2024年中考数学探究性训练-图形的相似

备考2024年中考数学探究性训练专题25图形的相似

一、选择题

1.如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视

力表中最大的“E”字高度为62.7mm,当测试距离为3小时，最大的“E”字高度为（）

43.62mmD.104.5mm

2.如图，正方形ZBCD边长为4,点E在边ZD上运动，在BE的左侧作等腰直角三角形=90°,

连接4F.喜欢探究的小亮通过独立思考，得到以下两个结论：①当点E与点D重合时，XF=4；②

当线段4F最短时，4E=2.下列判断正确的是（）

A.①，②都正确B.①，②都错误

C.①正确，②错误D.①错误，②正确

3.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段

MN分为两线段MG、GN,使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即

满足然=然=点=,后人把电二这个数称为“黄金分割数”，把点G称为线段MN的“黄金分

MNMG22

割点”.如图，在AABC中，已知AB=AC=3,BC=4,若点D是边BC边上的一个“黄金分割点”，则

△ADC的面积为（）

D

A.5-V5B.3V5-5C.20-8V5D.10-4V5

4.在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下:

（向：将边长为3,4,5的三角形按图①的方式

向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间，令/弋、

距均为1，则新三角形与原三角形相似./.二，

图①

\）

2：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外…户----1

扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均

为1,则新矩形与原矩形不相似.

囹②

对于两人的观点，下列说法正确的是（）

A.两人都对B.两人都不对

C.甲对，乙不对D.甲不对，乙对

5.如图，将。。的圆周分成五等分（分点为A、B、C、D、E）,依次隔一个分点相连，即成一个正

五角星形.小张在制图过程中，惊讶于图形的奇妙，于是对图形展开了研究，得到：点M是线段AD、

BE的黄金分割点，也是线段NE、AH的黄金分割点.在以下结论中，不正确的是（）

C.BN=NM=MED.Z4=36°

二、填空题

6.四边形ABCD是一张矩形纸片，点E在AD上，将4ABE沿BE折叠，使点A落在矩形的对角线

BD上，连接CF,若DE=1,请探究下列问题:

B.

B,C

（1）如图1,当F恰好为BD的中点时，AE=；

（2）如图2,当点C、E、F在同一条直线上时，AE=.

7.为了测量校园水平地面上一棵不可攀爬的树的高度，小明利用物理学中“光的反射定律”做了如下

的探索：如图，找一面很小的镜子放在合适的位置（点E处），小明站在点D处刚好能在镜子里看到

树梢顶点，此时小明看镜子的视线与地面的夹角为30。（即NCE£>=30。），镜子到大树的水平距离BE

为30米，则树的高度为米（注：反射角等于入射角，结果若有根号则保留根号）.

8.如图1,在Rt^ABC中，NC=90。，AC=3,BC=4,求作菱形DEFG,使点D在边AC上，点E、

F在边AB上，点G在边BC上.小明发现所作的四边形DEFG是菱形，于是小明进一步探索，发现可

作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化，当菱形的个数只有1个时CD的长的取值范围

为________________________.

be干点G

2以点D为四心,DG长为必

连艘FG.则四边形

为所求作的英册.

9.感知：如图①，在四边形ABCD中，AB〃CD,NB=90。，点P在BC边上，当NAPD=90。时，可

知△ABPs^pCD.（不要求证明）

探究:如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当NB=NC=NAPD时,求证:AABP^APCD.

拓展：如图③，在AABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上.若

ZB=ZC=ZDPE=45°,BC=6V2,CE=4,贝I]DE的长为.

10.如图1是2002年发行的中国纪念邮票，其图案是三国时期吴国数学家赵爽在注释《周髀算经》

中所给勾股定理的证明.同学们在探索勾股定理时还出现了许多利用正方形证明勾股定理的方法.如

图2,正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个正方形EFGH拼成；正方形EFGH是由与上述

四个直角三角形全等的三角形和正方形IJKL拼成；正方形ABCD,EFGH,IJKL的面积分别为Si,

Si,S3分别连结AK,BL,CLDJ并延长构成四边形MNOP,它的面积为m.①请用等式表示Si,

Si,S3之间的数量关系为：；②!!!：（用含Si,S3的代数式表示m）

三'理论探究题

11.阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1,在△4BC中，点。在线段BC上，ABAD=75°,

小腾发现，过点C作CE〃AB,交40的延长线于点E,通过构造△4CE,经过推理和计算能够使问题得

到解决（如图2）.

请回答：

（1）乙4CE的度数为,4C的长为.

（2）参考小腾思考问题的方法，解决问题：

如图3,在四边形ZBCO中，4BAC=90°,/.CAD=30°,^ADC=75°,AC与BD交于点E,AE=2,BE

2ED,求BC的长.

12.如图，在AABC中，点D是边AB的三等分点，DE=5,求BC的长.

（1）如图①，在AABC中，点D是边AB的中点，连接DF交AC于点E,若DE：EF=3：1,

EC=2,则AC的长为.

（2）如图②，在AABC中，点D为边BA延长线上一点，连接DE交AC于点F,若点A为DB

的中点，4DBE的面积为4,则4CFE（阴影部分）.

13.两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB,

若华=需，则把这种分割叫做黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点，这个比值叫做黄金比.

（精确到0.001,参考数据：V2=1,4142,V3=1.7321,逐=2.2361,①=2.4495）

（2）如图②，在AABC中，AB=AC,乙4=36。，BD是AABC的角平分线.

求证：点D是线段AC的黄金分割点.

（3）如图③，点E是正方形ABCD的BC边的中点，以点E为圆心以ED长为半径画弧，交射线

BC于点F,过点F作FG1BC交射线AD于点G.若4G=2百，请直接写出AB的长.

14.【中考变形】

定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么我们把这两条线段叫做这个三角形的

三分线.

(1)请你在图1中用两种不同的方法画出顶角为45。的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三

角形顶角的度数(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种).

图1

(2)在AABC中，ZB=30°,AD和DE是AABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上,

且AD=BD,DE=CE,设NC=x。，试画出示意图，并求出x所有可能的值.

(3)如图2,在AABC中，AC=2,BC=3,ZC=2ZB,请画出△ABC的三分线，并求出三分线

的长.

15.(1)数学活动课上，老师出示了一个问题；如图1,在矩形ABCD中，E是边AB上一点，DFLCE

于点F,GD±DF,AGXDG,AG=CF,试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由.

(2)【实践探究】小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2,在正方形ABCD中，E

是边AB上一点，DFLCE于点F,AHLCE于点H,GDLDF交HA的延长线于点G,可以用等式

表示线段FH,AH,CF的数量关系，请你思考并解答这个问题:

图2

（3）【拓展迁移】小博深入研究小睿提出的这个问.题，发现并提出了新的探究点：如图3,在正方

形ABCD中，E是边AB上一点，AHLCE交CE的延长线于点H,点M在CH上，且AH=HM,连

结AM,BH,可以用等式表示线段CM,BH的数量关系，请你思考并解答这个问题.

16.【教材呈现】下面是华师版教材九年级上册52页的部分内容：

我们可以发现，当两条直线与一组平行线相交时，所截得的线段存在一定的比例关系：器=

售.这就是如下的基本事实：

两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.（简称“平行线分线段成比例”）

图①图②图③

（1）【问题原型】如图①，在矩形ABCD中，点E为边AB的中点，过E作EF〃AD交边DC于

点F,点P、Q分别在矩形的边AD、BC±,连结PQ交EF于点M.求证：PM=QM.

(2)【结论应用】如图②，在【问题原型】的基础上，点R在边BC上(不与点Q重合)，连结

PR交EF于点N.

若MN=4,则线段QR的长为；

(3)当点Q与点B重合，点R与点C重合时，如图③，若BC=10,且△PMN周长的最小值为

12,则边AB的长为.

17.如图1,在△N3C中，AB=AC=2,ZBAC=12Q°,点。、E分别是/C、3c的中点，连接DE.

(1)探索发现：

图1中，整的值为,器的值为.

(2)拓展探究

若将绕点C旋转，在旋转过程中第的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明.

(3)问题解决

当4CDE旋转至A,D,C三点共线时，直接写出线段BE的长.

18.

02图3

(1)问题发现

如图1,在△ABC中,AB=AC,D是线段BC上一动点，以ZD为一条边在4D/的左侧作^ADE,

使力0=AE,ZEAD=ZBAC,连接BE.则ZABE与ZC的数量关系为.

(2)类比探究

如图2,在△ABC中，。是线段BC上一动点，以20为一条边在4。的左侧作△2DE,使亲=釜且

Z.EAD=Z.BAC,连接BE.则(1)中乙4BE与“的数量关系仍然成立吗？请说明理由.

(3)拓展应用

如图3,在(2)的条件下，若ZC=3O。，AB=6,当AE取最小值时，△4BE的面积为.

19.定义：长宽比为b：1(〃为正整数)的矩形称为近矩形.下面，我们通过折叠的方式折出一个企

矩形，如图①所示.

操作1：将正方形4BCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处，折痕为BH.

操作2：将4。沿过点G的直线折叠，使点4点。分别落在边4B,CD上，折痕为EF.

则四边形BCEF为鱼矩形.

证明：设正方形4BCD的边长为1,贝UBD=712+I2=V2-

由折叠性质可知BG=BC=1,AAFE=^BFE=90°,则四边形BCEF为矩形,

：.AA=2,BFE,：.EF||AD.

•嚼=瑞即奈竽•・•/=%，.••,BF=1：^=V2：1,

二四边形BCEF为鱼矩形.

阅读以上内容，回答下列问题：

(1)在图①中，所有与相等的线段是、,tan/HBC的值是；

(2)已知四边形BCEF为四矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN,如图②，求证：四边形BCMN

为旧矩形；

(3)将图②中的百矩形BCMN沿用(2)中的方式操作3次后，得到一个“低矩形”，则n的值

是.

20.已知四边形4BCD中，E,尸分别是48,边上的点，DE与CF交于点、G,令=无.

图1图2图3

⑴特例解析：如图1,若四边形四3)是矩形，且。E4F求证：器=依

(2)类比探究：如图2,若四边形9是平行四边形,当N8与NEGC满足什么关系时,器

=左仍然成立？并证明你的结论;

(3)拓展延伸：如图3,在（2）的条件下，k―^,AD=5,tanZ.DCFZAED=45°,求

DE的长.

图1图2图3

(1)综合与探究，如图1,在正方形2BC。中，点E,厂分别在边BC,CD上，且凡则线段

力E与BF的之间的数量关系为:

(2)【类比探究】如图2,在矩形4BCD中,4B=3,AD=5,点E,9分别在边BC,CD上，且4E1BF,

请写出线段AE与BF的数量关系，并证明你的结论.

(3)【拓展延伸】如图3,在RtA力BC中，ZABC=90°,AB=4,BC=6,D为BC上一点，且BD=2,

连接20,过点3作BE14。于点R交4c于点E,求BE的长.

【问题原型】华师版教材八年级下册第121页有这样一道题：

如图1,在正方形ABCD中，CEXDF.求证：CE=DF.

请你完成这一问题的证明过程.

【问题应用】如图，在正方形ABCD中，AB=4,E、F分别是边AB、BC上的点，且AE=BF.

(1)如图2,连接CE、DF交于点G,H为GE的中点，连接DH,FH.当E为AB的中点时，

四边形CDHF的面积为；

(2)如图3,连接DE、DF,当点E在边AB上运动时，DE+DF的最小值为.

23.综合与实践

如图，在RtAZBC中，ZC=90°,AB=10,BC=6,点尸以每秒2个单位长度的速度从点/出

发，沿AB方向向终点B匀速运动，同时点。以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿C4方向向终

点/匀速运动，连接PQ.设运动的时间为。秒.

CQACQACA

图1图2备用图

(1)求力Q的长(用含t的代数式表示).

(2)当t=3秒时，求AAPQ的面积.

(3)如图2,连接BQ,当ABP。为直角三角形时，求所有满足条件t的值.

24.阅读下列材料，解决问题：

配方法是数学中一种很重要的恒等变形方法，我们已经学习了用配方法解一元二次方程，并在此基

础上得出了一元二次方程的求根公式.其实配方法还有很多重要的应用.例如我们可以用配方法求代

数式的最值及取得最值的条件，如下面的例子：

例：求多项式2/一8%+1的最小值

解：2/—8%+1=2(%2—4%)+1

=2(%2—4%+4—4)+1

=2(工一2)2-7

(%-2)2>0,

2(%—2)—7之一7

・•・多项式的最小值为-7,此时，x=2.

仿照上面的方法，解决下面的问题：

(1)当久=时，多项式—/-4%+3有最_________值是；

(2)若代数式M=2x2-3y2-%-1,N=x2-3y2+x-4,试比较M与N的大小关系；

(3)如图，在△ABC中，BC=a,高49=b,矩形EFGH的四个顶点分别在三角形的三边上，设HE=%,

矩形EFGH的面积为S.用含有久，a,6的代数式表示S,并求出当久的值为多少时，S的值最大？并判

断此时5与42BC面积的关系.

A

如图1,点。是矩形4BCD内一点，过点。的直线EF1MN,分别交矩形的边为点E,F,M,N.若

AD=10,CD=7,EF=8,则MN=；

（2）【类比探究】

如图2,在平行四边形ABCD中，点E,M分别在边4B,BC上，连接DM与CE交于

点0,乙DOE=NB.求证：CE-AB=DM-BC-,

（3）【拓展延伸】

如图3,在四边形/BCD中,BC=171,AB=4,ZB="DC=120。，盥=春M在边BC上,连

接ZC与CM交于点。，当乙4OD=/B时，求福的值.

26.如图①，在正方形4BCD中，点E,厂分别在边48、3c上，DF工CE于点、O,点G,〃分别在

边4D、5c上，GHVCE.

（1）问题解决：①写出DF与CE的数量关系：；

②器的值为;

（2）类比探究，如图②，在矩形4BC。中，器=1（左为常数），将矩形N3CD沿G”折叠，使

点C落在48边上的点E处，得到四边形EFG4■交40于点尸，连接CE交GH于点O.试探究G77

与CE之间的数量关系，并说明理由；

(3)拓展应用，如图③，四边形48c。中，/BAD=90。,AB=BC=6,AD=CD=4,BF_LCE,

点E、厂分别在边48、40上，求需的值.

四'实践探究题

27.【学科融合】如图1,在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和

入射光线分别位于法线两侧；反射角厂等于入射角7..这就是光的反射定律.

【问题解决】如图2.小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板

和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点3处反射后，恰好经过木板的边缘点R

落在墙上的点E处，点E到地面的高度DE=3.5血，点F到地面的高度CF=1.5血，灯泡到木板的水

平距离/C=5.4rn,木板到墙的水平距离为CD=4zn.图中点4B,C,。在同一条直线上.

(1)求3c的长；

(2)求灯泡到地面的高度/G.

28.根据以下素材，探索解决问题.

测量旗杆的高度

素材1可以利用影子测量旗杆的高度.如图1,光线CN〃4M,DN,BM分别是旗杆和小陈同学

在同一时刻的影子.

素材2可以利用镜子测量旗杆的高度.如图2,小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C,

测得.

BE=2.5m

素材3可以利用标杆测量旗杆的高度.如图3,点G,P,C在同一直线上，标杆PQ=3m,测得3Q=

3.5m,QD=14m.（说明：小陈同学、旗杆CD与标杆PQ均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面

的距禺GB=1.6m）

（1）任务1利用素材1证明△ABMs/\CDN；

（2）任务2在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度（旗杆无法直接测量），才能

求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a,请你用含a的式子表示出旗杆的高度；

（3）任务3利用素材3求出旗杆的高度.

29.在学习了光的反射定律后，数学综合实践小组想利用光的反射定律（反射角等于入射角）测量池

塘对岸一棵树的高度48,测量步骤如下：

①如图，在地面上的点E处放置一块平面镜（镜子大小忽略不计），小阳站在8E的延长线上，当

小阳从平面镜中刚好看到树的顶点/时，测得小阳到平面镜的距离DE=2加，小阳的眼睛点C到地面

的距离CD=1.6m；

②将平面镜从点E沿BE的延长线移动6m放置到点H处，小阳从点D处移动到点G,此时小阳

的眼睛点尸又刚好在平面镜中看到树的顶点这时测得小阳到平面镜的距离G〃=3.2在请根据以

上测量过程及数据求出树的高度AB.

30.通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所

产生的影称为中心投影.

A

，咛

CJ：/

旦M

IS%，’

777777777777777777777777777777777777~777777/77777777777777777777777777777"A」.........

ABGFDB

图①图②图③

（1）【画图操作】如图①，三根底部在同一直线上的旗杆直立在地面上，第一根、第二根旗杆在

同一灯光下的影长如图所示.请在图中画出光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长（不写画法）;

（2）【数学思考】如图②，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B,他的影长y

随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为

（3）【解决问题】如图③，河对岸有一灯杆AB,在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF=3m,

沿BD方向前进到达点F处测得自己的影长FG=4m.已知小明的身高为1.6m,求灯杆AB的高度.

31.某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：

项目主题：测量旗杆高度

问题驱动：能利用哪些科学原理来测量旗杆的高度？

组内探究：由于旗杆较高，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，标杆，镜子,

甚至还可以利用无人机…确定方法后，先画出测量示意图，然后实地进行测量，并得到具体数据，从

而计算旗杆的高度.

成果展示：下面是同学们进行交流展示时的部分测量方案:

方案一方案二

测

量

标杆，皮尺自制直角三角板硬纸板，皮尺

工

具

测A

量

示

DFBDB

图①图②

图说明：线段AB表示学校旗杆，小明的眼说明：线段AB表示旗杆，小明的身高CD=

睛到地面的距离CD=1.7m,测点F与B,1.7m,测点D与B在同一水平直线上，D,

D在同一水平直线上，D,F,B之间的距B之间的距离可以直接测得，且A,B,C,

离都可以直接测得，且A,B,C,D,E,D,E,F,G都在同一竖直平面内，点A,C,

F都在同一竖直平面内，点A,C,E三点E三点在同一直线上,点C,F,G三点在同

在同一直线上.一直线上.

测B,D之间的距离16.8mB,D之间的距离16.8m

量D,F之间的距离1.35mEF的长度0.50m

数

EF的长度2.60mCE的长度0.75m

据

根据上述方案及数据，请你选择一个方案，求出学校旗杆AB的高度.（结果精确到0.1m）；

（1）问题提出如图①，在矩形ABCD中，NABC的平分线交AD于点E,连接CE,若AD=9,

NDCE=15。，求4BCE外接圆的半径长.

（2）问题解决某社区准备设计一个矩形花园，如图②是花园的示意图，图中EF,EG,FG,FC

是花园内四条小路，这四条小路将花园分成五个三角形区域，分别用来种植不同种类的花.根据设计

要求，NEGF=NBCF,NEFC=90。，DF：DC=1：2,AE=8米.该矩形花园面积是否存在最大值？

若存在，请求出其最大面积；若不存在，请说明理由.

图2图3

（1）【问题背景】

由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图1,即NCEF=L4EF）.小军测量某建筑物高度的方

法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的

顶端4经测得，小军的眼睛离地面的距离CD=1.7m,BE=20m,DE=2m,求建筑物的高度.

（2）【活动探究】

观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图2）：他让小军站在点。处不动,

将镜子移动至外处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G,测出D%=2m；再将镜子移动至E2处，

恰好通过镜子看到广告牌的底端4测出DE2=3.4m.经测得，小军的眼睛离地面距离CO=1.7m,

BD=10,求这个广告牌/G的高度.

（3）【应用拓展】

小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔的高度，他们给出了如下测量步骤

（如图3）：①让小军站在斜坡的底端。处不动（小军眼睛离地面距离CD=1.7m）,小明通过移动镜

子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶昆②测出DE=2.8m；③测出坡长4。=

17m；④测出坡比为8：15（即tan乙4DG=基）.通过他们给出的方案，请你算出信号塔48的高度

（结果保留整数）.

答案解析部分

1.【答案】A

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】(1)1

(2)底T

2

7.【答案】10V3

8.【答案】⑺=碧或卷<⑺悬

D/O3

9.【答案】|

1。.【答案】52=坐；曾

11.【答案】(1)75°；3

(2)解：过点。作。F_L/C于点乩

v乙BAC=90°=^DFA,

・•・AB//DF,

・•・△ABEs^FDE,

.AB_AE_BE

：,~DF='EF=~DE=

・・・EF=1,AB=2DF.

在△4C0中，/.CAD=30°,4力DC=75。,

・•・乙ACD=75°=Z,ADC,

・•・AC=AD.

•・•DF1AC,

・・・乙AFD=90°,

在A4ED中，4尸=2+1=3,AFAD=30°,

DF=AFtan30°=b，AD=2DF=2后

AC=AD=2V3,AB=2DF=2存

BC=yjAB2+AC2=2V6-

12.【答案】(1)16

⑵④

13.【答案】(1)解：根据题意得，子=工.

解得，勺=二^1(舍)，X=4匹《0.618

(2)解：\'AB=AC,乙4=36°,

•ZBC=ZC=18。76。=72。.

VBD是aABC的角平分线，

J.^ABD=Z.DBC=36°.

J.^ABD=Z71,Z.BDC=BCDABC.

：.AD=BD,BC=BD.

又,：4BCDFABC,

.DC_BD

•,前一痔

.DC_AD

••而一宿

.•.点D是线段AC的黄金分割点.

(3)解：XB=5-V5

14.【答案】(1)解：如图，

(2)解:

A

D

DC

①当AD=AE时，

,.・2x+x=30+30

/.x=20

②当AD=DE时，

30+30+2x+x=180,x=40.

③AE=DE时，不存在；

综上所述，x的值为20。或40。

(3)解：如图：

设NB=a,贝iJ/DCB=NEAC=a,ZADE=ZAED=2a,

止匕时AAEC〜△BDC,AACD-AABC；

设AE=AD=x,BD=CD=y,

VAAEC-ABDC

/.x：y=2：3

AACD~AABC

.•.2x=(x+y)：2

解得X=等，产争；

•••三分线的长分别是智和争

15.【答案】(1)解：•••DF1CE,GD1DF,AG1DG,

・・・ZG=乙GDF=4DFC=90°,

・•・^GDA+/LADF=90°,

・・•四边形4BCD是矩形，

・・・/月DC=90。，

Z.CDF+^ADF=90°,

・•・Z-GDA=乙CDF,

-AG=CF,

.­.^ADG=ACDF(iAAS^

:.AD=CD,

・•・四边形/BCD是正方形.

(2)解：vDF1CE,GD1DF,AH1CE,

・•・乙H=乙GDF=乙DFC=乙DFH=90°,

A^GDA+AADF=90°,四边形是矩形，

・・・HG||DF,

・•・Z.GAD=Z-ADF,

・・・^GDA+乙GAD=90°,

.・・zG=90°=4DFC,

•・,四边形Z3CD是正方形，

/.AD=CD,乙40c=90。，

^CDF+^ADF=90°,

・，・Z-GDA=Z-CDF,

•.^ADG=^CDF(AAS),

・•・AG=CF,DG=DF,

・•・四边形GH尸。是正方形，

:.GF=HF,

.・・HF=HG=AH+AG=AH+CF,

・•・HF=AH+CF.

(3)解：如图，连接？1C,

••・四边形4BCD是正方形，

•••^BAC=45°,AC=也AB,

•••AHICE,

AAHM=90°,

•：AH=HM,

■.^HAM=45°,AM=近AH,

^HAB=^CAM,器=器=遮，

.•.AABH〜△ACM,

BHV2

CM=T'

BH=*CM.

16.【答案】(1)证明：•.•矩形ABCD,

.,.AD//BC,

,/EF//AD,

.,.AD//EF//AD,

.PM_AE

•,朝一丽’

•••点E是AB的中点，

.PM_AE

…刎-丽-1'

.,.PM=QM；

(2)8

(3)2V6

17.【答案】⑴争字

(2)解：无变化，理由如下：

由(1)知，CD=1,CE=V3,BC=2V3,

.CDV3AC_2_V3

5=丁前一布一丁

.CD_AC_y/3

••玛=前=3'

CD_CE

•,AC"BC'

由旋转的性质得：乙4cB=乙DCE,

.•.乙4cB+乙BCD=乙DCE+乙BCD,即乙4CD=乙BCE,

(CD_CE

在△"£)和ABCE中，｛蔗一配，

L/1CD=乙BCE

△ACD—△BCE,

・•嗡=空=冬即微勺大小不变；

(3)解：线段BE的长为8或3百.

18.【答案】(1)Z.ABE=ZC

(2)解：乙4BE=/C仍然成立，理由如下：

\9/LEAD=LBAC

：.£.EAD-匕BAD=LBAC-乙BAD

：.Z.EAB=^DAC

..AE_AB

9AD=AC

：.AAEBs△力QC

：.^ABE=ZC

⑶孥

19.【答案】(1)GH-,DG；V2-1

(2)证明：如图②中，设BC=1,则EC=BF=孝，•,•BE=JEC2+BC2=卓.

由折叠可得BP=BC=1,/.FNM=Z.BNM=90°,乙EMN=乙CMN=90°.

'：四边形BCEF是矩形，AZF=乙FEC=ZC=乙FBC=90°,

二四边形BCMN是矩形，乙BNM=NF=90。，：.MN||EF,

.•.需=器,BPBPBF=BE-BN,：.\x专卷BN，

；.BN=*，--BC：BN=1：=V3：1，

，四边形BCMN为旧矩形.

F

20.【答案】(1)证明：•・,四边形ABCD是矩形，

・・・ZADC=90°,

AZADE+ZCDE=90°,

VDEXCF,

・・・ZEDC+ZFCD=90°,

・•・ZADE=ZFCD,

ZA=ZFDC=90°,

・・・AADE^ADCF,

.\DE：CF=AD：DC=k.

(2)解：NB与NEGC互补时，照=忆

CF

证明如下：

VZB+ZEGC=180°,

.\ZBEG+ZBCF=180°,

VZBEG+ZAED=180°,

・・・ZAED=ZBCF,

・・・四边形ABCD为平行四边形，

・・・AD〃BC,AB〃CD,

AZCFD=ZBCF=ZAED,ZCDM=ZA,

在AD的延长线上取一点M,使CM=CF,则有NM=NCFD=NAED,

B

图2

.,.ADAE^ACDM,

,DE_DA_,

e，CM=CD=k,

VCM=CF,

,DE]

,•CF=k;

(3)解：如图3,在(2)的条件下，可得结论：器=k=铝=故NAED=NEDC=NFCD=NF

VAD=BC=5,

ABA=CD=7,

作GM_LCD于M,

则AGPM为等腰直角三角形；

VtanZDCF=1,令GM=4x,则CM=3x,CG=5x；

・・・DM=GM=4x,

・・・CD=3x+4x=7,

解得x=l；

；.CG=5,

在ACGD与ACDF中，ZGCD=ZDCF,ZGDC=ZF；

.'.△CGD^ACDF,

：.CG：CD=CD：CF,

即5：7=7：CF,解得CF=等,

由票=趣，代入CF的值，

CF7

解得DE=7.

21.【答案】(1)AE^BF

(2)解:需=1.

证明：9：AELBF,

：.^LBAE+/LABF=90°.

在矩形ABCD中，LABC=90°,

：.^CBF+AABF=90°,

：.^BAE=乙CBF,

.\Rt△ABE~RtABCF,

.AB__AE^

••豌一而'

.AE_3

,,丽二亍

(3)解：如图，过点4作43的垂线，过点C作BC的垂线，两垂线交于点G,延长BE交CG于点儿

・・・四边形ZBCG是矩形.

'：AB=CD=4fAG=BC=6,

：.CD=6-BD=4.

-'-AD=>]AB2+BD2=2V5-

由(2)知器=需=多

:.BH=3V5.

在Rt△BCH中，CH=y/BH2-BC2=3，

'：AB||CH

：.△ABE八CHE,

.AB_BE

•■一丽’

即告=詈

133后—BE

解得BE=与5

22.【答案】(1)7

(2)4V5

23.【答案】(1)解：在At△ABC中，由勾股定理可得ZC=7AB2一BC2=8,

由题意可得：CQ=t,贝！JZQ=ZC-CQ=8—t；

(2)解：如图，作PE_LZC

由题意可得：AP=2t=6,AQ=8—t=5,

\UPELAC,

.\ZPEX=ZC=9O°,

VzA=乙k,

△APEABC,

.AP_PE

,,松=阮’

an6PE

BP1O=4

解得PE=3.6,

.11

SAAPQ=xPE=2x5x3.6=9；

(3)解：由题意可得：AP=2t,CQ=t,AQ=S-t,BP=10-2t,

①如图2,当乙BPQ=90。时，根据勾股定理得BQ?=BC2+CQ2,BQ2=BP2+PQ2BP2+AQ2-

AP2,

：.BP2+AQ2-AP2=BC2+CQ2,

?.(10-2t>+(8-t)2-0)2=62+t2

解得：t=学，符合题意；

②如图3,当ZBQP=90。时，作PELAC垂足为E,

由(1)WAAPE-AABC,

.AP__P^_AE^

^AB~BC~AC9

即”_奥—丝，

।10-6一8'

：.PE=^t,AE=^t,

13

：.QE=AQ-AE=8-^t.

9：PELAC,

：.L.C=乙BQP=乙QEP=90°,

:.乙CBQ+(BQC=(BQC+乙PQE=90°,

C./.CBQ=乙PQE,

BCQ〜匕QEP,

BC_CQ

QE=PE9

6t

即三尊=I?

解得「1=告，t2=0(不合题意，舍去).

图3

二t=告或£=竽

24.【答案】(1)-2；大；7

(2)解：由题意知,M—N=(2%2—3y2—x—1)—(%2—3y2+x—4)

=x2—2%+3

=(x-I)2+2,

V(x-1)2>0,

・•・(%—1)2+2>0,

:・M-N>0,即M>N；

(3)解：・.•四边形EFGH是矩形,

：.HG||EF,GF=HE=x,

：.△AHG-AABC,

如图，记4。交HG于点K,则四边形DEHK是矩形，

A

BEDFC

：.KD=EH=x,

・HGAK日n"Gb-x

..前二而，即丁=丁，

解得，HG=a-«x,

♦•S=EH,HG=x（a一万％）=一下,+ax=一万（％—万,+40b，

:）2>0,

••.-静一抄<0,

••.-的一务2+初号ab,即S岩ab,

.,.当％=断寸，矩形的面积最大，最大面积是±ab,

^^ABC=

.•・*ab=即S=^S^ABL

25.【答案】（1）当

（2）证明：•:乙DOE=CCOM,（DOE=（B,

Z-B=Z-COM,

・，・Z-MCO=Z-ECB,

・•・△COM〜匕CBE,

.♦•第=器，乙DMC=ABEC,

•・•四边形ABC。是平行四边形,

­-AB||CD,AB=CD,

・•・乙DCO=Z-BEC,

・•・Z-DMC=Z.DCO,

又•・・乙ODC=乙CDM,

・•・△DOC八DCM,

.CO_DC

•••~CM=两’

.CB_DC

~CE=两’

・•・CB•DM=CE•DC,

^CB-DM=CE-AB；

(3)解：如图，过点。作DEIIBC交BZ的延长线于点E,过点C作CF||ZB交ED的延长线于点尸,

・•・四边形3EPC是平行四边形,

BE=CF,BC=EF,乙B=A.ADC=Z.F=120°,

.•・乙E=60°,

在EF上截取EG=EA,贝必EZG为等边三角形，

・•・^AGD=120°=ZF=^ADC,

・・.LGAD+乙GDA=NGDZ+乙FDC=60°,

•••Z-GAD=乙FDC,

・•.△AGD~&DFC,

FC_CD_DF_4

：,~DG=AD=AG=S，

设尸C=4%,贝IJGD=5%,

・•.EB=FC=4x,

则ZE=EG=4%—4,

nz?_4"1616

-,DF=-EG^—X--,

EF=EG+GD+DF=4x-4+5x+竽£-竽=17

解得：%=2,

•••EB=FC=8,

••・四边形BEFC是平行四边形，

过点尸作FN||DM交BC于点、N,

由(2)可得：BE-CA=BC-FN,

故四边形DFNM为平行四边形，

FN=DM,

・•・BE•CA=BC•DM,

.AC=BC=",43.

•••两=丽=丁=而

26.【答案】(1)CE=DF；1

(2)解：=k.

理由：如图2,作GMLCB于M.

・•・ZCOH=ZGMH=ZABC=90°,

AZBCE+ZCHO=90°,ZCHO+ZHGM=90°,

AZBCE=ZHGM,

.,.△CBE^AGMH,

.CE_BC

a9GH~GM9

ZCMG=ZD=ZDCM=90°,

・•.四边形CMGD是矩形，

AGM=CD,

・CE_BC_BC

^~GH='CD=AB，

,:需=k(k为常数)，

•F=k-

(3)解：如图③，过点C作CMLAD,交AD的延长线于点M,过点B作BNLMC,连接BD,

图③

VZBAD=90°,AMXMN,BNXMN,

二四边形ABNM是矩形，

.•.NM=NN=90。，AM=BN,MN=AB=6,

VBC=AB,AD=CD,BD=BD,

/.△ABD^ACBD(SSS),

/.ZBAD=ZBCD=90°,

.,.ZBCN+ZMCD=90°,

VZBCN+ZCBN=90°,

.,.ZMCD=ZCBN,

又•.•NM=NN=90。，

.♦.△MCDsANBC,

.CD_CM_DM_2

•・阮一丽一西一甲

.•.CN=|DM,

VDC2=CM2+DM2,

.,.16=(6-|DM)2+DM2,

/.DM=4(不合题意，舍去)，DM=11,

2072

•MM=an+DM=4+患=g

72

由(2)的结论可知：CF_XM_i3_12.

BF~AB~6-13

27.【答案】(1)解：由题意可得：FC||DE,

则△BFOABED,

.BC_FC

,•前一许'

日nBC_1.5

即前转=T5'

解得：BC=3,

答：BC的长为3m；

⑵解：'：AC=5.4m,

：.AB=AC—BC=5.4—3=2.4(m),

•••光在镜面反射中的反射角等于入射角,

：.£.FBC=Z.GBA,

又.：(FCB=乙GAB,

△BGAs匕BFC,

.AG_FC.AG_1.5

9'AB=BC，,,瓦二丁

解得：AG=1.2(jn),

28.【答案】(1)证明：由题意知：ABLMD,CDLMD,

BPzXfiM=乙CDN=90°,

\UCN//AM,

：.^AMB=乙CND,

C.LABMfCDN.

(2)解：小陈同学还要测量图中线段DE的长度，记为a.

由题意知：乙GEB=(CED,

VGB1BD,CD1BD,

：.2LGBE=^CDE=90°,

/.△GBEs匕CDE.

.GB_BE

••而=例'

VGB=1.6,BE=2.5,DE=a,

CD=<1•

(3)解：过点G作于点H,交PQ于点F.