数学（天津卷03）-2024年高考押题预测卷（全解全析）

第第页2024年高考押题预测卷03【天津卷】数学·全解全析一、单项选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合2，，，，则（

）A． B．2，C．2，4， D．【答案】B【解析】2，，，2，4，，又，2，，故选B．2．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由，则，即，即，解得得，则不能推出，能推出，则“”是“”的必要不充分条件，故选B.3．函数（其中为自然对数的底数）的图象大致形状是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】的定义域为R.因为，所以为奇函数，故排除A、C.当时，有，所以，，所以，故排除B，故选D4．2023年考研成绩公布不久，对某校“软件工程”专业参考的200名考生的成绩进行统计，可以得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，同一组中的数据用该组区间的中间值作代表值，则下列说法中不正确的是（

）A．这200名学生成绩的众数为370分B．这200名学生成绩的平均分为377分C．这200名学生成绩的70%分位数为386分D．这200名学生成绩在中的学生有30人【答案】C【解析】显然众数是370，故A正确；平均分为，故B正确；设70%分位数为，则，得，故C错误；，故D正确.故选：C5．已知，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】,故，故选B.6．若，求（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，所以.故选A.7．若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为（

）A．2：1 B．4：1 C．8：1 D．8：3【答案】A【解析】设圆锥的高为，底面半径为，则当球面与圆锥的侧面以及底面都相切时，轴截面如图，由可得：，即，圆锥的体积．当且仅当，即时取等号．该圆锥体积的最小值为．内切球体积为．该圆锥体积与其内切球体积比．故选：A．8．双曲线的右焦点为，过作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于、两点，若四边形（为坐标原点）存在外接圆，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得，不妨设直线的方程为，直线的方程为，由题意可知，，，则四边形为平行四边形，则，由于平行四边形存在外接圆，则，则，所以，，则，因此，该双曲线的离心率为.故选：A.9．已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，，，，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，；则函数在上单调递减，在上单调递增，且当时，；则函数在上单调递减，在上单调递增，函数有四个不同的零点，即两函数与图象有四个不同的交点如下图所示由图可知，是方程的两根，即的两根所以是方程的两根，即的两个所以故选：D二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．10．已知复数（其中是虚数单位），则.【答案】【解析】由已知条件可得.11．的展开式中的系数为.【答案】【解析】由通项公式可得，即的系数为.12．由直线上的任意一个点向圆引切线，则切线长的最小值为.【答案】【解析】圆心坐标，半径要使切线长最小，则只需要点到圆心的距离最小，此时最小值为圆心到直线的距离，此时，13．设，，若，则的最小值为.【答案】3【解析】由题意，因为，，满足，所以，，且，则，当且仅当且，即时取得最小值.14．甲、乙、丙三人分别独立地解一道题，甲做对的概率是，三人都做对的概率是，三人都做错的概率是，则乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为，甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为．【答案】，或，；【解析】设甲、乙、丙做对这道题分别为事件A、B、C，，由题意，，所以，解得或；设甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的事件为D，，所以甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为.15．青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称.（i）请用表示；（ii）请写出的取值范围.【答案】【解析】（i）在圆上运动且关于圆心对称，为中点，；（ii）；当为正六边形顶点时，取得最大值；当与正六边形的边垂直时，取得最小值；六边形为正六边形，为正三角形，；作，则为中点，；，即的取值范围为.三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分14分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求a的值：(2)求证：；(3)的值【解】（1）由及余弦定理，得，因为，所以.（2）由及，得，由正弦定理得，因为，所以或.若，则，与题设矛盾，因此.（3）由（Ⅰ）得，因为，所以，所以，所以.另解：因为，所以.17．（本小题满分15分）已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，，分别为，的中点．(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的大小；(3)求点到平面的距离．【解】（1）因为平面，，如图以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，则，所以，因为，所以.（2）设平面的法向量，，则，即，取，得，设直线与平面所成角为，则，又，所以，所以直线与平面所成角的大小为.（3）设点到平面的距离为，因为，所以，所以点到平面的距离为.18．（本小题满分15分）记是等差数列的前项和，数列是等比数列，且满足，．(1)求数列和的通项公式；(2)设数列满足，（ⅰ）求的前项的和；（ⅱ）求.【解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题知：，解得，，，所以，；（2）（ⅰ），，，则；（ⅱ），，则，则，故，故，又，故.19．（本小题满分15分）已知椭圆过点，焦距是短半轴长的倍，(1)求椭圆的方程；(2)点是椭圆上的三个不同点，线段交轴于点异于坐标原点，且总有的面积与的面积相等，直线分别交轴于点两点，求的值.【解】（1）设椭圆的半焦距为，由题意知，解得，椭圆的方程；（2）因为的面积与的面积总相等，故为的中点，结合对称性可知两点关于轴对称，由题意直线斜率存在且不为0，并且纵截距不为0，设直线，故，，化简得，由得，，设，则，则，直线，令得，，所以.20．（本小题满分16分）设函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设函数（i）当时，取得极值，求的单调区间；（ii）若存在两个极值点，证明：.【