2024年中考数学列方程解决问题重难题型分类练（九大考点）

列方程斛决问题重难题型分类练r九大考点)

数字类

i.列方程解应用题：

一个两位数，个位数字是十位数字的2倍，假如把十位上的数与个位上的数对调后，那么所得的

两位数比原来的两位数大36,求原来的两位数.

2.一个两位数，个位数比十位数字大4,而且这个两位数比它的数字之和的3倍大2,则这个两位

数是.

3.有一个两位数，个位上的数比十位上的数大5,假如把这个两位数的两个数字的位置对换，那么

所得的新数与原数的和是143.求这个两位数.

(超级经典题型)方程与数轴的融合

4.如图，线段48=28厘米，点。和点C在线段上，且AC：BC=5：2,DC：AB=1：4.点尸

从点A动身以4厘米/秒的速度沿射线AD向点C运动，点尸到达点C所在位置后马上依据原路

原速返回，到达点D所在位置后停止运动，点。从点B动身以1厘米/秒的速度沿着射线BC的

方向运动，点Q到达点。所在的位置后停止运动.点尸和点。同时动身，点。运动的时间为/

秒.

(1)求线段AD的长度；

(2)当点C恰好为尸。的中点时，求f的值；

(3)当尸。=7厘米时，求f的值.

.3D0@5

.3D0@5

备用图

5.已知AB=8,点P从点A动身，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为线段AP的中

点.设点尸的运动时间为f秒.

(1)若点P在线段AB上，贝h=秒时，

(2)若点P在AB的延长线上(如图)，设线段8尸的中点为N.

①线段MN的长度是否保持不变？请说明理由；

②是否存在f的值，使M、N、B三点中的某个点是其余两点所连线段的中点？若存在，求出全部

满足条件的f的值；若不存在，请说明理由.

AMBNPAB

(备用图)

6.如图所示，点A,B,C是数轴上的三个点，且A,B两点表示的数互为相反数,AB=12,AC=%B.

(1)点A表示的数是；

(2)若点P从点B动身沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过秒时，点C

恰好是8尸的中点；

(3)若点。从点A动身沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB的中点为M.当MC

=2。8时，则点。运动了多少秒？请说明理由.

-ACB>

三.行程类之一般相遇、追及

7.M、N两地相距600A甲、乙两车分别从M、N两地动身，沿一条大路匀速相向而行，甲与乙

的速度分别为lOOh”//!和20加加，甲从M地动身，到达N地马上调头返回M地，并在M地停留

等待乙车抵达，乙从N地动身前往M地，和甲车会合.

(1)求两车其次次相遇的时间；

(2)求甲车动身多长时间，两车相距20历".

8.甲、乙两地相距72hw,一辆工程车和一辆洒水车上午6时同时从甲地动身，分另U以5?/队V2加/人

的速度匀速驶往乙地.工程车到达乙地后停留了2/6沿原路以原速返回，中午12时到达甲地，

此时洒水车也恰好到达乙地.

(1)VI=,V2=；

(2)求动身多长时间后，两车相遇？

(3)求动身多长时间后，两车相距30初1?

四.行程类之车过隧道大桥

9.一列匀速前进的火车，通过列车隧道.

（1）假如通过一个长300米的隧道从车头进入隧道到车尾离开隧道，共用15秒的时间（如

图1）,又知其间在隧道顶部的一盏固定的灯发出的一束光垂直照射火车2.5秒，求这列火车的长

度；

（2）假如火车以相同的速度通过了另一个隧道CD,从火车车尾全部进入隧道到火车车头刚好到

达隧道出口（如图2）,其间共用20秒时间，求这个隧道的长.

卜：：1______________________________E：;1

AB

图1

I..IL一I

CD

图2

10.一列动车以300km/h的速度过第一、其次个隧道，已知其次个隧道的长度比第一个隧道长度的

2倍还多1.5加，若该列动车过其次个隧道比第一个隧道多用了93秒，则其次个隧道的长度

是.

五.行程类之顺水逆水

11.某人乘船由A地顺流而下到达8地，然后又逆流而上到C地，共用了3小时.已知船在静水中

速度为每小时8千米，水流速度是每小时2千米.已知A、B、C三地在一条直线上，若AC两地

距离是2千米，则两地距离多少千米？（C在A、B之间）

12.一只汽艇从A码头顺流航行到8码头用2小时，从B码头返回到A码头，用了2.5小时，假如

水流速度是3千米/时，求：

（1）汽艇在静水中的速度；

（2）A、B两地之间的距离.

六.工程类

13.为庆祝建国七十周年，南岗区预备对某道路工程进行改造，若请甲工程队单独做此工程需4个

月完成，若请乙工程队单独做此工程需6个月完成，若甲、乙两队合作2个月后，甲工程队到期

撤离，则乙工程队再单独需几个月能完成？

14.由于地铁施工，需要拆除我校图书馆，七班级同学主动担当图书馆整理图书的任务，假如由一

个人单独做要用30小时完成，现先支配一部分人用1小时整理，随后又增加6人和他们一起又

做了2小时，恰好完成整理工作，假设每个人的工作效率相同，那么先按排整理的人员有多少？

七.方案设计类

15.为了更好地落实“双减”政策，丰富同学课后托管服务内容，某校打算购买一批足球运动装备.经

市场调查发觉：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每

个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等.

（1）求每套队服和每个足球的价格各是多少？

（2）甲商场优待方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优待方案是：若购买队服超过80

套，则购买足球打八折.若该校购买100套队服和a个足球（其中10且为整数），请通过计

算说明，学校接受哪种优待方案更省钱？

①请用含a的式子表示：

甲商城所花的费用，乙商城所花的费用;

②当购买的足球数a为何值时在两家商场购买所花的费用一样？

16.为举办校内文化节，甲、乙两班预备给合唱同学购买演出服装（一人一套），两班共92人（其

中甲班比乙班人多，且甲班不足90人），下面是供货商给出的演出服装的价格表：

购买服装的套数1套至45套46套至90套91套以上

每套服装的价格60元50元40元

假如两班单独给每位同学购买一套服装，那么一共应付5020元.

（1）甲、乙两班联合起来给每位同学购买一套服装，比单独购买可以节省多少钱？

（2）甲、乙两班各有多少名同学？

（3）假如甲班有10名同学被调去参与书画竞赛不能参与演出，请你为两班设计一种最省钱的购

买服装方案.

17.水资源透支现象令人担忧，节省用水迫在眉睫.针对居民用水铺张现象，重庆市政府和环保组

织进行了调查，并制定出相应的措施.

（1）据环保组织调查统计，全市至少有6义105个水龙头、2X1（/个抽水马桶漏水.若一万个漏

水的水龙头一个月能漏掉a立方米水；一万个漏水的马桶一个月漏掉b立方米水，则全市一个月

仅这两项所造成的水流失量是多少？

（2）针对居民用水铺张现象，市政府将制定居民用水标准：规定每个三口之家每月的标准用水

量，超过标准部分加价收费.若不超标部分的水价为每立方米3.5元；超标部分为每立方米4.2

元.某家庭某月用水12立方米，交水费44.8元，请你通过列方程求出我市规定的三口之家每月

的标准用水量为多少立方米.

（3）在近期由市物价局进行的水价听证会上，有一代表提出一新的水价收费设想：每天8：00至

22：00为用水高峰期，水价可定为每立方米4元；22：00至次日8：00为用水低谷期，水价可定

为每立方米3.2元.若某三口之家依据此方案需支付的水费与（2）问所交水费相同，又知该家庭

用水高峰期的用水量比低谷期少20%.请计算哪种方案下的用水量较少？少多少？

18.列一元一次方程解应用题.

有一批共享单车需要修理，修理后连续投放骑用，现有甲、乙两人做修理，甲每天修理16辆，乙

每天修理的车辆比甲多8辆，甲单独修理完成这批共享单车比乙单独修理完多用20天，公司每

天付甲80元修理费，付乙120元修理费.

（1）问需要修理的这批共享单车共有多少辆？

（2）在修理过程中，公司要派一名人员进行质量监督，公司负担他每天10元补助费，现有三种

修理方案：①由甲单独修理；②由乙单独修理；③甲、乙合作同时修理，你认为哪种方案最省钱，

为什么？

八.日常生活中的方程一水电类

19.列方程解应用题：

为了加强公民的节水意识，某市将要接受价格调控手段达到节水目的，设计了如下的调控方案.

价目表

每月用水量单价

不超出10吨的部分2.5元/吨

超出10吨的部分3元/吨

（1）甲户居民五月份用水12吨，则水费为元.

（2）乙户居民八月份缴纳水费40元，则该户居民八月份用水多少吨？（列方程解答）

20.近日，无锡市进展改革委印发《关于优化调整居民阶梯气价政策有关事项的通知》，从2024年

1月1日起，增加一、二档用气量，“一户多人口”政策同步调整.

气量分档年用气量（立方米）价格（元/

调整前调整后立方米）

第一档年用气量W300年用气量W4002.73

其次档300＜年用气量W600400＜年用气量W10003.28

第三档年用气量＞600年用气量＞10003.82

人口超过4人的家庭，每增加1人，一、二档上限增加80立方米、200立方米（原政策一、二档

上限增加60立方米、120立方米）.

（1）若小明家有5口人，年用气量1000立方米.则调整前气费为元，调整后气费为

元；

（2）小红家有4口人，若调整后比调整前气费节省109元，则小红家年用气量为多少立方米？

九.（易错题型）利润，购物类

21.某超市第一次用3800元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品40件，乙种商品160件.已知

乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵5元.甲种商品售价为20元/件，乙种商品售价为25元

/件.

（1）甲、乙两种商品每件进价各多少元？

（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完，可获得多少利润？

（3）该超市其次次又购进同样数量的甲、乙两种商品.其中甲种商品每件的进价不变，乙种商品

进价每件少3元；甲种商品按原售价提价。％销售，乙种商品按原售价降价“％销售，假如其次次

两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多160元，那么。的值是多少？

22.甲、乙两家超市新年期间推出优待活动，推出如表购物优待方案:

甲超市乙超市

消费金额（元）优待活动消费金额（元）优待活动

0~100（包含100）无优待0—200（包含200）无优待

100~350（包含350）一律享受九折优待大于200超过200元的部共享

大于350一律享受八折优待受八折优待

（1）小王需要购买价格为240元的商品，去哪家店更划算？

（2）小李带了252元去购物、为了买到最多的商品，应选择哪家超市？最多能买到原价为多少元

的商品？

（3）小刘在甲超市购物、两次购物分别付了80元和288元，假如小刘把这两次购物改为一次性

购物，付款多少元？

23.某商店用3700元购进A、8两种玻璃保温杯共80个，这两种玻璃保温杯的进价、标价如下表所

zK：

价格'类型A型B型

进价(元/个)3565

标价(元/个)50100

(1)这两种玻璃保温杯各购进多少个?

(2)已知A型玻璃保温杯按标价的8折出售，B型玻璃保温杯按标价的7.5折出售.在运输过程

中有2个A型和1个2型玻璃保温杯不慎损坏，不能销售，请问在其它玻璃保温杯全部售出的状

况下，该商店共获利多少元？

24.初一(1)班和初一(2)班的同学为了筹备班级元旦活动到超市上购买橙子，超市有促销活动,

假如一次性所购橙子数量超过30千克，可以有肯定程度的优待，价格如下：

原价优待价

每千克价格3元2.5元

1班的同学先购买一次，发觉数量不够，去超市再次购买，其次次购买数量多于第一次，两次共

计购买48千克，2班的同学一次性购买橙子48千克.

(1)若1班的同学第一次购买16千克，其次次购买32千克，则2班比1班少付多少元？

(2)若1班两次共付费126元，则1班第一次、其次次分别购买橙子多少千克？

数字类

1.列方程解应用题：

一个两位数，个位数字是十位数字的2倍，假如把十位上的数与个位上的数对调后，那么所得的

两位数比原来的两位数大36,求原来的两位数.

试题分析：设原来十位上的数字为x,则个位数字为2x.利用新数=原数+36,列方程求解即可.

答案详解：解：设原来十位上的数字为无，

依题意得：10X2x+x=10x+2x+36,

解得x=4,

则2x=8.

答：原来的两位数是48.

2.一个两位数，个位数比十位数字大4,而且这个两位数比它的数字之和的3倍大2,则这个两位

数是26.

试题分析：设十位数字为x,个位数字为x+4,依据数字问题的数量关系建立方程组求出其解即

可.

答案详解：解：设十位数为x,个位数字为x+4,依据题意得：

10x+x+4=3(x+x+4)+2；

解得：x=2,

则这个两位数是26；

所以答案是：26.

3.有一个两位数，个位上的数比十位上的数大5,假如把这个两位数的两个数字的位置对换，那么

所得的新数与原数的和是143.求这个两位数.

试题分析：设这个两位数的十位为无，个位为(尤+5),依据这个两位数的两个数字的位置对换所

得的新数与原数的和是143,即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论.

答案详解：解:设这个两位数的十位为x,个位为(x+5),

依据题意得：10x+(x+5)+10(x+5)+x=143,

解得：x=4,

.,.x+5=9.

答：这个两位数是49.

(超级经典题型)方程与数轴的融合

4.如图，线段AB=28厘米，点。和点C在线段AB上，且AC：BC=5：2,DC：AB=1：4.点尸

从点A动身以4厘米/秒的速度沿射线AD向点C运动，点尸到达点C所在位置后马上依据原路

原速返回，到达点D所在位置后停止运动，点。从点B动身以1厘米/秒的速度沿着射线BC的

方向运动，点。到达点。所在的位置后停止运动.点尸和点。同时动身，点。运动的时间为f

秒.

(1)求线段的长度；

(2)当点C恰好为尸。的中点时，求f的值；

(3)当尸。=7厘米时，求f的值.

」(P)D0

.4(P)D0@5

备用图

试题分析：(1)依据线段间的比例可得和0c的长，再依据线段的和差可得答案；

(2)分三种状况：当0W/W5时，PC=20-46CQ=8-f；当5〈号?时，PC=4f-20,CQ=

27

8-Z,当一V/W15时，PC=DC=7,CQ=8-b再分别列出方程即可；

4

⑶①当0W/W5时，4f+?=28-7；②当5c名争寸，8+4L207=7；③当日V05时，7

=15-九

答案详解：解：(1)VAB=28cm,AC：BC=5：2,

，AC=28x1=20cm,5c=28-20=8cm.

VDC：AB=1：4,

1

/.£)C=28X-7=7cm,

q

：.AD=AC-DC=20-7=13CM；

(2)①当0W/W5时，PC=20-4r,CQ=S-t,

20-4%=8-t.

解得r=4；

②当5c&与时，PC=4t-20,CQ=8-t,

4z-20=8-t,

解得Z=5.6；

_27

③当一＜fW15时，PC=DC=1,CQ=8-t,

4

.*.7=8-t,

解得f=l(舍去).

综上，当点C恰好为PQ的中点时，f的值是4或5.6；

(3)①当0WfW5时，

4M7=28-7,

解得f=4.2；

②当5＜长弓时，

8+4/-20-Z—7,

解得t=学

27

③当一V/W15时，

4

7=15-t,

解得f=8.

19

综上，当尸。=7厘米时，f的值是4.2或々■或8.

5.已知AB=8,点尸从点A动身，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，M为线段AP的中

点.设点尸的运动时间为/秒.

(1)若点尸在线段AB上，则t=2秒时,PB=2AM.

(2)若点尸在AB的延长线上(如图)，设线段的中点为N.

①线段的长度是否保持不变？请说明理由；

②是否存在f的值，使M、N、8三点中的某个点是其余两点所连线段的中点？若存在，求出全部

满足条件的f的值；若不存在，请说明理由.

AMBNPB

（备用图）

试题分析：（1）依据PB=2AM列方程求解即可；

（2）①用含有f的代数式表示MN即可推断长度是否为定值；

②由题知存在点B是中点状况列方程求出f值即可.

答案详解：解：⑴由题知，PB=AB-AP=8-2t,AM^^AP=1x2t=t,

•:PB=2AM,

••8-2/=2t,

解得t=2,

所以答案是：2；

（2）①MN长度不变，理由如下：

由题知，MN=IX2r-1⑵-8）=4,

故MN的长度保持不变；

②存在，

①点8是MN中点时，

1

即BN=加N,

11

（2/-8）=亍x4,

22

解得t=6,

②点M是BN的中点时，

即BN=2BM,

1

⑵-8）=2（L8）,

2

解得t=12,

的值为6或12时，M、N、8三点中的某个点是其余两点所连线段的中点.

6.如图所示，点A,B,C是数轴上的三个点，且A,B两点表示的数互为相反数，AB12,AC=

（1）点A表示的数是-6；

（2）若点尸从点8动身沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过8秒时，点C恰

好是8尸的中点；

（3）若点Q从点A动身沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB的中点为M.当MC

=2QB时，则点。运动了多少秒？请说明理由.

ACB

试题分析：（1）依据AB=12,且A,B两点表示的数互为相反数，直接得出即可;

（2）设经过f秒点C是BP的中点，依据题意列方程求解即可；

（3）设点。运动了x秒时MC=2QB,分状况列方程求解即可.

答案详解：解：（1）'：AB=U,且A,B两点表示的数互为相反数，

.•.点A表示的数是-6,

所以答案是：-6；

（2）-：AB=12,AC=

/.AC=4,BC=8,

设经过r秒点C是BP的中点，

依据题意列方程得2f=8+8,

解得f=8,

所以答案是：8；

（3）设点。运动了无秒时MC=2QB,

①当Q点在B点左侧时，即CQ=|BQ,

依据题意列方程得L4=|（12-力

解得t=若;

1

②当Q点在B点右侧时，即BC+^BQ=2.BQ,

依据题意列方程得8+4（L12）=2（f-12）,

解得t=~

4452

综上，当。运动了w秒或三■秒时MC=2QB.

三.行程类之一般相遇'追及

7.M,N两地相距6006，甲、乙两车分别从M、N两地动身，沿一条大路匀速相向而行，甲与乙

的速度分别为100初1〃7和20切1/〃，甲从M地动身，到达N地马上调头返回M地，并在M地停留

等待乙车抵达，乙从N地动身前往M地，和甲车会合.

(1)求两车其次次相遇的时间；

(2)求甲车动身多长时间，两车相距20历小

试题分析：(1)设经过x小时两车其次次相遇，依据“甲车行驶路程减去乙车行驶路程=600”列

方程求解；

(2)设甲车动身/小时与乙车相距20bw,分第一次相遇前、后，其次次相遇前、后及甲车到达

/地停留等待乙车抵达时五种状况，列方程求解.

答案详解：解：(1)设经过x小时两车其次次相遇，由题意可得：

100%-20x=600,

解得：x=7.5,

答：两车经过7.5小时其次次相遇；

(2)设甲车动身t小时与乙车相距20Am,

①两车第一次相遇前，

100f+20f=600-20,

解得：U名

②两车第一次相遇后且甲车还未到达N地，

100什20/=600+20,

解得：U将；

③甲车到达N地返回M地至两车其次次相遇前，

100Z-20^=600-20,

解得：U等

④甲车到达N地返回M地至两车其次次相遇后，

100?-20^=600+20,

解得：t=~

⑤甲车达到N地等待乙车抵达时，

201=600-20,

解得:/=29,

29312931

综上，甲车动身一时或一时或一时或一时或29时，两车相距20万加

6644

8.甲、乙两地相距72A7",一辆工程车和一辆洒水车上午6时同时从甲地动身，分别以vikm/h、v2km/h

的速度匀速驶往乙地.工程车到达乙地后停留了2/?,沿原路以原速返回，中午12时到达甲地，

此时洒水车也恰好到达乙地.

(1)ri=36km/h,vi=12km/h；

(2)求动身多长时间后，两车相遇？

(3)求动身多长时间后，两车相距305I?

试题分析：(1)分别用两车行驶路程除以行驶时间即可得到两车的速度；

(2)设动身尤小时后两车相遇，可得36(x-2)+12尤=72X2,即可解得答案；

(3)设动身t小时后两车相距30加7,分三种状况：①在工程车还未到达乙地，即当0<f<2时，

36L12f=30,②在工程车在乙地停留，即当2W/W4时，⑵+30=72,③在工程车返回甲地的途

中，即当4</W6时，未相遇时：36(?-2)+⑵+30=72X2,相遇后：36(L2)+⑵-30=72

X2,即可分别解得答案.

、77V?77

答案详解：解：(1)由题意得：vi=―z—7=36(kmlh),V2=〒5—^=12Qkmlh),

所以答案是：36kmih,\1kmlh-,

(2)设动身x小时后两车相遇，

依据题意得：36(x-2)+12x=72X2,

解得x=p

9

答：动身£小时后两车相遇；

(3)设动身f小时后两车相距30M",

①在工程车还未到达乙地，即当0<f<2时，36Z-12r=30,解得t=1；

②在工程车在乙地停留，即当2W/W4时，12什30=72,解得f=5

③在工程车返回甲地的途中，即当4<忘6时，未相遇时：36(L2)+⑵+30=72X2,解得u等

O

(不合题意，舍去)，

相遇后：36(/-2)+⑵-30=72X2,解得仁集

一5741

答：动身一、一、一小时，两车相距306.

428

四.行程类之车过隧道大桥

9.一列匀速前进的火车，通过列车隧道.

（1）假如通过一个长300米的隧道从车头进入隧道到车尾离开隧道，共用15秒的时间（如

图1）,又知其间在隧道顶部的一盏固定的灯发出的一束光垂直照射火车2.5秒，求这列火车的长

度；

（2）假如火车以相同的速度通过了另一个隧道CD,从火车车尾全部进入隧道到火车车头刚好到

达隧道出口（如图2）,其间共用20秒时间，求这个隧道的长.

E1______________________-1

AB

图1

L1L.I

CD

图2

试题分析：（1）等量关系为：（隧道长度+火车长度）+15=火车长度+2.5；

（2）等量关系为：隧道的长度CO=火车的长度+行驶的路程.

答案详解：解：（1）解：设这列火车的长度是尤米.

由题意得：（300+x）+15=x+2.5,

解得：x=60.

答：这列火车的长度是60米.

（2）依据题意知，一X2O+6O=54O（米）.

2.5

所以，CD的长为540米.

10.一列动车以3QQkm/h的速度过第一、其次个隧道，已知其次个隧道的长度比第一个隧道长度的

2倍还多1.5初2,若该列动车过其次个隧道比第一个隧道多用了93秒，则其次个隧道的长度是

14km.

试题分析：依据题意可以列出相应的方程，留意单位要统一.

答案详解：解：设第一个隧道长度是xh",

X2%+1.5

一X3600X3600—93,

300300

解得，x—6.25,

・・・2x+1.5=14,

所以答案是：14切:.

五.行程类之顺水逆水

11.某人乘船由A地顺流而下到达B地，然后又逆流而上到C地，共用了3小时.已知船在静水中

速度为每小时8千米，水流速度是每小时2千米.已知4、3、C三地在一条直线上，若AC两地

距离是2千米，则两地距离多少千米？（C在A、8之间）

试题分析：依据路程、速度、时间之间的关系列出方程即可解答.

答案详解：解：设A3两地距离为x千米，则两地距离为（尤-2）千米.

依据题意，得

xx-2

------+-------=3

8+28-2

解得x=苧.

25

答:A3两地距离为一千米.

2

12.一只汽艇从A码头顺流航行到B码头用2小时，从B码头返回到A码头，用了2.5小时，假如

水流速度是3千米/时，求：

（1）汽艇在静水中的速度；

（2）A、B两地之间的距离.

试题分析：（1）可设汽艇在静水中的平均速度是x千米/小时，依据等量关系：甲码头到乙码头的

路程是肯定的，列出方程求解即可；

（2）依据速度、时间、路程间的关系解答.

答案详解：解：（D设汽艇在静水中的速度为由题意，得

2（x+3）=2.5（x-3）

-0.5x=-13.5

尤=27.

答：汽艇在静水中的平均速度是27千米/小时；

（2）由题意，得2（x+3）=2（27+3）=60（千米）

答：A、2两地之间的距离是60千米.

六.工程类

13.为庆祝建国七十周年，南岗区预备对某道路工程进行改造，若请甲工程队单独做此工程需4个

月完成，若请乙工程队单独做此工程需6个月完成，若甲、乙两队合作2个月后，甲工程队到期

撤离，则乙工程队再单独需几个月能完成？

试题分析：由题意甲工程队单独做此工程需4个月完成，则知道甲每个月完成上乙工程队单独

4

1_11

做此工程需6个月完成当两队合作2个月时，共完成(2x]+2x1)，设乙工程队再单独做此

工程需x个月能完成，则依据等量关系甲完成的+乙完成的=整个工程，列出方程式即可.

答案详解：解：设乙工程队再单独需x个月能完成，

111

由题意,得2x4+2xj1.

解得x=l.

答：乙工程队再单独需1个月能完成.

14.由于地铁施工，需要拆除我校图书馆，七班级同学主动担当图书馆整理图书的任务，假如由一

个人单独做要用30小时完成，现先支配一部分人用1小时整理，随后又增加6人和他们一起又

做了2小时，恰好完成整理工作，假设每个人的工作效率相同，那么先按排整理的人员有多少？

试题分析：设先支配整理的人员有x人，依据工作效率X工作时间义工作人数=工作总量结合题

意，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论.

答案详解：解：设先支配整理的人员有x人，

11

依据题意得：—r+3Qx2(x+6)=1,

解得：x=6.

答：先支配整理的人员有6人.

七.方案设计类

15.为了更好地落实“双减”政策，丰富同学课后托管服务内容，某校打算购买一批足球运动装备.经

市场调查发觉：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每

个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等.

(1)求每套队服和每个足球的价格各是多少？

(2)甲商场优待方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优待方案是：若购买队服超过80

套，则购买足球打八折.若该校购买100套队服和。个足球(其中10且为整数)，请通过计

算说明，学校接受哪种优待方案更省钱？

①请用含a的式子表示：

甲商城所花的费用100。+14000,乙商城所花的费用80a+15000；

②当购买的足球数a为何值时在两家商场购买所花的费用一样？

试题分析：（1）设每个足球的定价是x元，则每套队服是（x+50）元，依据两套队服与三个足球

的费用相等列出方程，解方程即可；

（2）①依据题意列式子即可；

②依据甲、乙两商场的优待方案即可求解；

答案详解：解：（1）设每个足球的定价是x元，则每套队服是（龙+50）元，依据题意得

2（x+50）=3%,

解得x=100,

尤+50=150.

答：每套队服150元，每个足球100元；

（2）①甲商场购买所花的费用为：150X100+100一带）=100a+14000（元），

乙商场购买所花的费用为：150X100+0.8义100・。=80。+15000（:元）；

所以答案是：100a+14000；80a+15000；

②两家商场购买所花的费用一样时，100“+14000=80a+15000,

解得a=50,

答：购买的足球数。为50时在两家商场购买所花的费用一样.

16.为举办校内文化节，甲、乙两班预备给合唱同学购买演出服装（一人一套），两班共92人（其

中甲班比乙班人多，且甲班不足90人），下面是供货商给出的演出服装的价格表：

购买服装的套数1套至45套46套至90套91套以上

每套服装的价格60元50元40元

假如两班单独给每位同学购买一套服装，那么一共应付5020元.

（1）甲、乙两班联合起来给每位同学购买一套服装，比单独购买可以节省多少钱？

（2）甲、乙两班各有多少名同学？

（3）假如甲班有10名同学被调去参与书画竞赛不能参与演出，请你为两班设计一种最省钱的购

买服装方案.

试题分析：(1)若甲、乙两班联合起来购买服装，则每套是40元，计算出总价，即可求得比各自

购买服装共可以节省多少钱；

(2)设甲班有x名同学预备参与演出.依据题意，明显各自购买时，甲班每套服装是50元，乙

班每套服装是60元.依据等量关系：①共92人；②两校分别单独购买服装，一共应付5020元，

列方程即可求解.

(3)甲班需服装40套，乙班需服装42套，方案一：甲乙合买82套服装费用：82X50=4100元，

方案二：甲乙共买92套服装费用：92X40=3680元，即可得答案.

答案详解：解：(1)由题意得：5020-92X40=1340(元).

即两班联合起来购买服装比各自购买服装共可以节省1340元.

(2)设甲班有尤名同学预备参与演出(依题意46Vx<90),则乙班有同学(92-%)人.

依题意得：50x+60(92-x)=5020,

解得:x=50.

于是：92-x=42(人).

答：甲班有50人，乙班有42人；

(3)•.•甲班有10名同学被调去参与书画竞赛不能参与演出，

甲班需服装40套，乙班需服装42套，

方案一：甲乙合买82套服装费用：82X50=4100元，

方案二：甲乙共买92套服装费用：92X40=3680元，

V4100>3680,

...甲乙两班共买92套服装最省钱.

17.水资源透支现象令人担忧，节省用水迫在眉睫.针对居民用水铺张现象，重庆市政府和环保组

织进行了调查，并制定出相应的措施.

(1)据环保组织调查统计，全市至少有6X1()5个水龙头、2X1(/个抽水马桶漏水.若一万个漏

水的水龙头一个月能漏掉。立方米水；一万个漏水的马桶一个月漏掉。立方米水，则全市一个月

仅这两项所造成的水流失量是多少？

(2)针对居民用水铺张现象，市政府将制定居民用水标准：规定每个三口之家每月的标准用水

量，超过标准部分加价收费.若不超标部分的水价为每立方米3.5元；超标部分为每立方米4.2

元.某家庭某月用水12立方米，交水费44.8元，请你通过列方程求出我市规定的三口之家每月

的标准用水量为多少立方米.

（3）在近期由市物价局进行的水价听证会上，有一代表提出一新的水价收费设想：每天8：00至

22：00为用水高峰期，水价可定为每立方米4元；22：00至次日8：00为用水低谷期，水价可定

为每立方米3.2元.若某三口之家依据此方案需支付的水费与（2）问所交水费相同，又知该家庭

用水高峰期的用水量比低谷期少20%.请计算哪种方案下的用水量较少？少多少？

试题分析：（1）依据题意“水龙头漏水量+马桶漏水量”可直接计算出全市一个月仅这两项所造成

的水流失量；

（2）先依据水费判定他家的用水量超过标准用水量，再依据超过的计算方法列方程求解即可；

（3）设用水低谷期的用水量为y立方米，则用水高峰期的用水量为（1-20%）y立方米，利用水

费44.8作为相等关系列方程可求得水低谷期的用水量，再求得总的用水量，用作差法即可比较.

答案详解：解：（1）:•瞽，P+徐目"=60a+2b

.,.全市一个月仅这两项所造成的水流失量是（60a+26）立方米.

44.8

(2),/——>3,5,

12

，该家庭该月用水量超过标准用水量,

设我市规定的三口之家的每月标准用水量为x立方米,

由题意得：3.5x+4.2(12-x)=44.8,

解得：尤=8,

答：我市规定的三口之家的每月标准用水量为8立方米.

（3）设用水低谷期的用水量为y立方米，则用水高峰期的用水量为（1-20%）y立方米,

由题意得：3.2/+4X（1-20%）y=44.8,

解得：y=7,

：.y+（1-20%）y=7+5.6=12.6,

V12.6-12=0.6（立方米）.

问题（2）中的方案下的用水量较少，少0.6立方米.

18.列一元一次方程解应用题.

有一批共享单车需要修理，修理后连续投放骑用，现有甲、乙两人做修理，甲每天修理16辆，乙

每天修理的车辆比甲多8辆，甲单独修理完成这批共享单车比乙单独修理完多用20天，公司每

天付甲80元修理费，付乙120元修理费.

（1）问需要修理的这批共享单车共有多少辆？

（2）在修理过程中，公司要派一名人员进行质量监督，公司负担他每天10元补助费，现有三种

修理方案：①由甲单独修理；②由乙单独修理；③甲、乙合作同时修理，你认为哪种方案最省钱，

为什么？

试题分析：（1）通过理解题意可知本题的等量关系，即甲乙单独修完共享单车的数量相同，列方

程求解即可；

（2）分别计算，通过比较选择最省钱的方案.

答案详解：解：（1）设乙单独做需要x天完成，则甲单独做需要（x+20）天,由题意可得：

16（尤+20）=24%,

解得：x=40,

总数：24X40=960（辆），

答：乙单独做需要40天完成，甲单独做需要60天，一共有960辆共享单车；

（2）方案一：甲单独完成：60X80+60X10=5400（元），

方案二：乙单独完成：40X120+40X10=5200（元），

方案三：甲、乙合作完成：960+（16+24）=24（天），

则一共需要：24X（120+80）+24X10=5040（元），

所以选择方案三合算.

八.日常生活中的方程一水电类

19.列方程解应用题：

为了加强公民的节水意识，某市将要接受价格调控手段达到节水目的，设计了如下的调控方案.

价目表

每月用水量单价

不超出10吨的部分2.5元/吨

超出10吨的部分3元/吨

（1）甲户居民五月份用水12吨，则水费为31元.

（2）乙户居民八月份缴纳水费40元，则该户居民八月份用水多少吨？（列方程解答）

试题分析：(1)甲户居民五月份用水12吨，则有10吨水每吨按2.5元收费，而另外2吨则按每

吨3元收费，列式并计算出相应的钱数即可；

(2)设该户居民八月份用水x吨，再依据10吨水的水费与超过10吨部分的水费的和为40元列

方程求出x的值即可.

答案详解：解：(1)甲户居民五月份用水12吨，

则2.5X10+3X(12-10)=31(元)，

甲户居民五月份的水费为31元，

所以答案是：31.

(2)设该户居民八月份用水无吨，

依据题意得2.5X10+3(%-10)=40,

解得x=15,

答：该户居民八月份用水15吨.

20.近日，无锡市进展改革委印发《关于优化调整居民阶梯气价政策有关事项的通知》，从2024年

1月1日起，增加一、二档用气量，“一户多人口”政策同步调整.

气量分档年用气量(立方米)