2022-2023学年广西壮族自治区桂林市平乐县平乐中学高二下学期5月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广西壮族自治区桂林市平乐县平乐中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）1.已知等比数列的公比，则等于（）A. B. C.3 D.〖答案〗D〖解析〗因为等比数列的公比，所以．故选：D.2.下列有关线性回归分析的五个命题：①在回归直线方程中，当增加1个单位时，预报变量平均减少0.5个单位②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线③如果两个变量的相关性越强，则相关性系数就越接近于1④残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高⑤甲、乙两个模型的相关指数分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好其中真命题的个数为（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个〖答案〗B〖解析〗对于①，根据回归系数的含义，可得回归直线方程中，当增加1个单位时，预报变量平均减少0.5个单位，故①正确；对于②，回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线，不正确，回归直线也可能不过任何一个点；故②不正确；对于③，如果两个变量的相关性越强，则相关性系数的绝对值就越接近于，故③不正确；对于④，残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越低，故④不正确；对于⑤，甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80则模型甲的拟合效果更好，故⑤正确；则正确的个数为2.故选：B.3.已知，下列说法正确的是（）A.无零点 B.单调递增区间为C.的极大值为 D.的极小值点为〖答案〗C〖解析〗由函数，可得定义域为，所以B不正确；又由，令，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，函数取得极大值，极大值为，无极小值，所以C正确，D不正确；当时，；当时，；当时，，所以函数在定义域内有一个零点，所以A不正确.故选：C.4.一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率是，没有思路的题只能猜一个〖答案〗，猜对〖答案〗的概率为，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设事件A表示“考生答对”，设事件表示“考生选到有思路的题”.则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为：故选：C.5.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则（）A. B.43 C. D.41〖答案〗A〖解析〗设，则，因为为等比数列，所以，，仍成等比数列．因为，所以，所以，故．故选：A.6.设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可得，而且当时，，此时，排除B、D；当时，，此时，，若，，所以函数的图象可能是C．故选：C.7.等差数列的前项和为，若且，则()A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗设的公差为d，∵，∴，即{}为等差数列，公差为，由知，故﹒故选：A.8.设，，，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，令，则，所以在上单调递减，所以，即，令，，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以，即，所以.由，得，，设，所以，所以函数在上单调递减，所以，所以时，，所以，即，所以，所以.故选：B.二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分）9.5G技术的运营不仅提高了网络传输速度，更拓宽了网络资源的服务范围，促进了5G手机的销量.某手机商城统计了5个月的5G手机销量，如下表所示：月份2021年7月2021年8月2021年9月2021年10月2021年11月月份编号销量部若与线性相关，由上表数据求得线性回归方程为，则下列说法正确的是（）A.5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约台 B.C.与正相关 D.预计2022年1月份该手机商城的5G手机销量约为部〖答案〗BCD〖解析〗由线性回归方程知，5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约44台，所以A错误；因为过样本中心，而，代入回归方程得：，则，得，所以B正确；因为，所以与正相关，故C正确；因为2022年1月份对应的月份编号，所以，故D正确,故选：BCD.10.已知随机变量服从二项分布，其数学期望，随机变量服从正态分布，且，则（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗因为，所以，即A错误，B正确；易知，因为，所以，所以，即C错误，D正确.故选：BD.11.公差为d的等差数列，其前n项和为，，，下列说法正确的有（）A. B.C.中最大 D.〖答案〗ABD〖解析〗等差数列中，，，即，，∴，，，，所以AB正确，C错误；，由且，有，所以，D选项正确.故选：ABD.12.已知函数的定义域为，且，，则下列结论中正确的有（）A.为增函数 B.为增函数C.的解集为 D.的解集为〖答案〗ABD〖解析〗对于A，因为，所以为增函数，故A正确；对于B，由，，所以为增函数，故B正确；对于C，，则等价于，又为增函数，所以，解得，所以的解集为，故C错误；对于D，等价于，即，又为增函数，所以，解得，所以的解集为，故D正确；故选：ABD.三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.随机变量的分布列如下表所示：12340.10.3则_____.〖答案〗0.3〖解析〗由分布列的性质得，，解得，所以.故〖答案〗为：0.3.14.某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为_______．〖答案〗〖解析〗记第一次摸出新球为事件A，第二次取到新球为事件B，则.故〖答案〗为：.15.在数列中，，当，，则的值为__________．〖答案〗4951〖解析〗因为，所以，，将以上个式子相加得：，因为，所以，所以，故〖答案〗是：4951.16.若函数有且仅有一个极值点，则a的取值范围是_____．〖答案〗〖解析〗若函数有且仅有一个极值点，只需有一个零点，且在此零点两侧，函数符号不同．当时，，所以在R上单调递减，函数无极值点，所以，令，则，即．记，则，令，得，令，得或，所以上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，当时，；当时，，且，又，，故的大致图象如下图所示：由图可知，若有且仅有一个极值点，则，得．所以的取值范围为．故〖答案〗为:.四、解答题（本大题共6题，17题10分，其余各题12分，共70分）要求写出必要的解题过程．17.为降低雾霾等恶劣气候对居民的影响，某公司研发了一种新型防雾霾产品．每一台新产品在进入市场前都必须进行两种不同的检测，只有两种检测都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该新型防雾霾产品第一种检测不合格的概率为，第二种检测不合格的概率为，两种检测是否合格相互独立．（1）求每台新型防雾霾产品不能销售的概率；（2）如果产品可以销售，则每台产品可获利40元；如果产品不能销售，则每台产品亏损80元（即获利元）．现有该新型防雾霾产品3台，随机变量表示这3台产品的获利，求的分布列及数学期望．解：（1）设事件表示“每台新型防雾霾产品不能销售”，事件表示“每台新型防雾霾产品能销售”，所以，所以.（2）根据（1）可知，“每台新型防雾霾产品能销售”的概率为，“每台新型防雾霾产品不能销售”的概率为，所有的可能取值为：，，，，则，，，，所以的分布列为所以，则.18.已知等差数列的前项和为，，．（1）求及；（2）令，求数列的前项和．解：（1）由题意，设等差数列的公差为，则，整理得，解得，∴，．（2），∴．19.国际学生评估项目（PISA），是经济合作与发展组织（OECD）举办的，该项目的内容是对15岁学生的阅读、数学、科学能力进行评价研究．在2018年的79个参测国家（地区）的抽样测试中，中国四省市（北京、上海、江苏、浙江作为一个整体在所有参测国家（地区）取得全部3项科目中第一的好成绩，某机构为了分析测试结果优劣的原因，从参加测试的中国学生中随机抽取了200名参赛选手进行调研，得到如下统计数据：成绩优秀成绩一般总计家长高度重视学生教育90xy家长重视学生教育度一般30z总计12080200若从上表“家长高度重视学生教育”的参测选手中随机抽取一人，则选到的是“成绩一般”的选手的概率为．（1）判断是否有99.9%的把握认为“学生取得的成绩情况”与“家长对学生的教育重视程度”有关；（2）现从成绩优秀的选手中按照分层抽样的方法抽取20人．进行“家长对学生情感支持”的调查，再从这20人中抽取3人进行“学生家庭教育资源保障”的调查．记进行“学生家庭教育资源保障”调查中抽取到“家长高度重视学生教育”的人数为X，求X的分布列和数学期望．附，．0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）由条件知，解得，所以，，，，所以有99.9%的把握认为“学生取得的成绩情况”与“家长对学生的教育重视程度”有关．（2）从成绩优秀的选手中按照分层抽样的方法抽取20人，则“家长高度重视学生教育”的应抽取15人，“家长重视学生教育度一般”的应抽取5人．由题意，X的所有可能取值为0，1，2，3．，，，．所以X的分布列为X0123P数学期望．20.已知．（1）若2是函数的极值点，求a的值，并判断2是的极大值点还是极小值点；（2）若关于x的方程在上有两个不同的实数根，求实数a的取值范围．参考数据：解：（1）因为，所以．因为2是的极值点，所以，解得．此时．令，解得或，令，解得，故上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．所以2是的极小值点．（2）由，得，令，则，令，解得，令，解得，故在上单调递增，在上单调递减，故的极大值是，而且，故实数a的取值范围是．21.给定数列，若满足（，且），且对于任意的，都有，则称为“指数型数列”．若数列满足：，．（1）判断数列是否为“指数型数列”，若是，给出证明，若不是，请说明理由；（2）若，求数列的前n项和．（1）证明：由得，，两边同时除以得：，易知有.因为，所以，故，所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以，故，又，所以，所以数列为指数型数列.（2）解：由（1）知，，所以，故，所以.22.已知函数.（1）证明：曲线在点处的切线恒过定点；（2）若有两个零点，，且，证明：.证明：（1）函数的定义域为，由，得，则，又，则曲线在点处的切线的方程为，即，显然恒过定点.（2）若有两个零点，，则，，得.因为，令，则，得，则，所以.令，则，令，则，则在上单调递增，所以.所以，则在上单调递增，所以，即，故.广西壮族自治区桂林市平乐县平乐中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）1.已知等比数列的公比，则等于（）A. B. C.3 D.〖答案〗D〖解析〗因为等比数列的公比，所以．故选：D.2.下列有关线性回归分析的五个命题：①在回归直线方程中，当增加1个单位时，预报变量平均减少0.5个单位②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线③如果两个变量的相关性越强，则相关性系数就越接近于1④残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高⑤甲、乙两个模型的相关指数分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好其中真命题的个数为（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个〖答案〗B〖解析〗对于①，根据回归系数的含义，可得回归直线方程中，当增加1个单位时，预报变量平均减少0.5个单位，故①正确；对于②，回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线，不正确，回归直线也可能不过任何一个点；故②不正确；对于③，如果两个变量的相关性越强，则相关性系数的绝对值就越接近于，故③不正确；对于④，残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越低，故④不正确；对于⑤，甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80则模型甲的拟合效果更好，故⑤正确；则正确的个数为2.故选：B.3.已知，下列说法正确的是（）A.无零点 B.单调递增区间为C.的极大值为 D.的极小值点为〖答案〗C〖解析〗由函数，可得定义域为，所以B不正确；又由，令，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，函数取得极大值，极大值为，无极小值，所以C正确，D不正确；当时，；当时，；当时，，所以函数在定义域内有一个零点，所以A不正确.故选：C.4.一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率是，没有思路的题只能猜一个〖答案〗，猜对〖答案〗的概率为，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设事件A表示“考生答对”，设事件表示“考生选到有思路的题”.则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为：故选：C.5.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则（）A. B.43 C. D.41〖答案〗A〖解析〗设，则，因为为等比数列，所以，，仍成等比数列．因为，所以，所以，故．故选：A.6.设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可得，而且当时，，此时，排除B、D；当时，，此时，，若，，所以函数的图象可能是C．故选：C.7.等差数列的前项和为，若且，则()A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗设的公差为d，∵，∴，即{}为等差数列，公差为，由知，故﹒故选：A.8.设，，，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，令，则，所以在上单调递减，所以，即，令，，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以，即，所以.由，得，，设，所以，所以函数在上单调递减，所以，所以时，，所以，即，所以，所以.故选：B.二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分）9.5G技术的运营不仅提高了网络传输速度，更拓宽了网络资源的服务范围，促进了5G手机的销量.某手机商城统计了5个月的5G手机销量，如下表所示：月份2021年7月2021年8月2021年9月2021年10月2021年11月月份编号销量部若与线性相关，由上表数据求得线性回归方程为，则下列说法正确的是（）A.5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约台 B.C.与正相关 D.预计2022年1月份该手机商城的5G手机销量约为部〖答案〗BCD〖解析〗由线性回归方程知，5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约44台，所以A错误；因为过样本中心，而，代入回归方程得：，则，得，所以B正确；因为，所以与正相关，故C正确；因为2022年1月份对应的月份编号，所以，故D正确,故选：BCD.10.已知随机变量服从二项分布，其数学期望，随机变量服从正态分布，且，则（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗因为，所以，即A错误，B正确；易知，因为，所以，所以，即C错误，D正确.故选：BD.11.公差为d的等差数列，其前n项和为，，，下列说法正确的有（）A. B.C.中最大 D.〖答案〗ABD〖解析〗等差数列中，，，即，，∴，，，，所以AB正确，C错误；，由且，有，所以，D选项正确.故选：ABD.12.已知函数的定义域为，且，，则下列结论中正确的有（）A.为增函数 B.为增函数C.的解集为 D.的解集为〖答案〗ABD〖解析〗对于A，因为，所以为增函数，故A正确；对于B，由，，所以为增函数，故B正确；对于C，，则等价于，又为增函数，所以，解得，所以的解集为，故C错误；对于D，等价于，即，又为增函数，所以，解得，所以的解集为，故D正确；故选：ABD.三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.随机变量的分布列如下表所示：12340.10.3则_____.〖答案〗0.3〖解析〗由分布列的性质得，，解得，所以.故〖答案〗为：0.3.14.某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为_______．〖答案〗〖解析〗记第一次摸出新球为事件A，第二次取到新球为事件B，则.故〖答案〗为：.15.在数列中，，当，，则的值为__________．〖答案〗4951〖解析〗因为，所以，，将以上个式子相加得：，因为，所以，所以，故〖答案〗是：4951.16.若函数有且仅有一个极值点，则a的取值范围是_____．〖答案〗〖解析〗若函数有且仅有一个极值点，只需有一个零点，且在此零点两侧，函数符号不同．当时，，所以在R上单调递减，函数无极值点，所以，令，则，即．记，则，令，得，令，得或，所以上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，当时，；当时，，且，又，，故的大致图象如下图所示：由图可知，若有且仅有一个极值点，则，得．所以的取值范围为．故〖答案〗为:.四、解答题（本大题共6题，17题10分，其余各题12分，共70分）要求写出必要的解题过程．17.为降低雾霾等恶劣气候对居民的影响，某公司研发了一种新型防雾霾产品．每一台新产品在进入市场前都必须进行两种不同的检测，只有两种检测都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该新型防雾霾产品第一种检测不合格的概率为，第二种检测不合格的概率为，两种检测是否合格相互独立．（1）求每台新型防雾霾产品不能销售的概率；（2）如果产品可以销售，则每台产品可获利40元；如果产品不能销售，则每台产品亏损80元（即获利元）．现有该新型防雾霾产品3台，随机变量表示这3台产品的获利，求的分布列及数学期望．解：（1）设事件表示“每台新型防雾霾产品不能销售”，事件表示“每台新型防雾霾产品能销售”，所以，所以.（2）根据（1）可知，“每台新型防雾霾产品能销售”的概率为，“每台新型防雾霾产品不能销售”的概率为，所有的可能取值为：，，，，则，，，，所以的分布列为所以，则.18.已知等差数列的前项和为，，．（1）求及；（2）令，求数列的前项和．解：（1）由题意，设等差数列的公差为，则，整理得，解得，∴，．（2），∴．19.国际学生评估项目（PISA），是经济合作与发展组织（OECD）举办的，该项目的内容是对15岁学生的阅读、数学、科学能力进行评价研究．在2018年的79个参测国家（地区）的抽样测试中，中国四省市（北京、上海、江苏、浙江作为一个整体在所有参测国家（地区）取得全部3项科目中第一的好成绩，某机构为了分析测试结果优劣的原因，从参加测试的中国学生中随机抽取了200名参赛选手进行调研，得到如下统计数据：成绩优秀成绩一般总计家长高度重视学生教育90xy家长重视学生教育度一般30z总计12080200若从上表“家长高度重视学生教育”的参测选手中随机抽取一人，则选到的是“成绩一般”的选手的概率为．（1）判断是否有99.9%的把握认为“学生取得的成绩情况”与“家长对学生的教育重视程度”有关；（2）现从成绩优秀的选手中按照分层抽样的方法抽取20人．进行“家长对学生情感支持”的调查，再从这2