2024年高考第一次模拟考试-数学（江苏卷2）（全解全析）

2024年高考数学第一次模拟考试

数学（江苏卷02）•全解全析

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、

准考证号填写在答题卡上.

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4.测试范围：高考全部内容

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合要求的。

1.已知集合/={x|y=lg（x-2）},集合8=*卜2-4工+34。},则入8=（）

A.[1,3]B.[1,+<»）C.（2,3]D.（2,+oo）

【答案】B

[解析]/={x|y=lg（x_2）}={/彳-2

S=lx|x2-4x+3<o|=|1<x<3j,

所以，/。8={小>2}u{x|l4x43}={耳x训，故选：B.

2.已知（l+i）z=2i,则复数二的共粗复数是（）

A.1+iB.-1+iC.1-iD.-1-i

【答案】C

【解析】由。+巾=方可得z=11T=l+i,

所以复数z的共软复数是1-i,故选：C

3.已知向量入3满足|昨2,|年1,二人若0+母，0-刀）,则实数4的值为（）

厂9

A.2B.2V3C.4D.-

【答案】c

【解析】valb,：.a-b=o

•(a+b)_1_(a-46),・•(a+b)•(Q—AZ))=a—A,b=0

V|tz|=2,|S|=1,4-/I=0,即4=4.故选：C.

4.记函数〃x）=sin］ox+：卜0＞0）的最小正周期为T.若］＜7＜兀，且〃尤”,贝!）0=（）

【答案】C

TTTT27r

【解析】根据最小正周期J＜T＜兀，可得［＜臼＜兀，解得2＜。＜4；

220）

又"X"/1］,即x=］是函数/0）的一条对称轴，

71717t3

所以10+：=3+析,左eZ,解得0=：+3左，左eZ.

又2＜。＜4,当左=1时，。=土故选：C

4

5.2022年北京冬奥会参加冰壶混双比赛的队伍共有10支，冬奥会冰壶比赛的赛程安排如下，先进

行循环赛，循环赛规则规定每支队伍都要和其余9支队伍轮流交手一次，循环赛结束后按照比赛规

则决出前4名进行半决赛，胜者决冠军，负者争铜牌，则整个冰壶混双比赛的场数是（）

套

BEIJING20吠

A.48B.49C.93D.94

【答案】B

【解析】由已知可得循环赛的比赛场数为或=10x¥9=45场，

故总场数为45+2+1+1=49场,故选：B.

6.函数y=2k-Lsin（万x）的图象大致为（）

【答案】A

【解析】•••函数j，=2g"sin(G),.•./(0)=2.sin0=0,排除CO,

电=2%呜>。,排除3,故选：A

7.已知圆锥的顶点和底面圆周均在球O的球面上.若该圆锥的底面半径为26，高为6,则球。的

表面积为()

A.32万B.48万C.647rD.80万

【答案】C

【解析】因为6>20，故球心在圆锥的内部且在高上，设球心到圆锥底面的距离为d,

则有(6-4)2-/=(2白>,解得〃=2,则圆半径尺=6-4=4,

表面积S=4%7?2=64万.故选：C

8.已知实数。，be(l,+s),且2g+6)=e2"+21n6+l,e为自然对数的底数，则()

A.\<b<aB.a<b<2aC.2a<b<eaD.ea<b<e2a

【答案】D

【解析】因为2(a+6)=e2"+21nb+l,所以e?。一2"-1=2(b-lnb-1)=2©"-Inb-1),

函数/(力=/-工-1=厂3=砂-1>0,/四在(0,。)上单调递增，且"0)=0,因为

6>lnlnb>0n/(lnb)>0

所以/(2a)=2/(ln6)>/(ln6),所以2a>ln6,即63,

又e?"-2a-1>2(e“-。-1),所以/(2a)=2/(lnb)>2/(a)，所以a<In6,即6<e",综上，e"<6<e?".

故选：D

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

9.已知甲种杂交水稻近五年的产量(单位：t/hnP)数据为：9.8,10.0,10.0,10.0,10.2,乙种杂

交水稻近五年的产量(单位：t/hn?)数据为：9.6,9.7,10.0,10.2,10.5,则()

A.甲种的样本极差小于乙种的样本极差

B.甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数

C.甲种的样本方差大于乙种的样本方差

D.甲种的样本60百分位数小于乙种的样本60百分位数

【答案】ABD

【解析】对A,10.2-9.8=0.4,10.5-9.6=0.9>0.4,故A对；

对B,=1(9.8+10.0+10.0+10.0+10.2)=10.0,弓=:(9.6+9.7+10.0+10.2+10.5)=10.0=而，故

B对；

对C,因为甲、乙平均值都为10,所以牖二［、一1。］；。。2-—)，

（9.6-10）2+（9.7-10）2+（10.2-10J+^0.5-10）

舐=

5

显然甲种的样本方差小于乙种的样本方差，故C错误;

对D,60%x5=3为整数，故甲的60百分位数也等2=10.0,

乙的60百分位数为竺号"=101>10.0,故D对.

故选：ABD

10.已知随机变量X服从二项分布6(4,0),其数学期望E(x)=2,随机变量y服从正态分布

N(p,4),且尸(X=3)+尸则()

11

A.p=—B.p=—

42

i3

C.P(Y>l-a)=-D.P(Y>l-a)=-

【答案】BD

【解析】因为E(X)="=2,所以p=g,即A错误，B正确；

易知/〜因为尸(X=3)=C：所以尸«<0)=：,

a

所以P(y>l-a)=“即C错误，D正确.

故选：BD.

11.已知函数/(x)=cosx+cos2x,则下列说法正确的有()

A.函数/(x)为偶函数B.函数/(x)的最小值为-2

C.函数/(x)的最大值为2D.函数/(x)在(0,2兀)上有两个极值点

【答案】AC

【解析】对于A选项，函数定义域为R,/(-%)=cos(-x)+cos(-2%)=cosx+cos2x=/(x),所以

函数/(x)为偶函数，故正确；

、(1丫9

对于B选项，f(x)=cosx4-cos2x=2cos2x+cosx-1=21cosx+I>

所以，当cosx=时，函数/(x)有最小值故错误；

对于C选项，由于/(X)=2(COSX+£|故当cosx=l时，函数/(X)有最大值2,故正确；

对于D选项，当x£(0,2K),/'(x)=-sinx-2sin2x=-sinx(l+4cosx),令/'(x)=0得了=兀或

1

cosx=——,

4

令cosx=-;在(0,2兀)上的两个实数根为外,马，则X]egn,

所以，当xe(O,xJ时，/'(无)<0,“X)单调递减；当xe(4无)时，〃(尤)>0,/(尤)单调递增；

当当尤eg尤2)时，r(x)<0,〃尤)单调递减；当有6,2劝时，〃(尤)〉0,〃x)单调递增；

所以，/(X)在X=7t处取得极大值，在尤=再和X=X?处取得极小值，

所以，函数“X)在(0,2劝上有三个极值点，故错误.

故选：AC

12.已知四棱柱48co-44CQ的底面N88为正方形，M=AB,N4/3=幺40=60。，则()

A,点4在平面48CD内的射影在/C上

B.NG，平面4瓦)

C.ZG与平面的交点是△//£)的重心

D.二面角片--。的大小为45。

【答案】ACD

【解析】设方;=Z,AB=b，AD=c，正方形的边长为1,

一一1一一1

贝!=lxlxcos60。=5,a-c=lxlxcos60°=—,b-c=09

对选项A：AA{=AB,4/5=4/0=60。，根据对称性知，点4在平面力58内

的射影在/氏4。的角平分线上，即在/C上，正确；

对选项B：ACX=a+b+cfAXB=-a+b9

4c1•A#=(a+6+c)(-a+6)=-Q+6-a,c-b.c=-5w0,

对选项c：设/c,助相交于o,4G与4。交于。点，

。即为AQ与平面A、BD的交点，

AQAQ

则/°为△4AD中80边上的中线，故。为△4助的重心，正确;

CzCzAky

对选项D：连接与A与4G相交于H,连接“。，根据对称性知HOLAD,

又AC，BD,"Ou平面43。，/Cu平面C&),

故ZHOC为二面角B.-BD-C的平面角,

—►-1-1-

HC=-a+—b+—c,

22

>>*1（-*1-1-*21-21-*2->■—一—I->—1>>

故HC=-a+—b+—c=a+—b+—c-a'b-a-c+—c-b=—故HC=,

（22）444292

6

HO=AAX=\9OC=—,故/〃OC=45。，正确

2

故选：ACD.

第II卷(非选择题)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若tan，=3sin2，，'为锐角，则cos2，=.

2

【答案】

【解析】tan9=3sin2，n电”.=6sin0cos0,

cos。

•・•，是锐角,Asin^O,

21

:.cos6=—,

6

cos20=2cos20-l=2x—-1=--.

63

14.定义在R上的奇函数〃x）满足〃1-3x）=/（3x）,请写出一个符合条件的函数解析式

心)=

【答案】sin口（/sin口等其他符合条件的函数也可）

【解析】依题意〃x）是定义在R上的奇函数,

由于/（l-3x）=/（3x）,所以=

所以〃x）的图象关于直线x=g对称，

所以〃x+2)=/[+x+m]“q_(xd=4-X-)

=_/(x+l)=_/1+x+,=_/]WG…)，

所以/（X）是周期为2的周期函数.

/（%）=/sin◎是定义在R上的奇函数，且最小正周期为三=2,

71

/gj=/sin5=/,所以/（x）关于尤=g对称，符合题意.

15.在平面直角坐标系Mv中，已知点尸（1,2）,直线/：y=foc+/n与圆。：/+/=5交于4,5两

点，若AP4B为正三角形,则实数加的值是.

【答案】=

【解析】由题意可知尸（L2）在圆上，

如图,

y

设48中点为H,连接尸区则PH过点。，且PH，/B,

设直线/的斜率为4,贝产==-J,

K（）p/

故》=京+加即为y='%+加,

因为为正三角形，则。点为△尸的中心,

I-\m\_V5

则OH=叽曲,故了〒=3,解得加=±；,

22卜14

结合P（l,2）在圆上，AP43是圆的内接正三角形，可知机＜0,

22

16.设过双曲线C东等=1（。＞0）＞0）左焦点下的直线/与。交于M,N两点,若丽=3闻7,且

OM-FN=0（。为坐标原点），则C的离心率为

【答案】V7

【解析】如图,

由丽=3而可知|网|=3乙=|尸N]=t,

由双曲线的定义可知|Mj=f+2。，I叫|=3"2a,

由丽•丽=0可知(W工FN,

又。为五6中点，”为FP中点，可知0Mli尸乙，则尸

从而相为线段儿W的垂直平分线，附巴卜|人5|,即f+2a=3/2a,

所以f=2a,贝！|AMV2为正三角形，|尸闾=2氐，

在直角乙中，附『+|尸"『引尸闾2,即(4团2+(2百°)2=(2C)2,所以e=V7.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

17.(本小题满分10分)在①ccosA=43asinC;®(a-Z))(sinA+sinB}-(c-V3Z,)sinC；③

36cos/+acos8=Gb+c这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.

问题：在AASC中，角N,B,C的对边分别为a,b,c,且满足.

⑴求角A的大小；

(2)若。为线段C8延长线上的一点，且CB=2BD,AD=6,AC=25求2BC的面积.

【解析】(D若选择①，■:ccosA=y/3asinC・•••sinCcosA=VJsin/sinC，

丁sinCw0,:.cosA=VJsinA,

即tanA-，

3

TT

,•*AG(0,7i)/.A=—；

6

若选择②，{a-Z?)(sinA+sinB)=(c-V3Z?)sinC,

(Q-b)(a+b)=c(c-6b)，

：•a2—b2=c2—y/3bc9

：•a2=b2+c2-6bef

TT

■:AG(0,7t)/.A——；

6

若选择③，,•,36cos4+acosB=>/^b+c,

：・3sinBcos/+sin/cosB二百sinB+sinC,

3sinBcos24+sin^4cos5=V3sin5+sin(^4+B)，

3sinBcosA+smAcos8=6sin8+sinNcosB+cos^4sinB,

二2sin8cos/=GsinB,又；8©(0,兀).sinBW0,

cosA=，•；Ne(0,兀)，A=—•

26

(2)设BD=x,AB=y,ZABD=0,

在AABC中，用余弦定理可得AC?

BP12=4x2+y2-2x2xyCOS(K-6))①，

又•:在^ABC中，BC2=AC2+AB2-2ACAB-cosNCAB,

BP4x2=12+/-2x2V3yCOSZCAB.BP4x2=/-6>>+12,即x\一-6.+12②,

在AABD中，用余弦定理可得AD2=BD2+BA?-2BD-BA-cosNABD,

BP3=x2+y2-2xycos0③，③x2+①可得6/+3/=18,

将②式代入上式可得V=2,x=1,邑”,=：•NC・sin/=百.

18.(本小题满分12分)已知数列｛%｝,当〃e[2i,2k)时，a„=2\左eN*.记数列｛%｝的前〃项和

为国.

⑴求。2，a209

⑵求使得S“<2022成立的正整数n的最大值.

k

【解析】⑴因当与时，an=2,左eN*,而Zepr?),则%=2?=4,又20425T2),

贝!1=2,=32,

所以4=4,%0=32.

k

(2)因当〃£[2匕2,时，an=29左eN*,

2

当〃w[2°,2i）时，％=21当〃£[2）22）时，a2=a3=29当〃£[2?,2?）时，%=%=…=%=2,,

当〃£[2、24）时，6=。9=…二须=2、当及w[2—25）时，ai6=%=…=%=2、，

当〃wpl）时，a32=/3=…=4=2‘，

123453579

fM531=2+2x2+4x2+8x2+16x2=2+2+2+2+2=682,

1234563579n

XS63=2+2x2+4x2+8x2+16x2+32x2=2+2+2+2+2+2>2022,

则有S〃<2022时，31<n<63,由S〃二邑1+（〃-31>26=682+（〃-31〉26<2022得：

33515

«<31+—=51—,而〃eN*,于是得〃”m=51,

1616

所以使得S.<2022成立的正整数〃的最大值是51.

19.（本小题满分12分）如图，在三棱锥N-3CD中，AABC是正三角形，平面48cl平面BCZ）,

BD1CD,点E,尸分别是8C,DC的中点.

(1)证明：平面/CD_L平面/跖；

(2)若N8CD=60。，点G是线段&D上的动点，问：点G运动到何处时，平面他G与平面/CD所成

的锐二面角最小.

【解析】⑴⑴因为A48C是正三角形，点E是5c中点，所以4EL5C,

又因为平面4BC_L平面BCD,平面4BCn平面4Eu平面4BC,

所以NE_L平面BCD,

又因为。。匚平面5(7。，所以。_L4E,

因为点E,尸分别是5C,C。的中点，所以EF//BD,

又因为AD_LCD,所以CD_LEF,又因为CD_L4E,AE^EF=E,

NEu平面4EF,EFu平面NE产，所以CDJ_平面

又因为CDu平面4CD,所以平面Na)_L平面NEF.

(2)在平面5。中，过点E作垂足为

设5c=4,贝！I"=2百，DF=FC=l,EF=^3-

以｛丽，而，或｝为正交基底，建立如图空间直角坐标系E-xyz,

则£(0,0,0),/(0,0,2V3),C(-1,V3,0),。(1,6,0),

设G(l,g0),则砺=(0,0,2V3),AD=(1,若,-2百),c5=(2,0,0),EG=(l,y,0),

设平面NEG的法向量为%=（再，%,zj,

n-EA=Q得］2后=0

由，l,令乂=-1,故£

4•EG=0'U+W=0=(j,-l,0)»

设平面ACD的法向量为n2=（x2,y2,z2），

嘘皿。味+氏一2底源令一，则…，2」），

设平面AEG与平面ACD所成的锐二面角为。，

-t—22

当y=0,cos（9最大，此时锐二面角。最小，

故当点G为BD的中点时，平面AEG与平面ACD所成的锐二面角最小.

20.（本小题满分12分）我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况.某地区水文研究人员为

了了解汛期人工测雨量x（单位：dm）与遥测雨量y（单位：dm）的关系，统计得到该地区10组

雨量数据如下：

样本号i12345678910

人工测雨量xi5.387.996.376.717.535.534.184.046.024.23

遥测雨量”5.438.076.576.147.955.564.274.156.044.49

Ixi~yi\0.050.080.20.570.420.030.090.110.020.26

101010

并计算得Xx：=353.6,=361.7,X善乂=357.3,x2«33.62,y2»34.42,Ty23402.

i=li=li=l

(1)求该地区汛期遥测雨量y与人工测雨量x的样本相关系数(精确到0.01),并判断它们是否具有

线性相关关系；

(2)规定：数组(xi,yi)满足|x厂叫＜0.1为“I类误差”；满足0.1W|x厂叫＜0.3为“II类误差”；满足

|x厂”伫0.3为“III类误差”.为进一步研究，该地区水文研究人员从“I类误差”、“H类误差”中随机抽

取3组数据与“III类误差”数据进行对比，记抽到“I类误差”的数据的组数为X,求X的概率分布与

数学期望.

£（%-初乂-7）

附：相关系数「=:J304.5a17.4.

、之「歹）2

VZ=1i=l

1010

Z（士-♦乂-歹）»那一1Oxy

【解析】（1）因为,==口。T］。

之3一元）它（％一7）2（*-10/）x（»；-10y2）

VZ=1i=lVi=l1=1

代入已知数据,

357.3-10x34.0217.1

得,n/-----~—«0.98

^（353.6-10x33.62）x（361.7-10x34.42）V304.5

所以汛期遥测雨量U与人工测雨量x有很强的线性相关关系.

(2)依题意，“I类误差”有5组，“II类误差”有3组，“HI类误差”有2组.

若从“I类误差”和“n类误差”数据中抽取3组，抽到“I类误差”的组数

X的所有可能取值为0,1，2,3.

则尸(x=o)!*，

产吠=1)=年=竺，

尸(X=2)=屋6=型="，

'JC；5628，

（—_C；-56-28・

所以X的概率分布为

+2吟+3检戈.

另解：因为X〜以3,5,8),所以£(丫)=尊=泉

OO

22

21.(本小题满分12分)已知曲线C由C]:「+勺=l(a>6>0,x0)和C2:/+/=6?(x<0)两部分

ab

组成，G所在椭圆的离心率为。上、下顶点分别为45右焦点为RCR轴相交于点

四边形B\FB』)的面积为百+1.

⑴求见6的值;

(2)若直线/与G相交于48两点，|//=2,点尸在上，求AP/5面积的最大值.

c出

a2f«=2

【解析】(1)由题意知^（b+c）-2b=j3+l\b=l'

a2=b2+c2

(2)①当A8斜率存在时，设直线的方程为'=h+"7,

y=kx+m/

（1+4A：2）x2++4m29-4=0,

22Skmx

x+4y=41）

A=64//-40+4阴（4/-4）=16（4Ar2-m2+l）>0,

-8km八

---r>0

1+3^>\m\>\

且9

±^>o

〔1+4公

4d4k2—冽2+1224722