2022-2023学年广东省肇庆市封开县部分校高一下学期联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省肇庆市封开县部分校2022-2023学年高一下学期联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z满足，则z的虚部为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题得所以复数z的虚部为.故选：A2.关于向量，，下列命题中，正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，，则 D.若，则〖答案〗B〖解析〗对于A选项，若，但、不一定相等，A错；对于B选项，若，则，B对；对于C选项，取，则，成立，但、不一定共线，C错；对于D选项，若，但、不能比较大小，D错.故选：B.3.如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（）A. B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意，利用斜二测画法的定义，画出原图形，∵是等腰直角三角形，，斜边，∴，∴，∴原平面图形的面积是.故选：A．4.已知的内角的对边分别为，若，，，则为（）A.60° B.60°或120° C.30° D.30°或150°〖答案〗C〖解析〗在中，，，，所以由正弦定理得，所以，又，所以.故选：C.5.已知向量满足，则（）A.8 B. C. D.4〖答案〗D〖解析〗因为，所以，又因为所以，所以.故选：D.6.如图所示，为测量山高选择A和另一座山的山顶为测量观测点，从A点测得点的仰角点的仰角以及从点测得，若山高米，则山高等于（）A.米 B.米C.米 D.米〖答案〗A〖解析〗因为在中，，，所以，在中，，由正弦定理得：，即，所以，在中，，所以（米）故选：A7.已知为棱长4的正四面体，则该正四面体的外接球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗将正四面体补形成正方体如下图所示，正四面体的棱长为，所以正方体的边长为，所以正方体的对角线长为，所以正方体的外接球，也即正四面体的外接球的半径为，所以外接球的表面积为.故选：C8.在中，则为（）A.直角三角形 B.三边均不相等的三角形C.等边三角形 D.等腰非等边三角形〖答案〗C〖解析〗由题意：，∴，∴，即，由正弦定理：，∵是三角形内角，∴由，所以三角形是等边三角形.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是（）A.圆锥 B.圆柱 C.三棱锥 D.正方体〖答案〗ACD〖解析〗圆锥的轴截面是三角形，圆柱的任何截面都不可能是三角形，三棱锥平行于底面的截面是三角形，正方体的截面可能是三角形，如图：故选：ACD10.已知复数，则下列说法正确的是（）A.若，则共轭复数 B.若复数，则C.若复数z为纯虚数，则 D.若，则〖答案〗BD〖解析〗对于A，时，，则，故A错误；对于B，若复数，则满足，解得，故B正确；对于C，若复数z为纯虚数，则满足，解得，故C错误；对于D，若，则，，故D正确.故选：BD.11.已知向量，，则（）A.若与垂直，则 B.若，则的值为C.若，则 D.若，则与的夹角为〖答案〗BC〖解析〗对于A选项，，则，解得，A选项错误；对于B选项，，，，B选项正确；对于C选项，若，则，所以，，C选项正确；对于D选项，若，则，，此时，与的夹角不是，D选项错误.故选：BC.12.已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且，，，则下列命题中正确命题为（）A.； B.；C.； D.〖答案〗BCD〖解析〗，A错误.，B正确.，C正确，D正确.故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在中，已知，，，则___________.〖答案〗〖解析〗在中，.故〖答案〗为：14.已知，，，则向量在向量上的投影向量为__________．〖答案〗〖解析〗∵，又，∴，又，所以向量在向量方向上的投影向量为.故〖答案〗为：15.若，且，则的最小值为___________〖答案〗4〖解析〗复数z满足，点z表示以原点为圆心、1为半径的圆，则表示z点对应的复数与点(3,4)之间的距离.原点O到点(3,4)之间的距离d=5，∴的最小值为5-1=4.故〖答案〗为：4.16.祖暅（公元5-6世纪），祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等；该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为2b，高皆为a的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，以平行于平面的平面于距平面任意高d处可横截得到及两截面，可以证明总成立．据此，b为，a为的椭球体的体积是__________．〖答案〗〖解析〗根据题意知，该椭球体的体积是．故〖答案〗为：四、解答题：本大题共6小题，共70分．第17题为10分，其他为12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.求实数m值或取值范围，使得复数分别满足：（1）z是实数；（2）z是纯虚数；（3）z是复平面中对应的点位于第二象限.解：（1）由题意得，所以；（2）由题意得，所以；（3）由题意得，所以.18.已知向量，，．（1）若点A，B，C共线，求实数m的值；（2）若△ABC为直角三角形，求实数m的值．解：（1）因为，，，所以，因为、、三点共线，所以，所以，解得（2）①若为直角，则，所以，解得②若为直角，则，所以，解得③若为直角，则，所以，即，因为，所以方程无解；综上可得，当或时为直角三角形19.正棱锥S﹣ABCD的底面边长为4，高为1.求：（1）棱锥的侧棱长和侧面的高；（2）棱锥的表面积与体积.解：（1）如图所示，设为正四棱锥的高，则，作，则为中点，连接，则，因为，可得，在中，，在中，，所以棱锥的侧棱长为，侧面的高为.（2）棱锥的表面积为=，几何体的体积为.20.设向量（1）若（2）设函数解：（1）由＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及，得4sin2x＝1.又x∈，从而sinx＝，所以x＝.（2）sinx·cosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，当x∈时，－≤2x－≤π，∴当2x－＝时，即x＝时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.21.如图，在海岸A处，发现北偏东方向，距离A为海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西方向，距离A为20海里的C处有一艘缉私艇奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东方向逃窜，问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间．解：设缉私艇在点D处追上走私船，所需t小时，则海里，海里，因为，在中，由余弦定理得，即，所以，由正弦定理得，所以，所以BC为东西方向，所以，在中，由正弦定理得，所以，所以，所以，即，即（小时），所以缉私艇沿北偏东行驶才能最快追上走私船，所需时间小时.22.已知锐角，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且．（1）证明：；（2）若为的角平分线，交AB于D点，且．求的值．（1）证明：因为，由正弦定理得：，又，所以，整理得．又，则，即.（2）解：因为为的平分线，且，所以，则，所以，可得，因为为锐角三角形，所以，解得，所以，所以，所以，在中，由余弦定理可得，所以，由正弦定理得.广东省肇庆市封开县部分校2022-2023学年高一下学期联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z满足，则z的虚部为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题得所以复数z的虚部为.故选：A2.关于向量，，下列命题中，正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，，则 D.若，则〖答案〗B〖解析〗对于A选项，若，但、不一定相等，A错；对于B选项，若，则，B对；对于C选项，取，则，成立，但、不一定共线，C错；对于D选项，若，但、不能比较大小，D错.故选：B.3.如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（）A. B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意，利用斜二测画法的定义，画出原图形，∵是等腰直角三角形，，斜边，∴，∴，∴原平面图形的面积是.故选：A．4.已知的内角的对边分别为，若，，，则为（）A.60° B.60°或120° C.30° D.30°或150°〖答案〗C〖解析〗在中，，，，所以由正弦定理得，所以，又，所以.故选：C.5.已知向量满足，则（）A.8 B. C. D.4〖答案〗D〖解析〗因为，所以，又因为所以，所以.故选：D.6.如图所示，为测量山高选择A和另一座山的山顶为测量观测点，从A点测得点的仰角点的仰角以及从点测得，若山高米，则山高等于（）A.米 B.米C.米 D.米〖答案〗A〖解析〗因为在中，，，所以，在中，，由正弦定理得：，即，所以，在中，，所以（米）故选：A7.已知为棱长4的正四面体，则该正四面体的外接球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗将正四面体补形成正方体如下图所示，正四面体的棱长为，所以正方体的边长为，所以正方体的对角线长为，所以正方体的外接球，也即正四面体的外接球的半径为，所以外接球的表面积为.故选：C8.在中，则为（）A.直角三角形 B.三边均不相等的三角形C.等边三角形 D.等腰非等边三角形〖答案〗C〖解析〗由题意：，∴，∴，即，由正弦定理：，∵是三角形内角，∴由，所以三角形是等边三角形.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是（）A.圆锥 B.圆柱 C.三棱锥 D.正方体〖答案〗ACD〖解析〗圆锥的轴截面是三角形，圆柱的任何截面都不可能是三角形，三棱锥平行于底面的截面是三角形，正方体的截面可能是三角形，如图：故选：ACD10.已知复数，则下列说法正确的是（）A.若，则共轭复数 B.若复数，则C.若复数z为纯虚数，则 D.若，则〖答案〗BD〖解析〗对于A，时，，则，故A错误；对于B，若复数，则满足，解得，故B正确；对于C，若复数z为纯虚数，则满足，解得，故C错误；对于D，若，则，，故D正确.故选：BD.11.已知向量，，则（）A.若与垂直，则 B.若，则的值为C.若，则 D.若，则与的夹角为〖答案〗BC〖解析〗对于A选项，，则，解得，A选项错误；对于B选项，，，，B选项正确；对于C选项，若，则，所以，，C选项正确；对于D选项，若，则，，此时，与的夹角不是，D选项错误.故选：BC.12.已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且，，，则下列命题中正确命题为（）A.； B.；C.； D.〖答案〗BCD〖解析〗，A错误.，B正确.，C正确，D正确.故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在中，已知，，，则___________.〖答案〗〖解析〗在中，.故〖答案〗为：14.已知，，，则向量在向量上的投影向量为__________．〖答案〗〖解析〗∵，又，∴，又，所以向量在向量方向上的投影向量为.故〖答案〗为：15.若，且，则的最小值为___________〖答案〗4〖解析〗复数z满足，点z表示以原点为圆心、1为半径的圆，则表示z点对应的复数与点(3,4)之间的距离.原点O到点(3,4)之间的距离d=5，∴的最小值为5-1=4.故〖答案〗为：4.16.祖暅（公元5-6世纪），祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等；该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为2b，高皆为a的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，以平行于平面的平面于距平面任意高d处可横截得到及两截面，可以证明总成立．据此，b为，a为的椭球体的体积是__________．〖答案〗〖解析〗根据题意知，该椭球体的体积是．故〖答案〗为：四、解答题：本大题共6小题，共70分．第17题为10分，其他为12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.求实数m值或取值范围，使得复数分别满足：（1）z是实数；（2）z是纯虚数；（3）z是复平面中对应的点位于第二象限.解：（1）由题意得，所以；（2）由题意得，所以；（3）由题意得，所以.18.已知向量，，．（1）若点A，B，C共线，求实数m的值；（2）若△ABC为直角三角形，求实数m的值．解：（1）因为，，，所以，因为、、三点共线，所以，所以，解得（2）①若为直角，则，所以，解得②若为直角，则，所以，解得③若为直角，则，所以，即，因为，所以方程无解；综上可得，当或时为直角三角形19.正棱锥S﹣ABCD的底面边长为4，高为1.求：（1）棱锥的侧棱长和侧面的高；（2）棱锥的表面积与体积.解：（1）如图所示，设为正四棱锥的高，则，作，则为中点，连接，则，因为，可得，在中，