2024届陕西省安康市高三年级下册三模文数试题及答案

2023—2024学年安康市高三年级第三次质量联考

文科数学

考试满分：150分考试时间：120分钟

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区

域内。

2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用

0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.设(l+i)Z=i?+i3+i4,则5=()

D.」+匕

22

2.集合Af=｛x|y===Jl-x卜则下列选项正确的是()

A.MN=RB.MN=NC.MN=ND.MN=0

3.已知函数/(x)=,公差不为0的等差数列｛a“｝的前〃项和为S”.若/(qON)=f(«wi3)，

则$2024=()

A.1012B.2024C.3036D.4048

x-y>-1

4.若实数满足约束条件<x+则z=2x—y的最大值为()

x+y<l

A.0B.2C.9D.11

5.甲、乙、丙三人被随机的安排在周六、周日值班，每天至少要有一人值班，每人只在其中一天值

班.则甲、乙被安排在同一天值班的概率为()

6.在八45。中，M是A3的中点，河=3收,。0与9相交于点尸，则AP=()

31131331

A.-AB+-ACB.-AB+-ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

55552442

7.已知正数满足ae"=bln/?=2,贝U()

A.a<l<bB.a<b<lC.a>l>bD.a>b>l

8.已知tan|“一?]=2,则sin12，+(1=()

迪_V2叵7V2

10101010

9.侧棱长与底面边长均为。的正三棱柱的外接球的表面积为84不，则。=（）

A.12B.8C.6D.4

10.已知直线/与椭圆三■+/=：!在第四象限交于45两点，/与x轴，y轴分别交于C、。两

点，若|AC|=忸。|,则I的倾斜角是（）

11.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善

良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如

图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧。瓦AC所在圆的半径分别是6

和12,且NABC=120。，则该圆台的体积为（）

A.112岳B.哼

12.在平面直角坐标系中，曲线丁=必-4x+l与坐标轴的交点都在圆。上，A3为圆C的直径,

点尸是直线3x+4y+10=0上任意一点，则的最小值为（）

A.4B.12C.16D.18

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.写出一个对称中心为（1,0）的奇函数/（尤”.

14.已知数列｛4｝的前〃项和为S”，J!Lan=2Sn+2,则%+89=.

15.直线/:丁=日—左与抛物线C：V=4x交于AB两点,若|AB|=g,则左=.

16.已知函数/（%）=11«：+依+511«,'\/%1，%2€（。,+8）,工产工2，都有‘I"）」（玉）>],贝Ija的

取值范围为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必

考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）作为一个基于大型语言处理模型的文字聊天工具，ChatGPT走红后，大模型的热度持

续不减，并日渐形成了“千模大战”的局面。百度的文心一言、阿里的通义千问、华为的盘古、腾讯

的混元以及科大讯飞的星火等多种大模型正如火如茶的发布上线。现有某大模型给出了会员有效期

30天的两种不同费用，100次的使用费为6元，500次的使用费为24元。后台调取了购买会员的200

名用户基本信息，包括个人和公司两种用户，统计发现购买24元的用户数是140,其中个人用户数

比公司用户数少20,购买6元的公司用户数是个人用户数的一半.

（1）完成如下用户类别与购买意向的2x2列联表；

购买6元购买24元

个人用户

公司用户

总计

（2）能否有99.5%的把握认为购买意向与用户类别有关？（运算结果保留三位小数）

n(ad-be)由/士士八十

附：K2=—―r——77——--------临界值表如下:

（Q+b)[c+d)[a+c)[b+d)

』o)0.100.050.0250.010.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.（12分）在三边均不相等的△ABC中，角AB、。对应的边分别为。、Ac,若

“si/A—sin2C）=Msin23—sir?。）.点。在线段A3上，且8平分角C.

(1)求c；

(2)若a=3,Z?=5,求CD的长度.

19.(12分)如图，在四棱雉P—A5CD中，底面A6CD是边长为2的正方形，且

CB±BP,CD±DP,己4=2,点及厂分别为的中点.

(1)求证：上4,平面ABCD；

(2)求点尸到平面AE户的距离.

20.(12分)已知函数/(%)=/'的反函数为y=g(x),令/(x)=〃x)-g(x)

(1)求曲线y=F(x)在x=l处的切线的方程；

(2)证明：F(^)>2.

22

21.(12分)已知双曲线C:，—2=1(5〉。〉1)的左、右焦点分别为片、工，两条渐近线的夹

角为60°,M(、后，先)是双曲线上一点，且△叫工的面积为46.

(1)求该双曲线的标准方程；

(2)若直线/与双曲线C交于P、Q两点，且坐标原点。在以尸。为直径的圆上，求|PQ|的最小

值.

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做

的第一题计分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系x0y中，以坐标原点。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐

标方程为夕sin[g—e]=乎，曲线的参数方程为<"+1)—，(/为参数)，

(1)分别求曲线C和直线/的直角坐标方程;

（2）若直线/交曲线C于A8两点，过线段A3的中点。作x轴的平行线交C于一点P,求点P

的横坐标.

23.［选修4-5：不等式选讲］（10分）

已知函数/（%）=卜+1用2%+4］.

（1）求函数"尤）的最小值；

14Q

（2）若a,b,c为正实数，且/（a）+/㈤+/©=27,求,+1+：的最小值.

2023-2024学年安康市高三年级第三次质量联考

文科数学参考答案

1.【答案】D

=(T(J)-1=1'

【解析】由条件可得（1+z）z=-1+（-/）+1=—i,所以

1+i(1+«)(l-z)222

-1;

即2=----1—.故选D.

22

2.【答案】A

【解析】由条件可得〃={x|尤＜l},N={y|y20},所以MN=R,MN=[O,1],故选A.

3.【答案】B

【解析】由题可知函数/（%）的图象关于直线％=1对称，所以=1,所以

.2+.3=2,又S2024=2024（1+4。24）=2024（。中+。碇）=2024,故选笈

4.【答案】D

x-y>-l

【解析】由约束条件+画出可行域，

x+y<l

z=2x—y,化为斜截式方程得y=2x—z,

x+5y=11[x=6/、

联立1得J,即

%+y=7[y=i

由题意可知，当直线y=2x-2过点C时，直线在y轴上的截距最小，此时z最大.

把点。（6,1）代入目标函数可得最大值，即最大值z=2x6—1=11.故选D.

5.【答案】C

【解析】由题意可知将3人分成两组，其中一组只有1人，另一组有2人.分别安排在周六、周日

值班共有6种情况：（甲乙，丙）、（甲丙，乙）、（乙丙，甲）、（甲，乙丙）、（乙，甲丙）、（丙，甲乙）.显

然甲、乙被安排在同一天有2种情况，所以甲、乙被安排在同一天的概率为学-故选C.

6.【答案】B

【解析】设AP=/IAB+〃AC,由M是A3的中点，得=由⑷V=3NC,得

4

AC=-AN.

3

.4

所以AP=2/IAM+〃AC,且AP=2AB+3〃A7V

由CM与5N相交于点P可知，点P在线段。以上，也在线段5N上，由三点共线的条件可得

22+〃=1

513

4，解得＜°,所以AP=—至+―AC,故选B.

2+—/7=1355

7.【答案】A

2222

【解析】由ae"=blnb=2,得/=—且Inb=—,所以方程，=—的实根为a,方程hu=—的

abxx

2

实根为匕，在同一坐标系下画出y=e，y=lnx,y=—的图象，显然avl<b,故选A.

x

8.【答案】A

tantan—

【解析】由tan，一（-----------二=2,解得tan。=-3,所以

1+tan"tan一

4

2sin8cos。

sin29=2sin&os。=

sin2^+cos2^

2tan6^3_2c.2八cos26^-sin2^1-tan26^4

―5----二—一,cos28=cos2-side=---------------=---------=一一，所以

tan2^+15cos2^+sin2^1+tan2^5

sinf20+—^=^^sin26+^^cos2。=-Z2/E.故选A.

I4J2210

9.【答案】C

【解析】由球的表面积公式S=4万尺2=84万，解得外接球半径R=J五.因为底面三角形是边长

为。的等边三角形，所以此三角形的外接圆半径为‘4x6x2=^。，由正三棱柱的外接球的特

233

点可得，+与@,解得a=6.故选C.

10.【答案】C

【解析】由|4。|=怛。|可得线段AB的中点，也是线段C。的中点，设4（石,凹）,8（程%），线

石+x2

xo~

段A5的中点坐标为"（%,%）,则。（2%0）,。（0为"）,<.又点AB在椭圆上,

y=

02

.2

2

—+%1=12_2

3,两式相减可得%—纥+无；

所以42Q1—x2—0,"可,「可=_3,所以

江+%2=]3（玉+%2）（玉~X2）

I3-

2L±&.江生二一3,所以

尤1+x2九1一x2

瞪2-3,即13-3.

又因为A、B、C、。四点共线，所以左筋=左8=2&二°=—风，综上可得心8=±6，由4B

0-2XQ%。

在第四象限得的B>0即左相=6，所以直线的倾斜角为故选C.

11.【答案】D

2〃_

【解析】设圆台上下底面的半径分别为4,弓，由题意可知3-x6=2;r「解得彳=2,

2TC

—xl2=2^,解得〃=4,作出圆台的轴截面，如图所示:

图中0。=勺=2,04=马=4,40=12—6=6,

过点。向AP作垂线，垂足为T,则AT=^—彳=2,

所以圆台的高/z=jAZ)2—AT?=而—*=4a,

则上底面面积S]=乃x2?=4肛S?=乃x4?=16万，由圆台的体积计算公式可得：

V=1(S]+心•邑+$2)x/z=gX28万义472=”2产.

故选：D.

12.【答案】B

【解析】曲线丁=必—4x+l与坐标轴的交点分别为(0,1),(2—6,0),(2+6,0),设圆心0(21),

22

由｛(0-2)2+(17)2=^(2+73-2)+(0-0得f=1,所以圆C方程为

(%—2)2+(y—1)2=4,其圆心C(2,l),半径为

2PAPB=^PC+CA)-(PC+CB)=PC|2+(CA+CB^-PC+CACB=PC|2-4圆心

/、一|3x2+4xl+10|II

。(2,1)到直线/:3%+4丁+10=0的距离设为4,则d=J~行~L=4,所以附|最小值

为4,则PAPB最小值为4?—4=12.故选B.

13.【答案】sin/x

【解析】因为奇函数关于原点对称，且此函数又关于点(1,0)对称，所以此函数可类比于正弦函数，

因为正弦函数y=sinx是奇函数，且关于点(肛0)对称，所以可联想到/(x)=sin»x.

14.【答案】-4

【解析】当〃=1时，ai-2SX+2,解得%=-2.

当“之2时，a“=2S〃+2,a“_]=25〃_]+2,两式相减得a“=一。”一，

因为q=—2片0,所以。〃_1力0,所以％=-1,所以数列｛4｝是首项为—2,公比为—1的等比

1

数列，所以为=(—2〉(—1尸，即数列｛4｝是—2,2,—2,2,……，故%=-2,品=—2,所以

%+S9=~4.

15.【答案】k=+43

，=以,联立得上2*2_(2左2+4卜+左2=0,

【解析】由

y=kx-k'7

-（2F+4）4

所以ZwO,且A=16左2+16>0,%i+%2=-+2

―P—二记

显然直线r.y^kx-k过抛物线C:y2=4x的焦点(1,0).

4416/-

所以|A理=%i+/+2=+2+2=+4=,角军得k—±。3.

16.【答案】［2,+8)

【解析】由V&X2e(O,y),X］Wx,，不妨设再<%，则马一%>0,所以，(“2)―/(七)>1,

x2_%］

可变形化简为f(xi)-xi<y(x2)-x2,

构造函数g(x)=/(x)—X,则g(xjvg(x2)，

所以g(X)在(0,+8)上是单调递增函数，

所以gr（x]=尸⑺-1=:+a+cosx-l>0恒成立,

X

即a2-已+cosx]+1在x£（0,+oo）上恒成立，

当%>0时，—>0,COSXG[-1,1],

x

又x—>+oo时，--->0,而COSX£[—1,1]，所以HCOSX>—1,

XX

所以—1FCOSX+1<2,

所以a的取值范围为［2,+co).

故答案为：［2,+8)

17•【解析】(1)设购买24元的个人用户数为x,则购买24元的公司用户数为x+20,

设购买6元的公司用户数为y,则购买6元的个人用户数为2y，

2x+20=140

则有<,解得x=60,y=20,

[y+2y=60/

所以用户类别与购买意向2x2列联表如下:

购买6元购买24元总计

个人用户4060100

公司用户2080100

总计60140200

(2)由(1)中2x2列联表得

n(ad-be)2200x(3200-1200)2〜

K2=9.524>7.879,

(a+))(c+d)(a+c)(〃+d)100x100x140x60

所以有99.5%的把握认为用户类别与购买意向有关系.

18.【解析】(1)由a(sin2A—sin2c)=Msin23—sin?。)，得一c?)

化简得(a—b乂4+b2+ab—c2^=0

因为ABC三边均不相等，所以awb,即标+/+口匕―°?=0

由余弦定理得cose=--=--

lab2

在"BC中，由0<C<180。，得。=120。

(2)在AABC中，c?="+/+4人=49,故。=7

Ca3sinl20°3百曰/日13

由一：一得sinA=-----------=-------,易得cosA=Jl-

sinCsinA71414

在ZkACD中，NACO=60。,NADC+NA+NACO=180。，所以

731313734百"人so由冬b

sinZAPC=sin(60°+A)=—x—+—乂二一=二^在八48中,,得

2142147sinAsin/ADC

3A/3

CD=>•siM=x14=15

-sinZADC—4后—1-

19•【解析】(1)证明：因为底面ABCD为正方形，所以CBLA5,又因为

CB±BP,ABBP=B,AB,BPu平面ABP,

所以CB，平面ABP

因为Blu平面ABP,所以CBLB4,

同理CDLB4,又因为CBi8=。,。氏。<=平面430所以上4,平面ABCD,

(2)解：显然由(1)可得A4LAB,在直角△NB中，AE=J5同理，AF=J5点石，厂分

别为P5,P。的中点，所以在△PBD中，EF=1BD=V2

所以S、EF=；X拒x拒乂与=［，

在直角△QAB中，SAAP£=1x|x2x2=l

由(1)得CB,平面A5P,所以A£)J_平面ABP,所以点尸到平面APE的距离为1

2

设点P到平面AEF的距离为h,由VP_AEF=VF_AEP

得J_x且x/?=Lxlxl,解得/?=2叵.所以点尸到平面AE产的距离为2叵.

32333

20•【解析】(1)函数〃x)=靖的反函数为g(x)=lnx

则E(x)=/(x)-g(x)=ex-lux,Ff(x)=ex--,所以b(l)=e,歹'(l)=e_]

JC

所以曲线y=F(x)在x=l处的切线的方程为y—e=(e—l)(x—1),即y=(e—l)x+l.

(2)证明：由⑴可知F(x)=e*—L显然尸(x)=e「［为(0,+oo)上的增函数.

因为尸(3)=J；—2<0,b'(l)=e—1〉0,所以存在唯一的使/'(/)=£—；=0.

从而有e'二一/=ln—=—ln"

tI

因为％G(0,时，Ff(x)<0,%G(f,+oo)时，F(x)>0,

所以方(工)在区间(0/)上单调递减，在区间«,+8)上单调递增.

所以R（x）min=R（/）=e'—ln/=1+/22.-xt=2

当且仅当/=1时，等号成立，而g<f<l,即E（x）>2.

b

21.【解析】（1）由题可知双曲线的渐近线方程为y=±—九,

a

bb

因为所以一>1,所以直线y=—x的斜率大于1.

a

ki-

由两条渐近线的夹角为60。可得一=四，因为/+〃=/,所以。=2〃即双曲线方程为

a

X2y2_[

2

a3a2'

因为花的面积为4B，所以gx2cx|%|=4jL所以"闻=2百.

因为点"（百,%）在双曲线上，所以将点的坐标代人方程可得3-咚=1,解得/=4,或

a1=1.因为

22

条件。>1,所以标=4,即双曲线的方程为匕—匕=1.

412

（2）因为以PQ为直径的圆过坐标原点，所以OPJ_OQ,所以。P，。。，即：OPOQ=Q

①当直线I的斜率不存在时，设直线I的方程为％=〃，设夕（小。,。（小—>0）,由。尸•。。=0

可得犷一/=0,

1产

又点P、Q在双曲线上，代人可得-------=1,解得"=6,r=6.

412

所以00=2/=2".

②当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为丁=丘+根,

由＜3'2=:二2联立消去Y整理得（3—r）/_2kmx__J2=0（*）,

因为直线/与双曲线交于P,Q两点，所以3—左2/0,

即判别式△=（2km）1-4（3-A:2）（-m2—12）=120篦2一4左2+12）>0.

设尸（w，%），。（%,%），

2km

X,+X=----7

1273~k2

则

m2+12

二-------------丁

123-k2

由。POQ=0得到：+yxy7=