第二章 直线与平面的相对位置 两平面的相对位置

第2

章几何元素的相对位置

3.1平行问题

§2.1平行问题

§

2.2相交问题

§

2.3垂直问题

§

2.4综合问题举例1一、直线与平面平行二、平面与平面平行§2.1平行问题§2.2相交问题§2.3垂直问题§2.4综合举例§2.1平行问题一、直线与平面平行PCDBA♦若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。2例2-1试判断直线AB是否平行于平面CDE。g

f

b

a

bc

d

edc结论：直线AB不平行于定平面一、直线与平面平行XOfgae

一、直线与平面平行二、平面与平面平行§2.1平行问题§2.2相交问题§2.3垂直问题§2.4综合举例分析：如果在平面内能作一条直线平行于直线AB，则AB平行于定平面。3例2-2过点K作一水平线AB平行于已知平面ΔCDE。b

a

f

fabc

e

d

edk

kcXO一、直线与平面平行§2.1平行问题§2.2相交问题§2.3垂直问题§2.4综合举例一、直线与平面平行二、平面与平面平行分析：

AB应平行于平面ΔCDE内的水平线，因此，先在平面内作一水平线，然后过点K作该水平线的平行线。4♦若平面内的两相交直线对应地平行于另一平面内的两相交直线，则这两个平面平行。PSEFDACB二、平面与平面平行§2.1平行问题§2.1平行问题§2.2相交问题§2.3垂直问题§2.4综合举例一、直线与平面平行二、平面与平面平行5m

n

nr

rss

O例2-3试判断两平面是否平行f

d

c

c结论：Xa

abb

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md两平面平行二、平面与平面平行§2.1平行问题§2.2相交问题§2.3垂直问题§2.4综合举例一、直线与平面平行二、平面与平面平行6例2-4已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过

点K作一平面平行于已知平面。em

n

f

e

fsr

s

rd

dc

a

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kXOmn二、平面与平面平行§2.1平行问题§2.2相交问题§2.3垂直问题§2.4综合举例一、直线与平面平行二、平面与平面平行7例2-5试判断两平面是否平行ef

e

fsr

s

d

dc

a

acb

brPHSHXO二、平面与平面平行§2.1平行问题§2.2相交问题§2.3垂直问题§2.4综合举例一、直线与平面平行二、平面与平面平行分析：两平面均为铅垂面，且水平迹线平行，因此，两平面平行。8一、交点与交线性质二、积聚性法三、辅助平面法§2.1平行问题§2.2相交问题§2.3垂直问题§2.4综合举例§2.2相交问题PABKDBCALKEF一、交点与交线的性质♦直线与平面相交的交点是直线与平面的共有点。♦两平面的交线是直线，即两个平面的共有线。♦求交点、交线的实质是求共有点、共有线的投影。9♦当直线为一般位置，平面的某个投影有积聚性时，交点的投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一投影可在直线的另一个投影上找到。VHPHPABCacbkNKMmn§2.2相交问题二、积聚性法1.求交点空间分析：一、交点与交线性质二、积聚性法三、辅助平面法§2.1平行问题§2.2相交问题§2.3垂直问题§2.4综合举例10例2-6求一般位置直线与投影面垂直面的交点，

并判断其判别可见性。b

bacc

m

mn

k

n♦特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影能直接判别直线的可见性----观察法k在平面之前a

二、积聚性法（求交点）一、交点与交线性质二、积聚性法三、辅助平面法§2.1平行问题§2.2相交问题§2.3垂直问题§2.4综合举例11XOa

a(b)b

c

e

d

cefdf

kk’例2-7求铅垂线AB与一般位置平面ΔCDE的交点，并判别可见性。二、积聚性法（求交点）§2.1平行问题§2.2相交问题§2.3垂直问题§2.4综合举例一、交点与交线性质二、积聚性法三、辅助平面法总目录122.求交线f

k

■求两平面交线实质是求两直线与平面的交点,由于平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出。nlmm

l

n

bacc

a

b

XOfkVHMmnlBCackfFKNL二、积聚性法（求交线）§2.1平行问题§2.2相交问题§2.3垂直问题§2.4综合举例一、交点与交线性质二、积聚性法三、辅助平面法13平面可见性的判别b

bacnlmc

m

a

l

n

fkf

k

XO§2.1平行问题§2.2相交问题二、积聚性法（求交线）§2.3垂直问题§2.4综合举例一、交点与交线性质二、积聚性法三、辅助平面法在平面之前♦一特殊位置面和一般位置面相交，根据积聚性平面的投影能直接判别另一平面的可见性----观察法14三、辅助平面法DECKBAK1PK2AXOa

b

bacd

e

edc

121

2

k

k作题步骤：

1.过AB作铅垂平面P。

2.求P平面与ΔCDE的交线ⅠⅡ。3.求交线ⅠⅡ与AB的交点K。§2.1平行问题§2.2相交问题求一般位置直线与一般位置平面的交点§2.3垂直问题§2.4综合举例一、交点与交线性质二、积聚性法三、辅助平面法PH15Xa

b

bace

edc

12

1

k

kd

2344

3

§2.1平行问题§2.2相交问题判断可见性：三、辅助平面法第1步：在V面投影上任选一重影点，判断V面投影的可见性第2步：在H面投影上任选一重影点，判断H面投影的可见性§2.3垂直问题§2.4综合举例一、交点与交线性质二、积聚性法三、辅助平面法16利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。FBCALKED两一般位置平面相交求交线的方法§2.1平行问题§2.2相交问题三、辅助平面法下一页作图求交线§2.3垂直问题§2.4综合举例一、交点与交线性质二、积聚性法三、辅助平面法17

1、用直线与平面求交点的方法求出两平面的两个共有点K、L。bacc

b

a

dd

eff

e

PVQV1k

kl

2、连接两个共有点，画出交线KL。XO作题步骤：1

2

2334

4l§2.1平行问题§2.2相交问题三、辅助平面法上一页空间分析下一页判断可见性§2.3垂直问题§2.4综合举例一、交点与交线性质二、积聚性法三、辅助平面法18利用重影点判别可见性两平面相交，判别可见性bacc

b

a

dd

eff

e

1XO1

2

234

34§2.1平行问题§2.2相交问题三、辅助平面法§2.3垂直问题§2.4综合举例一、交点与交线性质二、积聚性法三、辅助平面法19例2-8试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直线EF相交。ac

ba

cb

f

e

efk

kXO下一页空间分析PVmm

§2.1平行问题§2.2相交问题三、辅助平面法§2.3垂直问题§2.4综合举例一、交点与交线性质二、积聚性法三、辅助平面法20FP例2-8空间分析：CABEKM

过已知点K作平面P平行于

ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。返回原题目解题§2.1平行问题§2.2相交问题三、辅助平面法§2.3垂直问题§2.4综合举例一、交点与交线性质二、积聚性法三、辅助平面法21一、直线与平面垂直§2.3垂直问题VPAKLDCBEHa

ad

c

b

dcbe

ell

XOa

定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。§2.1平行问题§2.2相交问题§2.3垂直问题一、直线与平面垂直二、两平面垂直§2.4综合举例22a

cac

n

kf

d

b

dbfk

n一、直线与平面垂直例2-9过点K作直线与平面垂直。§2.1平行问题§2.2相交问题§2.3垂直问题一、直线与平面垂直二、两平面垂直§2.4综合举例23e

f

em

nmn

c

a

ad

b

cdbfXO例2-10:试判断直线MN是否垂直于AB、CD确定的平面。一、直线与平面垂直§2.1平行问题§2.2相交问题§2.3垂直问题一、直线与平面垂直二、两平面垂直§2.4综合举例24二、两平面垂直几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。PAB§2.3垂直问题§2.1平行问题§2.2相交问题§2.3垂直问题一、直线与平面垂直二、两平面垂直§2.4综合举例25两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。ABⅠⅡ两平面垂直两平面不垂直ⅡⅠAB二、两平面垂直§2.1平行问题§2.2相交问题§2.4综合举例§2.3垂直问题一、直线与平面垂直二、两平面垂直26g

ha

cac

h

kk

f

d

b

dbfg例2-12：试过定点K作已知平面的垂面。二、两平面垂直§2.1平行问题§2.2相交问题§2.4综合举例§2.3垂直问题一、直线与平面垂直二、两平面垂直27平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每一个单个问题的投影特性、作图原理与方法。而实际问题是综合性的，涉及多项内容，需要多种作图方法才能解决。求解综合问题主要包括：空间几何元素的定位问题（交点、交线）和空间几何元素的度量问题（如距离、角度）。综合问题解题的一般步骤：

1.分析题意

2.明确所求结果，找出解题方法

3.拟定解题步骤§2-4综合问题分析及解法§2.1平行问题§2.2相交问题§2.4综合举例一、定位问题二、度量问题§2.3垂直问题28例2-13已知三条直线CD、EF和GH，求作一

直线AB与CD平行，并且与EF、GH均相交。c

g

h

e

f

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cefghdXO一、空间几何元素定位问题

下页空间分析§2.1平行问题§2.2相交问题§2.4综合举例一、定位问题二、度量问题§2.3垂直问题29分析所求得直线AB一定在平行于CD的平面上，并且与交叉直线EF、GH相交。ABCDHGEF

下页作图过程§2.1平行问题§2.2相交问题§2.4综合举例一、定位问题二、度量问题一、空间几何元素定位问题§2.3垂直问题30作图过程k

kc

g

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cefghdXOPV11

2

2aa

bb

上页空间分析§2.1平行问题§2.2相交问题§2.4综合举例一、空间几何元素定位问题§2.3垂直问题一、定位问题二、度量问题31例2-14试过A作直线与已知直线EF正交。a

efaf

e

XO

下页空间分析§2.1平行问题§2.2相交问题§2.4综合举例一、定位问题二、度量问题一、空间几何元素定位问题§2.3垂直问题32空间分析：EQFAK过已知点A作平面与已知直线EF交于点K，连接AK，AK即为所求。

下页作图过程§2.1平行问题§2.2相交问题§2.4综合举例一、定位问题二、度量问题一、空间几何元素定位问题§2.3垂直问题33作图过程：1a

efaf

e

2PVk

k§2.1平行问题§2.2相交问题§2.4综合举例一、定位问题二、度量问题§2.3垂直问题2134例2-15求点C到直线AB的距离。c

a

b

cabXO

下页空间分析§2.1平行问题§2.2相交问题§2.4综合举例一、定位问题二、度量问题§2.3垂直问题35空间分析：PABCK过C点作直线AB的垂线CK一定在过C点并且与AB垂直的平面P内，过C点作一平面与直线AB垂直，求出该平面与AB的交点K，最后求出垂线CK的实长即为所求。

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