专题4.1 图形的认识（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（湘教版）

专题4.1图形的认识（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】几何图形【1】几何图形分类立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.平面图形：三角形、四边形、圆等.几何图形【2】立体图形的平面展开图：把立体图形按一定的方式展开就会得到平面图形，把平面图形按一定的途径进行折叠就会得到相应的立体图形，通过展开与折叠能把立体图形和平面图形有机地结合起来．【3】从不同方向看：主（正）视图----从正面看几何体的三视图左视图-----从左（右）边看俯视图---------从上面看【4】几何体的构成元素及关系几何体是由点、线、面构成的.点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成.【知识点二】线段、射线、直线【1】线段、射线、直线的定义（1）线段：线段可以近似地看成是一条有两个端点的崩直了的线。线段可以量出长度。（2）射线：将线段向一个方向无限延伸就形成了射线，射线有一个端点。射线无法量出长度。（3）直线：将线段向两个方向无限延伸就形成了直线，直线没有端点。直线无法量出长度。【2】线段、射线、直线的表示方法（1）线段的表示方法有两种：一是用两个端点来表示，二是用一个小写的英文字母来表示。（2）射线的表示方法只有一种：用端点和射线上的另一个点来表示，端点要写在前面。（3）直线的表示方法有两种：一是用直线上的两个点来表示，二是用一个小写的英文字母来表示。【3】直线公理：过两点有且只有一条直线。简称两点确定一条直线。【4】线段的比较：（1）叠合比较法；（2）度量比较法。【5】线段公理：“两点之间，线段最短”。连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。【6】线段的中点：如果线段上有一点，把线段分成相等的两条线段，这个点叫这条线段的中点。若C是线段AB的中点，则：AC=BC=AB或AB=2AC=2BC。【知识点三】角【1】角的概念：（1）角可以看成是由两条有共同端点的射线组成的图形。两条射线叫角的边，共同的端点叫角的顶点。（2）角还可以看成是一条射线绕着他的端点旋转所成的图形。【2】角的表示方法：角用“∠”符号表示（1）分别用两条边上的两个点和顶点来表示。（顶点必须在中间）（2）在角的内部写上阿拉伯数字，然后用这个阿拉伯数字来表示角。（3）在角的内部写上小写的希腊字母，然后用这个希腊字母来表示角。（4）直接用一个大写英文字母来表示。【3】角的度量：会用量角器来度量角的大小。【4】角的单位：角的单位有度、分、秒，用°、′、″表示，角的单位是60进制与时间单位是类似的。度、分、秒的换算：1°=60′，1′=60″。【5】锐角、直角、钝角、平角、周角的概念和大小（1）平角：角的两边成一条直线时，这个角叫平角。（2）周角：角的一边旋转一周，与另一边重合时，这个角叫周角。（3）0°<锐角<90°，直角=90°，90°<钝角<180°，平角=180°，周角=360°。【6】画两个角的和，以及画两个角的差（1）用量角器量出要画的两个角的大小，再用量角器来画。（2）三角板的每个角的度数，30°、60°、90°、45°。【7】角的平分线从角的顶点出发将一个角分成两个相等的角的射线叫角的平分线。若BD是∠ABC的平分线，则有：∠ABD=∠CBD=∠ABC；∠ABC=2∠ABD=2∠CBD【8】角的计算。【9】角的互余互补关系（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.（3）结论:同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等.【考点目录】【考点1】几何图形【考点2】直线、射线、线段的理解认识【考点3】角的理解认识【考点4】线段的有关计算【考点5】角的有关计算【考点6】两点之间距离两点确定一条直线的理解【考点7】线段、角的综合【考点目录】【考点1】几何图形【考点2】直线、射线、线段的理解认识【考点3】角的理解认识【考点4】线段的有关计算【考点5】角的有关计算【考点6】两点之间距离两点确定一条直线的理解【考点7】线段、角的综合【考点1】几何图形【例1】（2023上·江西南昌·七年级校考期中）如图，这是正方体纸盒的表面展开图，相对两个面的代数式之和都相等，设，请解答下列问题：

（1）求F所代表的代数式．（2）若，求F所代表的代数式的值．【答案】（1）；（2）【分析】题考查了正方体向对两个面上文字以及整式的加减：（1）根据题意可得面A和面D相对，面B和面F相对，面C和面E相对，再由相对两个面的代数式之和都相等，可得，然后根据整式的加减运算，即可求解；（2）把代入（1）中结果，即可求解．（1）解：根据题意得：面A和面D相对，面B和面F相对，面C和面E相对，∵相对两个面的代数式之和都相等，∴，（2）解：当时，．【变式1】（2023上·重庆沙坪坝·七年级重庆市凤鸣山中学校联考阶段练习）下面几何体中，从正面看到的平面图形为三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】从物体前面看所得到的平面图形，由此进行判断即可．解：A选项：从圆台正面看到的平面图形为梯形，故本选项不合题意；B选项：从圆锥正面看到的平面图形为三角形，故本选项符合题意；C选项：从圆柱正面看到的平面图形为长方形，故本选项不合题意；D选项：从长方体正面看到的平面图形为长方形，故本选项不合题意；故选：B．【点拨】考查从不同方向看几何体，解题关键是掌握从圆锥正面看到的平面图形为三角形．【变式2】（2023上·全国·七年级专题练习）如图是一个正方体的平面展开图，如果将该展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数互为相反数，则．【答案】3【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间相隔一个正方形，根据这一特点确定x，y，z的相对面，再根据“相对面上的两个数互为相反数”求出x，y，z的值，然后求解即可．解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间相隔一个正方形，∴2和y是相对面，3和z是相对面，和x是相对面，∵相对面上的两个数互为相反数，∴，，，∴．故答案为：3．【点拨】本题考查了正方体的展开图，求出代数式的值，相反数．注意正方体的空间图形，从相对面入手分析，解决问题．【考点2】直线、射线、线段的理解认识【例2】（2023上·福建宁德·七年级福鼎市第一中学校考阶段练习）如图，已知两点A，B和线段m．（1）尺规作图：画线段，并在线段上截取，使；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在上图中，若，，点D是线段的中点，求线段的长．请将下面的解题过程补充完整：解：________-________，，，________．∵点D是线段的中点，________．（理由：________）________．【答案】（1）见分析；（2），；4；，线段中点的定义；2【分析】本题考查了线段中点的计算，以及线段的和差．（1）利用尺规作图的方法作出图形即可；（2）先根据线段的和差求出的长，再根据中点定义即可求出的长．（1）解：所作图形，如图所示，；（2）解：，，，．点是线段的中点，．（理由：线段中点的定义）．故答案为：，；4；，线段中点的定义；2．【变式1】（2023上·四川达州·七年级校考期中）下列说法正确的是（

）A．射线与射线是同一条射线 B．射线的长度是C．直线，相交于点 D．两点确定一条直线【答案】D【分析】根据射线的表示方法判断A；根据射线的定义判断B；根据直线的表示方法判断C；根据直线的性质公理判断D．解：A、射线PA和射线AP是同一条射线，说法错误；B、射线OA的长度是12cm，说法错误；C、直线ab、cd相交于点M，说法错误；D、两点确定一条直线，说法正确．故选：D．【点拨】本题考查了直线、射线的定义及表示方法：直线可用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大些字母（直线上的）表示，如直线AB（或直线BA）．射线是直线的一部分，可用一个小写字母表示，如：射线l；或用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．直线与射线都是无限长，不能度量．也考查了直线的性质公理．【变式2】（2023上·山西晋城·七年级校联考阶段练习）如图，直线与相交于点，是直线上一点，以为圆心，长为半径画弧，与直线，分别交于点，，再以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点，过点作直线，延长交直线于点，若图中以点为端点的射线有条，与线段相等的线段有条（不包括），则代数式的值为．【答案】【分析】本题考查了射线、线段、代数式求值、整式的加减运算，根据题意得，，再根据整式的加减运算法则得，再将，代入原式即可求解，熟练掌握其运算法则是解题的关键．解：依题意得：，，，将，，代入原式得：，故答案为：．【考点3】角的理解认识【例3】（2023上·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图：货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它的南偏东59°的方向上，同时，在它的北偏东37°、南偏西12°、西北方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D．（1）求的补角的度数；（2）①求的度数；②求的度数．【答案】（1）127°；（2）①129°，②4°【分析】（1）根据题意得出∠DON＝∠WOD＝45°，∠COS＝12°，∠BON＝37°，∠AOS＝59°，求出∠BOE的度数，再求出答案即可；（2）①先求出∠AOB的度数，再求出答案即可；②先求出∠BOD和∠WOC的度数，再求出答案即可．（1）解：∵货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它的南偏东59°的方向上，同时，在它的北偏东37°、南偏西12°、西北方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D，∴∠DON＝∠WOD＝45°，∠COS＝12°，∠BON＝37°，∠AOS＝59°，∵∠NOE＝90°，∴∠BOE＝∠NOE−∠BON＝90°−37°＝53°，∴∠BOE的补角的度数是180°−53°＝127°；（2）解：①∵∠BON＝37°，∠AOS＝59°，∴∠AOB＝180°−（∠BON＋∠AOS）＝84°，∵∠WOD＝45°，∴∠WOD＋∠AOB＝45°＋84°＝129°；②∵∠BON＝37°，∠DON＝45°，∴∠BOD＝∠BON＋∠DON＝37°＋45°＝82°，∵∠WOS＝90°，∠COS＝12°，∴∠WOC＝∠WOS−∠COS＝90°−12°＝78°，∴∠BOD−∠WOC＝82°−78°＝4°．【点拨】本题考查了余角与补角和角的和差计算，求出各个角的度数是解此题的关键．【变式1】（2023上·陕西西安·七年级校考阶段练习）从1点到4点，分针和时针夹角成60°的次数是（

）A．3 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】略【变式2】（2022上·辽宁盘锦·七年级统考期末）如图，要修建一条公路，从村沿北偏东75°方向到村，从村沿北偏西25°方向到村．若要保持公路与的方向一致，则的度数为．

【答案】80°【分析】根据题意得出∠FBD的度数以及∠FBC的度数，进而得出答案．解：由题意可得：AN∥FB，EC∥BD，故∠NAB=∠FBD=75°，∵∠CBF=25°，∴∠CBD=100°，则∠ECB=180°-100°=80°．故答案为：80°．

【点拨】此题主要考查了方向角，正确得出平行线是解题关键．【考点4】线段的有关计算【例4】（2023上·全国·七年级专题练习）如图，C是线段上一点，，，点P从A出发，以的速度沿向右运动，终点为B；点Q从点B出发，以的速度沿向左运动，终点为A．已知P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动时间为ts．（1）当P、Q两点重合时，求t的值；（2）是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰好是另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，满足条件的值为4或7或【分析】本题考查了一元一次方程在线段上动点问题中的应用，线段的中点；（1）当P、Q两点重合时，P、Q两点运动的距离之和为线段的长；（2）分类讨论：①当点C是线段的中点时，②当点P是线段的中点时，③当点Q是线段的中点时；能根据不同的中点进行分类讨论是解题的关键．（1）解：由题意可得：，，∴当P、Q重合时，，解得：；（2）解：由题意可得：，①当点C是线段的中点时，，解得：；②当点P是线段的中点时，，解得：；③当点Q是线段的中点时，解得：；综上所述，满足条件的值为4或7或．【变式1】（2023上·河北沧州·七年级统考期中）三点在同一直线上，两点之间的距离为，两点之间的距离为，那么两点之间的距离为（

）A． B． C．或 D．以上答案都不对【答案】C【分析】分两种情况：点C在点B左侧和点C在点B右侧，分别利用线段的和与差求解即可．解：①若点C在点B左侧，如图，两点之间的距离为，两点之间的距离为，；②若点C在点B右侧，如图，两点之间的距离为，两点之间的距离为，；∴A，C之间的距离为或，故选：C．【点拨】本题主要考查线段的和与差，分情况讨论是解题的关键．【变式2】（2023上·广东佛山·七年级校考阶段练习）如图，点、是线段上两点，、分别是线段、的中点，给出下列结论：①若，则；②；则；③；其中正确的有（请填写序号）【答案】①②③【分析】由可得，再由线段的中点，即可判断①；可得，再由线段的中点可判断②；由结合线段的中点可判断③．解：，，是线段的中点，，，，，即，故①正确；，，，M、N分别是线段、的中点，，，，故②正确；M、N分别是线段、的中点，，，，，故③正确；故答案：①②③．【点拨】本题考查了线段的中点定义，线段的和差；能根据所求线段或等式用线段和差表示，并由线段中点进行等量转换是解题的关键．【考点5】角的有关计算【例5】（2023上·陕西宝鸡·七年级统考阶段练习）点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处．

（1）将三角板按图1位置摆放，此时是的角平分线，求的度数；（2）将三角板按图2位置摆放，此时，求的度数．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据补角的定义可得，再根据角平分线的定义可得，再结合垂直的定义运用平角的定义列式计算即可；（2）由可设，则；再结合、运用平角的性质可得，最后根据即可解答．（1）解：，，是的角平分线，，，．（2）解：∵，设，则，，，，．，．【点拨】本题主要考查了考余角和补角、角平分线的定义、三角板等知识点，明确题意、弄清角之间的关系是解答本题的关键．【变式1】（2022上·天津·七年级天津外国语大学附属外国语学校校考期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）将三角尺ACD固定，三角尺BCE的CE边与CA边重合，绕点C顺时针方向旋转，当0°＜∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，下列结论中：①若∠DCE=35°，∠ACB=145°；②∠ACB+∠DCE=180°；③当三角尺BCE的边与AD平行时∠ACE=30°或120°；④当三角尺BCE的边与AD垂直时∠ACE=30°或75°或120°，正确个数有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】根据余角的定义、补角的定义和角的和差可判断①②；画出对应图形，结合平行线的性质和三角形内角和定理可判断③；画出对应图形，结合垂直的定义和三角形内角和定理可判断④．解：∵∠ECB=90°，∠DCE=35°，∴∠DCB=90°-35°=55°，∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+55°=145°，故①正确；∵∠ACD+∠BCE=∠ACD+∠BCD+∠DCE=180°，∴∠ACB+∠DCE=180°，故②正确；当AD//BC时，如图所示：∵AD//BC，∴∠DCB=∠D=30°，∵∠ACE+∠ECD=∠ECD+∠BCD=90°，∴∠ACE=∠DCB=30°；当AD//CE时，如图所示：∵AD//CE；∴∠DCE=∠D=30°，∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=120°,当BE//AD时，延长AC交BE于F，如图所示：∵BE//AD,∴∠CFB=∠A=60°，∴∠CFE=120°，∵∠E=45°，∴∠ECF=180°-∠E-∠CFE=15°，∴∠ACE=165°，综上，当三角尺BCE的边与AD平行时，∠ACE=30°或120°或165°，故③错误；当CE⊥AD时，如下图∵CE⊥AD，∴∠A+∠ACE=90°，∵∠A=60°，∴∠ACE=30°，当EB⊥CD时，如下图，∵EB⊥CD，∴∠E+∠EFD=90°，∵∠E=45°，∴∠AFC=∠EFD=∠E=45°，∴∠ACE=180°-∠A-∠AFC=75°，当BC⊥AD时，如下图，∵BC⊥AD，BC⊥CE，∴AD//CE，∴∠DCE=∠ADC=30°，∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=120°．综上所述当三角尺BCE的边与AD垂直时∠ACE=30°或75°或120°，④正确．故正确的有3个，故选：B．【点拨】本题考查三角板中角度的计算．主要考查平行线的性质、三角形内角和定理、垂直的定义等．三角板是我们生活中常用的工具，可借助实物拼凑得出图形，再结合图形分析，注意分情况讨论．【变式2】（2023上·江苏泰州·七年级统考期末）将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点、折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为.【答案】/41度【分析】根据折叠的性质得出，根据，得出，进而得出，即可求解．解：∵折叠∴，∴,∴∴，故答案为：．【点拨】本题考查了折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．【考点6】两点之间距离两点确定一条直线的理解【例6】（2023下·福建福州·七年级校考开学考试）尺规作图：如图，已知点A，点B，直线l及l上一点M．（1）在图（1）中，请在直线上确定一点O，使点O到点A与点O到点B的距离之和最短，并写出作图的依据；（2）在图（2）中，连接，并在直线l上作出一点N，使得点N在点M的左边，且满足．【答案】（1）见分析，作图依据：两点之间线段最短；（2）见分析【分析】（1）根据两点之间线段最短可知，连接与直线的交点即为所求的点O；（2）以M为圆心的长为半径画弧，与直线的交点即为点N的位置．（1）解：点O如图所示，作图依据：两点之间线段最短；

（2）解：点N如图所示．

【点拨】本题考查了尺规作图，两点之间线段最短，熟练掌握基本作图方法是解题的关键．【变式1】（2023上·河北石家庄·七年级统考期中）为了让一队学生站成一条直线，先让两名学生站好不动，其他学生依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那名学生，这种做法依据的几何知识应是（

）A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短C．射线只有一个端点 D．两直线相交只有一个交点【答案】A【分析】先让两个同学站好，实质是确定两定点，而由两点即可确定一条直线．解：由题意可知：两点确定一条直线，故选：A．【点拨】本题考查了直线的性质，解题的关键是正确掌握直线的性质．【变式2】（2023上·辽宁锦州·七年级统考期末）下列生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②筑路公司修建一条隧道缩短了甲、乙两地的路程；③建筑工人在砌墙时，时常在两个墙角分别立一根标志杆，在两根标志杆之间拉一根绳子；④从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设．其中能用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象有．【答案】②④【分析】直接利用线段公理以及直线公理分别分析得出答案．解：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上，利用的是“两点确定一条直线”，故①不合题意；②筑路公司修建一条隧道缩短了甲、乙两地的路程，可用“两点之间线段最短”来解释，故②符合题意；③建筑工人在砌墙时，时常在两个墙角分别立一根标志杆，在两根标志杆之间拉一根绳子，利用的是“两点确定一条直线”，故③不合题意；④从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设，可用“两点之间线段最短”来解释，故符合④题意；故答案为：②④．【点拨】此题主要考查了线段公理和直线公理，解题关键是正确掌握线段公理：两点之间，线段最短；直线公理：两点确定一条直线．【考点7】线段、角的综合【例7】（2022上·陕西西安·七年级校考期末）已知：如图1，点A、O、B依次在直线上，现将射线绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转，如图2，设旋转时间为t（0秒秒）（1）用含t的代数式表示的度数．（2）在运动过程中，当第二次达到时，求t的值．（3）如果让射线改变方向，绕点O逆时针方向旋转，在用时不超过30秒的情况下，用时多少秒，能使得，请直接写出t的值．【答案】（1）当0≤t≤9时，∠MOA＝20t，当9＜t≤18时，∠MOA＝360°-20t，当18＜t≤27时，∠MOA＝20t-360°，当27＜t≤30时，∠MOA＝；（2）5；（3）7.5或10.5或25.5或28.5【分析】（1）分四种情况，分别求出∠MOA的度数，即可；（2）当∠AOB第二次达到120°时，射线OB在OA的左侧，∠AOM与∠BON重叠部分为∠AOB，故有等量关系∠MOA＋∠NOB−∠AOB＝180°，列方程求解可得t．（3）OA、OB都是逆时针旋转，可理解为初始路程差为180°的追及问题：当∠AOB第一次达到30°时，即OB差30°追上OA，路程差为（180−30）°，即40t−20t＝180−30；第二次达到30°时，即OB追上OA且超过30°，路程差为（180＋30）°；第三次达到30°时，OB再走一圈差30°追上OA，路程差为（180＋360−30）°；第四次达到30°时，OB再次追上且超过30°，路程差为（180＋360＋30）°，此时求出的t已接近30，故不需再求第五次．解：（1）当0≤t≤9时，∠MOA＝20t，当9＜t≤18时，∠MOA＝360°-20t，当18＜t≤27时，∠MOA＝20t-360°，当27＜t≤30时，∠MOA＝，（2）当∠AOB第二次达到120°时，如图1，得：∠MOA＋∠NOB−∠AOB＝180°