2022-2023学年福建省福州八县（市）一中高一下学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省福州市八县（市）2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题考试时间：120分钟满分：150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若，则复数（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，故选：D．2.已知向量在由小正方形（边长1）组成的网格中的位置如图所示，则（）A.12 B.4 C.6 D.3〖答案〗C〖解析〗以网格的小正方形相邻两边所在方向单位向量为基底,如图.则,所以，则.故选：C3.如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原图的面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗方法一：如图所示：根据斜二测画法，可知原图形为平行四边形，其中，，故面积为.方法二：直观图的面积为，原图的面积与直观图的面积之比为，故原图的面积为.故选：A4.如图，在中，，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗在中，，∴.故选：A．5.设，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，，即，，．故选：C．6.已知分别是内角所对的边，是方程的两个根，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗是方程的两个根，则有，则故选：B7.已知中，“”是“”成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗由正弦定理以及三角形大边对大角可得：，又，在上单调递减，，即，“”是“”成立的充分必要条件.故选：C.8.某工厂的烟囱如图所示，底部为，顶部为，相距为的点，与点在同一水平线上，用高为的测角工具在，位置测得烟囱顶部在和处的仰角分别为，.其中，和在同一条水平线上，在上，则烟囱的高（）A B.C. D.〖答案〗D〖解析〗如下图，在中，，由正弦定理可得，所以，从而，故，故选：D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列说法正确的是（）A.直四棱柱是长方体B.平行六面体的侧面和底面均为平行四边形C.棱台的各侧棱延长后必交于一点D.棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面〖答案〗BC〖解析〗对于A：因为直四棱柱上下底面平行，但是上下底面可以不是矩形，所以直棱柱不一定是长方体，故A错误；对于B：平行六面体的侧面和底面均为平行四边形，故B正确；对于C：由棱台的定义知，棱台的侧棱延长后必交于一点，故C正确；对于D：棱柱的两个面平行可能是棱柱的底面也可能是棱柱的侧面，故D错误；故选：BC．10.下列命题正确的是（）A.B.已知，为非零实数，若，则与共线C.若为非零向量，若“”则“”D.若单位向量满足，则与的夹角为0〖答案〗BD〖解析〗对于选项A，不妨设，，为非零向量，且，则，，即选项A错误；对于选项B，已知，为非零实数，若，，则与共线，即选项B正确；对于选项C，已知为非零向量，又,则，即或，即选项C错误；对于选项D，若单位向量满足，即，即，即，则，则与的夹角为0，即选项D正确．故选：BD．11.已知满足，则（）A.锐角三角形 B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗已知满足，则，即，即，对于选项A，为钝角三角形，即选项A错误；对于选项B，，，，即选项B正确；对于选项C，，，即选项C正确；对于选项D，由，结合余弦定理可得：，即选项D正确．故选：BCD．12.对于函数，其中正确命题的是（）A.该函数的值域是，B.当且仅当或时，该函数取最大值1C.当且仅当时，D.当且仅当时，函数单调递增〖答案〗BC〖解析〗由，得，作出函数的图像（图中实线）如图所示：结合图形可知，函数的值域是，，故错误；由图可知，当且仅当或时，函数取得最大值1，故正确；由图可知，当且仅当时，，故正确；，函数为周期函数，由图可知，当，，时，单调递增，故错误．故选：．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若复数，则__．〖答案〗〖解析〗因为，则，则，故〖答案〗为：．14.已知向量，，若在方向上的投影向量为，则的值为__．〖答案〗〖解析〗，，，，在方向上的投影向量为，在方向上的投影向量为，，，故〖答案〗为：.15.记的内角A，，的对边分别为，，，点为边的中点．若，，，则的面积为__．〖答案〗〖解析〗由余弦定理得，所以，因为为的中点，所以，所以，所以，故的面积．故〖答案〗为：．16.已知函数，若存在，使得，则的取值范围是__．〖答案〗〖解析〗当时，则，可得，即，求得，则，函数在上递增，；当时，，，可知不存在，使得；当时，则，由，得，令，，则，，，，则，即，函数在上单调递增，可得，即．综上所述，的取值范围是．故〖答案〗为：．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）计算：；（2）若复数为纯虚数，求的值．解：（1）原式=（2）为纯虚数，，或（舍去），即18.已知向量．（1）当为何值时，与共线？（2）当的取值范围为何值时，与夹角为锐角？解：（1）与共线，，解得.所以当时，与共线.（2）若与的夹角为锐角，则，解得．又由（1）得，当时，与共线且同方向，故当的范围为时，与夹角为锐角．19.在平面直角坐标系中，已知点，，．（1）如果点使得四边形为平行四边形，求顶点的坐标；（2）如果点满足，设，求的最小值．解：（1）设的坐标为，因为四边形是平行四边形，所以，由于，，故，所以，所以的坐标为；（2），，，，，，，，所以当时，取得最小值，最小值为．20.若函数同时满足下列四个条件中的三个：①最小值为；②；③；④最小正周期为．（1）给出函数的〖解析〗式，并说明理由；（2）求函数的单调递减区间．解：（1）依题意，若函数满足条件③，则有，因为，所以，③显然不成立，所以应满足条件①②④，由条件④得，且，所以，由条件①得，再由条件②得有，所以.所以.因为，所以，所以.（2）由得所以的单调递减区间为.21.疫情后全国各地纷纷布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足为常数，且，日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如表所示：（天11418222630122135139143139135（1）给出以下四个函数模型：①；②；③；④．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的〖解析〗式；（2）已知第1天的日销售收入为244元．设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值．解：（1）该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足为常数，且，日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如表所示：（天11418222630122135139143139135由表格中的数据知，当时间变长时，先增后减，①③④函数模型都描述的是单调函数，不符合该数据模型，所以选择模型②：，由函数图象对称性可知，又由表格可知，，代入，得，解得，，所以日销售量与时间的变化的关系式为，.（2）因为第1天的日销售收入为244元，则，解得，则，由（1），知，由，当，时，，当且仅当时，即时等号成立，当，时，为减函数，所以函数的最小值为，综上可得，当时，函数取得最小值1395元．22.已知的内角所对的边分别为从下列三个条件中选择一个并解答问题：①；②；③.（1）求角的大小；（2）（i）若的面积为，，角的内角平分线交于，求．（ii）若，动点分别在边，上，如果把成面积相等的两部分，求长度的最短值．解：（1）若选①：因为，由正弦定理可得因为，可得，所以，即，所以，又因为，所以；若选②，因为，可得，即，由正弦定理得，因为，可得，所以，又因，所以；若选③，因为，可得，由正弦定理得，又由，所以，因为，可得，所以，即，所以，因为，所以，所以，解得.（2）（i）因为，解得，又因为，所以，故，又由等面积法得，解得.（ii）由题可知，又由，所以，由余弦定理可得,当且仅当时取等号，所以，即的最短长度为．福建省福州市八县（市）2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题考试时间：120分钟满分：150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若，则复数（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，故选：D．2.已知向量在由小正方形（边长1）组成的网格中的位置如图所示，则（）A.12 B.4 C.6 D.3〖答案〗C〖解析〗以网格的小正方形相邻两边所在方向单位向量为基底,如图.则,所以，则.故选：C3.如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原图的面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗方法一：如图所示：根据斜二测画法，可知原图形为平行四边形，其中，，故面积为.方法二：直观图的面积为，原图的面积与直观图的面积之比为，故原图的面积为.故选：A4.如图，在中，，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗在中，，∴.故选：A．5.设，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，，即，，．故选：C．6.已知分别是内角所对的边，是方程的两个根，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗是方程的两个根，则有，则故选：B7.已知中，“”是“”成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗由正弦定理以及三角形大边对大角可得：，又，在上单调递减，，即，“”是“”成立的充分必要条件.故选：C.8.某工厂的烟囱如图所示，底部为，顶部为，相距为的点，与点在同一水平线上，用高为的测角工具在，位置测得烟囱顶部在和处的仰角分别为，.其中，和在同一条水平线上，在上，则烟囱的高（）A B.C. D.〖答案〗D〖解析〗如下图，在中，，由正弦定理可得，所以，从而，故，故选：D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列说法正确的是（）A.直四棱柱是长方体B.平行六面体的侧面和底面均为平行四边形C.棱台的各侧棱延长后必交于一点D.棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面〖答案〗BC〖解析〗对于A：因为直四棱柱上下底面平行，但是上下底面可以不是矩形，所以直棱柱不一定是长方体，故A错误；对于B：平行六面体的侧面和底面均为平行四边形，故B正确；对于C：由棱台的定义知，棱台的侧棱延长后必交于一点，故C正确；对于D：棱柱的两个面平行可能是棱柱的底面也可能是棱柱的侧面，故D错误；故选：BC．10.下列命题正确的是（）A.B.已知，为非零实数，若，则与共线C.若为非零向量，若“”则“”D.若单位向量满足，则与的夹角为0〖答案〗BD〖解析〗对于选项A，不妨设，，为非零向量，且，则，，即选项A错误；对于选项B，已知，为非零实数，若，，则与共线，即选项B正确；对于选项C，已知为非零向量，又,则，即或，即选项C错误；对于选项D，若单位向量满足，即，即，即，则，则与的夹角为0，即选项D正确．故选：BD．11.已知满足，则（）A.锐角三角形 B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗已知满足，则，即，即，对于选项A，为钝角三角形，即选项A错误；对于选项B，，，，即选项B正确；对于选项C，，，即选项C正确；对于选项D，由，结合余弦定理可得：，即选项D正确．故选：BCD．12.对于函数，其中正确命题的是（）A.该函数的值域是，B.当且仅当或时，该函数取最大值1C.当且仅当时，D.当且仅当时，函数单调递增〖答案〗BC〖解析〗由，得，作出函数的图像（图中实线）如图所示：结合图形可知，函数的值域是，，故错误；由图可知，当且仅当或时，函数取得最大值1，故正确；由图可知，当且仅当时，，故正确；，函数为周期函数，由图可知，当，，时，单调递增，故错误．故选：．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若复数，则__．〖答案〗〖解析〗因为，则，则，故〖答案〗为：．14.已知向量，，若在方向上的投影向量为，则的值为__．〖答案〗〖解析〗，，，，在方向上的投影向量为，在方向上的投影向量为，，，故〖答案〗为：.15.记的内角A，，的对边分别为，，，点为边的中点．若，，，则的面积为__．〖答案〗〖解析〗由余弦定理得，所以，因为为的中点，所以，所以，所以，故的面积．故〖答案〗为：．16.已知函数，若存在，使得，则的取值范围是__．〖答案〗〖解析〗当时，则，可得，即，求得，则，函数在上递增，；当时，，，可知不存在，使得；当时，则，由，得，令，，则，，，，则，即，函数在上单调递增，可得，即．综上所述，的取值范围是．故〖答案〗为：．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）计算：；（2）若复数为纯虚数，求的值．解：（1）原式=（2）为纯虚数，，或（舍去），即18.已知向量．（1）当为何值时，与共线？（2）当的取值范围为何值时，与夹角为锐角？解：（1）与共线，，解得.所以当时，与共线.（2）若与的夹角为锐角，则，解得．又由（1）得，当时，与共线且同方向，故当的范围为时，与夹角为锐角．19.在平面直角坐标系中，已知点，，．（1）如果点使得四边形为平行四边形，求顶点的坐标；（2）如果点满足，设，求的最小值．解：（1）设的坐标为，因为四边形是平行四边形，所以，由于，，故，所以，所以的坐标为；（2），，，，，，，，所以当时，取得最小值，最小值为．20.若函数同时满足下列四个条件中的三个：①最小值为；②；③；④最小正周期为．（1）给出函数的〖解析〗式，并说明理由；（2）求函数的单调递减区间．解：（1）依题意，若函数满足条件③，则有，因为，所以，③显然不成立，所以应满足条件①②④，由条件④得，且，所以，由条件①得，再由条件②得有，所以.所以.因为，所以，所以.（2）由得所以的单调递减区间为.21.疫情后全国各地纷纷布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足为常数，且，日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如表所示：（天11418222630122135139143139135（1）给出以下四个函数模型：①；②；③；④．请你根据上表中的数据，