东北三省四市联考暨沈阳市2024届高三年级下册数学质量检测（二）

2024年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量检测（二）

数学

本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，

在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项：

i.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.

2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第n卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在

本试题卷上作答无效.

3.考试结束后，考生将答题卡交回.

第I卷（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合4={0,—1,1,2},3={削V=无},则AI3=（）

A.{-1}B.{-1,1}C.{0,1}D.{-1,0,1}

2.抛物线「：了=依2过点（2,1）,则「的准线方程为（）

A.x=lB.y=—1C.x=—2D.y=—2

3.已知向量5=（2,4）,1=（3,—1）,贝广左=血”是“（石+读），（三一读）”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知ae（0,;r）,且sina+cosa='^ijtan2a=（）

5.甲、乙、丙三人从事a,6,c三项工作，乙的年龄比从事C工作的人年龄大，丙的年龄与从事6工作的人的

年龄不同，从事6工作的人的年龄比甲的年龄小，则甲、乙、丙的职业分别是（）

A.a,b,cB.c,a,bC.c,b,aD.b,c,a

6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳

爻------------和阴爻“——一”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，记事件A="取出

的重卦中至少有1个阴爻"，事件3="取出的重卦中至少有3个阳爻”.则P（B|A）（）

5114115

A.—B.—C.—D.—

16326364

7.正方体ABC。-44cl2中，尸为正方形ABC。内一点（不含边界），记。为正方形A3CD的中心，直

线尸小总产6/已与平面村旦弓口所成角分别为%%，%^.若2=仇,%＞仇,则点尸在（）

A.线段Q4上B.线段08上C.线段0C上D.线段0。上

8.在同一平面直角坐标系内，函数y=/（x）及其导函数y=/'（x）的图像如图所示，已知两图像有且仅有一

个公共点，其坐标为（0,1）,则（）

A.函数、=/（%）•/的最大值为1B.函数y=/（%）•/的最小值为1

C.函数y里的最大值为1D.函数y里的最小值为1

eel

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.设方程炉+%+1=。在复数范围内的两根分别为Z],Z2,则下列关于4/2的说法正确的有（）

A.z；=z2B.z；—z；=0C.z；—z]=0D.ztz2=1

10.已知正四棱锥S-A5CD的所有棱长均相等，。为顶点S在底面内的射影，则下列说法正确的有（）

A.平面&4。，平面SBC

B.侧面S3。内存在无穷多个点P,使得OP〃平面S4D

77

C.在正方形ABCD的边上存在点0,使得直线SQ与底面所成角大小为g

D.动点分别在棱AB和BC上(不含端点)，则二面角S——0的范围是

11.已知数列｛4｝的通项公式为4=(-1)”•7，^j5=l,2,3,L),则下列说法正确的有()

A.若cWl,则数列｛,」｝单调递减

B.若对任意〃£N*,都有an>%,则c<l

C.若c£N*,贝ij对任意z,jGN*,都有弓+%w0

D.若｛%｝的最大项与最小项之和为正数，则2左—；<c<2左+g/eN*

第n卷(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，其中14小题第一空2分，第二空3分，共15分.

12.已知函数小)=］八：2)二：’则小gs/---------

13.已知A(-1,O),5(-4,0),|依|=21R41,若平面内满足到直线/:3x+4y+机=0的距离为1的点尸有且只

有3个，则实数加=.

14.有序实数组GEL,尤,J(〃eN*)称为〃维向量，kJ+lwl+L+同为该向量的范数，范数在度量向量

的长度和大小方面有着重要的作用.已知〃维向量5=(再,X2，L，%)，其中为e｛0,1,2｝,，=1,2,L,“，记范数为

奇数的。的个数为4,则4=；.(用含w的式子表示)

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

在△ABC中，角A、8、C所对的边为a、b、c,asin8=-&cosA,角A的平分线交边于点。，且AD=1.

(1)求A的值；

(2)若3。=2行,求△ABC的面积.

16.(15分)

Y

已知函数/(%)=---aex,aeR.

ex

(1)当〃=0时，求/(x)在1=1处的切线方程；

(2)当a=l时，求/(%)的单调区间和极值;

(3)若对任意xeR,有/(x)<e*T恒成立，求a的取值范围.

17.(15分)

正四棱台ABC。—A4G。的下底面边长为20,44=；A5M为BC中点，已知点尸满足

uunuuniuuouuur

AP=(1-2)AB+-2AD+2A41，其中Xe(0,l).

(1)求证QPLAC；

32

(2)己知平面AMG与平面ABC。所成角的余弦值为一，当丸=—时，求直线。尸与平面A"G所成角的

1731

正弦值.

18.(17分)

以坐标原点为圆心的两个同心圆半径分别为卡和6,P为大圆上一动点，大圆半径。尸与小圆相交于点

5,PPUx轴于P',BB'±PP'于B',B'点的轨迹为Q.

(1)求3'点轨迹Q2的方程；

(2)点A(2,l),若点V、N在Q2上，且直线A4、AN的斜率乘积为;，线段的中点G,当直线与

y轴的截距为负数时，求NAOG的余弦值.

19.(17分)

入冬以来，东北成为全国旅游和网络话题的“顶流”.南方小土豆们纷纷北上体验东北最美的冬天，这个冬天

火的不只是东北的美食，东北人的热情，还有东北的洗浴中心，南方游客直接拉着行李箱进入，拥挤程度堪比

春运.东北某城市洗浴中心花式宠“且”，为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由

选择A和8两个套餐之一，并在App平台上推出了优惠券活动，下表是该洗浴中心在App平台10天销售优

惠券情况.

日期r12345678910

销售量y(千张)1.901.982.202.362.432.592.682.762.700.40

1101010

经计算可得：y=-E^=2.2,=118.73,£==385.

1U1=11=1i=l

(1)因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，

现剔除第10天数据，求y关于f的回归方程；(结果中的数值用分数表示)

(2)若购买优惠券的顾客中选择A套餐的概率为一，选择2套餐的概率为三，并且选择A套餐需要用一张

55

优惠券，选择B套餐需要用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为w张的概率为4,求月；

(3)记⑵中所得概率匕的值构成数列｛£｝(“©N*).

①求数列｛月｝的最值；

②数列收敛的定义：已知数列｛«„｝，若对于任意给定的正数£,总存在正整数No，使得当〃>N。时，|为-a1<£,

Q是一个确定的实数)，则称数列｛4｝收敛于。.根据数列收敛的定义证明数列｛月｝收敛.

2(x,.-x)(y,.-y)£x^-nxy

参考公式：B=上，-------------=号-----------

2

E(^-^)之标2

z=li=l

2024年东北三省四城市联考暨沈阳市高三质量检测(二)

数学(参考答案)

一、单项选择题：

1.D2.B3.A4.C5.A6.C7.B8.C

二、多项选择题：

9.ABD10.BD11.ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

(或少且二

12.—13.±514.40；

1622

部分参考答案：

26-1=||,事件正

6.P(A)取出的重卦中有3阳3阴或4阳2阴或5阳1阴

26

则P(AB)=盘+0：+=%，则p(BlA)==—

2664P(A)63

【答案】C

7.直线R，PBi,Pg,PA与平面4片。］。所成角大小分别为400，4等价于直线％，PB1,PC,,PD1与

TT7TTC7T

直线A&BBICG，。，成角大小分别为a，］—a，］—a，］—a，由a=a，可知2在线段5。上，又

7TTT

%>%，则a，p耳与8片成角更小，则点尸在线段上

【答案】B

8.由题意可知，两个函数图像都在无轴上方，任何一个为导函数，则另外一个函数应该单调递增，判断可知，

虚线部分为y=f(x)，实线部分为y=f(x)，则A,B显然错误，对于C,D而言

y'=广⑴厂J.J(x)：/(x),由图像可知^^一^0^:工也单调递增，；^©，©,^^」®

⑹一exevel

单调递减，所以函数丁=等在x=0处取得最大值为1

【答案】C

9.由实系数一元二次方程求根公式知Z］=-g+^i,Z2=-；-#，,Z］,Z2是1的两个立方虚根，

则z；=——+i=———i=z2(与ZpZ2顺序无关)，A正确;

33

因为Z：=z23=1,所以Z1-Z2=O,B正确;

22

Z1-z2=z2-Z[0,C错误；Z[Z?=Z]Z]=[zj=1,D正确.

【答案】ABD

10.已知所有棱长都相等，不妨设为1.

A:过S作直线1//ADMI为平面&4£＞与平面SBC的交线，取AT＞中点及3C中点£连接ES,FS，则NESF

为二面角A—/—3的平面角，连接所，在△EES中，

所以平面&⑦与平面S5C不垂直，故A错；

B：取SB中点G,SC中点X,连接OGH，可知平面OGH//平面S4Z),所以当Pe团时，QP〃平面S4O,这

样的点P有无穷多，故8正确；

C：由己知可知当Q在正方形ABCD各边中点时，SQ与底面ABCD所成的角最大，

1

cosZSEO=^=—＞-,所以NSEO〈至，所以不布存。使得SQ与底面ABCD成的角为工，故出错

y/33233

了

误；

D：作01垂直于MN，连接SI，则ZSIO为二面角S-MN-0的平面角,

TTTT

当跖V都无限向点2靠拢时，NSIOr—；当ANfC时，NSHOf—,

42

所以二面角S—MN—O范围是与3故D正确.

【答案】BD

A：同=彳"%|=而占才

(71+1—c)2+1-[(几-C)2+1]=2〃+l-2c

因为c<l,〃eN*,所以2〃+l—2c>0所以(〃+l—+1〉(〃—+1

所以即数列｛|4|｝单调递减，故A正确;

B:a--------------<0

}(l-c)2+l

当〃为偶数时，24,必成立，c任意;

当"为奇数且时，见认为------:—>-----\—

(n-c)2+l(l-c)2+l

等价于(〃—c)2+12(l—c>+l

等价于。<己担，而(2担]=2,所以cW2.综上cW2,故B错误;

2I2Jmin

C:显然当4•同奇或同偶时，必有q+为/0

当i为奇数，/为偶数时，

11.(i+j—2c)(i—j)

a，+%一"(z-c)2+l+U-c)2+l—[(z-c)2+l][(j-c)2+l]

因为，+/为奇数，2c为偶数，ceN",所以，+/-2c/0,

所以卬+%*0,故C正确；

D:先考虑最大项，最小项和为0,再调整：

若和为0,则c必为相邻两整数正中间，如：

上图是c=3.5情形，a3+a4=0；

当cf3.4时，会有同>同,。3+%<°，如下图----

"，故D正确.

【答案】ACD

813竭81

+2+2=/=

1616

13.设点P(x,y),由|P51=21PA|得/+V=4，若该圆上有且只有3个点直线/:3%+4y+机=0的距离为

1,则圆心到直线的距离〃=回=1,解得加=±5.

5

14.根据乘法原理和加法原理得到&=C；・23+C；♦2=40.

奇数维向量，范数为奇数，则七=1的个数为奇数，即1的个数为1,3,5,…，2〃+1,

2n2224

根据乘法原理和加法原理得到=C[n+l2+Ct+12"-+Cf„+12"-+L+C；：：；2。,

2n+12n+12n+1222

3=(2+l)=C°,+12+C\n+i2"+C；n+12"-+L+C；：：；2°

2n+12n

1=(2—1严=C°n+12-CL+12+C；n+1227—L—c；：：；2°

32n+1-l3x9"-1

两式相减得到2(或三一)

四、解答题：

15.(1)因为QsinB=-J5bcosA,由正弦定理可得sinAsinBu—J^sinBcosA3分

_0

sin5W0,所以sinA=-43cosA，故tanA=一6,ZA=—6分

3

⑵由题思可知治•)+S-CD=$AABC,

即,。$111600+!从111600=工/7八111120°,化简可得/?+。=历，9分

222

..A,,,..,-rm/i=t4b?+/_g2(b+c)2_2bc_〃21

在AABC中，由余弦定理得cosA=-----------=------------------=—

2bc2bc2

从而此一丝_^=一_L,解得>。=5或人。二7(舍)12分

2bc2

所以S/XABC=；6csinA=gx5sinl200=乎13分

v1—x1

16.(1)当。=0时，/■(%)=：,贝1」/'(%)=丁，/(1)=0,7\1)=—,

eee

所以切线方程为3分

e

2x

1_X—e

(2)当。=1时，f{x}=XQX-eA,f(x)=(1-x)e-r-e1=—4分

ex

令g(x)=l-x-e2x,gr(x)=-1-2e2x<0

故g(x)在R上单调递减，而g(0)=0,因此0是g(x)在R上的唯一零点

即：0是/'(x)在R上的唯一零点6分

当无变化时，/'(x),/(%)的变化情况如下表：

/’(%)(-8,0)0(0,+co)

“X)+0-

/极大值

〃九)的单调递增区间为：(0,+8)；递减区间为：(-oo,0)8分

〃九)的极大值为/(O)=-1,无极小值.9分

xe~x—ex~xx1

(3)由题意知加一尢一〃，《"一1,即〃2---------------,即。之二--士

exee

Y1e2x-2xe2xl-2x

设m(x)=-.......,贝Umr(x)=11分

e“e2

r

令m(x)=0，解得x=—

2

1g,+oo),加'(x)<0,m(x)单调递减,

当工£—00—,m'(x)>0,m(x)单调递增,当

2

所以加(%)max=加14分

e2e

所以〃2---------15分

2e

1uunuunuunuum历

17.(1)方法一：Q4耳=]AB,「.AAj•AB=AA]AO=2j2x==21分

uuiriuuinuuir

QDiA=--AD-AAi

uuirumruunuunlimnuim

/.D1P=D1A+AP=(1-2)AB+IlAD+Cl-DA^2分

uuiruuifluunuumuuirmmuma

:.D{PAC=(1—4)AB+[/—gjAD+(4—1)朋(AB+AD)

UUtt2111皿2uunuuirUUIDuuu

=(1-2)Afi+-2--AD+(2-l)ABA4i+(2-l)ADA41

=8(1-2)+8|11-11+4(2-1)=0

UUUULUL

/.DjPlAC^PD^lAC.5分

(1)方法二：如图所示建立空间直角坐标系，设正四棱台的高度为九则有

A电,0),B@,V2,0),C(—&,V2,0),

-当“，G-*-*小，〃(0，四，0)

D(-V2,-V2,0)，A

2J、岑卓“。I22J

ULUU_—

AC=(-2V2,2V2,0)

uuni(3J?r-3x/2

AP=(1-2)(0,2V2,0)+-2(-2V2,0,0)+2(亚—亚,0、=—-—2,272—--2,2/z

22,22

队除4T

旧―甥阳」372,3A/23A/2„“八

DP—D、A+AP-------A/H-----,-------4H-----,A/h-h4刀

1}1I2222J

UUU1uuu

故AC.尸=0,所以QPLAC5分

（2）方法一：确定正四棱台的高（传统法）

取0c中点瓦则GE1平面ABCD,^EF±AM，垂足为凡连结QF，由三垂线定理得QF，AM,所以

NQFE为平面AMQ与平面A3CD所成二面角的平面角,因为AB=2J5,SAAME=|SAAMC=|x2=|,

7分

:.-EFAM^-,:.EF=^^~8分

2210

cosNC[FE=g,tanN&FE=,即雪=,:.QE=2

11分

方法二：确定正四棱台的高（空间向量）

设平面ABCD的法向量为方=（0,0,1）

rumr厂uuir(3Jo3拒

设平面AMC,的法向量为根=(x,y,z),AM=(-V2,20,0),AQ=-堂，气由

7

rllULTr—^2x+—0

AM-m=0

则有《umr'即<3也3人，令x=2，则克=（20〃,后九3）8分

r

AC-m=0-------xH-------y+辰=0

X22

rr33

又题意可得Icos〈私力|=/=2,可得/z=211分

A/8/Z2+2/I2+97

因为X=g,经过计算可得P1O,O,g：。一字一与2,辨=[忘,、历,(]13分

将〃=2代入，可得平面A"G的法向量4=(40,20,3)14分

设直线DP与平面AMQ所成角的为0

sin*|c°s〈那，演=」-_=出2

17分

91

x=|0P\cos0-V6COS0

18.（1）设&（羽y）,NR9P=氏则《厂，3分

y=|OB|sin=V3sin3

2222

消去。得土+）-=l所以3'点轨迹Q的方程土+匕=15分

6363

（2）方法一：

设M（内，％）,N（w,%），直线肱V的方程为y=丘+m

y=kx-\-m

22

xy消去y可得：（1+242）/+4物a+27n2-6=。

1十行一

A=（4M2—4（1+2左2）（2n?_6）=48k2-8m2+24>0,§Pnr<6k~+3

-4km2m~-6

从而玉十%=

1+242'芯逮2-1+242

7,y,-1y-1kx+m-lkx2+m-l

射加=”一9二下}1

%-2

22

kxxx2+左（m一1）（再+x2）+（m-l）

石工2—2（西+%2）+42

整理得4左2+26+加一1=0,即（4左2_1）+m（2k+1）=（2k+1）（2左-l+m）=08分

当2%+1=0时，直线MN的方程为丁=—；x+m

当2左—1+机=0时，直线跖V的方程为y=k（x—2）+1,恒过A（2,l）点，不合题意10分

设G&,光）,将"（岛M），N（如％）

|22

工+j2222

将M、N两点代入到椭圆中＜63,两式相减得工+比。1=0,

%-63

163

2A

即（%—%）（%+%）4-。31

=-^k-k=--,故脸=114分

（再一元2）（石+%2）西+々0、MN0G

UU（UJT-

设0G与y轴负平轴所形成的夹角为a,因为七G=1，所以&

UUL尺2、后

设。4与尤正半轴所形度的夹角为夕，因为A（2,l）,所以sin，=Y，cos，=q^

cosZAOG=cos+a+/7j=-sin（«+尸）=-（sinacos0+cosasin/?）=——17分

方法二：

设〃（七,%）,"（々,%），直线期的方程为2）+i

y=左（九一2）+1

＜炉,2消去y可得：（1+2左2卜2—（8左2—4左卜+8左2—8左—4=0

［63

8左2—8左一4,心4k2—4k—2

从而xA•X]=---------；—，故%.=--------5—

1+24211+242

_4"2_4"（4k2_4t_9_4"2_4k

将再代入直线AM的方程可得%=+1，所以加［1+2；2，］；2左2+1

12—4k—4k~—2—4-k

又3w.L=5，将式点M中的人换成乐得到N[if242，4正

左MN=超二M=—g，下面同方法一

x2-X；2

方法三:

以A（2,l）为坐标原点建立新的直角坐标系，新坐标系下椭圆方程,―2）一+"-1）=1,

63

在新坐标系下设M（%,%）,N（%2,%），直线肱^的方程为"a+"y=1

将椭圆方程变形可得：x2+4x+2y2+4y=0

2

将直线MN的方程与椭圆方程结合，构成其次分式可得x+4x（nu+型）+2y2+4y（nu+型）=0

整理得(4"+2)y2+(4n+4/n)xy+(1+4/n)x2=0

即：（4〃+2）［2］+（4"+4刈））+（1+4相）=0,所以左A”MAN=^^^=工，故〃=2根，

（x）xXy工24-YII22

直线跖V的方程为“+2阳=1,%,=—g，下面同方法一

方法四：

设M（%,%）,N（%2，%），直线MN的方程为y-kx+m

y=kx+m

<x2y2消去y可得：（1+2左2）/+4也a+2加2—2=0

、至十可一

因为石,々是上述一元二次方程的两个根，所以（1+242,2+4ktm+2加—2=（1+2左2）（X—玉）（尤—9）

©

又心J.—=；

玉一2x2-22

整理得:(%—2)(%—2)—2(%—1)(%—1)

=-2)(X2-2)-21C

在①式中

令x=2得：4(1+2左2)+8助z+2疗—2=(1+2左2)(2—芯)(2—电)②

令户一得：出产0+2+44子”疗-2=（1+2切］7-J,-

③

②+③X（―242）可得：整理得4左2+2E1+m—1=0,下面同方法一

（以上方法可酌情给分）

日【！7人4”-I-^,4-1=1AA/—\1vn2.2x10—0.4—1+2+L+9_

19.(1)剔除第10天数据的(y)新=3工％=-----------=2.4,«)新=-----------=5

“z=iVy

(io、(10、

»»=118.73-10x0.4=114.73；ft；=385-102=285

Vi=lJ新3=iJ新

Y.x^-nxy

114.73-9x5x2.4673

所以----------

2—2285—9x5?6000

玉-nx

Ei=i

.