2）当加=2时，求数歹U｛（-D"%｝的前2020项和S2020.

32021-4043

【答案】（1）①时，不是等比数列；②时，是等比数列；（2）

4

【解析】（1）..•%=3%+2〃一1,

bn+l=an+l+〃+1=3a“+2〃-1+〃+1=3（%+〃）=3”,

①当为二1时,4=0,故数列｛4｝不是等比数列;

②当冽〜1时，数列也｝是等比数列，其首项为4=加+1/0,公比为3.

n

（2）由⑴且当」*当时有:“=%+〃=3X3"T=3",BPan=3-n,

，(—1)Z,=(—3)"—(―1)”〃，

•Q

…02020-[(-1+2)+(-3+4)+...+(-2019+2020)]

1—(—3)

-3+3202132°2i—4043

---------1010=

44

18.（本小题满分12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每

瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根

据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：。C）有关.如果最高气温不低于

25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间［20,25）,需求量为300瓶；如果最高气

温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的

最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气

[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

温

天数216362574

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进

货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.

34

【答案】（1）j.（2）j.

【解析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，

得到最高气温位于区间［20,25）和最高气温低于20的天数为2+16+36=54,

根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：。C）有关.

如果最高气温不低于25,需求量为500瓶，

如果最高气温位于区间［20,25）,需求量为300瓶，

如果最高气温低于20,需求量为200瓶，

543

・••六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率P=..

（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500,

V=450x2=900兀，

当温度在［20,25)℃时，需求量为300,

丫=300x2-(450-300)x2=300元，

当温度低于20℃时，需求量为200,

/=400-(450-200)x2=-100元，

当温度大于等于20时，丫＞0,

由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20℃的天数有：

90-(2+16)=72,

・••估计、大于零的概率P=7^2=j4.

19.(本小题满分12分)在A45C中，角所对的边分别是a,b,c,且

27r/-

b=2,A=—,cosS=V3sinC.

(1)求边48的长；

(2)若点。是边BC上的一点，且A4CO的面积为述，求/4DC的正弦值.

4

【答案】sinZADC=^-

7

【解析】

(1)cosB=V3sinCncos1-C=V3sinC

3sC+@

sinC=V3sinCntanC=—,C=-

2236

B=Cnb=c=2

(2)S=—xbxCDxsin—=

AMACCDD264

解得CD=上

2

在A4c。中，由余弦定理得2。2=22+（言）2_2x手x2xcosW=：

AD=2T

在AACD中，由正弦定理得=———nsinZADC=冬夕.

sinCsinZADC7

20.（本小题满分12分）如图，C、D是以AB为直径的圆上两点，AB=2AD=2jj,AC=BC,

F是AB上一点，且AF=2AB,将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD的射影E在BD

3

上，已知CE=J^.

(1)求证：AD,平面BCE；

(2)求证：AD〃平面CEF；

（3）求三棱锥A-CFD的体积.

【答案】(1)(2)证明见解析(3)退

6

【解析】(1)证明：依题ADLBD,

平面ABD,ACEXAD,

VBDnCE=E,

.•.AD,平面BCE.

(2)证明：Rt^BCE中，CE=A/2，BC=V^,ABE=2,

《△ABD中，AB=2正，AD=M，，BD=3.

•BFBE2

••--zz-----=~.

BABD3

I.AD〃EF,AD在平面CEF夕卜，

，AD〃平面CEF.

(3)解：由(2)知AD〃EF,AD±ED,

且ED=BD-BE=1,

，F至UAD的距离等于E至UAD的距离为1.

SAFAD=-^XA/3X]=¥，

平面ABD,

.*.VACFD=VC-AFD=|saFAD-CEX乎x幅里

3Ozb

Inx-i-rt

21.(本小题满分12分)已知函数/(x)=-----------(acR),g(x)=e2-2.

x

(1)求“X)的单调区间；

(2)若/(若Vg(x)在(0,+8)上成立,求)的取值范围.

【答案】(1)"X)单调递增区间为®e~),单调递减区间为[e~,+00)；(2)(-叫1].

【解析】⑴/⑺=一一

当0<x<e—时，/'(x)>0,〃x)单调递增;

当x滤〜时，/'(x)<0,"X)单调递减,

故/(X)单调递增区间为(0,e〜),单调递减区间为[e〜,+oo).

(2)法一：由/(x)Vg(x)得蛆士—2,即a〈x(e2x—2)—lnx,

X

令〃(x)=x(e2x-2)-lnx,h'(x)=(2x+l)e2x-=(2x+1)|e2x-」，

X<XJ

F(x)=e2x--(x>0),F'(x)=2e2j+4>0,/⑴在(0,+⑹单调递增,

XX

又=右—4<0,F^=e-2>0,

所以E(x)有唯一的零点x°e(；,g),

且当xe(0,x0)时，X3—4X,即当X)<0,g)单调递减,

当xe(Xo，+oo)时，F(x)>0,gp/z'(x)>0,/z(x)单调递增，

2x

所以人(x)min=h(x0)=x0(e°-2)-lnx0,

又因为/(为)=0所以右(%)=/《-2