2023年高考数学一轮复习讲义（新高考1）：空间直线、平面的垂直

§7.5空间直线、平面的垂直

【考试要求】1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系2掌握直线与平

面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单的应用.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义

如果直线/与平面a内的任意一条直线都垂直,就说直线I与平面a互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

2.直线和平面所成的角

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，

一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，则它们

所成的角是0。.

(2)范围：［0,2■

3.二面角

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;

(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直

于棱的两条射线,这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.

(3)二面角的范围：［0,兀］.

4.平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

判定如果一个平面过另一个平面的

定理垂线,那么这两个平面垂直

=a_LQ

、

两个平面垂直，如果一个平面内a±13

J

性质有一直线垂直于这两个平面的

l-La

定理交线,那么这条直线与另一个平

IUB,

面垂直

=/_La

【知识拓展】

1.三垂线定理

在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也

和这条斜线垂直.

2.三垂线定理的逆定理

平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射

影垂直.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)直线/与平面a内的无数条直线都垂直，则/_La.(X)

(2)垂直于同一个平面的两平面平行.(X)

(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.(X)

(4)若直线。，平面a,直线6,平面a,则直线a〃直线6.(V)

【教材改编题】

1.(多选)若平面a,平面小且则下列命题中正确的是()

A.平面a内的直线必垂直于平面p内的任意一条直线

B.平面a内的已知直线必垂直于平面/内的无数条直线

C.平面a内的任一条直线必垂直于平面/3

D.过平面a内任意一点作交线/的垂线，则此垂线必垂直于平面0

答案BD

解析A项，如图①，aUa,bU§,且。，。与/都不垂直，贝！|a,b不一定垂直，故A错；

B项，如图②，aUa,作6J_/,则6J_a,则//内所有与6平行的直线都与a垂直，故B正确;

C项，如图③，aUa,但a与/不垂直，则a与£不垂直，故C错;

D项，如图④，由两平面垂直的性质定理可知D正确.

BB

③④

2.“直线a与平面a内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面a垂直”的条件.

答案必要不充分

3.在三棱锥P—A8C中，点P在平面A8C上的射影为点0.

⑴若PA=PB=PC,则点。是AABC的心；

⑵若PB1PC,PCLPA,则点。是△ABC的心.

答案⑴外⑵垂

解析（1）如图1,连接。4,OB,OC,0P,

在RtAPOA,RtAPOB和RtAPOC中，

PA=PC^PB,

：.OA=OB=OC,

即O为△ABC的外心.

(2)如图2,延长A。，BO,CO分别交BC,AC,A8于点X,D,G.

'：PC±PA,PBLPC,PAC\PB=P,PA,

P8U平面PAB,

；.PC_L平面又ABU平面研8,

：.PC1AB,

'：ABLPO,POCPC=P,PO,PCU平面PGC,

；.A8_L平面PGC,又CGU平面PGC,

：.AB±CG,即CG为/XABC边AB上的高.

同理可证B。，AH分别为△ABC边AC,8c上的高，即。为△ABC的垂心.

■探究核心题型

题型一直线与平面垂直的判定与性质

例1(2021•全国甲卷)已知直三棱柱ABC—ASG中，侧面A41B/为正方形，AB=BC=2,

E,尸分别为AC和CG的中点,BFXAiBb

(1)求三棱锥F-EBC的体积;

(2)已知。为棱4囱上的点，证明：BFLDE.

⑴解如图，取BC的中点为连接由已知可得现AB=BC=2,

CF—1,EM=-^AB—1,

AB//A1B1,

由BF_LAiBi得EM±BF,

XEMLCF,BFCCF=F,

所以EM_L平面BCF,

故嗅鞋F-EBC=vzst£-FBC=|X|scXCFX£M=|X|X2X1X1=1.

(2)证明连接4E,BxM,

由(1)知EM/ZAiBi,

所以E»在平面EMBiAi内.

在正方形CCiB由中，由于居M分别是CG,8c的中点，

所以由平面几何知识可得

又2尸L41B1,BiMnAiBi=Bi,

所以BF_L平面EMBiAi,

又DEU平面EMBxAx,所以BFLDE.

【教师备选】

如图，在四棱锥尸一ABCZ)中，四边形ABC。是矩形，AB_L平面B4。，AD^AP,E是尸。的

中点，M,N分别在AB,PC上，KMN±AB,MN_LPC.证明：AE//MN.

证明平面BW,AEU平面BW,

：.AE±AB,

又AB〃CD,：.AE±CD.

'：AD=AP,E是PO的中点，：.AE±PD.

XCDDPD=D,CD,POU平面PC。，

平面PCD.

'：MN±AB,AB//CD,：.MN±CD.

又；W_LPC,PCDCD=C,PC,CDU平面PCD,

.\MN_L平面PCD,C.AE//MN.

思维升华证明线面垂直的常用方法及关键

(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a〃b,aLa^bLa);

③面面平行的性质(a_La,a〃£=a_L£);④面面垂直的性质.

(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.

跟踪训练1如图所示，在四棱锥P—ABC。中，R1_L底面ABCD,ACJ_CQ,ZABC

=60°,PA=AB=BC,E是尸C的中点，证明：

(1)CD±AE；

(2)P/U平面ABE.

证明(1)在四棱锥P—ABC。中，

底面ABC。，CDU平面ABCD,

：.PA±CD,

'JACLCD,E4nAe=A,PA,ACU平面阴C,

.•.CZ)_L平面E4C.而AEU平面PAC,

：.CDLAE.

(2)由B4=AB=BC,ZABC=60°,

可得AC=B4.

是PC的中点，：.AE±PC.

由(1)知AE_LC。，且尸CCCD=C,PC,CDU平面尸CZ),

平面PCD而POU平面PCD,

.•.&£_1尸。.：必，底面&809,：.PA±AB.

又,.,A2_LA。且B4nA£>=A,PA,AOU平面B4。，

平面必。，而尸。U平面E4D,

：.AB±PD.

XVABAAE=A,AB,AEU平面ABE,

；.PD_L平面ABE.

题型二平面与平面垂直的判定与性质

例2(2021•全国乙卷)如图，四棱锥P—ABCD的底面是矩形，PD，底面A8CD,M为BC的

中点，且尸

⑴证明：平面出M_L平面尸8。；

(2)若P£)=DC=1,求四棱锥P—ABC。的体积.

⑴证明：尸。_L平面ABC。，AMU平面ABCD,

：.PD±AM.

,JPBLAM,且PBnP0=P,PBU平面PB。,PDU平面PB。，平面PBD

又AMU平面PAM,：.平面PAML平面PBD.

(2)解：M■为8c的中点，BM=^AD.

由题意知AB=DC=1.

平面尸2。，BOU平面

：.AM±BD,

由/BAM+/MAO=90°,

ZMAD+ZADB=90°,

得/BAM=/AZXB,

易得△BAMsAADB,二通=诟,

AD

2i

即一］-=4力得AD=d^,

1/1/7

二・S矩形ABC。=AD.DC=小义1=也,

则四棱锥P-ABCD的体积

Vp-ABCD—^S^»ABCD-PD

=gx$X1=9.

【教师备选】

(2020・全国I)如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形,

P为。。上一点，ZAPC=90°.

(1)证明：平面以8_L平面B4C；

(2)设。。=也，圆锥的侧面积为小兀，求三棱锥P—ABC的体积.

(1)证明：£＞为圆锥顶点，O为底面圆心，

.•.OZ)_L平面ABC,

：尸在。。上，OA=OB=OC,

:.P\=PB=PC,

,：ZVIBC是圆内接正三角形，

J.AC^BC,△如C0△PBC,

ZAPC=ZBPC=90°,

即PB_LPC,PALPC,

PAC\PB=P,

；.PC_L平面B48,PCU平面RIC,

二平面B48J_平面PAC.

(2)解设圆锥的母线为/,底面半径为广，圆锥的侧面积为无〃=小兀,

L)

rl=y[3,

OZ)2=Z2-^=2,解得r=1,

1=小,AC=2rsin60°=y/3，

在等腰直角三角形APC中，

AP昔AC萼

在RtAB4O中,

PO=-\jAP2-OA2=2-

三棱锥P-ABC的体积为VP-ABC=!POSAABC=!><哗义坐X3=说

思维升华(1)判定面面垂直的方法

①面面垂直的定义.②面面垂直的判定定理.

(2)面面垂直性质的应用

①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直

线”.②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面.

跟踪训练2如图,在四棱锥PA-BCD中，底面ABCD为矩形，平面J_平面ABCD,PALPD,

PA=PD,E为的中点.

⑴求证：PELBC；

(2)求证：平面E48_L平面PCD.

证明(1)因为必=?。，E为的中点，

所以PE±AD.

因为底面ABC。为矩形，所以BC〃AD

所以PE1BC.

(2)因为底面ABCO为矩形，

所以AB±AD.

又因为平面平面ABC。，平面B4£)n平面ABCO=A。，ABCABCD,

所以AB_L平面PAD.

又PDU平面E4£),所以A2_LPD

又因为B4_LPD,且B4cA8=A,PA,ABU平面B48,

所以PO_L平面E4A又尸。U平面PCD,

所以平面E48_L,平面PCD.

题型三垂直关系的综合应用

例3如图，己知ABC。一AbBiCiP是底面为正方形的长方体，ZADiAi=60°,AD,=4,点

P是Ad上的动点.

(1)试判断不论点P在Ad上的任何位置，是否都有平面8抬，平面AAiOQ,并证明你的结

论；

(2)当尸为的中点时，求异面直线AAi与BiP所成的角的余弦值；

(3)求PBi与平面AAiDi所成角的正切值的最大值.

解⑴：A4_L平面A41DQ,8AU平面BE4,

平面8B4_L平面A41GD,

与尸点位置无关.

(2)过点P作PEXAiDi,垂足为E,连接SE(如图)，则PE//AAY,

或其补角是异面直线A4i与BiP所成的角.

在RtAAAiDi中，ZADiAi=60°,

ZAiADi=30°,

"."AiBi—AiDi—^ADi—2,

AiE=^A\D[=l.

又PE=^AAi=y[3.

：.在RtABiPE中,

BiP=yjBiE2+PE2=2y[2,

小XPE小乖

cosNSPE—Bip—2后—4-

.♦.异面直线AAi与S尸所成的角的余弦值为小.

(3)由⑴知,20」平面

ZBiPAi是PBi与平面A4iDi所成的角，

…〜B1A12

tan/SM=不7=布’

当4P最小时，tan/BiB4i最大，

这时AiP_LADi,

心AjDyAlA

由AAlpP~AD\fr-

得tanZjBiB4i=^^,

即PBi与平面A4boi所成角的正切值的最大值为手.

【教师备选】

如图，在四棱锥S—A8CQ中，四边形A8C。是边长为2的菱形，ZABC=6Q°,△SA。为正

三角形.侧面底面A8CDE,P分别为棱A。，SB的中点.

⑴求证：AF〃平面SEC；

(2)求证：平面ASB_L平面CSB；

(3)在棱S3上是否存在一点M,使得8。，平面肠1C?若存在，求黑的值；若不存在，请说

明理由.

⑴证明如图，取SC的中点G,连接PG,EG,

VF,G分别是SB,SC的中点,

：.FG//BC,FG=/c,

•..四边形A8CD是菱形，E是A。的中点,

：.AE//BC,AE=^BC,

J.FG//AE,FG=AE,，四边形AFGE是平行四边形，

：.AF//EG,又AR：平面SEC,EGU平面SEC,

〃平面SEC.

(2)证明...△SAD是等边三角形，E是A。的中点，

：.SE±AD,•.•四边形ABC。是菱形，ZABC=60°,

.♦.△AC。是等边三角形，又E是的中点，

J.ADLCE,又SECCE=E,SE,CEU平面SEC,

；.A£»_L平面SEC,又EGU平面SEC,

：.AD±EG,又四边形AFGE是平行四边形,

四边形AFGE是矩形，C.AFLFG,

XSA=AB,F是SB的中点，

：.AF±SB,

又FGCSB=F,FGU平面SBC,S8U平面SBC,

.•.A/U平面SBC,又AEU平面ASB,

平面ASBJ_平面CSB.

(3)解存在点M满足题意.假设在棱S3上存在点M,使得8。，平面MAC,

连接MO,BE,则B£)_LOM,

:四边形A3CD是边长为2的菱形，ZABC=60°,△SA。为正三角形，

:.BE=5

SE=小,BD=2OB=2&SD=2,SE±AD,

;侧面SAO_L底面ABCD,

侧面SADri底面ABCD^AD,SEU平面SAD,

：.SE_L平面ABCD,：.SE_LBE,

：.SB=y]SE2+BE2^y[Td,

.s4+S_sr>2_3仍5

..COSNMJ—2SBBD_20'

•OB3^/30•2V10.BM=2

"'BM~20，3，••BS

思维升华(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.

(2)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相

关定理、性质进行推理论证.

跟踪训练3如图，在四棱锥尸一ABCZ)中，底面ABC。为四边形，是边长为2的正

三角形，BCLCD,BC=CD,PDLAB,平面平面ABCD

(1)求证：PD_L平面ABC。；

(2)若二面角C-PB-D的平面角的余弦值为平，求PD的长.

⑴证明如图所示，E为8。的中点，连接AE,△ABO是正三角形,

则AELBD.

平面平面ABCD,平面尸8。。平面ABCD=BD,

AEu平面ABCD,

故AE1,平面PBD,PDu平面PBD,

故AELPD.

PD±AB,AEHAB=A,

AE,ABu平面ABC。，

故尸。J_平面ABCD

(2)解过点E作EFLPB于点P,连接CP,CE,

因为8C_LC。，BC=CD,E为8。的中点，

所以EC±BD,

所以EC_L平面PBD.

又PBU平面PBD,所以EC_LPB,

又ECCEF=E,EC,EFU平面EFC,

所以P2_L平面EFC,

又因为CPU平面EFC,

所以CFLPB,

故/EPC为二面角C—PB—D的平面角.

cosEFC—

故tan/£FC=巾，EC=1,故EF=省.

EF\51

=

sinZPB£)=7nn^Jc，ZtanZPBD=z,

即祟=:，PD=L

DUZ

课时精练

q基础保分练

1.（2020・新高考全国I）日皆是中国古代用来测定时间的仪器，利用与唇面垂直的辱针投射到

号面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为O）,地球上一点A的纬度是指OA与

地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置

一个日辱，若辱面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40。，则号针与点A处的水平

面所成角为（）

A.20°B.40°C.50°D.90°

答案B

解析如图所示，。。为赤道平面，。。1为A点处的日惹面所在的平面,

由点A处的纬度为北纬40。可知/0401=40。，

又点A处的水平面与0A垂直，看针AC与。。1所在的面垂直，

则唇针AC与水平面所成角为40°.

2.己知相，/是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，则下列可以推出a_L夕的是（）

A.mJ_Z,mU.,l_LaB.mJ_Z,aC0=l,mUa

C.m//1,m-La,l.L/3D.l.La,m//1,m///J

答案D

解析对于A,有可能出现％夕平行这种情况，故A错误；对于B,会出现平面a,4相交

但不垂直的情况，故B错误；对于C,m//l,mLa,夕〃夕，故C错误；对于D,l.La,

根〃/又由加〃£=a_L/,故D正确.

3.如图，在斜三棱柱ABC—431G中，ZBAC=90°,BCi±AC,则Ci在底面ABC上的射影

H必在（）

A.直线48上

B.直线BC上

C.直线AC上

D.△ABC内部

答案A

解析由AC_LA3,AC±BCi,AB^BCi=B,AB,BQU平面ABC,得AC_L平面ABG.

因为ACU平面ABC,

所以平面ABCi_L平面ABC.

所以G在平面ABC上的射影X必在两平面的交线AB上.

4.如图，圆。所在平面，AB是圆。的直径，C是圆周上一点，其中AC=3,B4=4,

BC=5,则尸8与平面B4C所成角的正弦值为（）

答案A

解析根据题意，是圆。的直径，C是圆周上一点，则8CLAC,

又由抬，圆。所在平面，则抬，8C,

因为B4CAC=A,PA,ACU平面B4C,

则BC_L平面B4C,故NBPC是尸2与平面E4C所成的角，在△ACB中,AC=3,3C=5,AC_LBC,

则AB=ylAC2+BC2=^34,

在△B48中，AB=取，PA=4,PALAB,

则PB=q/+AB2=5#

在△PCB中，BC=5,PB=5®

则sin/BPCnff=*.

rDZ

5.（多选）（2022•武汉调研）如图，AC=2R为圆。的直径，ZPCA=45°,B4垂直于圆。所在的

平面，8为圆周上不与点A,C重合的点，ASLPC于S,ANLPB于N,则下列结论正确的

是（）

A.平面ANS_L平面尸BC

B.平面⑷VS_L平面E4B

C.平面B4B_L平面PBC

D.平面ABC_L平面E4C

答案ACD

解析：出，平面ABC,R1U平面B4C,

平面ABCJ_平面B4C,；.D正确；

BCU平面ABC,：.PALBC,

又AC为圆。的直径，

B为圆周上不与点A,C重合的点，

：.AB±BC,

又以CAB=A,PA,48U平面

；.BC_L平面B48,又BCU平面PBC,

平面抬8_L平面PBC,

：.C正确;

又ANU平面PAB,：.BC±AN,

又ANLPB，BCCPB=B,

BC,P8U平面PBC,

；.AN_L平面PBC,

又PCU平面PBC,：.AN±PC,

又：PCJ_AS,ASHAN=A,

AS,ANU平面AAS

；.PC_L平面ANS,

又PCU平面PBC,；.平面ANS_L平面PBC,

A正确.

6.（多选）（2021・新高考全国H）如图，在正方体中，。为底面的中心，尸为所在棱的中点，M,

N为正方体的顶点.则满足MN，。尸的是（）

答案BC

解析设正方体的棱长为2,

对于A,如图⑴所示，连接AC,则MN〃AC,

在Rtz\OPC中，0C=也,CP=1,

故tan/POC,

故MN_LO尸不成立，故A错误.

对于B,如图⑵所示，取AN的中点8,连接P8,OB,

贝I0P=712+曲2=/,PB=巾,OB=q^+22=4

所以。尸2+产序=。4，所以0P_LP2,XPB//MN,所以。尸_LMN.

对于C,如图(3)所示，取A。的中点C,连接。C,PC,BD,因为P,C分别是。E,4D的

中点，所以CP_LB。，又。C_L平面AOEB,BDU平面

E

A

图⑶

所以0C_L8。，又OCCCP=C,OC,CPU平面OCP,所以8D_L平面OCP,所以BD±OP,

又BD〃MN,所以OP_LMN.

对于D,如图(4)所示，取AN的中点2,ME的中点尸，连接尸2,BF,OF,

若。尸_LMN,又。尸_L平面MENA,所以。尸_LMN,所以MN_L平面。网尸，

所以MN_LBF,显然，MN与8尸不可能垂直，所以OP_LMN不成立.

7.已知△ABC在平面a内，/A=9(T,D4_L平面a,则直线CA与DB的位置关系是.

答案垂直

解析：D4J_平面a,CAU平面a,：.DA±CA,

在△A8C中，VZA=90°,：.AB±CA,

且。An&4=A,DA,84U平面。AB,

，CAJ_平面D4B,又DBU平面DAB,

：.CA±DB.

8.如图，在三棱柱ABC-AiBCi中，已知AAi，平面ABC,BC=CCi，当底面AiRG满足

条件时，有ABiLBG.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的

情况)

答案AiGXBiCi

解析当底面ASG满足条件4G，81cl时,

有ABi_LBCi.

理由如下：

：AAi_L平面ABC,BC=CCi,

・•・四边形5CGS是正方形，ABCilBiC,

VCCi//AAl9AAiCilCCi，

又AiG_L_BiG,CC[(~lBiCi—Ci,

CC1,B1GU平面3CC1S,

，AiCi_L平面BCCiBi,

VACZ/AiQ,；.AC_L平面BCCM

BCC1B1,：.BCi±AC,

VACnBiC=C,AC,BiCU平面AC。，

.•.8G_L平面AC6,

.•.又ABU平面ACBi,

：.ABr±BCi.

9.如图所示，在四边形ABCD中，AD//BC,AD=AB,ZBCD=45°,/BAO=90。.将△AB。

沿对角线BD折起，记折起后A的位置为点尸，且使平面平面BCD

求证：(1)CZ)_L平面P8。；

⑵平面PBC_L平面PDC.

证明(1)在四边形ABCD中，AD=AB,ZBAD=90°,

则/ABD=ZADB^45°,

^AD//BC,即有/Z)BC=45。，

而/。C2=45。，于是得NB£)C=90。，

在折后的几何体尸一BCD中，BDA.DC,

因为平面尸8。_L平面BCD,平面PBOC平面8CO=8。，COu平面BCD,

所以CZ)_L平面PBD.

⑵由(1)知CD_L平面PBD,PBu平面PBD,

于是得CD±BP,

又BP1PD,PDCCD=D,PDc平面PDC,CDc平面PDC,

则BP_L平面PDC,又BPu平面PBC,

所以平面PBC_L平面PDC.

10.如图，在四棱锥尸一ABC。中，底面48CD是边长为2的菱形，ZBAD=60°,侧面

为等边三角形.

p

⑴求证：ADLPB；

(2)若平面平面ABC。，点E为PB的中点，求三棱锥尸一ADE的体积.

⑴证明如图，取的中点。，连接。8,OP,BD,

因为△%£>为等边三角形，。是的中点，所以。尸，A。，

因为底面42cD是菱形，/54。=60。，

所以△A3。是等边三角形，

因为。尸。。8=。，OP,。8<=平面POB,

所以AO_L平面POB,

因为PBu平面POB,所以AO_LP8.

(2)解因为底面48C。是边长为2的菱形，△出。为等边三角形，

所以E4=PD=AD=2,PO=y[3,

底面ABC。的面积为2小,

因为平面以。，平面ABCD,平面B4OA平面ABCZ)=A。，PO±AD,

所以PO_L平面ABCD,

因为E为依的中点，

所以Vp-ADE=VB-ADE=3vp-ABD=:Vp-ABCD=；><gx^X2^3=1.

维技能提升练

11.(多选)(2022・广州调研)如图，在长方体ABC。一AJ31GO1中，AAi=AB=4,BC=2,M,

N分别为棱CiA，CCi的中点，贝U()

A.A,M,N,B四点共面

B.平面A£)M_L平面CDdCi

C.直线BN与所成的角为60。

D.BN〃平面ADM

答案BC

解析如图所示，对于A,直线AW,8N是异面直线，故A,M,N,8四点不共面，故A

错误；

对于B,在长方体ABC。一4B1GQ1中，可得AO_L平面CDAG,AOU平面

所以平面AZ)M_L平面CCOiG,故B正确；

对于C,取CD的中点O,连接8。，ON,则8m〃80,

所以直线与81M所成的角为/NBO或其补角.

易知△BON为等边三角形，

所以NNBO=60。，故C正确；

对于D,因为〃平面A4QQ,显然8N与平面ADM不平行，故D错误.

12.(多选X2022•玉溪模拟)如图，四棱锥尸一ABC。的底面为矩形，PO_L底面ABC。，AD=1,

PO=A8=2,点E是尸8的中点，过A,D,E三点的平面a与平面P8C的交线为/,贝1()

A./〃平面加。

B.AE〃平面PCD

c.直线以与/所成角的余弦值为坐

3

D.平面a截四棱锥尸一ABC。所得的上、下两部分几何体的体积之比为5

答案ACD

解析如图，取PC的中点凡连接所，DF,

则4O〃EF,即A,D,E,尸四点共面，即/为EF,

对于A,EF//AD,

所以EF〃平面B4。，即/〃平面以£),故A正确；

对于B,由£F〃A。，若AE〃平面PCD,则必有AE〃。忆

即四边形ADFE为平行四边形，

则AO=EF,矛盾，故B错误；

对于C,B4与/所成的角，即出与EF所成的角，即出与所成的角,

由底面ABCD,所以PD±AD,

AF)A(5

cosZE4£)=j^=s,故C正确；

对于D,连接5。，

114

=

VP-ABCD3矩形A3CD=]X2><2=],

VABCDEF=VA-BDE~\~VD-BCFE

_lx^5yA,1X3^2XJ__5

-3X2X小十3入4X/—6，

4_5

VP-ADFE363u——“

w=~-=不故D正确.

VABCDEF£3

6

13.(2022・威海模拟)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面四边形ABCD为矩形,SA_L平面ABCDf

P,。分别是线段3S,A0的中点，点H在线段SO上.若AS=4,AD=2,AR±PQf则AR

答案竽

解析如图，取SA的中点E,连接PE,QE.

：S4_L平面ABC。，ABU平面ABC。，

：.SA±AB,

而A8_LA。，ADHSA=A,AD,SAU平面SAO,

平面SAD,故尸EJ_平面SAD,

又ARU平面SAD,

J.PELAR.

^：AR±PQ,PECPQ=P,PE,尸0U平面PEQ,

；.4R_L平面PEQ,

：EQU平面PE。，：.AR±EQ,

,：E,。分别为SA,AD的中点，

J.EQ//SD,则AR_LS。，

在Rt^ASD中，AS=4,AD=2,

可求得SO=2小，由等面积法可得4R=芈.

14.（2022.绍兴模拟）如图，在△ABC中，ADLBC,垂足为£>,DE±AB,垂足为E现将△ABC

沿AD折起，使得若三棱锥A-BCO外接球的球心为。，半径为1,则△。。£面

积的最大值为.

姣安—

口木4

解析如图所示，取AC的中点尸，0c的中点G,连接EF,DF,FG.

：.FG//AD,

；BCLBD,AGSOB,C,D的距离相等,

同理尸到A,C,D的距离相等，

'：AD±DC,AD1BD,BDUDC^D,BD,£)CU平面BCD,

.•.AO_L平面BCD,

；.FG_L平面BC。，且FD=FB=FC=FA,

即为三棱锥A—BCD外接球的球心。，

平面BC。，：.AD±BC,

又8CJ_8O,AD^BD=D,

AD,BOU平面AB。，

；.BC_L平面AB。，C.BCLDE,

；DELAB,ABCBC=B,

AB,BCU平面ABC,

.,.Z)E_L平面ABC,

：.DE±EF,:.D*+EF2=DF2,

又DF=1,：.DE2+EF2^1,

DE2+EF21

•.DE'EFWQ=5，

当且仅当Z)E=EF时等号成立，

•*.SADEF=；DE-EFWX!=±,

'△DEF,即△">£面积的最大值为由

展冲刺练

15.(多选)(2021・新高考全国I)在正三棱柱ABC—A向G中，AB=AAi=l,点尸满足加=花2

+〃嬴其中7d[0,i],则()

A.当力=1时，△AB/的周长为定值

B.当〃=1时，三棱锥尸一4BC的体积为定值

C.当力=/时，有且仅有一个点尸，使得4PJ_BP

D.当〃时，有且仅有一个点尸，使得AS平面WP

答案BD

解析丽=4病+〃函(0W2W1,OW〃W1).

对于选项A,当%=1时，点P在棱CG上运动，如图1所示，此时△A