2023-2024学年甘肃省数学九年级上册期末学业水平测试试题

2023-2024学年甘肃省数学九上期末学业水平测试试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.解方程（5x—3）2=2（5x—3）,选择最适当的方法是（）

A.直接开平方法B.配方法C.公式法D.因式分解法

2.用配方法解方程好+4尤+1=0时，原方程应变形为（）

A.（X+2）2=3B.（x-2/=3C.（x+2）2=5D.（x-2）2=5

3.在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2-bx的图象可能是（）

1

AQR「丽n3函

A.3B.—C.-------D.-------

31010

5.下列命题正确的是（）

A.JTH'有意义的x取值范围是尤＞1.

B.一组数据的方差越大，这组数据波动性越大.

C.若/。=72。55',则4的补角为10745'.

3

D.布袋中有除颜色以外完全相同的3个黄球和5个白球，从布袋中随机摸出一个球是白球的概率为9

O

6.下列计算

①亚=土3②3a2_2a=a®（2a2）3=6a6④/+/=〃⑤=-3，

其中任意抽取一个，运算结果正确的概率是（）

1234

A.—B.—C.—D・一

5555

7.（2011?德州）一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径

之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为ai,

a2,a3,a4,则下列关系中正确的是()

B.

C.ai>az>a3D.az>a3>a4

8.如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4,AD=1.ZDAC=ZB,若△ABD的面积为a,则△ACD的面积

为()

C.aD.a

9.二次函数丫=a*^3*+<:6,0)的部分图象如图」所示，图象过点(-1,0),对称轴为直线x=l,下列结论：(l)4a+b=0；

(1)9a+c>-3b；(3)7a-3b+lc>0；(4)若点A(-3,%)、点B(-',yD、点C(7,y3)在该函数图象上，则

2

yi<y3<yi；(5)若方程a(x+l)(x-5)=-3的两根为xi和xi,且xi<xi,则xi<-1<5<XI.其中正确的结论有()

A.1个B.3个C.4个D.5个

10.下列说法中不正确的是()

A.四边相等的四边形是菱形B.对角线垂直的平行四边形是菱形

C.菱形的对角线互相垂直且相等D.菱形的邻边相等

11.两个相似三角形的面积比是9:16,则这两个三角形的相似比是()

A.9：16B.3：4C.9：4D.3：16

12.如图，A3为。。的直径，点C在。。上，若NOC4=50。，AB=4,则的长为()

二、填空题（每题4分，共24分）

13.关于x的一元二次方程（加―3）/+兀+帆2—9=0有一根为0,则m的值为

14.如图，已知AB,CD是。O的直径，弧AE=MAC,NAOE=32。，那么NCOE的度数为_____度.

15.如图，将及AABC绕直角顶点A顺时针旋转90。，得到AAB'C,连结83'，若Nl=25°,则NC的度数是.

16.中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”译文

为：已知长方形门的高比宽多6.8尺，门的对角线长为10尺，那么门的高和宽各是多少尺？设长方形门的宽为x尺，

则可列方程为.

17.在HAABC中，NA=90°,AB=3,BC=4则cos5=.

也

18.在△被7中，若NZ=30。，N—45。，,则比-.

2

三、解答题（共78分）

19.（8分）如图，点O为RtAABC斜边AB上的一点，以OA为半径的。O与边BC交于点D,与边AC交于点E,

连接AD,且AD平分NBAC.

（1）试判断BC与。O的位置关系，并说明理由；

（2）若NBAC=60。，OA=2,求阴影部分的面积（结果保留兀）.

ED

ki

20.（8分）如图，反比例函数y=-（x>0）与直线Ab：y=—%—2交于点。（26+2,加），点尸是反比例函数图象

x2

上一点，过点尸作x轴的垂线交直线A3于点。，连接OP,OQ.

（1）求反比例函数的解析式;

（2）点尸在反比例函数图象上运动，且点尸在。的上方，当△POQ面积最大时，求尸点坐标.

21.（8分）今年下半年以来，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致.非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快.某

养猪场第一天发现3头生猪发病，两天后发现共有192头生猪发病.

（1）求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？

（2）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，3天后生猪发病头数会超过1500头吗？

22.（10分）如图，AABC内接于。O,AB=AC=10,BC=12,点E是弧BC的中点.

⑴过点E作BC的平行线交AB的延长线于点D,求证：DE是。。的切线.

⑵点F是弧AC的中点，求EF的长.

23.（10分）国家教育部提出“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子”.万州区某中学对九年级部分学生

进行问卷调查“你最喜欢的锻炼项目是什么？”，规定从“打球”，“跑步”，“游泳”，“跳绳”，“其他”五个选项中选择自

己最喜欢的项目，且只能选择一个项目，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.

最喜欢的锻炼项目人数

打球120

跑步a

游泳b

跳绳30

其他c

(1)这次问卷调查的学生总人数为,人数a+c=；

(2)扇形统计图中，〃=，“其他”对应的扇形的圆心角的度数为度;

(3)若该年级有1200名学生，估计喜欢“跳绳”项目的学生大约有多少人？

24.(10分)为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，我市结合本地丰富的山水资源，大力发展旅游业，王家庄在当地政

府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房.根据合作社提供的房间单价x(元)和游客

居住房间数y(间)的信息，乐乐绘制出y与x的函数图象如图所示：

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需支出20元的

各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大？最大利润是多少？

25.(12分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-2mx+m2-1.

(1)求抛物线顶点C的坐标(用含m的代数式表示)；

(2)已知点A(0,3),B(2,3),若该抛物线与线段AB有公共点，结合函数图象，求出m的取值范围.

5-

4-

3-

2-

1卜

123451

-2-

-2一

-3一

一

-4」

-5

AE3

26.如图，在△ABC中，点D在边AB上，DE〃BC,DF〃AC,DE、DF分别交边AC、BC于点E、F,且一=一・

EC2

BF

(1)求一的值；

(2)联结EF,设=Q，AC=b，用含〃、的式子表示£声.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、D

【解析】根据方程含有公因式，即可判定最适当的方法是因式分解法.

【详解】由已知，得方程含有公因式(5x-3),

二最适当的方法是因式分解法

故选：D.

此题主要考查一元二次方程解法的选择，熟练掌握，即可解题.

2、A

【分析】先把常数项移到方程右侧，然后配一次项系数一半的平方即可求解.

【详解】x2+4x=-1,

x?+4x+4=3,

（X+2A=3,

故选：A.

本题考查了解一元二次方程-配方法，掌握在二次项系数为1的前提下，配一次项系数一半的平方是关键.

3、C

【解析】试题分析：选项A：一次函数图像经过一、二、三象限，因此a>0,b>0,对于二次函数y=ax2-bx图像应

该开口向上，对称轴在y轴右侧，不合题意，此选项错误；选项B：一次函数图像经过一、二、四象限，因此aVO,

b>0,对于二次函数y=ax2-bx图像应该开口向下，对称轴在y轴左侧，不合题意，此选项错误；

选项C一次函数图像经过一、二、三象限，因此a>0,b>0,对于二次函数y=ax2-bx图像应该开口向上，对称轴

在y轴右侧，符合题意，此选项正确；选项D：一次函数图像经过一、二、三象限，因此a>0,b>0,对于二次函数

y=ax2-bx图像应该开口向上，对称轴在y轴右侧，不合题意，此选项错误.故选C.

考点：1一次函数图像；2二次函数图像.

4、B

【解析】根据锐角三角函数的定义求出即可.

【详解】解：\•在RtZkABC中,ZC=90°,AC=1,BC=3,

Ari

.•.NB的正切值为一）=—,

BC3

故选B.

本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键.

5、B

【分析】分别分析各选项的题设是否能推出结论，即可得到答案.

【详解】解：A.K万有意义的x取值范围是xNl,故选项A命题错误；

B.一组数据的方差越大，这组数据波动性越大，故选项B命题正确；

C.若/。=72。55',则Na的补角为1075'，故选项C命题错误；

D.布袋中有除颜色以外完全相同的3个黄球和5个白球，从布袋中随机摸出一个球是白球的概率为故选项D命题

8

错误；

故答案为B.

本题考查了命题真假的判断，掌握分析各选项的题设能否退出结论的知识点是解答本题的关键.

6、A

【解析】根据计算结果和概率公式求解即可.

【详解】运算结果正确的有⑤，则运算结果正确的概率是g,

故选：A.

考核知识点：求概率.熟记公式是关键.

7、B

【解析】试题解析：设等边三角形的边长是a,则等边三角形的周率由=一=3

a

设正方形的边长是x,由勾股定理得：对角线是&x,则正方形的周率是a尸后=1&M.818,

设正六边形的边长是b,过F作FQ〃AB交BE于Q,得到平行四边形ABQF和等边三角形EFQ,直径是b+b=lb,

CD

6b

・•・正六边形的周率是a=—=3,

32b

圆的周率是34=-----=冗，

2r

••3433>■31•

故选B.

考点：1.正多边形和圆；1.等边三角形的判定与性质；3.多边形内角与外角；4.平行四边形的判定与性质.

8、C

【详解】解：；NDAC=NB,ZC=ZC,

/.△ACD^ABCA,

；AB=4,AD=L

.♦.△ACD的面积：△ABC的面积为1：4,

.♦.△ACD的面积：△ABD的面积=1：3,

二•△ABD的面积为a,

/.△ACD的面积为a,

故选c.

本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相关性质是本题的解题关键.

9、B

b

【解析】根据题意和函数的图像，可知抛物线的对称轴为直线X二-丁=1,即b=-4a,变形为4a+b=0,所以（1）正确；

2a

由x=-3时，y>0,可得9a+3b+c>0,可得9a+c>-3c,故（1）正确；

因为抛物线与x轴的一个交点为（-1,0）可知a-b+c=0,而由对称轴知b=-4a,可得a+4a+c=0,即c=-5a.代入可得7a-

3b+lc=7a+lla-5a=14a,由函数的图像开口向下，可知aVO,因此7a-3b+lcV0,故（3）不正确；

根据图像可知当X<1时，y随X增大而增大，当X>1时，y随X增大而减小，可知若点A（-3,y。、点B（-,，

2

yD、点C（7,y3）在该函数图象上，贝!|yi=y3〈yi,故（4）不正确；

根据函数的对称性可知函数与x轴的另一交点坐标为（5,0）,所以若方程a（x+1）（x-5）=-3的两根为xi和xi,

且XiVxi,贝！JxiV-lVxi,故（5）正确.

正确的共有3个.

故选B.

点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax，bx+c（aWO）,二次项系数a决定抛物线的开口方向和

大小，当a>0时，抛物线向上开口；当aVO时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的

位置，当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0）,对称轴在y轴右；常数项c

决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于（0,c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=bJ4ac>0时，抛物线

与x轴有1个交点；△=b」4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=!?-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.

10、C

【分析】根据菱形的判定与性质即可得出结论.

【详解】解：A.四边相等的四边形是菱形；正确；

B.对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；

C.菱形的对角线互相垂直且相等；不正确；

D.菱形的邻边相等；正确；

故选C.

本题考查了菱形的判定与性质以及平行四边形的性质；熟记菱形的性质和判定方法是解题的关键.

11、B

【解析】试题分析：根据相似三角形中，面积比等于相似比的平方，即可得到结果.

因为面积比是9:16,则相似比是3：4,故选B.

考点：本题主要考查了相似三角形的性质

点评：解答本题的关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方

12、B

【分析】直接利用等腰三角形的性质得出NA的度数，再利用圆周角定理得出NBOC的度数，再利用弧长公式求出答

案.

【详解】解：VZOCA=50°,OA=OC,

:.ZA=50°,

AZBOC=2ZA=100°,

ABO=2,

100^x210

，BC的长为:---------------=-----71

1809

故选B.

此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理，正确得出/BOC的度数是解题关键.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、m=-l

【解析】把x=0代入方程（m-1）x2+x+m2-9=0得m2-9=0,解得mi=l,m2=-l»然后根据一元二次方程的定义确定m

的值.

【详解】把x=0代入方程（m-1）x2+x+m2-9=0得m2-9=0,解得mi=l,m2=-l>

而m-1/0,

所以m的值为-1.

故答案是：-1.

考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.也考查了一元二次方

程的定义.

14、64

【分析】根据等弧所对的圆心角相等求得NAOE=NCOA=32。，所以NCOE=NAOE+NCOA=64。.

【详解】解：•••弧AE=MAC,（已知）

.\ZAOE=ZCOA（等弧所对的圆心角相等）；

又NAOE=32°,

.,.ZCOA=32°,

ZCOE=ZAOE+ZCOA=64°.

故答案是：64°.

本题考查圆心角、弧、弦的关系.在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间，如果有一组量相等，

那么，它们所对应的其它量也相等.

15、70°

【分析】先根据旋转的性质得出NC=NAC'/,N0AB，=NC4B=9Oo,AB=AB',然后得出NAB，3=45。，进

而求出/AB'C的度数，再利用/C=NACB'=90°—NAB'C即可求出答案.

【详解】•••RfAABC绕直角顶点A顺时针旋转90°,得到^AB'C

:.ZC=ZAC'B',ZC'AB'=ZCAB=90°,AB=AB'

ZAB'B=45°

,:Z1=25°

.■.ZAB'C=ZAB'B-Zl=45o-25o=20°

ZAB'C+ZACB'=90°

ZC=ZACS'=900-ZAB'C=90°-20°=70°

故答案为：70°.

本题主要考查旋转的性质，直角三角形两锐角互余，掌握旋转的性质是解题的关键.

16、/+(x+6.8)2=1。2

【分析】先用x表示出长方形门的高，然后根据勾股定理列方程即可.

【详解】解：•••长方形门的宽为x尺，

.•.长方形门的高为(尤+6.8)尺，

根据勾股定理可得：X2+(X+6.8)2=102

故答案为：x2+(x+6.8)2=102.

此题考查的是一元二次方程的应用和勾股定理，根据勾股定理列出方程是解决此题的关键.

3

17、-

4

【分析】根据题意画出图形，进而得出cosB=——求出即可.

BC

【详解】解：•••NA=90°,AB=3,BC=4,

r,AB3

贝(IcosB==—.

BC4

3

故答案为y

5

本题考查了锐角三角函数的定义，正确把握锐角三角函数关系是解题的关键.

1

18、一

2

【分析】作CD±AB于点D,先在RtAACD中求得CD的长，再解RtABCD即得结果.

【详解】如图，作CDLAB于点D：

sinA------,NA=30°,

AC

1_CDr

2一行，得，

sin3=-----,ZB=45°,

BC

显

也_4'

y一加

解得=1

2

考点：本题考查的是解直角三角形

点评：解答本题的关键是作高，构造直角三角形，正确把握公共边CD的作用.

三、解答题（共78分）

2

19、（1）BC与。O相切，理由见解析；（2）-71.

3

【解析】试题分析：（1）连接0。,推出8,根据切线的判定推出即可；

（2）连接。£。石，求出阴影部分的面积=扇形EQD的面积，求出扇形的面积即可.

试题解析：（DBC与〉。相切，

理由：连接0。，

TAD平分NBAC,

:.ZBAD=ZDAC9

9

：AO=DO9

:.ZBAD=ZADO9

:.ZCAD=ZADOf

:.AC//OD,

ZACD=90,

：.ODLBC,

・・・5。与。相切;

(2)连接OE,ED,

ABAC=60,OE=OA,

为等边三角形，

:.ZAOE=60,

:,ZADE=30,

又ZOAD=-ZBAC=30,

2

:.ZADE=ZOAD,

:,EDHAO,

•V—Q

一0AED~口AOD9

60x7Dx42

・•・阴影部分的面积=S扇形ODE=-----------——71.

3603

4

20、(1))=一；(2)P(2,2)

x

机=g(2G+2>2=G-l,点C在反比例函数上：百2^+2

【分析】(1)点C在一次函数上得:求出5即可.

41411b

(2)动点P(m,—),则点0Cm,—m-2),PQ=--—m+2,则AP。。面积=—m•尸。，利用--公式求即可.

m2m222a

【详解】解：(1)将点C的坐标代入一次函数表达式得：机=g(2百+2b2=百-1,

故点C(2百+2,6-1),

将点C的坐标代入反比例函数表达式得：73-1=,解得上=4,

2V3+2

4

故反比例函数表达式为y=—；

x

41

(2)设点P(m,—),则点0(m,-m-2),

m2

E1141、1.

则APO。面积=—PQ^xp=—(-------m+2)•m=---m2+m+2,

~22m24

1

V--<0,故△POQ面积有最大值，此时机=2X[J]=2，

故点尸(2,2).

本题考查反比例函数解析式，及面积最大值问题，关键是会利用一次函数求点C坐标，利用动点P表示Q,求出面积

函数，用对称轴公式即可解决问题.

21、(1)7头；(2)会超过1500头

【分析】(1)设每头发病生猪平均每天传染x头生猪，根据“第一天发现3头生猪发病，两天后发现共有192头生猪

发病”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

(2)根据3天后生猪发病头数=2天后生猪发病头数X(1+7),即可求出3天后生猪发病头数，再将其与1500进行比

较即可得出结论.

【详解】解：(1)设每头发病生猪平均每天传染％头生猪，

依题意，得3(1+X)2=192,

解得：占=7,%=-9(不合题意，舍去).

答：每头发病生猪平均每天传染7头生猪.

(2)192x(1+7)=1536(头),1536>1500.

答：若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过1500头.

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

22、(1)见解析；(2)EF=5j?

【分析】(1)连接AE,由等弦对等弧可得AB=AC，进而推出ABE=ACE，可知AE为。O的直径，再由等腰三角

形三线合一得到AEJ_BC,根据DE〃BC即可得DELAE,即可得证；

(2)连接BE,AF,OF,OF与AC交于点H,AE与BC交于点G,利用勾股定理求出AG,然后求直径AE,再利

用垂径定理求出HF,最后用勾股定理求AF和EF.

【详解】证明：(D如图，连接AE,

VAB=AC

•*«AB=AC

又•.•点E是弧BC的中点，即BE=CE

二AB+BE=AC+CE，即ABE=ACE

；.AE为。。的直径,

­BE=CE

:.ZBAE=ZCAE

XVAB=AC

.\AE±BC

VDE/7BC

.\DE±AE

，DE是。。的切线.

(2)如图，连接BE,AF,OF,OF与AC交于点H,AE与BC交于点G,

A

由（1）可知AG垂直平分BC,/.BG=-BC=6

2

在RtAABG中，AG=VAB2-BG2=A/102-62=8

,/cosZBAE=cosZBAG

ABAG108

——=——，即Bn一=—

AEABAE10

,25

・・AE=—

2

2525

的直径为一，半径为二.

24

设HF=x,贝！］OH=；爵-x

：.在RtAAHO中，AH2+OH2=OA2

2

即于+蹲2

-X1

解得x

2

5好

:.AF=A/AH2+HF2=.52

2-

AEF=7AE2-AF2

本题考查圆的综合问题，需要熟练掌握切线的证明方法，以及垂径定理和勾股定理的运用是关键.

23、(1)300,90；(2)10,18；(3)120A

【分析】(D根据打球人数占总人数的40%可求出总人数，再根据比例关系求出游泳人数，再用总人数减去打球、游

泳、跳绳的人数即为a+c的值；

(2)用跳绳人数除以总人数，得到n%的值，即可求出n,求出其他所占比例，再乘以360。即可得到圆心角度数；

(3)用1200人乘以跳绳所占比例即可得出答案.

120

【详解】解：(1)总人数=—=300(人)

40%

游泳人数Z?=300x20%=60(人)

...a+c=300—120—60—30=90(人)

故答案为：300,90；

30

(2)n%=^xl00%=10%

300

n=10,

.,.m%=l-40%-25%-20%-10%=5%

工“其他”对应的扇形的圆心角的度数为360。X5%=18。

故答案为：10,18；

(3)由于在调查的300名学生中，喜欢“跳绳”项目的学生有30名，所占的比例为10%.

所以该年级1200名学生中估计喜欢“跳绳”项目的有1200x10%=120人.

本题考查统计图，解题的关键是找到表格数据与扇形图中数据的对应关系.

24、(1)y=-0.5x+110；(2)房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5000元.

【解析】(1)根据题意和函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式；

(2)根据题意可以得到利润与x之间的函数解析式，从而可以求得最大利润.

【详解】(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,

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