2024年中考数学总复习真题分类汇编：几何图形面积问题

3.5二次函数的实际应用

第2课时几何图形面积问题

一、选择题

1.（2023・天津）如图，要围一个矩形菜园4BCD,共中一边4D是墙，且4D的长不能超过26m,其余的三边

用篱笆，且这三边的和为40m.有下列结论：

①4B的长可以为6m；

②4B的长有两个不同的值满足菜园4BCD面积为192m2；

③菜园ABC。面积的最大值为200m2.

其中，正确结论的个数是（）

〃////////〃///////〃/

AD

菜园

台!-------------------------1c

A.0B.1C.2D.3

二、填空题

2.（2023•辽宁沈阳）如图，王叔叔想用长为60m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD,已知

房屋外墙足够长，当矩形力BCD的边m时，羊圈的面积最大.

--------------'C

3.（2022•新疆）如图，用一段长为16m的篱芭围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最

大面积为m2.

三、解答题

4.（2023•山东潍坊）工匠师傅准备从六边形的铁皮ABCDEF中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示.经

测量，AB||DE,4B与DE之间的距离为2米，4B=3米，4F=BC=1米，乙4=NB=90。，zC=ZF=

135°.MH,HG,GN是工匠师傅画出的裁剪虚线.当的长度为多少时，矩形铁皮的面积最大，

最大面积是多少？

5.（2023•黑龙江大庆）某建筑物的窗户如图所示，上半部分AABC是等腰三角形，AB=AC,AF-.BF=3:4,

点G、H、尸分别是边4B、AC.BC的中点；下半部分四边形BCDE是矩形，BE\\1J\\MN\\CD,制造窗户框的材

料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设BF=£米，BE=y米.

（1）求y与x之间的函数关系式，并求出自变量》的取值范围；

（2）当x为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积.

6.（2023•江苏徐州）如图，正方形纸片4BCD的边长为4,将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形

EFGH.设4E的长为x,四边形EFGH的面积为y.

AHD

(1)求y关于x的函数表达式；

⑵当2E取何值时，四边形EFGH的面积为10?

(3)四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.

7.(2023•山东荷泽)某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)

的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A,B两块(如图所示)，花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120

米.

〃〃/(〃〃〃/(〃〃/4//

AB

(1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；

(2)在花园面积最大的条件下，A,B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，知牡丹每株售价25

元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？

8.(2022•辽宁沈阳)如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD,铁丝恰好全部用完.

(1)若所围成矩形框架A8CZ)的面积为144平方厘米，则A8的长为多少厘米?

(2)矩形框架ABC。面积最大值为平方厘米.

9.（2022•山东威海）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成.已知墙长25m,

木栅栏长47m,在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）.求鸡场面积的最大值.

出入口

10.（2022•内蒙古赤峰）【生活情境】

为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长力。=4m,宽力B=1m的长方形水池力BCD进

行加长改造（如图①，改造后的水池力BNM仍为长方形，以下简称水池1）,同时，再建造一个周长为12nl的

矩形水池EFGH（如图②，以下简称水池2）.

E,---------------------------

水池2

尸I-----------------------1G

图①图②

【建立模型】

如果设水池4BCD的边力。加长长度DM为尤（m）。>0）,加长后水池1的总面积为为⑺?），则y1关于x的函数

解析式为：Yi=%+4（%>0）；设水池2的边EF的长为x（m）（0<x<6）,面积为y2（m2）,则%关于久的函

2

数解析式为：y2=-x+6x（0<x<6）,上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③.

图③

【问题解决】

(1)若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是(可省略单位)，水池2面积

的最大值是m2；

(2)在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是,此时的x(m)值是；

(3)当水池1的面积大于水池2的面积时，x(m)的取值范围是；

(4)在1<x<4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时％的值；

(5)假设水池力BCD的边4D的长度为6(m),其他条件不变(这个加长改造后的新水池简称水池3),则水池3

的总面积>3(m2)关于x(m)(久>0)的函数解析式为：y3-x+b(x>0).若水池3与水池2的面积相等时，

x(m)有唯一值，求6的值.

11.(2022•江苏无锡)某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙

的长度为10m),另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度

为24m,设较小矩形的宽为xm(如图).

(1)若矩形养殖场的总面积为36m2,求此时尤的值；

(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？

12.(2022•湖南湘潭)为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利

用围墙(墙长12m)和21m长的篱笆墙，围成I、II两块矩形劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了两种方

案(除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙)，请根据设计方案回答下列问题：

4?〃/〃〃Z〃/〃/〃/〃〃//〃〃4R

H

F

I区Il区

DGC

图Cl图②

(1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在I区中留一个宽度2E=1m的水池且需保证总种植面积

为32m2,试分别确定CG、DG的长；

(2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？

参考答案与解析

一、选择题

1.(2023・天津)如图，要围一个矩形菜园4BCD,共中一边4D是墙，且4。的长不能超过26m,其余的三边

用篱笆，且这三边的和为40m.有下列结论：

①2B的长可以为6m；

②AB的长有两个不同的值满足菜园4BCD面积为192m2；

③菜园4BCD面积的最大值为200m2.

其中，正确结论的个数是()

///////////////〃///〃

AD

菜园

----------1c

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】设4B的长为xm,矩形ABCD的面积为ym2,则BC的长为(40-2x)m,根据矩形的面积公式列二次

函数解析式，再分别根据4。的长不能超过26m,二次函数的最值，解一元二次方程求解即可.

【详解】设力B的长为xm,矩形4BCD的面积为yn?,则BC的长为(40-2%)m,由题意得

y-%(40—2尤)=-2x2+40x=—2(x—10)2+200,

其中0<40-2xW26,即7Wx<20,

①AB的长不可以为6m,原说法错误；

③菜园4BCD面积的最大值为200m2,原说法正确；

②当y=-2(x-10)2+200=192时，解得x=8或x=12,

•••AB的长有两个不同的值满足菜园2BCD面积为192m2,说法正确；

综上，正确结论的个数是2个，

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关

键.

二、填空题

2.(2023•辽宁沈阳)如图，王叔叔想用长为60m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD,已知

房屋外墙足够长，当矩形力BCD的边4B=m时，羊圈的面积最大.

D

【答案】15

【分析】设2B为xm,贝ljBC=(60-2x)m,根据矩形的面积公式可得关于尤的二次函数关系式，配方后即

可解.

【详解】解：设4B为xm,面积为Sm2,

由题意可得：S=x(60-2x)=-2(x-15)2+450,

.•.当x=15时，S取得最大值，

即4B=15m时，羊圈的面积最大，

故答案为：15.

【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.最大面积的问题常利函数的增减性来解答，我

们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案.其中要注意应该在自变量的

取值范围内求最大值(或最小值)，也就是说二次函数的最值不一定在％=-白时取得.

2a

3.(2022・新疆)如图，用一段长为16m的篱芭围成一个一边靠墙的矩形围栏(墙足够长)，则这个围栏的最

大面积为m2.

【答案】32

【分析】设围栏垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为(16-2x)米，列出围栏面积S关于x的

二次函数解析式，化为顶点式，即可求解.

【详解】解：设围栏垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为(16-2%)米，

/.围栏的面积S=x'(16—2x)=—2x2+16%=—2(%—4)2+32(m2),

.•.当x=4时，S取最大值，最大值为32,

故答案为：32.

【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，根据已知条件列出函数解析式是解题的关键.

三、解答题

4.(2023•山东潍坊)工匠师傅准备从六边形的铁皮4BCDEF中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示.经

测量，AB||DE,4B与DE之间的距离为2米，AB=3米，4F=BC=1米，乙4=NB=90。，zC=ZF=

135°.MH,HG,GN是工匠师傅画出的裁剪虚线.当的长度为多少时，矩形铁皮MNGH的面积最大，

最大面积是多少？

【答案】当的长度为］米时，矩形铁皮MNGH的面积最大，最大面积是胃平方米

【分析】连接CF,分别交于点P，交GN于点Q,先判断出四边形4BCF是矩形，从而可得NEFC=NDCF=

45°,再判断出四边形力MPF和四边形BCQN都是矩形，从而可得PM=AF=BC=QN=1米，AM=

PF,BN=CQ,MH1CF,GN1CF,然后设矩形MNGH的面积为y平方米，MH=GN=x米，贝MM=PH=

(x-1)米，BN=GQ=(x—1)米，利用矩形的面积公式可得y关于x的二次函数，最后利用二次函数的性质

求解即可得.

【详解】解：如图，连接CF,分别交于点P,交GN于点Q,

•••N4=NB=90°,

•••AF||BC,

AF=BC=1米，

••・四边形48CF是平行四边形,

又•：/力=NB=90°,

.•・四边形48CF是矩形，

•••/.AFC=Z.BCF=90°,CF||AB,

•••乙BCD=AAFE=135°,

•••乙EFC=乙DCF=45°,

•.•四边形MNGH是矩形，

•••MH1AB,GN1AB,GN=MH,

.•.四边形4MPF和四边形BCQN都是矩形，

PM=4F=BC=QN=1米，AM=PF,BN=CQ,MH1CF,GN1CF,

Rt△PF”和Rt△QCG都是等腰直角三角形，

•••PH=PF,GQ=CQ,

•••AM=PH,BN=GQ,

设矩形MNGH的面积为y平方米，MH=GN=x米，贝IjAM=PH=(x—1)米，BN=GQ=(x-1)米，

■.■AB=3米，

•••MN=AB—AM—BN=(5—2x)米，

y=MH-MN=x(5-2x)=-2(x-，+

又AB||DE,48与DE之间的距离为2米，AF=BC=1米，

A1<X<2,

由二次函数的性质可知，当IWKW,时，y随x的增大而增大；当时，y随X的增大而减小，

则当x时，y取得最大值，最大值为多

答：当MH的长度为:米时，矩形铁皮MNGH的面积最大，最大面积是与平方米.

48

【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题

关键.

5.(2023•黑龙江大庆)某建筑物的窗户如图所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB=AC,AF-.BF=3:4,

点G、H、尸分别是边4B、AC.BC的中点；下半部分四边形BCDE是矩形，BE||〃||MN||CD,制造窗户框的材

料总长为16米(图中所有黑线的长度和)，设BF=x米，BE=y米.

A

（1）求y与x之间的函数关系式，并求出自变量工的取值范围；

（2）当x为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积.

【答案】⑴y=4-等（0<“<为

（2）当x=T时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），最大面积为,.

【分析】（1）由BE=y可表示出〃,MN,GD的长，由=%,AF\BF=3:4可表示出BC,AF,AB,AC,FG,

尸”的长，进而可求出y与％之间的函数关系式；

（2）根据（1）中相关数据列出函数解析式，然后利用函数的性质解答.

【详解】（1）•・,四边形BCDE是矩形，

：.BC||DE,

\9BE\\IJ\\MN\\CD,

：.BE=IJ=MN=CD=y.

U：AB=AC,F是边BC的中点，

：.BC=DE=2%,AFIBC,

9：AF\BF=3:4,

3x

,\AF=—

4f

：.AB=AC=y/BF2+AF2=—.

4

:点G、H、F分别是边4B、AC的中点，

1C.

：.FG=FH=-AB=—x,

28

•••«4y=Y/16—C2,xxC2-5-%-xc2---5-%-x2c---3--%,

J844

A17x"八

4------>0

8

{x>0

Q7

.,.0<x<—,

17

.17x

..y=4A-丁0<%<

(2)设面积为S,

,1c3x

则S=2%（4-等）+-x2%x—

24

7

=8x-9

2

7%号+弓，

2

.•.当x=3寸，窗户透过的光线最多(窗户的面积最大)，最大面积为荽

【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，正确列出函数解析式是解答本题的关键.

6.(2023•江苏徐州)如图，正方形纸片4BCD的边长为4,将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形

EFGH.设4E的长为％,四边形EFGH的面积为y.

(1)求y关于％的函数表达式；

(2)当4E取何值时，四边形EFG”的面积为10?

⑶四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.

【答案】(l)y=2x2-8x+16(0<x<4)

⑵当2E取1或3时，四边形EFGH的面积为10；

(3)存在，最小值为8.

【分析】(1)先证出四边形EFGH为正方形，用未知数x表示其任一边长，根据正方形面积公式即可解决问

题；

(2)代入y值，解一元二次方程即可；

(3)把二次函数配方化为顶点式，结合其性质即可求出最小值.

【详解】⑴解：•••在正方形纸片ABCD上剪去4个全等的直角三角形,

:.乙AHE=ADGH,乙DGH+乙DHG=90°,HG=HE,

•••4EHG=180°—4AHE-乙DHG,

乙EHG=90。，四边形EFGH为正方形，

在△力£7/中，AE=x,AH=BE=4B-4E=4-x,NA=90。，

•••HE2=AE2+AH2=/+(4-x)2=2x2-8x+16,

正方形EFGH的面积y=HE2=2x2-8x+16；

vAE,4H不能为负，

0<%<4,

故y关于％的函数表达式为y=2/-8x+16(0<x<4)

(2)解：令y=10,得2/-8%+16=10,

整理，得/-4%+3=0,

解得--1,久2=3,

故当4E取1或3时，四边形EFGH的面积为10；

(3)解：存在.

正方形EFGH的面积y=2x2-8x+16=2(x-2)2+8(0<x<4)；

.•.当％=2时，y有最小值8,即四边形EFGH的面积最小为8.

【点睛】本题考查二次函数的应用.解题的关键是找准数量关系，对于第三问，只需把二次函数表达式配

方化为顶点式，即可求解.

7.(2023•山东荷泽)某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)

的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A,3两块(如图所示)，花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120

米.

〃〃/(〃〃〃/(〃〃/4//

AB

(1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；

(2)在花园面积最大的条件下，48两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，知牡丹每株售价25

元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？

【答案】(1)长为60米，宽为20米时，有最大面积，且最大面积为1200平方米

⑵最多可以购买1400株牡丹

【分析】(1)设长为X米，面积为y平方米，则宽为野米，可以得到y与X的函数关系式，配成顶点式求

出函数的最大值即可；

(2)设种植牡丹的面积为a平方米，则种植芍药的面积为(1200-a)平方米，由题意列出不等式求得种植

牡丹面积的最大值，即可解答.

【详解】(1)解：设长为x米，面积为y平方米，则宽为野米，

.,.y=xX12°%=—|x2+40x=—|—60)2+1200,

.,.当x=60时，y有最大值是1200,

此时，宽为工f=20(米)

答：长为60米，宽为20米时，有最大面积，且最大面积为1200平方米.

(2)解：设种植牡丹的面积为。平方米，则种植芍药的面积为(1200-a)平方米，

由题意可得25x2a+15x2(1200-a)<50000

解得：a<700,

即牡丹最多种植700平方米，

700X2=1400(株)，

答：最多可以购买1400株牡丹.

【点睛】本题考查二次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要

的条件.

8.(2022•辽宁沈阳)如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架A8CD,铁丝恰好全部用完.

(1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米?

(2)矩形框架ABCD面积最大值为平方厘米.

【答案】(1)48的长为8厘米或12厘米.

(2)150

【分析】（1）设4B的长为x厘米，则有七三厘米，然后根据题意可得方程宁f=144,进而求解

即可；

（2）由（1）可设矩形框架A8CO的面积为S,则有5=竺押，=-|（X-10）2+150,然后根据二次函

数的性质可进行求解.

【详解】（1）解：设的长为无厘米，则有4。="厘米，由题意得：

整理得：%2-20%+96=0,

解得：%i=8,%2=12,

..60—3%八

•〉U，

2

0<%<20,

%i=8,x2=12都符合题意，

答：A3的长为8厘米或12厘米.

（2）解：由（1）可设矩形框架A5CO的面积为S平方厘米，则有：

2

S=60-3X.X=_|x2+30刀=_|（%_10）+150,

V--<0,且0<x<20,

2

...当x=10时，S有最大值，即为S=150；

故答案为：150.

【点睛】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是找准题干中的等量关系.

9.（2022•山东威海）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成.已知墙长25m,

木栅栏长47m,在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）.求鸡场面积的最大值.

出入口

【答案】288m2

【分析】设与墙平行的一边为mi（后25）,则与墙垂直的一边长为土干m,设鸡场面积为yn?,根据矩形

面积公式写出二次函数解析式，然后根据二次函数的性质求出最值即可.

【详解】解：设与墙平行的一边为xm(烂25),则与墙垂直的一边长为冶上m,设鸡场面积为yn?,

2

根据题意，得y=%-=—|%+24%=-|(x-24)2+288,

...当x=24时，y有最大值为288,

鸡场面积的最大值为288ml.

【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确列出二次函数解析式.

10.(2022.内蒙古赤峰)【生活情境】

为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长4。=4m,宽AB=1m的长方形水池4BCD进

行加长改造(如图①，改造后的水池4BNM仍为长方形，以下简称水池1),同时，再建造一个周长为12m的

矩形水池EFGH(如图②，以下简称水池2).

水池2

水池；1

J-------------------------------------------

图①图②

【建立模型】

如果设水池力BCD的边40加长长度DM为x(m)(>>0),加长后水池1的总面积为为(m?),则为关于久的函数

解析式为：刈=乂+4(>>0)；设水池2的边EF的长为x(m)(0<x<6),面积为y2(m2),则乃关于万的函

2

数解析式为：y2=-%+6x(0<%<6),上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③.

【问题解决】

(1)若水池2的面积随EF长度的增加而减小，贝UEF长度的取值范围是(可省略单位)，水池2面积

的最大值是m2；

(2)在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是,此时的x(m)值是；

(3)当水池1的面积大于水池2的面积时，x(m)的取值范围是；

(4)在1<x<4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时久的值；

(5)假设水池48CD的边4。的长度为6(m),其他条件不变(这个加长改造后的新水池简称水池3),则水池3

的总面积、3(m2)关于久(m)(x>0)的函数解析式为：y3=x+b(x>0).若水池3与水池2的面积相等时,

式(m)有唯一值，求b的值.

【答案】(l)3<x<6；9

(2)C,E-,1,4；

(3)0<x<1或4<x<6

(崂，1

⑸胃

【分析】(1)将函数解析式化为顶点式即可解决问题；

(2)交点即为面积相等的点，联立方程组，求出交点坐标即可；

(3)观察函数图象，结合点C,点E的坐标可得结论；

(4)求出面积差的函数关系式，根据二次函数的性质求解即可；

(5)根据面积相等列出一元二次方程，依据△=(),求出。的值即可.

【详解】(1),.,%=一/+6K=-(%—3尸+9

抛物线的顶点坐标为(3,9),对称轴为广3,

:水池2的面积随EF长度的增加而减小，

长度的取值范围是3<x<6；水池2面积的最大值是9m2；

故答案为：3<x<6；9；

(2)由图象得，两函数交于点C,E,

所以，表示两个水池面积相等的点是C,E；

联立方程组[旷=彳:]

解得,

的值为1或4,

故答案为：C,E；1或4

(3)由(2)知，C(1,5),E(4,8),

又直线在抛物线上方时，0V%V1或4<x<6,

所以，水池1的面积大于水池2的面积时，％(m)的取值范围是0<%V1或4<%V6,

故答案为0<x<1或4<x<6；

(4)在1V汽<4范围内,两个水池面积差M=(―%2+6%)—(%+4)=—X2+5%—4=—(%—|)2+£

V-1<0,

，函数有最大值，

V0<x<6

...当x=|时，函数有最大值，为，

即，当x时，面积差的最大值为9，

(5)•.,水池3与水池2的面积相等，

.".x+b=—x2+6x,

整理得，X2—5x+b—0

：x(m)有唯一值，

；.△=(一5产-4b=0

解得，b=v

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解答本题的关键.

11.(2022•江苏无锡)某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙

的长度为10m),另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度

为24m,设较小矩形的宽为无m(如图).

(1)若矩形养殖场的总面积为36m2,求此时x的值；

(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？

【答案】(l)x的值为2m；

(2)当％=三时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为詈n?

【分析】(1)由BC=x,求得&)=3x,AB=8-x,利用矩形养殖场的总面积为36m2,列一元二次方程，解方

程即可求解；

(2)设矩形养殖场的总面积为S,列出矩