2022年上海市嘉定区高考数学二模试卷【答案版】

2022年上海市嘉定区高考数学二模试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分）考生应在答题

纸的相应位置直接填写结果.

1.已知集合力=（1,3）,B=（2,+8）,则NC8=.

x—1

2.不等式一；V0的解为

x+2----------

3.若等差数列｛斯｝满足硝+。5=16,则“4=.

4.已知函数y（x）=l+log2Jc,它的反函数为G）,则/I（3）=.

5.在（2x+l）6展开式中，的系数为（结果用数值表示）.

y>0

6.若实数无、y满足x-y>0,则z=2x+y的最大值为.

.2x-y<2

7.《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该

“堑堵”的体积为.

［，］*Hn

主视图左视图

俯视图

8.若数列｛斯｝是首项为:公比为a-粉的无穷等比数列,且数列｛斯｝各项的和为a,则实数a的值为

9.从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为6的

概率为（结果用最简分数表示）.

第1页（共18页）

10.已知函数歹=/（x）是定义域为R的奇函数，且当％<0时，/（%）=%+§+1.若函数y=/（x）在[3,

+°°）上的最小值为3,则实数。的值为.

11.已知椭圆后二；需（。为参数，a>0,b>0）的焦点分别为（-2,0）、F2（2,0）,点/为椭

圆「的上顶点，直线/尸2与椭圆「的另一个交点为2.若出尸1|=3|2尸2],则椭圆「的普通方程为.

12.已知函数/（x）=sin（3x+（p）,其中o）>0,0<（p<n,/（%）W/©）恒成立，且y=/G）在区间（0,

普）上恰有3个零点，则3的取值范围是.

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的

相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.已知复数2=（2sina-1）+i（7•为虚数单位），则“z为纯虚数”是“a=3’的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

_41

14.若。>0、b>0,且一+一=1,则的最小值为（）

ab

11

A.16B.4C.——D.-

164

—»T—>—»—»

15.在△A8C中，AB=AC=3,BD=2DC.若4D-BC=4,贝必B•4C=(

A.3B.-3C.2D.-2

16.在正方体力中，£、尸分别是线段瓦力上的动点，且直线防与441所成的角为

arctanV?.,则下列直线中与£方所成的角必为arcta九告的是（)

A.CDB.BDC.BC\D.DCi

第2页（共18页）

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

17.（14分）如图，圆锥的底面半径04=2,高尸。=6,点C是底面直径48所对弧的中点，点。是母线

PA的中点.求：

（1）该圆锥的表面积；

（2）直线CD与平面以8所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.

第3页（共18页）

18.(14分)设常数a&R,函数/(x)=2*+i+吴

(1)若函数y=/G)是偶函数，求实数。的值；

(2)若对任意xe[l,+8),/(x)>3,求实数a的取值范围.

第4页(共18页)

19.（14分）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱N8与地面垂直，灯杆8C与灯柱所在

的平面与道路走向垂直，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面/5C的部分截面如图中阴影部分所示.已

知ZACD=路宽/。=24米.设（-<0<

3364

（1）当。4时，求△/8C的面积；

（2）求灯杆8C与灯柱长度之和工（米）关于。的函数解析式，并求当。为何值时，乙取得最小值.

第5页（共18页）

20.(16分)已知双曲线C：4-4=1(〃>°，b>0)的一条渐近线的方程为:1|=0,它的右顶点

於b1V13I

与抛物线r：y2=4百%的焦点重合，经过点/(-9,0)且不垂直于无轴的直线与双曲线C交于M、N两

点.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)若点M是线段NN的中点，求点N的坐标；

(3)设P、0是直线x=-9上关于x轴对称的两点，求证：直线尸M与。N的交点必在直线x=-/上.

第6页(共18页)

21.(18分)若项数为左(去N*且无力3)的有穷数列｛%满足:|ai-。2冈02-的|这…1-阖,则称数

列｛斯｝具有“性质M”.

(1)判断下列数列是否具有“性质M”，并说明理由；

①1,2,4,3；②2,4,8,16.

(2)设册=%-a”,+i|(俄=1,2,•■■,k-1),若数列｛*具有''性质”)且各项互不相同.求证：“数

列｛斯｝为等差数列”的充要条件是“数列出鬲为常数列”；

(3)已知数列｛“〃｝具有‘'性质若存在数列｛斯｝,使得数列｛即｝是连续左个正整数1,2,后的一

个排列,且-。2什|。2-fl3|+--+|^-1-ak\=k+2,求k的所有可能的值.

第7页C共18页)

2022年上海市嘉定区高考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分)考生应在答题

纸的相应位置直接填写结果.

1.已知集合/=(1,3),B=(2,+8),则/C8=(2,3).

解：:集合/=(1,3),B=(2,+8),

(2,3).

故答案为：(2,3).

x~l

2.不等式--<0的解为(-2,1).

%+2

x~l

解：不等式----<0等价于(x-1)(x+2)<0,

x+2

所以-2<x<l,

所以不等式的解集为(-2,1).

故答案为：(-2,1).

3.若等差数列｛“"｝满足的+。5=16,则。4=8.

解：：｛斯｝是等差数列，

・・。3+。5=2〃4=16,

・・Q4=8.

故答案为：8.

4.已知函数y(x)=l+log2x,它的反函数为y=ri(x),则/I(3)=4.

解：由题意令l+log2X=3,解得元=4,

根据反函数的定义可得，1(3)=4,

故答案为：4.

5.在(2x+l)6展开式中，7的系数为60(结果用数值表示).

解：展开式中含，的项为。筑2尤)2=607,

所以7的系数为60,

故答案为：60.

y>0

6.若实数x、y满足k—y20，则z=2x+v的最大值为6.

.2%—y<2

解：由约束条件作出可行域如图,

第8页(共18页)

y

联立解得N(2,2),

(zx—y=2

由z=2x+y,得＞=-2x+z,

由图可知，当直线y=-2x+z过/时，直线在歹轴上的截距最大，2有最小值为2X2+2=6.

故答案为：6.

7.《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该

“堑堵”的体积为2.

；2

।

1***1**

主视图左视图

俯视图

解：根据题意知，直三棱柱的底面三角形是底面边长为2,高为1的直角三角形，底面面积为S=3x2

Xl=l,

且直三棱柱的高为2,所以该“堑堵”的体积为k=577=1X2=2.

故答案为：2.

8.若数列｛斯｝是首项为点公比为a-粉的无穷等比数歹U，且数列缶〃｝各项的和为0,则实数。的值为1.

1

解：由题意得——=—-~r=a,

l—q1—a+-

解得a=l或Q=

当Q=*时，a—*=0显然不符合题意，

故Q=1.

故答案为：1.

9.从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为6的

第9页(共18页)

概率为三(结果用最简分数表示).

解：根据题意，从10个数中任取5个数，则基本事件总数为Cfo=252,

而这5个数的中位数是6的基本事件数为鬣武=45,

455

故这5个不同的数的中位数为6的概率为"=—.

25228

故答案为：皋.

28

10.已知函数歹=/(x)是定义域为R的奇函数，且当x〈0时，/(%)=%+^+1.若函数y=/(x)在［3,

+8)上的最小值为3,则实数〃的值为3.

解：因为歹=/(%)是定义域为R的奇函数，且当xVO时，/(%)=x+^+l.

当x>Q时，-x<0,

则/(-x)=-+1=-f(x),

所以/(尤)=x+7—1,

因为函数>=/(x)在［3,+8)上的最小值为3,

当aWO时，/(x)在［3,+8)上单调递增，当x=3时，函数取得最小值/(3)=2+1=3,

解得。=3(舍)，

当0<aW9时，函数在［3,+8)上单调递增，当x=3时，函数取得最小值/(3)=2+1=3,

解得。=3,

当。>9时，根据对勾函数的性质可知，当x=VH时，函数取得最小值2份+1=3,

解得a=l(舍)，

综上，a=3.

故答案为：3.

11.已知椭圆心•仁：七鬻(。为参数，a>0,b>0)的焦点分别尸i(-2,0)、尸2(2,0),点/为椭

—DSITlU

圆「的上顶点，直线/尸2与椭圆「的另一个交点为从若内人|=3田尸2|，则椭圆「的普通方程为麦+

y2.

­=1.

-8

解：根据题意，椭圆(。为参数，”>0,6>0),其普通方程为马+［=1,

(y=osintfazbz

若其焦点分别B(-2,0)、尸2(2,0),则c=2,则有/=y+4,①

点A为椭圆r的上顶点，则A的坐标为(0,b),

第10页(共18页)

又由防|=30五2|,而防|+师2|=20,贝I］防|=羊，田尸2|=今

b

又由恒尸2|=0，且/、B、尸2三点共线，则8的坐标为(3,

2

又由幽|=当,则有(3+2)2+"=*2,②

联立①②，解可得：a2=n,廿=8；

、X2V2

故椭圆的方程为二；+—=1;

128

12.已知函数/(x)=sin(3x+(p),其中3>0,0<(p<n,/(%)</(与)恒成立，且歹=/(x)在区间(0,

詈)上恰有3个零点，则3的取值范围是(6,10)

解：二•函数/(x)=sin(3x+(p),其中o)>0,0<(p<ii,/(%)</©)恒成立,

TC37TIT

/./(")=1,+0=2版+],蛇Z,

._।兀37r,„

••(p2111+2-~~.

结合<p的范围，可得左=0或左=1.

①当左=0时，(p=3一竿,

L41

由3>0,且(pE(0,K),可得coE(0,2).

'：y=f(x)在区间(0,等)上恰有3个零点，3x+<pC(隼，—+(p),

3n〈蔡冗+叩W4TG即3n券—竿<4n,

ooZ4

“57Tam77r

即—V—<—，即20Vo)W28.

282

综合可得，0)60.

第11页(共18页)

/S\il4[n-4-c,兀3兀57T0）71

②当左7=1时，（p=2h+2—4=-^------

由3>0,且<p€（0,ii）,可得coE（6,10）.

•：y=f（x）在区间（0,学）上恰有3个零点，o）x+q）GC（p,-a）Ti+（p）,

•—^--3.art-^35TT（I）TC.

••3TCV"GCO1T+（PW：4IT,B|J3IT<TGCOTTHQ—W4TT,

ooZ4

即4<3W12.

综合可得，此时，«e（6,10）.

综上，结合①②可得，coe（6,10）,

故答案为：（6,10）.

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的

相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.已知复数2=（2sina-1）+7,4为虚数单位），则“z为纯虚数”是“a="的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

解：当。=1时，z=（2sina-1）+i=（2x；—l）+i=z•为纯虚数，

反之，若z为纯虚数，则2sina-l,解得a=[+2而或a=些+2而，住Z.

6o

・・・“z为纯虚数”是“a=[”的必要非充分条件，

O

故选：B.

41

14.若a>0、b>0,且一+-=1,则ab的最小值为（）

ab

11

A.16B.4C.—D.-

164

解：〈a>。，b>0,

•••1.+人4瑞,当且仅当[J即6=2,a=8时取等号，

...解得。6216,当且仅当“=8,6=2时等号成立，

：.ab的最小值为16.

故选：A.

—>T—>—>—>一

15.在△/3C中，AB=AC=3,BD=2DC.若4D-BC=4,则4B•AC=（）

A.3B.-3C.2D.-2

解：△ABC中，AB=AC=3,BD=2DC,

第12页（共18页）

T2T

所以BD=，C,

所以AD=AB+BD=AB+jBC=XB+|(AC-AB)=^AB+冢C,

T—»

因为4。-BC=4,

1T2TTTn—>[T—[Tn>T[

所以(-AB+-ac)・(ac—a8)=^AC2-^AB-AC-^AB2=x32-^AB'AC-x32=4,

333333DD

—>T

解得AB•AC=-3.

故选：B.

16.在正方体48CO-NL8ICLDI中，E、尸分别是线段/8、上的动点，且直线跖与441所成的角为

arctany/2,则下列直线中与E尸所成的角必为arctcm学的是（）

A.CDB.BDC.BCiD.DCi

解：连接小。交/Di于N,过/作交3。1于〃，过N作2W_LN，于

:E、厂分别是线段/2、2D1上的动点，.•.斯在平面ABD1内，

易证小。1_平面ABO1，：.A\D±AH,又4OC4M=Ni，所以平面/iMW,

：.AH±AiM,

则N44H■为直线即与44i所成的角，又直线EF与AAi所成的角为arctma,

.".tanZAiAH==V2,设正方体的棱长为1,贝。可得4/1/=学，A\M=

在RtA/AfiV中，tan/MAN=^=+=*,

T

又ADi//BC\,故直线BCi与EF所成的角必为arctcm号，

故选：C.

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

17.（14分）如图，圆锥的底面半径。4=2,高产0=6,点C是底面直径所对弧的中点，点。是母线

第13页（共18页）

PA的中点.求:

（1）该圆锥的表面积;

（2）直线。）与平面为8所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.

解：（1）•.•圆锥的底面半径04=2,高尸。=6,

圆锥的母线长PA=7P。2+。序=〃+36=2710,

,该圆锥的表面积为:

1__

S=71r2-j--xPAx2TIxOA=(4+4V10)n.

（2）由题意OC,OB,。尸两两垂直,

以。为坐标原点，以OC,OB,0P所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

P(0,0,6),D(0-1,3),

CD=(-2,-1,3),平面以3的法向量为£=(1,0,0),

设直线CD与平面PAB所成角为

TT,——

则sme=3=*=孚

\CD\-\n\/

V14

直线CD与平面PAB所成角的大小为arcsin—.

18.(14分)设常数a€R,函数f(x)=2*+i+方.

（1）若函数》=/（无）是偶函数，求实数。的值;

第14页（共18页）

(2)若对任意x€[l,+8),/(x)>3,求实数a的取值范围.

解：⑴因为函数〃久)=2支+1+去为偶函数，

所以/(-x)=f(X),

即21+x+^,

整理得a(4X-1)=2(4X-1),

所以a=2：

(2)对任意x€[l,+8),fQ)=2丫+1+爱〉3,

整理得a>-2・22斗3・2匕

因为所以2*22,

根据二次函数的性质可知，当》=2时，-2”2x+3・2x取得最大值-2,

所以a>-2,

所以。的取值范围为(-2,+8).

19.(14分)某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱N5与地面垂直，灯杆2C与灯柱43所在

的平面与道路走向垂直，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面N8C的部分截面如图中阴影部分所

示.已知乙12C=",ZACD=路宽40=24米.设(-<0<-).

3364

(1)当e屋时，求△/BC的面积；

(2)求灯杆2C与灯柱长度之和工(米)关于e的函数解析式，并求当e为何值时，工取得最小

值.

解：⑴当时，ZACB=ZBAC==

o3366

TTTT

：.ZCAD=J-LBAC=J,

TT

XVZACD=J,4)=24,

AACD为边长为24的等边三角形，

第15页(共18页)

ABACRnAB24

△Z5C中,―—77?即=~n=-；―27r>

sinZ-ACBsinZ-Bsin—sin—

63

解得AB=8班,

•SC的面积为S^XACXABXs呜另x24x4=48百平方米.

(2)在△40中，ZACD=AD=24,ZADC=2n-=

,TO”口ADAC24s讥6―8)L

由正弦定理得，—^=-一兀.、，解得4。=——殍'=16^cose,

sin-sm(--0)sin^

在△/8C中，ZABC=ZBAC=^-6,ZBCA=Q,NC=168cos。，

ABBCAC

由正弦定理得,

Sind~sin(-0)-s讥竽

..AB=32sin9cos0,BC—16y/3cos23-16cos0sin0,

L=BC+AB=16V3cos29—16cos0sin9+32sin0cos0=16V3cos29+16cos0sin0=8V3(l+cos20)+8sin20

1,—TT,—TCTC

=16sin29+—cos26)+8V3=16sin(20+勿+8V3(-<0<-),

22364

TC7TTT27r57r

643L36」

.♦.当20+卷=孚，即。=£时，/取得最小值16sin曰+8旧=8+8W.

3646

20.(16分)已知双曲线C：鸟—鸟=1(40,6>0)的一条渐近线的方程为:11=0,它的右顶点

azb1V13I

与抛物线r：y2=48万的焦点重合，经过点A(-9,0)且不垂直于X轴的直线与双曲线C交于M、

N两点.

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）若点M是线段NN的中点，求点N的坐标；

（3）设P、。是直线x=-9上关于x轴对称的两点，求证：直线尸河与。N的交点必在直线工=-

上.

'b__

解：（1）由题意得公=g，解得/=2，

L=V316=回

所以双曲线C的标准方程为二-±=1；

339

（2）设N（xo,则），因为M是线段/N的中点，所以也审，学）,

则得显一遗=1,业=L

3393X439X4

解得xo=4,/=±13,

所以所求点N的坐标为（4,13）或（4,-13）；

第16页（共18页）

（3）证明：由题意可设直线MN的方程为>=左G+9）,

X2yl

联立方程组至一而Ml,消去力并整理得

y=k（x+9）

（13-必）x2-18必x-3（27庐+13）=0（13-必W0）,

设AfCxi,yi),N(尤2,了2),

由一元二次方程根与系数的关系，得X1+*2=，%1X2=—乳也已箸，

13-/13-fc2

又设P（-9,力，Q（-9,-力GW0）,则得直线尸初的方程为y—t=^^（%+9）,

X-£I>

直线QN的方程为y+t=号（x+9）,两个方程相减得

久2十V

2t=(关:-衿$0+9)①，

Ao।>

国石g+tYi-tk(x+9)+tk(%+9)-tt(%1+%2+18)

因为---二一---二=----2-------------—

X2+9久I+9)X2+9%i+9%i、2+9g+%2)+81'

%1+%2+18

把它代入①得2•(x+9),

4％2+9(无1+%2)+81

2型2+9&+X2)2XL唔舞+9(霁)

所以％=

%1+%2+18鸟+18

13-々/

因此直线尸〃与QN的交点在直线x=-1±.

21.（18分）若项数为左（陡N*且栏3）的有穷数列｛即｝满足:⑶52匹也-。3反…W*i-砒则称数

列｛斯｝具有“性质M".

（1）判断下列数列是否具有“性质M”，并说明理由；

①1,2,4,3；②2,4,8,16.

（2）设狐=%-。加+1|（加=1,2,•••,左-1）,