圆的方程(2)课件高二上学期数学选择性

第2章圆与方程2.1圆的方程2.1.2圆的方程(2)内容索引学习目标活动方案检测反馈学习目标1.掌握圆的一般方程，能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径．2.利用待定系数法求出圆的一般方程，并能分析条件，选择恰当的方程形式求解圆的方程．活动方案1.圆的标准方程是什么？活动一探究圆的一般方程【解析】(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．思考1►►►将圆的标准方程展开，得到的是关于x，y的什么形式的方程？【解析】

将圆的标准方程展开，得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，由此可见，圆的方程具有如下形式：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.思考2►►►形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程，它一定表示圆吗？(1)当D2＋E2－4F>0时，关于x，y的二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的点的轨迹是什么？(2)当D2＋E2－4F＝0时，关于x，y的二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的点的轨迹是什么？(3)当D2＋E2－4F<0时，关于x，y的二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的点的轨迹是什么？【解析】

当D2＋E2－4F<0时，方程无实数解，不表示任何图形．2.圆的一般方程：【解析】

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．思考3►►►圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？【解析】

圆的标准方程的特点：可以直接看出圆的圆心和半径；圆的一般方程的特点：若知道圆上三点坐标，则可直接得到圆的一般方程，即解出D，E，F，其中D2＋E2－4F>0，适用于方程参数的解答．例1下列方程是否表示圆？若表示圆，写出圆心的坐标和半径．(1)x2＋y2－4x＝0；活动二巩固圆的一般方程，能由圆的一般方程确定圆心和半径【解析】

因为(－4)2＋0－0＝16>0，所以方程x2＋y2－4x＝0表示一个圆，圆心为(2,0)，半径为2.(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；【解析】

方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0不表示一个圆．(3)x2＋y2－4x－2y＋5＝0；【解析】

因为(－4)2＋(－2)2－4×5＝0，所以方程x2＋y2－4x－2y＋5＝0不表示一个圆．(4)2x2＋2y2－4x＋6＝0.【解析】2x2＋2y2－4x＋6＝0可化成x2＋y2－2x＋3＝0.因为(－2)2＋0－4×3＝－8<0，所以方程2x2＋2y2－4x＋6＝0不表示一个圆．(1)求圆M的方程；(2)当a变化时，圆M是否过某一定点？请说明理由．活动三能根据已知条件求圆的方程【解析】(1)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.解得D＝0，E＝3－a，F＝－3a，所以圆M的方程为x2＋y2＋(3－a)y－3a＝0.(2)圆M的方程可化为(3＋y)a－(x2＋y2＋3y)＝0，所以圆M过定点(0，－3)．思考4►►►(1)根据圆的一般方程，确定一个圆需要几个独立条件？【解析】

确定一个圆需要3个不在一条直线上的点．(2)用待定系数法求圆的一般方程的步骤是什么？【解析】

略思考5►►►若圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则如何判断点A(m，n)与圆的位置关系？【解析】

①若m2＋n2＋Dm＋En＋F>0，则点A在圆外；②若m2＋n2＋Dm＋En＋F＝0，则点A在圆上；③若m2＋n2＋Dm＋En＋F<0，则点A在圆内．例3已知点M(x，y)到两个定点A(－3，0)，B(3,0)的距离之比为2，求x，y满足的关系式，并指出满足条件的点M所构成的曲线．活动四简单的轨迹方程的求法化简整理，得x2＋y2－10x＋9＝0.

(*)反过来，可以验证，当x，y满足(*)式时，点M到点A，B的距离之比为2.因此x，y满足的关系式为x2＋y2－10x＋9＝0.由x2＋y2－10x＋9＝0，得(x－5)2＋y2＝16，所以满足条件的点M所构成的曲线为以点(5，0)为圆心，4为半径的圆．思考6►►►检测反馈24513A.x2＋y2－4x－2y－3＝0 B.x2＋y2－4x－2y＝0C.x2＋y2－4x－2y＋3＝0 D.x2＋y2－2x－4y＝0【答案】

B245132.(2023武汉华中师范大学第一附属中学期中)“k>4”是“方程x2＋y2＋kx＋(k－2)y＋5＝0表示圆的方程”的(

)A.充分且不必要条件

B.必要且不充分条件C.充要条件

D.既不充分又不必要条件【解析】

若x2＋y2＋kx＋(k－2)y＋5＝0表示圆，则

k2＋(k－2)2－4×5>0，解得k<－2或k>4.k>4可以推出x2＋y2＋kx＋(k－2)y＋5＝0表示圆，即充分性成立；x2＋y2＋kx＋(k－2)y＋5＝0表示圆不能推出k>4，即必要性不成立．综上，“k>4”是“方程x2＋y2＋kx＋(k－2)y＋5＝0表示圆”的充分且不必要条件．【答案】

A24533.(多选)圆x2＋y2－4x－1＝0(

)A.关于点(2,0)对称

B.关于直线y＝0对称C.关于直线x＋3y－2＝0对称

D.关于