5.3.2函数的极值(1)课件高二下学期数学人教A版选择性

第五章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.2函数的极值(1)内容索引学习目标活动方案检测反馈学习目标1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2.理解极值与极值点的概念，能利用导数求某些函数的极大值与极小值.3.学会绘制极值与导数的关系表，掌握求函数极值的步骤．活动方案思考1►►►观察下图，我们发现，当t＝a时，高台跳水运动员距水面的高度最大．那么，函数h(t)在此点的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的正负性有什么变化规律？活动一理解函数极值的概念，掌握极值与导数的关系【解析】

从t＝a附近函数h(t)的图象可以看出，h′(a)＝0；在t＝a的附近，当t<a时，函数h(t)单调递增，h′(t)>0；当t>a时，函数h(t)单调递减，h′(t)<0.这就是说，在t＝a附近，函数值先增(当t<a时，h′(t)>0)后减(当t>a时，h′(t)<0)，这样，当t在a的附近从小到大经过a时，h′(t)先正后负，且h′(t)连续变化，于是有h′(a)＝0.思考2►►►如图，函数y＝f(x)在x＝a，b，c，d，e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的正负性有什么规律？【解析】

以x＝a，b两点为例，可以发现，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在x＝a点附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.类似地，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.1.结合上图探求函数的极大值与导数的关系：xx1左侧x1x1右侧f′(x)f′(x)____0f′(x)____0f′(x)____0f(x)单调递____取得________单调递____>＝<增极大值减2.试类比探求极小值与导数的关系：xx2左侧x2x2右侧f′(x)f′(x)____0f′(x)____0f′(x)____0f(x)单调递____取得________单调递____其中x1，x2叫作函数的极大值点与极小值点，极大值点与极小值点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值．<＝>减极小值增活动二掌握求函数极值的方法求函数的极值的一般步骤：(1)先求导得f′(x)；(2)解方程f′(x)＝0，求出x的值；(3)列表检查f′(x)在f′(x)＝0的根左右的值的符号来确定函数的极值．思考3►►►若x0是可导函数f(x)的极值点，则f′(x0)＝0.反过来，若f′(x0)＝0，则x0一定是函数f(x)的极值点吗？能否举例说明？

【解析】

不一定，如函数f(x)＝x3，导数为f′(x)＝3x2.虽然f′(0)＝0，但由于无论x>0，还是x<0，恒有f′(x)>0，即函数f(x)＝x3是增函数，所以0不是函数f(x)＝x3的极值点．一般地，函数y＝f(x)在某点的导数值为0是函数y＝f(x)在该点取极值的必要条件而非充分条件．检测反馈13524A2.如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)的极小值点的个数为(

)A.0 B.1C.2 D.312345B12345【解析】

设f′(x)的图象与x轴的两个交点横坐标分别为a，b，其中a<b，则由图象知，在区间(－∞，a)，(b，＋∞)上，f′(x)>0，所以此时函数f(x)在区间(－∞，a)，(b，＋∞)上单调递增；在区间(a，b)上，f′(x)<0，此时f(x)在区间(a，b)上单调递减，所以当x＝a时，函数取得极大值；当x＝b

时，函数取得极小值，故函数y＝f(x)的极小值点的个数为1.3.(多选)(2022·南京金陵中学期末)已知函数f(x)的定义域为R，导数为f′(x)，如图是函数y＝xf′(x)的图象，则下列说法中正确的有(

)A.函数f(x)的单调减区间是(－∞，2)B.函数f(x)的单调增区间是(－2，＋∞)C.x＝0是函数f(x)的零点D.x＝－2时函数f(x)取极小值31245BD31245【解析】

由图可知，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＜0，则f(x)单调递减，当x∈(－2,0)时，f′(x)＞0，则f(x)单调递增，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)≥0，则f(x)单调递增，所以f(x)在x＝－2时取极小值，故A错误，B正确，D正确；对于C，不能判定0是f(x)的零点，故C错误．故选BD