四川省成都市新津区外国语实验学校2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题（含答案）

-2024学年四川省成都市新津外国语实验学校八年级（下）期中数学试卷一、选择题（每题4分，本大题共8个小题，共32分）1．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（4分）如果a＞b，那么下列各项中正确的是（）A．a﹣2＜b﹣2 B．﹣3a＜﹣3b C． D．﹣a＞﹣b3．（4分）下列各式中，从左到右的变形是分解因式的是（）A．2a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）+a2 B．2a（b+c）＝2ab+2ac C．x3﹣2x2+x＝x（x﹣1）2 D．（x﹣1）（x+1）＝x2﹣14．（4分）在平面直角坐标系中，若点P（x﹣3，x）在第二象限，则x的取值范围是（）A．x＜3 B．x＞0 C．x＞3 D．0＜x＜35．（4分）等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则其周长为（）A．16 B．20 C．24 D．20或166．（4分）如图，函数y1＝﹣2x与y2＝ax+3的图象相交于点A（m，2），则关于x的不等式﹣2x＞ax+3的解集是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣1 D．x＜﹣17．（4分）小茗要从天府七中到兴隆湖，两地相距5.7千米，已知他步行的平均速度为90米/分钟，跑步的平均速度为210米/分钟，若他要在不超过52分钟的时间内到达，那么他至少需要跑步多少分钟？设他跑步的时间为x分钟，则列出的不等式为（）A．210x+90（52﹣x）≥5700 B．210x+90（52﹣x）≤5700 C．210x+90（52﹣x）≥5.7 D．210x+90（52﹣x）≤5.78．（4分）如图，一副三角板的直角边靠在一起，直角顶点重合，现将等腰Rt△DBE沿BC方向平移一段距离，使顶点E恰好落在△ABC的AC边上，若DB＝7cm，AB＝13cm，则平移的距离为（）A．5cm B．3cm C．2cm D．9cm二、填空题（每题4分，本大题共5个小题，共20分）9．（4分）多项式3x3y4+12xy的公因式是．10．（4分）若x2+6x+m有一个因式（x+2），则m＝．11．（4分）如图，∠BAC＝60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若，则PE＝．12．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝125°，∠A＝20°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转α度得到△A′BC′．若点C′刚好落在AC边上，则α＝．13．（4分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，以大于BC的长为半径作圆，相交于点M和点N；②作直线MN交AB于点D．若AC＝8，则BD＝．三、解答题(本大题共5个题，共48分)14．（14分）分解因数：（1）x2﹣16；（2）m2+3m﹣10；（3）2mx2﹣4mxy+2my2．15．（6分）解不等式组，并求出所有整数解的和．16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣4，1），B（﹣1，3），C（﹣1，1）．（1）△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，画出对应的△A1B1C1；（2）将△ABC以点（0，﹣1）为旋转中心顺时针旋转90°，画出旋转后对应的△A2B2C2；（3）若将△A2B2C2看作由△A1B1C1旋转得到的，那么旋转角的度数为，旋转中心坐标为．17．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点C（m，6）．（1）求m的值和一次函数的表达式；（2）求△OBC的面积；（3）在x轴上是否存在点M，使得△ABM是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．18．（10分）如图①，在△ABC中，延长AC到D，使CD＝AB，E是AD上方一点，且∠A＝∠BCE＝∠D．（1）求证：△BCE是等腰三角形；（2）如图①，若∠ACB＝90°，将DE沿直线CD翻折得到DE′，连接BE′和CE′，BE′与CE交于F，若BE′∥ED，求证：F是BE′的中点；（3）在如图②，若∠ACB＝90°，AC＝BC，连接BE′交CE于F，交CD于G．若AC＝a（b＞a＞0），求线段CG的长度．四、填空题(每小题4分，共20分)19．（4分）已知关于x，y的方程组，的解满足x﹣y＞0，则k的最大整数值是．20．（4分）如图，Rt△ABC和Rt△DEF重叠在一起，将△DEF沿点B到点C的方向平移到如图位置，已知AB＝14．图中阴影部分的面积为84，DH＝4，则平移距离为．21．（4分）若关于x的不等式组的整数解有且仅有6个，则m的取值范围是．22．（4分）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m﹣n＞1，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧优数，可以利用m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优数是．23．（4分）如图，在△ABC中，，∠BAC＝120°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△AEF，连接BE，FC并分别延长交于点M，则BM的长为．五、解答题24．（8分）某市正式出台了住房限购政策：本市户箱居民家庭在主城区已拥有1套住房的，可以再购买第二套住房，暂停购买第三套住房．有业界人士据此分析认为，郊区房价将会上涨，特种开发公司立即计划在近郊建A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如表：AB成本（万/套）2528售价（万/套）3034（1）该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？（2）该公司如何建房获得利润最大？最大利润是多少？25．（10分）已知长为a、b、c、d的四条线段．a2+b2+c2+d2＝2ab+2cd，以a、b为边构造△ABC，其中AB＝a，AC＝b；以c、d为边构造△DEC，其中DC＝c，DE＝d．（1）判断△ABC和△DEC的形状并证明；（2）将△ABC和△DEC按照图1方式放置，当B、C、E共线时，取BE的中点M，连接AM、DM．若AM⊥DM，请猜想∠BAC与∠EDC之间的数量关系，并证明；（3）如图2，当B、C、E不共线时，连接BE并取其中点M，连接AM、DM、若AM⊥DM，（2）中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由．26．（12分）【模型建立】（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA．【模型应用】（2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2，则直线l2的函数表达式为．（3）如图3，将图1四边形放到平面直角坐标系中，点E与O重合，边ED放到x轴上，若OB＝2，OC＝1，在x轴上存在点M使得以O、A、B、M为顶点的四边形面积为4，请直接写出点M的坐标．（4）如图4，平面直角坐标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．若△CPD是等腰直角三角形．请直接写出点D的坐标．参考答案与试题解析一、选择题（每题4分，本大题共8个小题，共32分）1．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：既是轴对称图形，又是中心对称图形的，故选：C．2．（4分）如果a＞b，那么下列各项中正确的是（）A．a﹣2＜b﹣2 B．﹣3a＜﹣3b C． D．﹣a＞﹣b【解答】解：A、∵a＞b，∴a﹣2＞b﹣2，故不合题意；B、∵a＞b，∴﹣3a＜﹣3b，故符合题意；C、∵a＞b，∴，故不合题意；D、∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，故不合题意．故选：B．3．（4分）下列各式中，从左到右的变形是分解因式的是（）A．2a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）+a2 B．2a（b+c）＝2ab+2ac C．x3﹣2x2+x＝x（x﹣1）2 D．（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1【解答】解：A．根据因式分解的定义，2a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）+a2不是由多项式变形为整式乘积的形式，那么不是因式分解，故A不符合题意．B．根据因式分解的定义，2a（b+c）＝2ab+2ac不是由多项式变形为整式乘积的形式，那么不是因式分解，故B不符合题意．C．根据因式分解的定义，x3﹣2x2+x＝x（x2﹣2x+1）＝x（x﹣1）2是由多项式变形为整式的乘积的形式，那么是因式分解，故C符合题意．D．根据因式分解的定义，（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1不是由多项式变形为整式乘积的形式，那么不是因式分解，故D不符合题意．故选：C．4．（4分）在平面直角坐标系中，若点P（x﹣3，x）在第二象限，则x的取值范围是（）A．x＜3 B．x＞0 C．x＞3 D．0＜x＜3【解答】解：∵点P（x﹣3，x）在第二象限，∴x﹣3＜0，x＞0，解得0＜x＜3．故选：D．5．（4分）等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则其周长为（）A．16 B．20 C．24 D．20或16【解答】解：①当4为底时，其它两边都为8，4、8、8可以构成三角形，周长为20；②当4为腰时，其它两边为4和8，∵4+4＝8，∴不能构成三角形，故舍去，故选：B．6．（4分）如图，函数y1＝﹣2x与y2＝ax+3的图象相交于点A（m，2），则关于x的不等式﹣2x＞ax+3的解集是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1【解答】解：∵函数y1＝﹣2x过点A（m，2），∴﹣2m＝2，解得：m＝﹣1，∴A（﹣1，2），∴不等式﹣2x＞ax+3的解集为x＜﹣1．故选：D．7．（4分）小茗要从天府七中到兴隆湖，两地相距5.7千米，已知他步行的平均速度为90米/分钟，跑步的平均速度为210米/分钟，若他要在不超过52分钟的时间内到达，那么他至少需要跑步多少分钟？设他跑步的时间为x分钟，则列出的不等式为（）A．210x+90（52﹣x）≥5700 B．210x+90（52﹣x）≤5700 C．210x+90（52﹣x）≥5.7 D．210x+90（52﹣x）≤5.7【解答】解：设他跑步的时间为x分钟，则他步行时间为（52﹣x）分钟，根据题意，得：210x+90（52﹣x）≥5700，故选：A．8．（4分）如图，一副三角板的直角边靠在一起，直角顶点重合，现将等腰Rt△DBE沿BC方向平移一段距离，使顶点E恰好落在△ABC的AC边上，若DB＝7cm，AB＝13cm，则平移的距离为（）A．5cm B．3cm C．2cm D．9cm【解答】解：过E作EF∥BC交AC于F，∴∠AEF＝∠ABC＝90°，由题意得，平移的距离为EF，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴BC＝AC，∴AC＝2BC，∵AB2+BC2＝AC2，AB＝15cm，∵∠DBE＝90°，BD＝BE＝9cm，∴AE＝AB﹣BE＝6cm，∴EF＝＝2（cm），∴平移的距离为2cm，故选：C．二、填空题（每题4分，本大题共5个小题，共20分）9．（4分）多项式3x3y4+12xy的公因式是3xy．【解答】解：3x3y4+12xy＝3xy（x2y3+4），则多项式3x3y4+12xy的公因式是3xy．故答案为：3xy．10．（4分）若x2+6x+m有一个因式（x+2），则m＝8．【解答】解：∵x2+6x+m有一个因式（x+2），∴设x2+6x+m＝（x+a）（x+2），∴6＝2+a，2a＝m，∴a＝4，∴m＝2×4＝8．故答案为：8．11．（4分）如图，∠BAC＝60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若，则PE＝3．【解答】解：∵AP平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠APB＝∠BAC＝×60°＝30°，∵AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，∴∠ADP＝90°，PD＝PE，∴AP＝2PD，∵PD2+AD2＝AP2，∴PD2+AD2＝（2PD）2，即PD2+＝4PD2，∴PD＝3（负值舍去），∴PE＝PD＝3，故答案为：3．12．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝125°，∠A＝20°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转α度得到△A′BC′．若点C′刚好落在AC边上，则α＝110°．【解答】解：∴∠ABC＝125°，∠A＝20°，∴∠C＝35°，∵将△ABC绕点B按逆时针方向旋转α度得到△AB′C′．若点C'刚好落在AC边上，∴CB＝C'B，∴∠CC'B＝∠C＝35°，∴∠CBC'＝110°，∴α＝110°，故答案为：110°．13．（4分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，以大于BC的长为半径作圆，相交于点M和点N；②作直线MN交AB于点D．若AC＝8，则BD＝4．【解答】解：在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠B＝∠A＝45°，∴BC＝AC＝8，∴AB＝＝8，根据作图过程可知：MN是BC的垂直平分线，连接CD，∴CD＝BD，∴∠DCB＝∠B＝45°，∴∠DCA＝∠A＝45°，∴AD＝CD，∴BD＝AD＝AB＝8＝4．故答案为：4．三、解答题(本大题共5个题，共48分)14．（14分）分解因数：（1）x2﹣16；（2）m2+3m﹣10；（3）2mx2﹣4mxy+2my2．【解答】解：（1）x2﹣16＝（x+4）（x﹣4）；（2）m2+3m﹣10＝（x﹣2）（x+5）；（3）2mx2﹣4mxy+2my2＝2m（x2﹣2y+y2）＝2m（x﹣y）2．15．（6分）解不等式组，并求出所有整数解的和．【解答】解：解不等式，得x≥3，解不等式5x﹣1＜3（x+1），得x＜2，所以不等式组的解集是：﹣3≤x＜2，所以整数解是﹣3，﹣2，﹣1，0，1，所以所以整数的解是﹣3﹣2﹣1+0+1＝﹣5．16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣4，1），B（﹣1，3），C（﹣1，1）．（1）△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，画出对应的△A1B1C1；（2）将△ABC以点（0，﹣1）为旋转中心顺时针旋转90°，画出旋转后对应的△A2B2C2；（3）若将△A2B2C2看作由△A1B1C1旋转得到的，那么旋转角的度数为90°，旋转中心坐标为（1，0）．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1；即为所求作；（2）△A2B2C2即为所求作；（3）若将△A2B2C2看作由△A1B1C1旋转得到的，那么旋转角的度数为90°，旋转中心P坐标为（1，0）．故答案为：90°，（1，0）．17．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点C（m，6）．（1）求m的值和一次函数的表达式；（2）求△OBC的面积；（3）在x轴上是否存在点M，使得△ABM是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵将点C（m，6）代入y＝x，∴6＝m，∴m＝4，∴C（4，6），设一次函数的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x+3；（2）在y＝x+3中，令x＝0得y＝3，∴B（0，3），∴S△BOC＝OB•|xC|＝×3×4＝6；（3）在x轴上存在一点M，使得△ABP是等腰三角形，理由如下：∵A（﹣4，0），B（0，3），∴AB＝5，OA＝4，当B为等腰三角形顶角顶点时，M点与A点关于y轴对称，∴M（4，0）；当A为等腰三角形顶角顶点时，AM＝AB＝5，∴M（﹣9，0）或M（1，0）；当M为等腰三角形顶角顶点时，设M（t，0），∵MA＝MB，∴（t+4）2＝t2+9，解得t＝﹣，∴P（﹣，0），综上所述：M点坐标为（﹣9，0）或（1，0）或（4，0）或（﹣，0）．18．（10分）如图①，在△ABC中，延长AC到D，使CD＝AB，E是AD上方一点，且∠A＝∠BCE＝∠D．（1）求证：△BCE是等腰三角形；（2）如图①，若∠ACB＝90°，将DE沿直线CD翻折得到DE′，连接BE′和CE′，BE′与CE交于F，若BE′∥ED，求证：F是BE′的中点；（3）在如图②，若∠ACB＝90°，AC＝BC，连接BE′交CE于F，交CD于G．若AC＝a（b＞a＞0），求线段CG的长度．【解答】（1）证明：∵∠ABC+∠A＝∠BCD，∠BCE+∠ECD＝∠BCD，∠A＝∠BCE，∴∠ABC＝∠ECD，在△ABC与△DCE中，，∴△ABC≌△DCE（ASA），∴BC＝CE，∴△BCE是等腰三角形；（2）证明：由（1）可得△ABC≌△DCE（ASA），∴BC＝CE，∠ACB＝∠DEC＝90°，如图2，连接CE′，∵将DE沿直线CD翻折得到DE′，∴CE＝CE′＝CB，∵BE′∥ED，∴∠CFE′＝∠DEC＝90°，即CF⊥BE′．由三线合一，得：F是BE′的中点；（3）解：如图3，连接EG，并延长EG交BC于点M，根据折叠的性质，则∠DGE＝∠DGE′，∵∠DGE＝∠CGM，∠DGE′＝∠BGC，∴∠BGC＝∠CGM，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠BCG＝∠MCG＝90°，在△BGC与△CGM中，，∴△BGC≌△MGC（ASA），∴BC＝CM，由（2）知，△ABC≌△DCE，∴BC＝CE，∠ACB＝∠DEC＝90°，∴CE＝CB＝CM，∴∠CBE＝∠CEB，∠CEM＝∠CME，∴，∴∠BEM＝∠CED，∴∠BEM﹣∠CEM＝∠CED﹣∠CEM，∴∠BEC＝∠GED，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠EDC＝∠A＝45°，∴∠ECD＝∠EDC，CE＝DE，在△BCE与△GDE中，，∴△BCE≌△GDE（ASA），∴BC＝GD＝AC＝a，∵CD＝AB＝b，∴CG＝CD﹣GD＝b﹣a．四、填空题(每小题4分，共20分)19．（4分）已知关于x，y的方程组，的解满足x﹣y＞0，则k的最大整数值是0．【解答】解：，②﹣①得：x﹣y＝﹣6k+3，代入已知不等式得：﹣6k+3＞0，解得：k＜，则k的最大整数值为0．故答案为：0．20．（4分）如图，Rt△ABC和Rt△DEF重叠在一起，将△DEF沿点B到点C的方向平移到如图位置，已知AB＝14．图中阴影部分的面积为84，DH＝4，则平移距离为7．【解答】解：根据平移可得DE＝AB＝14，DE∥AB，S△ABC＝S△DEF，∴EH＝14﹣4＝10，S阴影DHCF＝S梯形ABEH＝84，∴（EH+AB）•BE＝84，∴×（14+10）•BE＝84，∴BE＝7，即平移的距离为7．故答案为：7．21．（4分）若关于x的不等式组的整数解有且仅有6个，则m的取值范围是﹣1≤m＜0．【解答】解：由题知，解不等式5x﹣2＜42+1得，x＜9，又因为x＞m+3，且不等式组的整数解有且仅有6个，所以2≤m+3＜3，解得﹣1≤m＜0．故答案为：﹣1≤m＜0．22．（4分）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m﹣n＞1，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧优数，可以利用m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是15；第23个智慧优数是57．【解答】解：注意到m﹣n＞1，知m﹣n≥2，∴m≥n+2．当m＝n+2时，由（n+2）2﹣n2＝4+4n产生的智慧优数为：8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，……当m＝n+3时，由（n+3）2﹣n2＝9+6n产生的智慧优数为：15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，……当m＝n+4时，由（n+4）2﹣n2＝16+8n产产生的智慧优数为：24，32，40，48，56，64，72，80，……当m＝n+5时，由（n+5）2﹣n2＝25+10n产生的智慧优数为：35，45，55，65，75，85，……当m＝n+6时，由（n+6）2﹣n2＝36+12n产生的智慧优数为：48，60，72，84，……当m＝n+7时，由（n+7）2﹣n2＝49+14n．产生的智慧优数为：63，77，91，……当m＝n+8时，由（n+8）2﹣n2＝64+16n产生的智慧优数为：80，96，…………综上，将上述产生的智慧优数从小到大排列如下：8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，55，56，57，60，63，64，65，68，69，……故第3个智慧优数是15；第23个智慧优数是57．故答案为：15，57．23．（4分）如图，在△ABC中，，∠BAC＝120°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△AEF，连接BE，FC并分别延长交于点M，则BM的长为2+2．【解答】解：如图，连接AM，作AG⊥BM于G，由题意得，∠AFC＝∠ABE＝45°，∠AFE＝∠ABC＝30°，∴∠AFC﹣∠AFE＝∠ABE﹣∠ABC，∵∠FEM＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝180°﹣45°﹣30°＝105°，∠BCM＝180°﹣∠ACF﹣∠ACB＝180°﹣45°﹣30°＝105°，∴∠FEM＝∠BCM，∵EF＝BC，∴△FEM≌△BCM（ASA），∴FM＝BM，∵AB＝AF，AM＝AM，∴△AMF≌△ABM（SSS），∴∠AMB＝∠AMF，∵∠FME＝180°﹣∠EFM﹣∠FEM＝180°﹣15°﹣105°＝60°，∴∠AMB＝∠AMF＝30°，在Rt△ABG中，AB＝2，∠ABE＝45°，∴AG＝BG＝2•cos45°＝2，在Rt△AGM中，AG＝2，∠MAG＝90°﹣∠AMB＝90°﹣30°＝60°，∴GM＝2•tan60°＝2，∴BM＝BG+GM＝2+2，故答案为：2+2．五、解答题24．（8分）某市正式出台了住房限购政策：本市户箱居民家庭在主城区已拥有1套住房的，可以再购买第二套住房，暂停购买第三套住房．有业界人士据此分析认为，郊区房价将会上涨，特种开发公司立即计划在近郊建A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如表：AB成本（万/套）2528售价（万/套）3034（1）该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？（2）该公司如何建房获得利润最大？最大利润是多少？【解答】解：（1）设建造A型的住房x套，则建造B型住房（80﹣x）套，，解得：48≤x≤50，∵x为整数，∴x＝48，49，50，∴共有三种建房方案，方案一：建造A型的住房48套，建造B型住房32套，方案二：建造A型的住房49套，建造B型住房31套，方案三：建造A型的住房50套，建造B型住房30套；（2）设利润为w元，w＝（30﹣25）x+（34﹣28）（80﹣x）＝﹣x+480，∵48≤x≤50，∴当x＝48时，w取得最大值，此时w＝﹣48+480＝432，80﹣x＝32，答：采用建房方案一：建造A型的住房48套，建造B型住房32套，可以获得利润最大，最大利润是432万元．25．（10分）已知长为a、b、c、d的四条线段．a2+b2+c2+d2＝2ab+2cd，以a、b为边构造△ABC，其中AB＝a，AC＝b；以c、d为边构造△DEC，其中DC＝c，DE＝d．（1）判断△ABC和△DEC的形状并证明；（2）将△ABC和△DEC按照图1方式放置，当B、C、E共线时，取BE的中点M，连接AM、DM．若AM⊥DM，请猜想∠BAC与∠EDC之间的数量关系，并证明；（3）如图2，当B、C、E不共线时，连接BE并取其中点M，连接AM、DM、若AM⊥DM，（2）中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由．【解答】解：（1）结论：△ABC，△DEC都是等腰三角形；理由：∵a2+b2+c2+d2＝2ab+2cd，∴（a﹣b）2+（c﹣d）2＝0，∴a＝b，c＝d，∴△ABC，△DEC都是等腰三角形；（2）猜想：∠BAC+∠EDC＝180°．理由：延长AM到T，使得MT＝MA，连接AD，DT，ET，延长AC交ET的延长线于点K．∵MA＝MT，∠AMB＝∠TME，MB＝ME，∴△AMB≌△TME（SAS），∴AB＝ET，∠B＝∠MET，∴AB∥EK，∴∠K＝∠BAC，∵AB＝AC，∴AC＝ET，∵DM⊥AT．MA＝MT，∴DA＝DT，∵DC＝DE，∴△DAC≌△DTE（SSS），∴∠ACD＝∠DET，∵∠ACD+∠DCK＝180°，∴∠DET+∠DCK＝180°，∴∠EDC+∠K＝180°，∴∠EDC+∠BAC＝180°．（3）猜想仍然成立．理由：延长AM到Q，使得MQ＝MA，连接AD，DQ，EQ，延长AC交EQ于点J．∵MA＝MQ，∠AMB＝∠QME，MB＝ME，∴△AMB≌△QME（SAS），∴AB＝EQ，∠B＝∠MEQ，∴AB∥EQ，∴∠EJC＝∠BAC，∵AB＝AC，∴AC＝EQ，∵DM⊥AQ．MA＝MQ∴DA＝DQ，∵DC＝DE，∴△DAC≌△DQE（SSS），∴∠ACD＝∠DEQ，∵∠ACD+∠DCJ＝180°，∴∠DEQ+∠DCJ＝180°，∴∠EDC+∠EJC＝180°，∴∠EDC+∠BAC＝180°．26．（12分）【模型建立】（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA．【模型应用】（2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2，则直线l2的函数表达式为y＝﹣5x﹣10．（3）如图3，将图1四边形放到平面直角坐标系中，点E与O重合，边ED放到x轴上，若OB＝2，OC＝1，在x轴上存在点M