北京市石景山区2024届高三年级下册3月一模数学 含解析

石景山区2024年高三统一练习

数学试卷

本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上

作答无效.考试结束后，将答题卡交回.

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

A=｛%I_2x_3<o|B=fxlx>11AD

1.已知集合L>,则AB=()

A.(-1,3)B.(-3,1)C.(-1,1)D.(1,3)

2.下列函数中，在区间(-1,1)上为减函数的是()

A/(x)=siiuB./(x)=co&xC.%)=ln(九+1)D./(1)=2一”

3.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球.若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取

到红球”为事件A,“第二次取到红球”为事件3,则P(3|A)=()

4.设是三个不同平面，且。y=l,By=m,则“/〃力”是“a//月”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.等差数列｛?｝的首项为1,公差不为0.若生，2，。6成等比数列，则｛%｝的前5项和为()

A.-15B.-3C.5D.25

6.直线，=区+1与圆龙2+3+1)2=16相交于A3两点，则线段AB的长度可能为()

A.5B.7C.9D.14

7.已知函数/(%)=25垣(。》+0“。〉0,闷<3的部分图象如图所示，贝！］/(一兀)的值是()

AB.1C.-1D.—A/3

兀

8.设a=2°3,Z?=sin—,c=ln2,贝U()

12

A.c<b<aB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c

9.中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音

的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有()

A.18种B.24种C.36种D.72种

10.对于曲线C：X-2+y-2=i,给出下列三个命题：

①关于坐标原点对称；

②曲线。上任意一点到坐标原点的距离不小于2；

③曲线C与曲线W+|y|=3有四个交点.

其中正确命题个数是()

A.0B.1C.2D.3

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.复数z在复平面内对应的点为(-1,2),则2=.

Z

12.斜率为1的直线,经过抛物线丁=4%的焦点口，且与该抛物线相交于A,8两点，则|4耳=.

13.已知向量a*满足忖=2,。与/，的夹角为巳，则当实数丸变化时，卜的最小值为.

-3

、x+3ax.x<1

14.设函数={,

3x+a,%>1

①若/(%)有两个零点，则实数。的一个取值可以是:

②若了(%)是R上的增函数，则实数。的取值范围是.

15.黎曼函数在高等数学中有着广泛应用，其一种定义：xe[0,l]时，

、

1p

、一，X=一P，qeN*,3为既约真分数n-1

=<71q若数列%=R给出下列四个结

7­n

0,尤=0,1和(0,1)内的无理数

论:

]nii几+i

①%二一；②/+2<%+i；③

nz=i2Z=1L

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.在锐角中，角A,5c的对边分别为。，"c,且2bsinA—岛=0.

(1)求角8的大小;

(2)求cosA+cosC的取值范围.

17.如图，在四棱锥P—A6CD中，上4,平面A3CD,PA=AD=CD=2,BC=3,PC=2超.

(1)求证：CD，平面上4。；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求平面尸5c与平面所成锐二面角的大

小.

条件①：AB=5,

条件②：BC//平面B4Z).

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个

解答计分.

18.为研究北京西部地区油松次生林和油松人工林的森林群落植物多样性问题，某高中研究性学习小组暑

假以妙峰山油松次生林和老山油松人工林为研究对象进行调查，得到两地区林下灌木层，乔木层，草本层

的抽样调查数据.其中两地区林下灌木层获得数据如表1,表2所示:

表1：老山油松人工林林下灌木层

植物名称植物类型株数

酸枣灌木28

荆条灌木41

孩儿拳头灌木22

河朔莞花灌木4

臭椿乔木幼苗1

黑枣乔木幼苗1

构树乔木幼苗2

元宝械乔木幼苗1

表2：妙峰山油松次生林林下灌木层

植物名称植物类型株数

黄柏乔木幼苗6

朴树乔木幼苗7

栾树乔木幼苗4

鹅耳虫乔木幼苗7

莲叶蛇葡萄木质藤本8

毛樱桃灌木9

三裂绣线菊灌木11

胡枝子灌木10

大花漫疏灌木10

丁香灌木8

（1）从抽取的老山油松人工林林下灌木层的植物样本中任选2株，求2株植物的类型都是乔木幼苗的概

率；

（2）以表格中植物类型的频率估计概率，从妙峰山油松次生林林下灌木层的所有植物中随机抽取3株

（假设每次抽取的结果互不影响），记这3株植物的植物类型是灌木的株数为X,求X的分布列和数学

期望；

(3)从老山油松人工林的林下灌木层所有符合表1中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不

同植物名称的概率估计值为［;从妙峰山油松次生林的林下灌木层所有符合表2中植物名称的植物中任

选2株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为6.请直接写出A与8大小关系.(结论不要

求证明)

19.已知函数/(%)=屁"'(。>0).

⑴求曲线y="力在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)求“力在区间［-1』上最大值与最小值；

(3)当a=l时，求证：/(x)>lnr+A-l-l.

20.已知椭圆。：与+「=1(。〉6〉0)的离心率为且，短轴长为

ab2

(1)求椭圆。的方程；

(2)设。为坐标原点，过点p［-L-1］分别作直线/1」2,直线4与椭圆相切于第三象限内的点G,直

线4交椭圆。于M，N两点.若|PG「=|PMHPN|,判断直线，2与直线0G的位置关系，并说明理由.

21.己知集合S"={x|x=&,々,…,当),玉e{0,l},z=l,2,---,«J(«>2),对于4=(4，2,…,凡)，

5=伍也,…也)eS”，定义A与B之间的距离为d(A,8)=£旧—可.

Z=1

(1)己知4=(1,1,1,0”邑，写出所有的BeJ,使得d(A5)=l；

(2)己知/=…若A,3eS",并且呢1,4)=1(/,3)=。求〉(A§)的最大值;

(3)设集合PqS,,p中有加(巾之2)个元素，若尸中任意两个元素间的距离的最小值为/,求证：

石景山区2024年高三统一练习

皿「、、九

数学

本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上

作答无效.考试结束后，将答题卡交回.

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

i,已知集合L>,1则&B=()

A.(-1,3)B.(-3,1)C.(-1,1)D,(1,3)

【答案】D

【解析】

【分析】根据一元二次不等式解法可得A=(-1,3),再由交集运算可得结果.

【详解】解不等式尤2_2x—3<0可得—l<x<3,即4=(—1,3)；

又3={小>1}=(1,+8),

因此Ac5=(1,3).

故选：D

2.下列函数中，在区间(-1,1)上为减函数的是()

A./(x)=siiuB./(x)=cos%C./(x)=ln(x+l)D./(x)=Tx

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角函数，指数函数和对数函数的性质，即可判断选项.

【详解】A,根据正弦函数的性质可知，(-所以y=sinx在(―1,1)上为增函数，故A

错误；

(兀兀)

B,/(x)=cosx是偶函数，关于y轴对称，(一1』)三一5，万，所以y=cosx在(―i,o)上是增函数，

在(0,1)上是减函数，故B错误；

C,%)=ln(x+l)的定义域是(―l,+8),函数y=ln(x+l)是区间(—1,1)上是增函数，故C错误;

D,根据指数函数的性质可知，/(x)=2T在区间(—1,1)上是减函数，故D正确.

故选：D

3.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球.若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取

到红球”为事件A,“第二次取到红球”为事件B,则P(叫力=()

424

A.—B.-D.-

1555

【答案】C

【解析】

【分析】由条件概率公式求解即可.

43

P（B|A）=^=V=--

【详解】

\1）p⑷45

6

故选：C.

4.设是三个不同平面，且的y=1,P\y=m,则“/〃帆”是“a///的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】由充分条件和必要条件的定义结合线面、面面的位置关系对选项一一判断即可得出答案.

【详解】由7=1，6Y=m,Ulm,则名尸可能相交，

故"/〃加'推不出“a//少，

由tzy=l,/3\y=m,alI/3,由面面平行性质定理知/〃加，

故“a///能推出“/〃帆”，

故"/〃加'是"a///的必要不充分条件.

故选：B.

5.等差数列｛%｝的首项为1,公差不为0.若牡，6,4成等比数列，则｛。“｝的前5项和为()

A.-15B.-3C.5D.25

【答案】A

【解析】

【分析】首先代入等差数列的基本量，由等比数列的概念列式，最后代入求和公式，即可求解.

【详解】设等差数列｛4｝公差为d，则。2=l+d,%=l+2d，4=l+5d，

由题意可知，（l+2d）2=（l+d）（l+5d）,即］2=—2d，

解得：d=—2或d=。（舍），

5x4

则数列｛%｝的前5项和y=5弓+md=5—20=—15.

故选：A

6.直线,=丘+1与圆炉+（3；+1）2=16相交于4,3两点，则线段的长度可能为（）

A.5B.7C.9D.14

【答案】B

【解析】

【分析】根据直线所过定点，求弦长的最小值和最大值，再结合选项，即可求解.

【详解】直线,=区+1恒过点（0,1）,且点（0,1）在圆龙2+（y+l）2=16内，

当点（0,1）是弦A3的中点时，此时弦长最短，圆心（0,—1）和点（0,1）的距离为2,此时弦长

I阴=2,16-4=46,最长的弦长是直径为8,

所以弦长的取值范围是［46,8］,其中只有B成立.

故选：B

7.已知函数/（£）=25皿（。》+0）］。〉0,闷＜、）的部分图象如图所示，则/（一兀）的值是（）

A.73B.1C.-1D.-73

【答案】A

【解析】

【分析】由图可得丁=兀，求得。=2,再利用图象过点，1,2),可得到。=三，从而得到

/(x)=2sin2x+1,再利用诱导公式及特殊角的三角函数值求解即可.

711271

【详解】由图象可知:一—T,解得丁=兀，因为6y>0,所以。=——解得a)=2,

2T

将A2代入解析式化简得sin6+夕=1,因为同<］r1兀兀/口兀

,则2+0=彳，侍"=不

o25

故/(x)=2sin,所以/(一兀)=2sin［一2兀+1J=2sin］二百.

故选：A

7T

8.设”=2°3,b=sin—，c=ln2,贝！I()

12

A.c<b<aB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定的条件，利用指数、对数函数、正弦函数的性质，借助1,,进行比较判断选项.

2

JT7T|

【详解】a=2°3>2°=1，b=sin一<sin—=-,

1262

而正<2<e，则,<ln2<l,即』<c<l,所以Z?<c<a.

22

故选：B

9.中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的

五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有()

A.18种B.24种C.36种D.72种

【答案】C

【解析】

【分析】先排宫、徽、羽三个音节，然后商、角两个音阶插空即可求解.

A3

【详解】解：先将宫、徽、羽三个音节进行排序，且徽位于羽的左侧，有勺=3,

2

再将商、角插入4个空中的2个，有A：=12,

所以共有3x12=36种.

故选：C.

10.对于曲线C:x-2+y-2=1,给出下列三个命题：

①关于坐标原点对称；

②曲线。上任意一点到坐标原点的距离不小于2；

③曲线C与曲线闪+仪|=3有四个交点.

其中正确的命题个数是()

A.OB.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】分析两个曲线的对称性，并结合函数的图象和性质，利用数形结合，即可判断①③，利用基本不等

式，即可判断②.

【详解】①将曲线。：犷2+厂2=1中的X换成-X,将y换成-y,方程不变，所以曲线关于原点对称，并

且关于x轴和y轴对称，故①正确；

②设曲线。上任一点为P(x,y)

([[、22I~2T

x2+y2=(x2+y2)—+—=2+斗+322+2」斗！=4，

\y)xyV%-y

22

当与=A，即^=,2=2时，等号成立，

Xy

所以，f+y222,曲线C上任意一点到坐标原点的距离不小于2,故②正确；

③曲线W+N=3中的无换成-X,将〉换成一儿方程不变，所以曲线关于原点对称，并且关于X轴和y

轴对称，并且将了换成y,y换成x,方程不变，所以曲线也关于y=x对称，

曲线+?="八1且六1，将曲线C：*+±=l中的X换成九，换成X,方程不变，所

以曲线c也关于y=x对称,

---1---=1

当x>0,y>。时，联立<九?y2，得i=y=y/2,

当％>0,y>。时，y=当X>1时，函数单调递减,

因为0+0<3,所以点(后，血)在直线x+y=3的下方，如图，在第一象限有2个交点,

根据两个曲线的对称性可知，其他象限也是2个交点，则共有8个交点，故③错误;

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题的关键是③的判断，判断的关键是对称性的判断，以及将方程转化为函数，判

断函数的单调性，即可判断.

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.复数z在复平面内对应的点为(-1,2),则』=.

z

【答案】-l-2i##-2i-l

【解析】

【分析】由复数对应的点写出复数z,再应用复数除法的法则求解即可.

【详解】：z对应的点为(—1,2),z=—l+2i，

55_5(-1-2i)57)=一1_21.

z-l+2i-(-l+2i)(-l-2i)

故答案为：-l-2i.

12.斜率为1直线/经过抛物线y=4x的焦点产，且与该抛物线相交于A,3两点，贝1AB卜.

【答案】8

【解析】

【分析】求出直线/的方程，设A(xp%)、B(X2,%),直线方程代入抛物线方程应用韦达定理得

士+%2,然后由焦点弦长公式可得结论.

【详解】抛物线丁=4%的焦点坐标为歹(1,0),直线/方程为y=x-l,设4%,%)、8(和%),则由

抛物线焦点弦长公式得：|4同=石+七+2=石+%+2，

y2=4%

又A、B是抛物线与直线的交点，由〈得/_6%+1=0，则%+々=6,

y=x-l

••.|AB|=8.

故答案为：8.

【点睛】结论点睛：焦点弦的一些性质：抛物线V=2px的焦点为产，A5是其过焦点的弦，

..112/

4(和力),5(々，>2)，则(1)\AB\=xi+x2+p.(2)j^|+j^|.(3)王马=亍，%%="♦

13.已知向量a/满足忖=2,。与匕的夹角为则当实数2变化时，W—Xa|的最小值为.

【答案】1

【解析】

【分析】根据题意利用平面向量的几何特征，可知当仅时，Xa]取得最小值.

【详解】如图所示：

设QA=a,O3=6,

当仅—2a)_La时，1-而|取得最小值，

过点B作加),CM于点O,即可得k-叫的最小值为忸口,

又a与匕的夹角为四，即NA05=巴，易知|0S|=2,

66

所以忸。|=|。即in二=1.

6

即卜-的最小值为1.

故答案为：1

-3

一.、x+3ax,x<l

14.设函数={2，

[3x+a,x>l

①若/(%)有两个零点，则实数。的一个取值可以是；

②若/(%)是R上的增函数，则实数a的取值范围是.

【答案】①.-1(。<—!内的值都可以)②.OWaWl或

3

【解析】

【分析】①分析函数的性质，确定零点所在的区间，通过解方程的方法，即可求解；

②根据分段函数的形式，确定两段函数都是单调递增，并根据分界点处函数值的关系不等式，即可求解.

【详解】①函数〃％)=3%+。2在。,+8)上单调递增，/(l)=3+a2>0,

所以函数在区间(1,+8)上无零点，

则函数/(X)=%3+3依在(73,1］上有2个零点，

即％3+3改=0，尤(r+3。)=0,则九=0,或x=-J-3a或x=J-3a，a<0,

则J-3a〉1,解得：a<-］

所以a的一个值是T；

②函数“力=3%+。2在(1,+8)上单调递增，

则在(YO,1］上,=+3at也单调递增，>13+3«<3xl+«2,

若函数在/(%)=3+3公在区间(—,1］单调递增,

则/'(%)=3为2+3a20,即a之—d在区间(i』上恒成立，

即aN(—,即a20,

不等式13+3Q«3X1+〃2,解得：或

综上可知，0<〃<1或。22.

故答案为：-1(〃<—!内的值都可以)；0<。<1或〃22

3

15.黎曼函数在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：工£［0』时，

p,qeN*,e为既约真分数

7?(x)=<q'qlq).若数列a“=RN*,给出下列四个结论:

0,x=0,1和(o,i)内的无理数

]n1nn+1

①?=—；②4+2<4+1；③

n,=i22

其中所有正确结论的序号是.

【答案】②③④

【解析】

【分析】根据黎曼函数的定义和性质逐项分析.

【详解】对于①，neN,.-.n=l时，a,=7?（0）=0,故①错误;

1

11

对于②,a,,+…an+l>an+2'故②正确;

'~~^+l联一n+2

n111111

对于③,+aaX+X+----------

》,4+1a1a2+a2a3+a3a4+nn+lJ~-

i=ln〃+1

11111111

-+-+H---<1,故③正确;

2334nM+12n+12

n11

对于④，>4=a1+a?+%++61——I--F+-,(n>2),

nn

构造函数g(x)=e%—x—1,(x>0),贝=e“—1>。,g(x)单调递增,

11-1-1

.•.g(x)>g(O)=O,即当x>0时e'>x+l，J>—+l,e3>-+l,-,en>—+1,

23n

1+-+...+1345n+ln+111〃+1

e23">-x-x-xx------=-------—IF+->ln

234n223nF

n〃+l

当〃=1时，Z=0,=0,二.Z。,-In,故④正确.

z=li=l

故选：②③④.

【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型

来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，

实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义

的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.在锐角_ABC中，角A,3,C的对边分别为。，4c,且2bsinA—扃=0.

（1）求角8的大小；

（2）求cosA+cosC的取值范围.

D

BC

（1）求证：CD，平面QA。；

（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面P5C与平面上4。所成锐二面角的大

小.

条件①：AB=5

条件②：BC//平面

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得。分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个

解答计分.

【答案】（1）证明见解析

TT

（2）所选条件见解析，一

4

【解析】

7T7T

【分析】（1）连接AC,由题目条件可推得八位）。为等腰直角三角形，且NAC£>=—,ZADC=-,即

42

CD±AD,再B4LCD,由线面垂直的判定定理即可证明；

（2）选条件①或选条件②均可证明5CLCD,建立以A为原点的空间直角坐标系，求出平面P5C与平

面的法向量，由二面角求解即可.

【小问1详解】

如图，连接AC,因24,平面A3CD,4。,。<=平面人3。。，则24,AC,PA±CD.

又PC=26，PA=2-则AC=20.

TTTT

注意到AO=OC=2,则八4。。为等腰直角三角形，其中NACD=—,ZADC=~.

42

所以CDLAD,又因为B4LCD,AD,PAu平面PA。，ADr>PA=A,

所以CD,平面B4。；

【小问2详解】

若选条件①，由余弦定理可得,

222

AC+BC—AB8+9—5A/2。士人缶

cosZACB=--------------------------=---------T=----=——，结合NACB为二角形内角

•BC2x2拒x3

7ETTJT

得ZAC3=—,又ZAC£>=—,则N3S=—,即5CLCD.

442

若选条件②，因BC//平面B4。，BCu平面A3CD,平面ABCDc平面上4O=AT>,则

7TJT

又ZAOC=—,则/30)=—,即5CLCD.

22

故建立以A为坐标原点，如下图所示空间直角坐标系(x轴所在直线与DC平行)

又PA=AD=CD=2,BC=3,AB=亚，

则A（0,0,0）,5（2,—1,0）,C（2,2,0）,£>（0,2,0）,P（0,0,2）,

则BC=（0,3,0）,CP=（-2,-2,2）,DC=（2,0,0）.

平面法向量为DC=（2,0,0）,

/、n-BC-013y=0

设平面PBC法向量为〃=（%,y,z）,贝叫

n-CP=0[-2x-2y

令x=l,则y=0,z=l,所以

设面尸5C与平面QAD所成角为。，cos6)=|cosn,DC|=n-DC2=也

|n|-|DC||V2-2

71

根据平面角的范围可知。=—

18.为研究北京西部地区油松次生林和油松人工林的森林群落植物多样性问题，某高中研究性学习小组暑假

以妙峰山油松次生林和老山油松人工林为研究对象进行调查，得到两地区林下灌木层，乔木层，草本层的抽

样调查数据.其中两地区林下灌木层获得数据如表1,表2所示:

表1：老山油松人工林林下灌木层

植物名称植物类型株数

酸枣灌木28

荆条灌木41

孩儿拳头灌木22

河朔荒花灌木4

臭椿乔木幼苗1

黑枣乔木幼苗1

构树乔木幼苗2

元宝械乔木幼苗1

表2：妙峰山油松次生林林下灌木层

植物名称植物类型株数

黄柏乔木幼苗6

朴树乔木幼苗7

栾树乔木幼苗4

鹅耳杨乔木幼苗7

番叶蛇葡萄木质藤本8

毛樱桃灌木9

三裂绣线菊灌木11

胡枝子灌木10

大花漫疏灌木10

丁香灌木8

(1)从抽取的老山油松人工林林下灌木层的植物样本中任选2株，求2株植物的类型都是乔木幼苗的概

率；

(2)以表格中植物类型的频率估计概率，从妙峰山油松次生林林下灌木层的所有植物中随机抽取3株

(假设每次抽取的结果互不影响)，记这3株植物的植物类型是灌木的株数为X,求X的分布列和数学期

望；

(3)从老山油松人工林的林下灌木层所有符合表1中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不同

植物名称的概率估计值为6;从妙峰山油松次生林的林下灌木层所有符合表2中植物名称的植物中任选2

株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为八.请直接写出4与6大小关系.(结论不要求证

明)

【答案】(1)——;

495

9

(2)分布列见解析，期望g

(3)PX<P,

【解析】

【分析】(1)根据古典概型概率公式，以及组合数公式，即可求解;

(2)根据二项分布概率公式，即可求解；

(3)根据两个表格中的植物类型分布的数据，即可求解.

【小问1详解】

表1中的灌木有28+41+22+4=95株，

乔木幼苗有1+1+2+1=5株，共有100株，

C21

所以P=f=——

C；0G495

所以求2株植物的类型都是乔木幼苗的概率为

495

【小问2详解】

表2中的灌木有9+11+10+10+8=48株,

乔木幼苗有6+7+4+7=24株，木质藤本有8株,

483

抽取1株是灌木的概率为

48+24+85

由题意可知，X=0,1,2,3XBl3,|

p(x=o)=

分布列如下,

X0123

8365427

P

125125125125

E'(X)="p=3x'|=g

【小问3详解】

表1中植物间的数量差距较大，表2中每种植物的数量差不多,

所以选出来不同种类，表2的概率更大，所以《<鸟.

19.已知函数〃x)=xe=(a>0).

(1)求曲线y=/(%)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)求/(%)在区间［-1』上的最大值与最小值；

(3)当0=1时，求证：/(x)>lll¥+x+l.

【答案】(1)y=x

(2)见解析(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据导数的几何意义，求切线方程；

(2)首先求函数的导数，再讨论0<aWl和两种情况求函数的单调性，求函数的最值；

⑶首先根据不等式构造函数g(x)=xe*-Inx-x-1,再利用导数求函数的最小值，即可证明.

【小问1详解】

r(x)=0+何产，r(o)=i,〃0)=0,

所以曲线y=/(x)在点(0,7(0))处的切线方程为丁=1；

【小问2详解】

/,(x)=(l+ta)eOT,a>Q

当0<aWl时，/(X)20在区间［-M］上恒成立，在区间［一1』上单调递增，

所以函数〃%)的最小值为/(-1)=-e",最大值为/(I)=1,

当a>l时，/，(%)=0,得x=—：e(—1,0),

/'(x)在区间T—皆小于°，函数八%)单调递减，

/'(%)在区间-大于0,函数八%)单调递增，

所以函数“力的最小值为工］=-二-,

kcij〃e

/(-l)=-em,/(l)=efl,显然所以函数/(%)的最大值为/(l)=e",

综上可知，当0<aWl时，函数八％)的最小值为/(—l)=-es,最大值为〃1)=/,

当a>l时，函数〃外的最小值为口=一工，最大值为了⑴=e“；

kct)ae

【小问3详解】

当a=l时，f(x)=xex,即证明不等式尤e*21nx+无+1，

设g(x)=xe*—Inx—x—Lx>0,g，(x)=(x+l)"》,

设/z(x)=eX—工，x>0,=e，+二>0,

所以/z(x)在(0,+8)单调递增，并且《3=4—2<o,MD=e—1>0,

所以函数可九)在上存在唯一零点飞,使/1(毛)=峻-1=0,

即(5)=0,则在区间(0,%)，g'(%)<0,g(x)单调递减，

在区间(a,+00),g'(九)>0,g(x)单调递增，

所以g(X)的最小值为g(毛)=/e*-lnx0-x0-l,

由/z(xo)=e*1=0,得/*=1,且

xo

所以g5)=。,

所以g(x)=xe九一lnx—x—12。，即/(x)>lnx+x+l.

20.已知椭圆C：W+(=1(。〉6〉0)的离心率为乎，短轴长为2a.

(1)求椭圆。的方程；

(2)设。为坐标原点，过点「(-1,-1］分别作直线/1，/2,直线4与椭圆相切于第三象限内的点G,直线

4交椭圆。于M，N两点.若|PG「=|PMHPN|,判断直线4与直线OG的位置关系，并说明理由.

22

【答案】(1)—+^-=1

82

(2)l2//OG,理由见解析

【解析】

【分析】(1)根据条件，列出关于心仇。得到方程，即可求解；

(2)首先设出直线4的方程，并与椭圆方程联立，求出点G的坐标，设出直线4的方程，与椭圆方程联立，

利用韦达定理表示|孙刈？凶，再根据|PG「=|PM.|PN|,求出直线4，即可判断直线4与直线OG的位

置关系.

【小问1详解】

£=2/3

a2

由条件可知，<2人=2及，解得：标=8，〃=2，02=6，

a2=b'+C1

22

所以椭圆C的方程为土+乙=1；

82

【小问2详解】

设直线4：x=m[y+|J-i,联立

x2+4y2=8

<(3、，(m2+4)y2+(3m2—2m\y+—m2—3m—7=0,(*)

x=m\y+—\-lv7v'4

A=（3mI2-2m^-4^m2+4）1；加？-3m-7j=0,

整理为〃「—12m—28=0，解得：加=一2或加=14,

由题意结合图形可知，〃2<0,所以m=-2,

当机=一2时，代回（*）得/+2丁+1=0,即y=—1,x=-2^-l+|^|-l=-2,

所以点G的坐标为（—2,—1）,L所以|PG「=；

设直线右：x="[y+I^T，联立，M（%，x），N（%2，%），

x2+4y2=8

[+3]]，得(“2+4)y2+(3“2_2"y+(“2_3〃_7=0,(*)

222^H2-3H-7=0,

△=(3H-2M)-4(«+4)

整理为"2—12"—28<0，解得：-2<