31335306 微专题：对数函数的定义 图像与性质【1】 -2021-2022学年高一上学期数学复习讲义沪教版（2020）必修第一册

【学生版】微专题：对数函数的定义图像与性质【主题】1、对数函数当底数固定，且，时，以为底的对数，确定了变量随变量变化的规律，称为底为的对数函数；对数函数的定义域为：；2、对数函数的图像与性质0＜a＜1a＞1图像定义域(0，＋∞)值域R过定点过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0函数值的变化当0<x<1时，y<0；当x>1时，y>0当0<x<1时，y>0；当x>1时，y<0单调性是(0，＋∞)上的严格增函数是(0，＋∞)上的严格减函数对称性函数y＝logax和函数y＝logeq\f(1,a)x的图像关于eq\a\vs4\al(x)轴对称【典例】题型1、对数函数的概念例1、（1）指出下列函数哪些是对数函数？①y＝3log2x；②y＝log6x；③y＝logx5;④y＝log2x＋1；【提示】；（1）【解析】；（2）若对数函数f(x)＝logax的图象过点(2，1)，则f(8)＝________【答案】（2）；【说明】；要点诠释：（1）只有形如y=logax(a>0，a≠1)的函数才叫做对数函数，像，，等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数；（2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论。题型2、对数函数的定义域例2、求下列函数的定义域：（1）y＝log5(1－x)；（2）y＝；（3）y＝；【提示】；【解析】；【说明】提醒：函数的定义域最后的结果一定要用集合或区间的形式表示。题型3、与对数函数有关的函数的定义域和值域例3、已知函数；（1）求函数的定义域；（2）求函数的最大值；【提示】；【答案】；【解析】；【说明】。【方法归纳】求值域时，一方面要抓住对数函数的定义域和单调性，另一方面，若是复合函数，则要抓住中间变量的取值范围。题型4、与对数函数的图像相关例4、（1）设，函数的图像恒过定点P，则P点的坐标是（）A．B．C． D．（2）方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为__________【提示】；【答案】；【解析】【说明】；【方法归纳】对数函数的图像：对数函数的图象过定点（1，0），所以讨论与对数函数有关的函数的图象过定点的问题，只需令真数为1，解出相应的，即可得到定点的坐标；当底数时，对数函数是上的增函数，当时，底数的值越小，函数图象越“陡”，其函数值增长得越快；当底数时，对数函数是上的减函数，当时，底数的值越大，函数图象越“陡”，其函数值减小得越快．也可作直线y=1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小。【归纳】1．明确1个概念——对数函数的概念（1）对数的底数：对数的底数a>0且a≠1；（2）形式上的严格性：对数函数的定义表达式y＝logax中，logax前面的系数必须是1，自变量x在真数位置上，且次数为1次，系数为1，否则不是对数函数．如y＝log2(3x)、y＝log3eq\r(x)都不是对数函数．2、掌握3组关系——底数a与函数图像的关系（1）底数a与1的大小关系决定了对数函数图像的“升降”；当a>1时，对数函数的图像“上升”；当0<a<1时，对数函数的图像“下降”．（2）底数的大小决定了图像对应位置的高低：不论是a>1还是0<a<1，在第一像限内，自左向右，图像对应的对数函数的底数逐渐变大．（3）函数y＝logax与y＝logeq\s\do9(\f(1,a))x(a>0且a≠1)的图像关于x轴对称．3、掌握1个定点——对数函数图像过定点问题求函数y＝m＋logaf(x)(a>0，且a≠1)的图像过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)．【即时练习】1、下列函数是对数函数的是()A．y＝loga(2x)B．y＝log22xC．y＝log2x＋1D．y＝lgx2、函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值是()A．5B．eq\f(1,5)C．eq\f(1,e)D．eq\f(1,2)3、若函数y＝(a2－2a－2)log(a＋1)x是以x为自变量的对数函数，则实数a＝________．4、函数f(x)＝－5loga(x－1)＋2(a>0，a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．5、求下列函数的定义域：（1）y＝log2(x2－4x－5)；（2）(2)y＝eq\r(log0.5（4x－3）).6、已知f(x)＝log3x.（1）作出这个函数的图像；（2）若f(a)<f(2)，利用图像求a的取值范围．【教师版】微专题：对数函数的定义图像与性质【主题】1、对数函数当底数固定，且，时，以为底的对数，确定了变量随变量变化的规律，称为底为的对数函数；对数函数的定义域为：；2、对数函数的图像与性质0＜a＜1a＞1图像定义域(0，＋∞)值域R过定点过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0函数值的变化当0<x<1时，y<0；当x>1时，y>0当0<x<1时，y>0；当x>1时，y<0单调性是(0，＋∞)上的严格增函数是(0，＋∞)上的严格减函数对称性函数y＝logax和函数y＝logeq\f(1,a)x的图像关于eq\a\vs4\al(x)轴对称【典例】题型1、对数函数的概念例1、（1）指出下列函数哪些是对数函数？①y＝3log2x；②y＝log6x；③y＝logx5;④y＝log2x＋1；【提示】注意理解对数函数的定义及其特征；（1）【解析】：①log2x的系数是3，不是1，不是对数函数；②符合对数函数的结构形式，是对数函数；③自变量在底数位置上，不是对数函数；④对数式log2x后又加上1，不是对数函数；（2）若对数函数f(x)＝logax的图象过点(2，1)，则f(8)＝________【答案】（2）答案：3；解析：依题意知1＝loga2，所以a＝2，所以f(x)＝log2x，故f(8)＝log28＝3；【说明】对数函数的概念之理解：1、函数y=logax(a>0，a≠1)叫做对数函数.其中是自变量，函数的定义域是，值域为；2、判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量；要点诠释：（1）只有形如y=logax(a>0，a≠1)的函数才叫做对数函数，像，，等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数；（2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论。题型2、对数函数的定义域例2、求下列函数的定义域：（1）y＝log5(1－x)；（2）y＝；（3）y＝；【提示】注意理解函数的定义域与“集合观点”、“不等式”工具；【解析】（1）要使函数式有意义，需1－x>0，解得x<1，所以函数y＝log5(1－x)的定义域为(－∞，1)；（2）要使函数式有意义，需解得x<4，且x≠3，所以函数y＝的定义域为：(－∞，3)∪(3,4)；（3）要使函数有意义，需满足即解得－1＜x＜0，因此函数y＝的定义域为(－1,0)；【说明】【方法归纳】定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1．同时还要注意偶次方根的被开方数非负，分母不能为零等；求与对数函数有关的定义域时应注意的两点：（1）要遵循以前已学习过的求定义域的方法，如分式分母不为零，偶次根式被开方式大于或等于零等；（2）遵循对数函数自身的要求：一是真数大于零；二是底数大于零且不等于1；三是按底数的取值应用单调性，有针对性的解不等式；求对数型函数定义域的原则：（1）分母不能为0；（2）根指数为偶数时，被开方数非负；（3）对数的真数大于0，底数大于0且不为1；提醒：函数的定义域最后的结果一定要用集合或区间的形式表示。题型3、与对数函数有关的函数的定义域和值域例3、已知函数；（1）求函数的定义域；（2）求函数的最大值；【提示】注意函数“起点”是定义域，与“分解”复合函数；【答案】（1）；（2）；【解析】（1）由题意得，解得，故函数的定义域是．（2）=，，令，则，又在上为增函数，所以，的最大值是；【说明】求函数的最值，一定要坚持“定义域优先”的原则．由对数函数组成的复合函数的最值问题，可利用换元法求解，但要注意中间变量的取值范围。【方法归纳】求值域时，一方面要抓住对数函数的定义域和单调性，另一方面，若是复合函数，则要抓住中间变量的取值范围。题型4、与对数函数的图像相关例4、（1）设，函数的图像恒过定点P，则P点的坐标是（）A．B．C． D．（2）方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为__________【提示】注意对数函数的定义与图像特征；【答案】（1）A；（2）eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))；【解析】（1）当x+2=1，即时，恒成立，故函数的图像恒过定点，故选A；（2）若方程4x＝logax在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上有交点，由图像知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,loga\f(1,2)≤2，))解得0<a≤eq\f(\r(2),2).【说明】说明：（1）本题求定点坐标的依据是对数函数的图象过定点（1，0），不必分和两种情况讨论；（2）注意隐含条件；【方法归纳】对数函数的图像：对数函数的图象过定点（1，0），所以讨论与对数函数有关的函数的图象过定点的问题，只需令真数为1，解出相应的，即可得到定点的坐标；当底数时，对数函数是上的增函数，当时，底数的值越小，函数图象越“陡”，其函数值增长得越快；当底数时，对数函数是上的减函数，当时，底数的值越大，函数图象越“陡”，其函数值减小得越快．也可作直线y=1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小。【归纳】1．明确1个概念——对数函数的概念（1）对数的底数：对数的底数a>0且a≠1；（2）形式上的严格性：对数函数的定义表达式y＝logax中，logax前面的系数必须是1，自变量x在真数位置上，且次数为1次，系数为1，否则不是对数函数．如y＝log2(3x)、y＝log3eq\r(x)都不是对数函数．2、掌握3组关系——底数a与函数图像的关系（1）底数a与1的大小关系决定了对数函数图像的“升降”；当a>1时，对数函数的图像“上升”；当0<a<1时，对数函数的图像“下降”．（2）底数的大小决定了图像对应位置的高低：不论是a>1还是0<a<1，在第一像限内，自左向右，图像对应的对数函数的底数逐渐变大．（3）函数y＝logax与y＝logeq\s\do9(\f(1,a))x(a>0且a≠1)的图像关于x轴对称．3、掌握1个定点——对数函数图像过定点问题求函数y＝m＋logaf(x)(a>0，且a≠1)的图像过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)．【即时练习】1、下列函数是对数函数的是()A．y＝loga(2x)B．y＝log22xC．y＝log2x＋1D．y＝lgx【答案】D；【解析】选项A、B、C中的函数都不具有“y＝logax(a>0且a≠1)”的形式，只有D选项符合．故选D；2、函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值是()A．5B．eq\f(1,5)C．eq\f(1,e)D．eq\f(1,2)【答案】A；【解析】函数y＝logax的图象逐渐上升，∴函数y＝logax为单调增函数，∴a>1，故选A．3、若函数y＝(a2－2a－2)log(a＋1)x是以x为自变量的对数函数，则实数a＝________．【答案】3；【解析】依题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－2a－2＝1，,a＋1>0，,a＋1≠1，))解得a＝3.4、函数f(x)＝－5loga(x－1)＋2(a>0，a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．【答案】(2，2)；【解析】令x－1＝1，得x＝2，即f(2)＝2，故P(2，2)．5、求下列函数的定义域：（1）y＝log2(x2－4x－5)；（2）(2)y＝eq\r(log0.5（4x－3）).【解析】（1）要使函数有意义，需x2－4x－5>0，即(x－5)(x＋1)>0，所以x<－1或x>5，故所求函数的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞