2022-2023学年江苏省淮安市六校联盟高二下学期5月学情调查数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省淮安市六校联盟2022-2023学年高二下学期5月学情调查数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把〖答案〗填涂在答题卡相应位置上.1.若集合，则满足的集合的个数为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗对于集合A，由解得，又∵，∴.又∵，∴满足条件的集合可能为，，，，共个．故选：C．2.一个袋中有4个红球，3个黑球，小明从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明得分大于6分的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗记得分为X，则X的可能取值为5，6，7，8，因为，，所以.故选：A.3.设、，向量，，且，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，则，解得，则，因为，则，解得，即，所以，，因此，.故选：D.4.命题：，是假命题，则实数的值可能是（）A. B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗因为命题：，是假命题，所以命题：，是真命题，也即，恒成立，则有，解得：，根据选项的值，可判断选项B符合，故选：B.5.质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件A为“第一次向下的数字为偶数”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法错误的是（）A. B.事件A和事件互为对立事件C. D.事件A和事件相互独立〖答案〗B〖解析〗选项A：，故A正确；选项B：事件A和事件B可以同时发生，如事件A和事件B均为：第一次向下的数字为偶数,第二次向下的数字为奇数，则事件A和事件B不是对立事件，故B错误；选项C：，则，故C正确；选项D：，又，，则有成立，则事件A和事件B相互独立，故D正确.故选：B.6.某工厂为研究某种产品的产量（吨）与所需某种原材料的质量（吨）的相关性，在生产过程中收集5组对应数据，如下表所示.（残差＝观测值－预测值）345674.02.50.5根据表中数据，得出关于的经验回归方程为．据此计算出在样本处的残差为，则表中的值为（）A.1.5 B.1.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗因为样本处的残差为，即，所以，所以回归方程为：，因为，，因为样本中心点在回归直线上，所以，解得：，故选：A.7.现实世界中的很多随机变量遵循正态分布．例如反复测量某一个物理量，其测量误差通常被认为服从正态分布.若某物理量做次测量，最后结果的误差，则为使的概率控制在0.0455以下，至少要测量的次数为（）（附：若随机变量服从正态分布，则，，A.32 B.64 C.128 D.256〖答案〗C〖解析〗根据题意，，而，则，所以.故选：C.8.已知数列的前项和为，数列中的每一项可取1或2，且取1和取2的概率均为，则能被3整除的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗法一：被3除，有3种情况，分别为被3整除，余数为1，余数为2，设为被3整除的概率，所以，则，又，则，所以，是以为首项，以为公比的等比数列，有，即，所以.法二：由古典概型可知，数列共有种情况，能被3整除，有以下4种情况：①中有10个1，1个2，有种情况；②中有7个1，4个2，有种情况；③中有4个1，7个2，有种情况；④中有1个1，10个2，有种情况，所以，被3整除的概率为.故选：C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把〖答案〗填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分.9.下列结论正确的是（）A.若随机变量服从二项分布，则B.若随机变量服从正态分布，则C.若随机变量服从两点分布，，则D.若随机变量的方差，则〖答案〗AB〖解析〗对于A，若随机变量服从二项分布，则，故选项A正确.对于B，若随机变量服从正态分布，则，故，故选项B正确.对于C，若，，，故选项C错误.对于D，根据方差的计算公式，，则，故选项D错误.故选：AB.10.某大学的3名男生和3名女生利用周末到社区进行志愿服务，当天活动结束后，这6名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（）A.若要求3名女生相邻，则这6名同学共有144种不同的排法B.若要求女生与男生相间排列，则这6名同学共有72种排法C.若要求3名女生互不相邻，则这6名同学共有144种排法D.若要求男生甲不在排头女生乙不在排尾，则这6名同学共有480种排法〖答案〗ABC〖解析〗选项A，将3名女生捆绑在一起，再与3名男生进行全排列，则有（种），故A正确，选项B，要求女生与男生相间排列，采用插空法，则有（种），故B正确，选项C，先排3名男生，3名女生插空，则有（种），故C正确，选项D，若男生甲在排尾，则有（种）；若男生甲不在排头也不在排尾，则有（种），所以男生甲不在排头女生乙不在排尾，共有种排法，故D错误.故选：ABC.11.如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是()A.若平面，则动点Q的轨迹是一条线段B.存在Q点，使得平面C.当且仅当Q点落在棱上某点处时，三棱锥体积最大D.若，那么Q点的轨迹长度为〖答案〗ACD〖解析〗取、中点，连接、、PF，由PF∥∥且PF＝知是平行四边形，∴∥，∵平面，平面，∥平面，同理可得EF∥平面，∵EF∩＝F，∴平面∥平面，则点的轨迹为线段，A选项正确；如图，建立空间直角坐标系，则，，，设，则，，设为平面的一个法向量，则即得取，则.若平面，则∥，即存在，使得，则，解得，故不存在点使得平面，B选项错误；的面积为定值，当且仅当到平面的距离d最大时，三棱锥的体积最大.，，，则当时，d有最大值1；②，，则当时，d有最大值；综上，当，即和重合时，三棱锥的体积最大，C选项正确；平面，，，，Q点的轨迹是半径为，圆心角为的圆弧，轨迹长度为，D选项正确.故选：ACD.12.若实数，满足，，，则（）A.且 B.的最小值为C.的最小值为7 D.〖答案〗AD〖解析〗对于A：因为，若，则，又，显然不成立，即，同理可得，所以，即且，故A正确；对于B：，即，所以，当且仅当，即，时取等号，即的最大值为，故B错误；对于C：，当且仅当，即，时取等号，故C错误；对于D：，因为，所以，即，即，即，因为，所以，即，故D正确；故选：AD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把〖答案〗填写在答题卡相应位置上.13.的展开式中，常数项为______．（用数字作答）〖答案〗〖解析〗展开式的通项为，令，可得，因此，展开式中的常数项为.故〖答案〗为：.14.有5人参加某会议，现将参会人安排到酒店住宿，要在、、三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会人入住，则这样的安排方法共有______.〖答案〗150〖解析〗根据题意：分2步进行：①5人在a、b、c三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会人入住，可以把5人分成三组，一种是按照1,1,3；另一种是按照1,2,2；当按照1,1,3来分时共有种分组方法；当按照1,2,2来分时共有种分组方法；则一共有种分组方法；②将分好的三组对应三家酒店，有种对应方法，则安排方法共有种，故〖答案〗为：150.15.已知函数（），则它的最小值为______.〖答案〗〖解析〗由，可得，，则，当且仅当，即时取得等号，则的最小值为.故〖答案〗为：.16.有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是______，从第个盒子中取到白球的概率是______．〖答案〗〖解析〗记事件表示从第个盒子里取出白球，则，，所以，，，进而可得，，又，，，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，即，故〖答案〗为：；.四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.设函数的定义域为，集合（）.（1）求集合；（2）若：，：，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围.解：（1）要使得函数有意义，只需要解得，所以集合.（2）因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，当时，，解得；当时，解得，综上可知，实数的取值范围是.18.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的和浓度（单位：），得下表：3218468123710（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过75，且浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的列联表：（3）根据（2）中的列联表，分析该市一天空气中浓度与浓度是否有关.附：.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1）由表格可知，该市100天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的天数为，所以该市一天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的概率的估计值为.（2）浓度在，且浓度在的天数为，浓度在，且浓度在的天数为，浓度在，且浓度在的天数为，浓度在，且浓度在的天数为，由以上数据，可得列联表：64161010（3）提出假设：该市一天空气中浓度与浓度无关.根据列联表中数据，经计算得到，即有99%的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关.19.如图所示，在直四棱柱中，，，，，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：因为在直四棱柱中，面，又面，所以，又因为，所以，即两两垂直，故以方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则，，，.（2）解：因为，，设平面的法向量为，则由得，令，则，故，设直线与平面所成角为，因为，所以，故直线与平面所成角的正弦值为.20.在下面两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并完成解答．条件①：“展开式中所有项的系数之和是所有二项式系数之和的256倍”；条件②：“展开式中前三项的二项式系数之和为37”．问题：已知二项式，若______(填写条件前的序号)，m、n为正整数．（1）求展开式中含项的系数；（2）求展开式中系数最大的项；（3）写出展开式中系数最大项的位置(不要求推导过程)．解：（1）选①，则，解得；选②，则，解得；∴＝中项的系数为：；（2）展开式的通项为，设第项系数最大，则，解得，∵r∈，∴，∴展开式中系数最大的项为；（3）展开式的通项为，设第项系数最大，则，则，解得，即，定义y＝[x]为取整函数，n∈Z，当n≤x＜n＋1时，[x]＝n，则当为整数时，展开式中系数最大项为第项或项；当不为整数时，为第项．21.为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动.（1）求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；（2）记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望；（3）若志愿活动共有卫生清洁员､交通文明监督员､科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为，求的期望.解：（1）设“有女生参加活动”为事件A，”恰有一名女生参加活动“为事件.则，所以.（2）依题意知服从超几何分布，且，，所以的分布列为：012.（3）设一名女生参加活动可获得工时数为，一名男生参加活动可获得工时数为，则的所有可能取值为，的所有可能取值为，，，，，有名女生参加活动，则男生有名参加活动.，所以.即两人工时之和的期望为13个工时.22.如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥．（1）求四棱锥的体积的最大值；（2）设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．解：（1）取的中点，连接，因为，则，当平面平面时，点到平面的距离最大，四棱锥的体积取得最大值，此时平面，且，底面为梯形，，则四棱锥的体积最大值为.（2）连接，因为，所以，所以为的平面角，即，过点作平面，以为坐标原点，分别以DA，DC，DZ所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，过作于点，由题意得平面，设，因为，所以，，，所以，，所以，所以，，设平面PAM的法向量为，则，令，则，设平面的法向量为，因为，，则，令，可得，设两平面夹角为，则，令，，所以，所以，因为的对称轴为，所以当时，有最小值，所以平面和平面夹角余弦值的最小值为．江苏省淮安市六校联盟2022-2023学年高二下学期5月学情调查数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把〖答案〗填涂在答题卡相应位置上.1.若集合，则满足的集合的个数为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗对于集合A，由解得，又∵，∴.又∵，∴满足条件的集合可能为，，，，共个．故选：C．2.一个袋中有4个红球，3个黑球，小明从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明得分大于6分的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗记得分为X，则X的可能取值为5，6，7，8，因为，，所以.故选：A.3.设、，向量，，且，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，则，解得，则，因为，则，解得，即，所以，，因此，.故选：D.4.命题：，是假命题，则实数的值可能是（）A. B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗因为命题：，是假命题，所以命题：，是真命题，也即，恒成立，则有，解得：，根据选项的值，可判断选项B符合，故选：B.5.质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件A为“第一次向下的数字为偶数”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法错误的是（）A. B.事件A和事件互为对立事件C. D.事件A和事件相互独立〖答案〗B〖解析〗选项A：，故A正确；选项B：事件A和事件B可以同时发生，如事件A和事件B均为：第一次向下的数字为偶数,第二次向下的数字为奇数，则事件A和事件B不是对立事件，故B错误；选项C：，则，故C正确；选项D：，又，，则有成立，则事件A和事件B相互独立，故D正确.故选：B.6.某工厂为研究某种产品的产量（吨）与所需某种原材料的质量（吨）的相关性，在生产过程中收集5组对应数据，如下表所示.（残差＝观测值－预测值）345674.02.50.5根据表中数据，得出关于的经验回归方程为．据此计算出在样本处的残差为，则表中的值为（）A.1.5 B.1.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗因为样本处的残差为，即，所以，所以回归方程为：，因为，，因为样本中心点在回归直线上，所以，解得：，故选：A.7.现实世界中的很多随机变量遵循正态分布．例如反复测量某一个物理量，其测量误差通常被认为服从正态分布.若某物理量做次测量，最后结果的误差，则为使的概率控制在0.0455以下，至少要测量的次数为（）（附：若随机变量服从正态分布，则，，A.32 B.64 C.128 D.256〖答案〗C〖解析〗根据题意，，而，则，所以.故选：C.8.已知数列的前项和为，数列中的每一项可取1或2，且取1和取2的概率均为，则能被3整除的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗法一：被3除，有3种情况，分别为被3整除，余数为1，余数为2，设为被3整除的概率，所以，则，又，则，所以，是以为首项，以为公比的等比数列，有，即，所以.法二：由古典概型可知，数列共有种情况，能被3整除，有以下4种情况：①中有10个1，1个2，有种情况；②中有7个1，4个2，有种情况；③中有4个1，7个2，有种情况；④中有1个1，10个2，有种情况，所以，被3整除的概率为.故选：C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把〖答案〗填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分.9.下列结论正确的是（）A.若随机变量服从二项分布，则B.若随机变量服从正态分布，则C.若随机变量服从两点分布，，则D.若随机变量的方差，则〖答案〗AB〖解析〗对于A，若随机变量服从二项分布，则，故选项A正确.对于B，若随机变量服从正态分布，则，故，故选项B正确.对于C，若，，，故选项C错误.对于D，根据方差的计算公式，，则，故选项D错误.故选：AB.10.某大学的3名男生和3名女生利用周末到社区进行志愿服务，当天活动结束后，这6名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（）A.若要求3名女生相邻，则这6名同学共有144种不同的排法B.若要求女生与男生相间排列，则这6名同学共有72种排法C.若要求3名女生互不相邻，则这6名同学共有144种排法D.若要求男生甲不在排头女生乙不在排尾，则这6名同学共有480种排法〖答案〗ABC〖解析〗选项A，将3名女生捆绑在一起，再与3名男生进行全排列，则有（种），故A正确，选项B，要求女生与男生相间排列，采用插空法，则有（种），故B正确，选项C，先排3名男生，3名女生插空，则有（种），故C正确，选项D，若男生甲在排尾，则有（种）；若男生甲不在排头也不在排尾，则有（种），所以男生甲不在排头女生乙不在排尾，共有种排法，故D错误.故选：ABC.11.如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是()A.若平面，则动点Q的轨迹是一条线段B.存在Q点，使得平面C.当且仅当Q点落在棱上某点处时，三棱锥体积最大D.若，那么Q点的轨迹长度为〖答案〗ACD〖解析〗取、中点，连接、、PF，由PF∥∥且PF＝知是平行四边形，∴∥，∵平面，平面，∥平面，同理可得EF∥平面，∵EF∩＝F，∴平面∥平面，则点的轨迹为线段，A选项正确；如图，建立空间直角坐标系，则，，，设，则，，设为平面的一个法向量，则即得取，则.若平面，则∥，即存在，使得，则，解得，故不存在点使得平面，B选项错误；的面积为定值，当且仅当到平面的距离d最大时，三棱锥的体积最大.，，，则当时，d有最大值1；②，，则当时，d有最大值；综上，当，即和重合时，三棱锥的体积最大，C选项正确；平面，，，，Q点的轨迹是半径为，圆心角为的圆弧，轨迹长度为，D选项正确.故选：ACD.12.若实数，满足，，，则（）A.且 B.的最小值为C.的最小值为7 D.〖答案〗AD〖解析〗对于A：因为，若，则，又，显然不成立，即，同理可得，所以，即且，故A正确；对于B：，即，所以，当且仅当，即，时取等号，即的最大值为，故B错误；对于C：，当且仅当，即，时取等号，故C错误；对于D：，因为，所以，即，即，即，因为，所以，即，故D正确；故选：AD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把〖答案〗填写在答题卡相应位置上.13.的展开式中，常数项为______．（用数字作答）〖答案〗〖解析〗展开式的通项为，令，可得，因此，展开式中的常数项为.故〖答案〗为：.14.有5人参加某会议，现将参会人安排到酒店住宿，要在、、三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会人入住，则这样的安排方法共有______.〖答案〗150〖解析〗根据题意：分2步进行：①5人在a、b、c三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会人入住，可以把5人分成三组，一种是按照1,1,3；另一种是按照1,2,2；当按照1,1,3来分时共有种分组方法；当按照1,2,2来分时共有种分组方法；则一共有种分组方法；②将分好的三组对应三家酒店，有种对应方法，则安排方法共有种，故〖答案〗为：150.15.已知函数（），则它的最小值为______.〖答案〗〖解析〗由，可得，，则，当且仅当，即时取得等号，则的最小值为.故〖答案〗为：.16.有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是______，从第个盒子中取到白球的概率是______．〖答案〗〖解析〗记事件表示从第个盒子里取出白球，则，，所以，，，进而可得，，又，，，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，即，故〖答案〗为：；.四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.设函数的定义域为，集合（）.（1）求集合；（2）若：，：，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围.解：（1）要使得函数有意义，只需要解得，所以集合.（2）因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，当时，，解得；当时，解得，综上可知，实数的取值范围是.18.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的和浓度（单位：），得下表：3218468123710（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过75，且浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的列联表：（3）根据（2）中的列联表，分析该市一天空气中浓度与浓度是否有关.附：.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1）由表格可知，该市100天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的天数为，所以该市一天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的概率的估计值为.（2）浓度在，且浓度在的天数为，浓度在，且浓度在的天数为，浓度在，且浓度在的天数为，浓度在，且浓度在的天数为，由以上数据，可得列联表：64161010（3）提出假设：该市一天空气中浓度与浓度无关.根据列联表中数据，经计算得到，即有99%的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关.19.如图所示，在直四棱柱中，，，，，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：因为在直四棱柱中，面，又面，所以，又因为，所以，即两两垂直，故以方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则，，，.（2）解：因为，，设平面的法向量为，则由得，令，则，故，设直线与平面所成角为，因为，所以，故直线与平面所成角的正弦值为.20.在下面两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并完成解答．条件①：“展开式中所有项的系数之和是所有二项式系数之和的256倍”；条件②：“展开式中前三项的二项式系数之和为37”．问题：已知二项式，若_____