2019中考数学压轴题6

2019中考数学压轴题

46.（2017新疆乌鲁木齐市，第15题，4分）如图，抛物线y二⑪、汝+c过点（-1,0）,且对称轴

为直线x=l,有下列结论：

①abcVO；②10a+3b+c>0；③抛物线经过点（4,yl）与点（-3,y2）,则yl>y2；④无论a,b,c

取何值，抛物线都经过同一个点（。，0）;@anr+bm+a>0,其中所有正确的结论是

【答案】②④⑤.

【分析】由开口方向、对称轴及抛物线与y轴交点位置可判断①；由x=3时的函数值及a>0可判断

C

②；由抛物线的增减性可判断③；由当x=一£时，代入抛物线解析式，结合a-b+c=O可判断④；由

x=l时函数y取得最小值及b=-2a可判断⑤.

【解析】由图象可知，抛物线开口向上，则a>0,顶点在［•轴右侧，则抛物线与J,轴交于负半轴，

贝iJc<0,.\abc>Q,故①错误；

2

:抛物线y=必+bx+c过点（-1,0）,且对称轴为直线...抛物线1y=/+bx+c过点（3,0）,

二当x=3时，j=9a4-3ft+c=O,'：a>Q,.\10o+3i+c>0,故②正确；

...对称轴为户1,且开口向上，二•离对称轴水平距离越大，函数值越大，...?!<”，故③错误；

c,c、2，/c、c2-be+acc（a-h+c）

y=a（――）+/?（――）+c-----------------

当x=。时，aa=a=a..当x=-l时，y=a-b+c=O,.,.当

c.c、2,,c.c

--y=Q（—）+Dy—）+c--

x=a时，aa,即无论a,b,c取何值，抛物线都经过同一个点（a,0）,故④

正确；

x=m对应的函数值为丁=班2+加i+c,x=l对应的函数值为y=a+b+c,又•.7=1时函数取得最小值，二

222

am+bm+c^a+^+c,gpam+bm^a+b,vb=-2a,Aam+bm+a>0t故⑤正确；

故答案为：②④⑤.

点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数、=依2+法+。（awo）系数符号由抛物线开

口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定.

考点：二次函数图象与系数的关系；综合题.

47.（2016吉林省长春市）如图，在平面直角坐标系中，菱形0ABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C

的坐标为（4,3）.D是抛物线'=一丁+6》上一点，且在x轴上方.则ABCD的最大值为.

【分析】设D（x,--+6工），根据勾股定理求得0C,根据菱形的性质得出BC,然后根据三角形面积

—x5x（-x2+6x-3）-—（x-3）2+15

公式得出.•上△BCD=2=2,根据二次函数的性质即可求得最大值.

【解析】•.：是抛物线产—f+6x上一点，...设。（x,-X2+6X）,•.•顶点C的坐标为（4,3）,

.,.0C=V4y+3I=5,•.•四边形OABC是菱形，.•.BC=0C=5,BC〃x轴，

-X5X（-X2+6X-3）--（X-3）2+15--

.,.SABCD=2=2,2〈0,.•.sZSBCD有最大值，最大值为15,故答

案为：15.

考点：菱形的性质；二次函数的性质；最值问题.

48.（2016四川省内江市）二次函数y=62+笈+。的图象如图所示，且P=|2a+b|+|3b-2c|,Q=|2a

-b|-|3b+2c|,则P,Q的大小关系是

【答案】P>Q.

【分析】由函数图象可以得出aVO,b>0,c>0,当x=l时，y=a+b+c>0,x=-l时，y=a-b+cVO,

由对称轴得出2a+b=0,通过确定绝对值中的数的符号后去掉绝对值再化简就可以求出P、Q的值.

bb

【解析】•••抛物线的开口向下，，aV0,2a>o,.\b>0,.,.2a-b<0,V2a=b.\b+2a=0,

x=-l时，y=a-b+c<0,2b-b+c〈O,.,.3b-2c>0,,抛物线与y轴的正半轴相交，/.c>0,

/.3b+2c>0,/.p-3b-2c,Q=b-2a-3b-2c=-2a-2b-2c,Q-P=-2a-2b-2c-3b+2c--2a-

5b=-4b<0,AP>Q,故答案为：P>Q.

考点：二次函数图象与系数的关系.

49.（2016四川省南充市）已知抛物线丫:6、法+c开口向上且经过点（1,1）,双曲线）”或经过点

X"+(〃-1)Xd--=0

(a,be),给出下列结论：①bc>0；②b+c>0；③b,c是关于x的一元二次方程2a的

两个实数根；④a-b-c23.其中正确结论是(填写序号)

【答案】①③.

【分析】根据抛物线了=以2+公+。开口向上且经过点(1，1)，双曲线"经过点(a,be),可以得

到a>0,a、b、c的关系，然后对a、b、c进行讨论，从而可以判断①②③④是否正确，本题得以解

决.

。〉0

<。+〃+C=1

2,y=—=；

【解析】•.•抛物线、=公+汝+。开口向上且经过点(1,1),双曲线2x经过点(a,bc),；.12a,

••.bc>0,故①正确；

时，则b、c均小于0,此时b+eVO,当a=l时，b+c=O,则与题意矛盾,当OVaVl时,则b、

c均大于0,此时b+c>0,故②错误；

，x-+(a-l)x+五=°可以转化为：£+3+0口+从=0,得*而或*=(；,故③正确；

X2+(CI—1)XH----0

•；b,c是关于x的一元二次方程2a的两个实数根，.•.a-b-c=a-(b+c)=a+(a-1)

=2a-1,当a>l时，2a-l>3,当OVaVl时，-lV2a-lV3,故④错误；

故答案为：①③.

考点：二次函数图象与系数的关系；综合题.

50.(2016山东省荷泽市)如图，一段抛物线：y=-x(x-2)(0WxW2)记为C1,它与x轴交于两

点0,A1；将C1绕A1旋转180°得到C2,交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3,交x轴于A3；•••

如此进行下去，直至得到C6,若点P(11,m)在第6段抛物线C6上，则01=

琳

［答案］_］.

【分析】将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道

C1与C2的顶点到x轴的距离相等，且OA1=A1A2,照此类推可以推导知道点P(11,m)为抛物线C6

的顶点，从而得到结果.

【解析】Vy=-x(x-2)(0WxW2),.•.配方可得y=-(x-1)2+1(0WxW2),.•.顶点坐标为(1,

1),AA1坐标为(2,0).

1C2由C旋转得到，.•.OA1=A1A2,即C2顶点坐标为(3,-1),A2(4,0)；

照此类推可得，C3顶点坐标为(5,1),A3(6,0)；

C4顶点坐标为(7,-1),A4(8,0)；

C5顶点坐标为(9,1),A5(10,0)；

C6顶点坐标为(11,-1),A6(12,0)；

/.m=-1.

故答案为：-L

考点：二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点；规律型.

51.（2016广东省梅州市）如图，抛物线丁=—幺+2》+3与y轴交于点3点D（0,1）,点P是抛物线

上的动点.若4PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为.

【答案】（1+夜，2）或（1-夜，2）.

【分析】当4PCD是以CD为底的等腰三角形时，则P点在线段CD的垂直平分线上，由C、D坐标可求

得线段CD中点的坐标，从而可知P点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标.

【解析】

•••△PCD是以CD为底的等腰三角形，.•.点P在线段CD的垂直平分线上，如图，过P作PE，y轴于点

E,则E为线段CD的中点，•..抛物线y=—i+2x+3与y轴交于点c,"（0,3）,且D（0,1）,，E

点坐标为（0,2）,，P点纵坐标为2,在y=r~2x+3中，令y=2,可得-犬+2%+3=2,解得x=l土血，

；.P点坐标为（1+夜，2）或（1-及，2）,故答案为：（1+夜，2）或（1-血，2）.

考点：二次函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的判定；动点型.

52.（2016湖北省十堰市）已知关于x的二次函数丁=〃2+加+0的图象经过点（-2,乂），（-1,%）,

（1,0）,且凡〈。〈必，对于以下结论：①abc>0；②a+3b+2cW0；③对于自变量x的任意一个取值,

a、ba+b

-X2+X2---X）=-----

都有b4a；④在-2VxV-1中存在一个实数无，使得。，其中结论错误的是

（只填写序号）.

【答案】②.

【分析】①正确.画出函数图象即可判断.

②错误.因为a+b+c=0,所以a+3b+2c=a+3b-2a-2b=b-a,又a-b+c>0,所以b-a<c,故b-a

可以是正数，由此可以周长判断.

葭+x@（X+_L）2__L

③正确.利用函数y'=b=b2a4a,根据函数的最值问题即可解决.

।-a-ba+b

Xjxl=------------

④令y=0则or+云-a=0,设它的两个根为花，1,则a=a,求出xl即可解决问

题.

【解析】由题意二次函数图象如图所示，...MO.b<Q,c>0,：.abc>Q,故①正确.

'.'Kb+c=O,.'.c=-a-匕，「.0+3计方-2a-25=b-a,又时，y>0,，a-i+c>0,匕一o<c,

•.%>0,.,.方-a可以是正数，.•.d^HZcWO,故②错误.

故答案为：②.

•.・函数W=g/+x=?（x+?尸―乡，.••函数/有最小值—金，.•.gc2+x2-二，故

bb2a4ab4ab4a

③正确.

...y=a?+bx+c的图象经过点（1,0）,...a+b+c=O,，c=-a-b,令y=0则办:+Zzx-a-8=0,设它

«-a-ba+ba+b

%|x1=-----------------

xx

的两个根为玉，1,贝IJa=a,*=a,-2<'<^,.,.在-2VxV-1中存

a+b

在一个实数X。，使得a,故④正确.

考点：二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征.

53.(2016福建省厦门市)已知点P(m,n)在抛物线y二利?一芯一口上，当m2-1时，总有nWl成

立，则a的取值范围是

【答案】2^a<0.

【分析】依照题意画出图形，结合函数图形以及已知条件可得出关于a的一元一次不等式组，解不等

式组即可得出a的取值范围.

【解析】根据已知条件，画出函数图象，如图所示.

a<Q

---<-1

2a_1_j_

由己知得：［。+1一""1,解得：2<a<o.故答案为：2<a<o.

考点：二次函数图象上点的坐标特征.

54.(2015南通)关于x的一元二次方程以2-3x-1=°的两个不相等的实数根都在-1和o之间(不

包括-1和0),则a的取值范围是

9

——<a<-2

【答案】4

【解析】

试题分析：：关于X的一元二次方程⑪2-3x-l=0的两个不相等的实数根，..•△=(-3)2-4ax(-l)>0,

o

解得：a>—,设“x)=函-3x7,•.•实数根都在-1和。之间，.•.当心>0时,如图①

4

>0,/(0)>0,/(0)=ax()2-3x0-l=-l<0,.•.此种情况不存在；

当W0时，如图②，/(一1)<0,/(0)<0,即"-1)=ax(-l)2-3(-l)-l<0,/(0)=-1<0,解

9Q

得：1>：.——va<—2,故答案为：一—<a<—2.

55.(2015宿迁)当尤=机或X=〃(机#〃)时，代数式--21+3的值相等，则+八时，代数式

x、2x+3的值为.

【答案】3.

【解析】

试题分析：设y=d—2x+3,...当x=利或％=〃(加彳〃)时，代数式Y—2X+3的值相等，

m+n_-2

22x1,，m+n=2,...当％=，"+〃时，即x=2时，%2-2x+3=22-2x2+3=3,故答案为：3.

考点：1.二次函数图象上点的坐标特征；2.条件求值；3.综合题.

56.（2015贺州）已知二次函数丁=〃2+加+0的图象如图所示，有以下结论：①abc>0,②a-b+cV

0,③2a=b,④4a+2b+c>0,⑤若点（-2,X）和（3,%）在该图象上，则其中正确的

结论是（填入正确结论的序号）.

【答案】②④.

1解析】

试题分析：...二次函数开口向下，目与y轴的交点在x轴上方，.:对称轴为户1,二-2=1,

2a

.,.b=-2a>Q,.".abc<0,故①、③都不正确；

...当尸-1时，y<0,.'a-HcVO,故②正确；

由抛物线的对称性可知抛物线与x轴的另一交点在2和3之间，.•.当产2时，y>0,「.4K2匕+c>0,故④正

确｝

...抛物线开口向下，对称轴为产1,...当x<i时，）,随x的增大而增大，V-2<-^,：.y\<y2,故⑤不

正确；

综上可知正确的为②④，故答案为：②④.

考点：二次函数图象与系数的关系.

57.（2015雅安）为美化小区环境，决定对小区的一块空地实施绿化，现有一长为20m的栅栏，要围

成一扇形绿化区域，则该扇形区域的面积的最大值为

【答案】25m2.

【解析】

试题分析：设扇形区域的半径为皿则扇形的弧长为（20-2x）cm,该扇形区域的面积为声加，则

），€式20-2冷=-幺+10》=-（》-5）?+25,...该扇形区域的面积的最大值为25加.故答案为：25注.

考点：L扇形面积的计算；2.最值问题；3.二次函数的最值.

三、解答题

X2-（m+l）x+—（/??2+1）=0

58.（2017天门，第23题，10分）已知关于x的一元二次方程2有实数根.

（1）求m的值；

y=f-（m+l）x+—（m2+1）

（2）先作2的图象关于x轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位

长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；

(3)在(2)的条件下，当直线y=2x+n(n2m)与变化后的图象有公共点时，求/一布的最大值和最

小值.

2

【答案】(1)1；(2)y=-x-4x-2.(3)最大值为21,最小值为-4.

【分析】(1)由题意△》()，列出不等式，解不等式即可；

(2)画出翻折.平移后的图象，根据顶点坐标即可写出函数的解析式；

(3)首先确定n的取值范围，利用二次函数的性质即可解决问题；

X2-(m+l)x+—(m2+1)=0

【解析】(1)对于一元二次方程2,△=(m+1)2-2(m2+l)=-m2+2m-1=

-(m-1)2,•.•方程有实数根，-(m-1)2^0,.*.m=l.

(2)由⑴可知y=f-2X+1=(X—1)2,图象如图所示：

平移后的解析式为y=—(x+2『+2,即k一炉-以-2.

y=2x+n

<

(3)由〔》=一炉一以一2消去丫得到X2+6X+“+2=0,由题意△》()，.・.36-4n-820,.…忘？，二'

Wm,m=l,，lWnW7,令y/=n2-4n=(n-2)2-4,/.n=2时,yz的值最小，最小值为-4,n=7

时，y'的值最大，最大值为21,.•.I-4〃的最大值为21,最小值为-4.

点睛：本题考查抛物线与x轴的交点、待定系数法、翻折变换、平移变换、二次函数的最值问题等知

识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.

考点：抛物线与x轴的交点；根的判别式；二次函数图象与几何变换；二次函数的最值；最值问题.

59.(2017云南省，第21题，8分)已知二次函数旷=-2/+瓜+c图象的顶点坐标为小，8)>该二

次函数图象的对称轴与x轴的交点为A,M是这个二次函数图象上的点，0是原点.

(1)不等式b+2c+820是否成立？请说明理由；

(2)设S是△AM0的面积，求满足S=9的所有点M的坐标.

【答案】(1)成立；(2)M的坐标为(2,6)或(4,6)或(3+6，-6)或C-币,-6).

【分析】(1)由题意可知抛物线的解析式为y=-2(x-3)2+8,由此求出b、c即可解决问题.

]_

(2)设M(m,n),由题意，・3|n|=9,可得n=±6,分两种情形列出方程求出m的值即可；

【解析】(1)由题意抛物线的顶点坐标(3,8),.•.抛物线的解析式为y=-2(x-3)2+8=-2x2+12x

-10,/.b=12,c=-10,/.b+2c+8=12-20+8=0,不等式b+2c+820成立.

(2)设M(m,n),由题意2・3|n|=9,，n=±6.

①当n=6时，6=-2m2+12m-10,解得m=2或4；

②当n=-6时，-6=-2m2+12m-10,解得m二3±S；

综上所述：满足条件的点M的坐标为(2,6)或(4,6)或(3+万，-6)或X,,6).

点睛：本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系等知识，解题的关键是熟练掌握二

次函数的三种形式，学会利用参数构建方程解决问题.

考点：抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系；探究型；分类讨论.

60.(2017北京市，第27题，7分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线旷=石一以+3与*轴交于点A、

B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.

(1)求直线BC的表达式；

(2)垂直于y轴的直线1与抛物线交于点P(xl,yl),Q(x2,y2),与直线BC交于点N(x3,y3),

若xlVx2Vx3,结合函数的图象，求xl+x2+x3的取值范围.

【答案】(1)y=-x+3；(2)7<xl+x2+x3<8.

【分析】(1)利用抛物线解析式求得点B、C的坐标，利用待定系数法求得直线BC的表达式即可；

(2)由抛物线解析式得到对称轴和顶点坐标，结合图形解答.

【解析】(1)由y=f—4x+3得至於丫=(x-3)(x-1),C(0,3).

b=3k=—1

<<

所以A(l,0),B(3,0),设直线BC的表达式为：y=kx+b(kWO),则：⑶+》=0,解得：位=3,

所以直线BC的表达式为y=-x+3；

(2)由尸幺一以+3得到：y=(x-2『-l,所以抛物线V=公-4x+3的对称轴是*=2,顶点坐标是

(2,-1).

Vyl=y2,.,.xl+x2=4.

令y=-l,y=-x+3,x=4.

".,xl<x2<x3,.*.3<x3<4>即7<xl+x2+x3<8.

点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点.解答(2)题时，利用了“数形结合”的数学思想，降低了

解题的难度.

考点：抛物线与x轴的交点.

4

y—x—

61.(2017四川省自贡市，第24题，10分)［探究函数.》的图象与性质］

4

y=x+—

(1)函数x的自变量x的取值范围是

4

y=x—

(3)对于函数％,求当x>0时，y的取值范围.

请将下列的求解过程补充完整.

解：Vx>0

y=x+—(V^)2+^~7=^2(«—声)？

/.x=7x=，尤+

［拓展运用］

X2-5X+9

y~

(4)若函数*，则y的取值范围

【答案】(1)xWO；(2)C；(3)4,4；(4)y21.

【分析】根据反比例函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质解答即可.

4

y=x+—

【解析】(1)函数》的自变量x的取值范围是xWO；

4

y=x+—

(2)函数x的图象大致是C；

y=x+—(A/^)2+(—r=)2(G---7=)2

(3)解：Vx>0,x=7x=+4

(G—-j=:

：Vx20,.•.y24.

y=XL2_(&)2+(名2-5«壬+1

X+5

(4)X=X—'X—X

故答案为：xWO,C,4,4,y2l.

点睛：本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质，熟记函数的性质是解题的

关键.

考点：反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数的性质；阅读型；探究型；综合题.

62.（2017南京，第26题，8分）已知函数丁=一1+（加一1）"+"（m为常数）.

（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是

A.0B.1C.2D.1或2

（2）求证：不论□为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=a+i）〜的图象上.

（3）当-2WmW3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围.

【答案】（1）D；（2）证明见解析；（3）0WzW4.

【分析】（1）表示出根的判别式，判断其正负即可得到结果；

（2）将二次函数解析式配方变形后，判断其顶点坐标是否在已知函数图象即可；

（3）根据m的范围确定出顶点纵坐标范围即可.

【解析】（1）•.•函数'=—£+（”一l）x+"（m为常数），...△=（m-1）2+4m=（m+1）220,则该函数

图象与x轴的公共点的个数是1或2,故选D；

G。〃+以m-\,

（2）y=+（加—l）x+机二C2J4,把*=〒代入y=（"+l）一得：

'm-\（m+iy

y-----F1=------

l2J4，则不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上；

（加+1）-

（3）设函数z=4，当m=-1时，z有最小值为0；

当mV-1时，z随m的增大而减小；

£

当m>-l时，z随m的增大而增大，当m=-2时，z=7；当m=30寸，z=4,则当-2WmW3时，该函

数图象的顶点坐标的取值范围是0WzW4.

点睛：此题考查了抛物线与x轴的交点，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解

本题的关键.

考点：抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数的最值；最值问题.

y=-x-2x

63.（2017江苏省南通市，第25题，9分）某学习小组在研究函数.6的图象与性质时，已

列表、描点并画出了图象的一部分.

X-4-3.5-3-2-101233.54

y_8738110H_8_378

~3~4823~6-3~2483

（1）请补全函数图象；

一丁—2,x=—2

（2）方程6实数根的个数为

（3）观察图象，写出该函数的两条性质.

VA

【分析】(1)用光滑的曲线连接即可得出结论；

(2)根据函数.-6和直线y=-2的交点的个数即可得出结论;

(3)根据函数图象即可得出结论.

【解析】(1)补全函数图象如图所示：

(2)如图1,作出直线y=-2的图象，由图象知，函数的图象和直线y=2有三个交点,

图1

(3)由图象知，1.此函数在实数范围内既没有最大值，也没有最小值，2.此函数在x<-2和x>2,

y随x的增大而增大，3.此函数图象过原点，4.此函数图象关于原点对称.

点睛：此题主要考查了函数图象的画法，利用函数图象确定方程解的个数的方法，解本题的关键是补

全函数图象.

考点：二次函数的性质；二次函数的图象；图象法求一元二次方程的近似根.

2

64.（2017江西省，第22题，9分）已知抛物线G：y=^-4ar-5（a＞0）.

（1）当a=l时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；

（2）①试说明无论a为何值，抛物线G一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；

②将抛物线G沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线G,直接写出G的表达式；

（3）若（2）中抛物线G的顶点到x轴的距离为2,求a的值.

【答案】（1）抛物线与x轴的交点坐标为（-1,0）或（5,0）,对称轴为x=2；（2）①定点为（0,

73

-5）,（4,-5）；@y=-^2+4ax-5.⑶@=了或了.

【分析】（1）将a=l代入解析式，即可求得抛物线与x轴交点；

（2）①化简抛物线解析式，即可求得两个点定点的横坐标，即可解题;

②根据抛物线翻折理论即可解题；

（3）根据（2）中抛物线C2解析式，分类讨论y=2或-2,即可解题；

【解析】⑴当0=1时，抛物线解析式为尸＞4x-5=（x-2）2-9,.,.对称轴为

二当）=0时，x-2=3或-3,即x=T或5,

.・抛物线与x轴的交点坐标为（-1,0）或（5,0）；

（2）①抛物线Ci解析式为：＞=ox2-4ox-5,整理得：x=ax（x-4）-5；

...当ax（x-4）=0时，y恒定为-5j

..・抛物线G一定经过两个定点（0,-5）,（4,-5）j

②这两个点连线为尸-5:

将抛物线G沿产-5翻折，得到抛物线6,开口方向变了，但是对称轴没变;

..・抛物线U解析式为：y=-ax1+4ax-5；

(3)抛物线C2的顶点到x轴的距离为2,则x=2时，y=2或者-2；

7

当y=2时，2=-4a+8a-5,解得，a=4；

3_

当y=-2时，-2=-4a+8a-5,解得，a=4；

73_

•,.a=7或了；

点睛：本题考查了代入法求抛物线解析式的方法，考查了抛物线翻折后对称轴不变的原理，考查了抛

物线顶点的求解.

考点：抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换；定值问题；分类讨论.

65.(2017湖北省荆州市，第23题，10分)已知关于x的一元二次方程/+("5)x+l4=°,其中

k为常数.

(1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；

(2)已知函数y=丁+(女-5口+1-女的图象不经过第三象限，求k的取值范围；

(3)若原方程的一个根大于3,另一个根小于3,求k的最大整数值.

【答案】(1)证明见解析；(2)kWl；(3)2.

【分析】(1)求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△>(),根据判别式的意义即可证明；

(2)由于二次函数'=/+(左一5)x+l的图象不经过第三象限，又△:(k-5)2-4(1-k)=(k

-3)2+12>0,所以抛物线的顶点在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开

口向上，由此可以得出关于k的不等式组，解不等式组即可求解；

(3)设方程的两个根分别是xl,x2,根据题意得(xl-3)(x2-3)<0,根据一元二次方程根与系

数的关系求得k的取值范围，再进一步求出k的最大整数值.

【解析】(1)证明:"/△=(k-5)2-4(1-k)=k2-6k+21=(k-3)2+12>0,无论k为何值，

方程总有两个不相等实数根；

(2)解：•.•二次函数伏-5)x+l-4的图象不经过第三象限，二次项系数a=l,.•.抛物线开

口方向向上，•••△=(k-3)2+12>0,.,.抛物线与x轴有两个交点，设抛物线与x轴的交点的横坐标

分别为xl,x2,.\xl+x2=5-k>0,xlx2=l-k20,解得kWl,即k的取值范围是k〈l；

(3)解：设方程的两个根分别是xl,x2,根据题意，得(xl-3)(x2-3)<0,即xlx2-3(xl+x2)

5_

+9<0,又xl+x2=5-k,xlx2=l-k,代入得，1-k-3(5-k)+9<0,解得kV^.则k的最大整数

值为2.

点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，

根的判别式，根与系数的关系，综合性较强，难度适中.

考点：抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系；二次函数的性质.

k

,y=~

66.(2017湖南省株洲市，第24题，8分)如图所示，RtZ\PAB的直角顶点P(3,4)在函数》(x

y=-

>0)的图象上，顶点A、B在函数》(x>0,0<t<k)的图象上，PA〃x轴，连接OP,0A,记4

OPA的面积为SAOPA,APAB的面积为SAPAB,设w=SAOPA-SAPAB.

①求k的值以及w关于t的表达式；

②若用wmax和wmin分别表示函数w的最大值和最小值，令T=wmax+a2-a,其中a为实数，求Tmin.

-上产+L2

【答案】①k=12,w=245；②"

1LLL

【分析】（1）由点P的坐标表示出点A、点B的坐标，从而得SaPAB=5・PA・PB=，（4-3）（3-4）,

再根据反比例系数k的几何意义知SAOPA=SAOPC-SA0AC=6-由w=SAOPA-SAPAB可得答案;

3

（2）将（1）中所得解析式配方求得wmax=5,代入T=wmax+a2-a配方即可得出答案.

y=—t—t—t

【解析】(1)•.,点P(3,4),，k=3X4=12,在.x中，当x=3时，y=3,即点A(3,3),当y=4

tt1\tt

时，x=4,即点B(1,4),则SaPAB=彳・PA・PB=5(4-§)(3-了)，如图，延长PA交x轴于点C,

j_LLLL

贝|JPCJ_X轴，XSA0PA=SA0PC-SA0AC=2X3X4-2t=6-2t,.-.w=6-2t-2(4-3)(3-4)

24a+3(a.*

wmax=2,贝T=wmax+a2-a=2=24,.♦.当

2时,Tmin=4.

点睛：本题主要考查反比例函数系数k的几何意义及二次函数的性质，熟练掌握反比例系数k的几何

意义及配方法求二次函数的最值是解题的关键.

考点：反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；最值问题.

67.(2016四川省攀枝花市)如图，抛物线，=公+板+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为(3,0),

与y轴交于点C(0,-3)

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边

形ABPC的最大面积.

(3)直线1经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q,是

否存在直线m,使得直线1、m与x轴围成的三角形和直线1、m与y轴围成的三角形相似？若存在，

求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由.

2_15

【答案】(1)'=(2)P点坐标为(7,一W)时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为

8；(3)存在，.3

【分析】(1)由B、C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；

(2)连接BC,则AABC的面积是不变的，过P作PM〃y轴，交BC于点M,设出P点坐标，可表示出

PM的长，可知当PM取最大值时APBC的面积最大，利用二次函数的性质可求得P点的坐标及四边形

ABPC的最大面积；

(3)设直线m与y轴交于点N,交直线1于点G,由于NAGP=NGNC+NGCN,所以当4AGB和ANGC相

似时，必有/AGB=NCGB=90°,则可证得△A0CgZ\N0B,可求得ON的长，可求出N点坐标，利用B、

N两的点坐标可求得直线m的解析式.

【解析】

9+3〃+c=0|7?=-2

<<

(1)把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得：〔，=一3，解得：3,...抛物线解析式为

y=x2—2x—3.

(2)如图1,连接BC,过Py轴的平行线，交BC于点M,交x轴于点H,

在y=Y-2x-3中，令y=o可得0=/-2%-3,解得x=-1或x=3,...A点坐标为(-1,0),/.AB=3

-(-1)=4,且OC=3,.\SAABC=2AB«OC=2X4X3=6,VB(3,0),C(0,-3),，直线BC解析

式为y=x-3,设P点坐标为(x,f-2X-3),则M点坐标为(x,x-3),点在第四限，

£££J_2

.•.PMk-3一(f—2x—3)=—f+3x,.•.s^PBC=5pM・0H+5PM・HB=5pM・(OH+HB)=，PM・0B=5pM,/.

当PM有最大值时，APBC的面积最大，则四边形ABPC的面积最大，•.•PM=r2+3x=24,

2222Z2_15

当x=2时,PMmax=4,则SAPBC=24=8,此时p点坐标为（2,4）,s四边形

27753

ABPC=SAABC+SAPBC=6+8=8,即当P点坐标为（彳，4）时，四边形ABPC的面积最大，最大面

75

积为8；

(3)如图2,设直线m交y轴于点N,交直线1于点G,则/AGP=/GNC+/GCN,当AAGB和△NGC相

似时，必有NAGB=NCGB,XZAGB+ZCGB=180°,/.ZAGB=ZCGB=90°,ZAC0=Z0BN,在RSAON

和RtZSNOB中，VZA0C=ZN0B,OC=OB,ZAC0=ZNB0,ARtAAON^RtANOB(ASA),.\ON=OA=1,AN

k=L

3Z+d=0\3

<

点坐标为(0,-1),设直线m解析式为丫二1^+已把B、N两点坐标代入可得l"=T，解得：〔"=T,

11

y=_x_1y=-x—1

...直线m解析式为.3,即存在满足条件的直线m,其解析式为3.

考点：二次函数综合题；存在型；最值问题；二次函数的最值；动点型；压轴题.

k

y=~

68.（2016四川省雅安市）已知直线11：y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,且与双曲线》交

于点C（1,a）.

(1)试确定双曲线的函数表达式；

(2)将11沿y轴翻折后，得到12,画出12的图象，并求出12的函数表达式；

(3)在（2）的条件下，点P是线段AC上点（不包括端点），过点P作x轴的平行线，分别交12于

点M,交双曲线于点N,求SZSAMN的取值范围.

必

6-

5-

4-

3-

2-

-------1-------1---->

-6-5-4-3-2-10123456x

-2

-3

-4

-5

-6

47_

y=~

【答案】(1)X；(2)y=-x+3；(3)C^SAAMN<4.

【分析】（1）令x=l代入一次函数y=x+3后求出C的坐标，然后把C代入反比例函数解析式中即可求

出k的值；

（2）设直线12与x轴交于D,由题意知，A与D关于y轴对称，所以可以求出D的坐标，再把B点

坐标代入y=ax+b即可求出直线12的解析式；

44

（3）设M的纵坐标为t,由题意可得M的坐标为（3-t,t）,N的坐标为（/,t）,进而得MN=f+t

-3,又可知在AABM中，MN边上的高为t,所以可以求出SZkAMN与t的关系式.

【解析】(D令x=l代入户x+3>.,・产1+3=4,4"把C(l>4)代入)，=一中，，行工.二双曲线

x

4

的解析式为：>=-5

X

(2)如图所示，设直线上与x轴交于点由题意知：A与。关于丁轴对称，・・・。的坐标为(3,0),设

直线〃的解析式为：产G+匕，把。与3的坐标代入上式，得：〈八1•・・解得：.•.直线/2

0=3a+o0=3

(3)设M(3-t,t),•.•点P在线段AC上移动(不包括端点)，...OCtV*...PN〃x轴，，N的纵坐

44y_―444

标为t,把y=t代入%,.-.x=t,.-.N的坐标为('，t),Z.MN=t-(3-t)=f+t-3,过点A

114123cl/3、27

————t—j+2—(,)H

作AELPN于点E,/.AE=t,.*.SAAMN=2AE«MN=2t(+t-3)=22=228.

23

由二次函数性质可知，当时，S4AMN随t的增大而减小，当5<tW4时，S4A