2015年天津市高考数学试卷（理科）考点卡片

考点卡片

1.交、并、补集的混合运算

【知识点的认识】

集合交换律4n8=BCA,AU8=BUA.

集合结合律(ACB)nc=An(eno,(AUB)UC=AU(BUO.

集合分配律An(BUC)=(AAB)U(Ano,AU(BDC)=(AUB)n(AUC).

集合的摩根律C”(AHB)^CuAUCuB,Cu(AUB)^CuACiCuB.

集合吸收律AU(ACIB)=A,AD(AU8)=A.

集合求补律AUCuA^U,AnC“A=®.

【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图

直接解答.

【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题

或填空题，属于基础题.

2.充分条件、必要条件、充要条件

【知识点的认识】

1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p=q,称p为q的充分条件，q是p的必

要条件.事实上，与“p=q”等价的逆否命题是它的意义是：若q不成立，

则p一定不成立.这就是说，“对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件.例如：p：

x>2；q：%>0.显然x€p,则等价于》幽，则x即一定成立.

2、充要条件：如果既有“p=q”,又有“q>p”,则称条件p是q成立的充要条件，或称条

件4是p成立的充要条件，记作“p=q”.p与q互为充要条件.

【解题方法点拨】

充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与

必要条件，缺一不可.证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件,

必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系.判断题目可以常用转化思想、反

例、特殊值等方法解答即可.

判断充要条件的方法是：

①若p=q为真命题且q0P为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；

②若p=q为假命题且q=p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；

③若p=q为真命题且q=p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；

④若pnq为假命题且qnp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.

⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断

命题p与命题q的关系.

【命题方向】

充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而

几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，

所以命题的范围特别广.

3.奇偶性与单调性的综合

【知识点的认识】

对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在

一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运

用.在重复一下它们的性质①奇函数/(X)的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个

x,都有f(-x)=-f(x),其图象特点是关于(0,0)对称.②偶函数/(X)的定义域关

于原点对称，且定义域内任意一个x,都有/(-X)=/(x),其图象特点是关于y轴对称.

【解题方法点拨】

参照奇偶函数的性质那一考点，有：

①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用/(0)=0解相关的未知量；

②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f(x)=-/(-X)解相关参数；

③偶函数：在定义域内一般是用f(x)=/(-x)这个去求解；

④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反

例题：如果/(x)=需为奇函数，那么〃=.

解：由题意可知，f(x)的定义域为R,

由奇函数的性质可知，/(x)==-/(-%)=4=1

【命题方向】奇偶性与单调性的综合.

不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多

总结，一定要重视这一个知识点.

4.函数的零点与方程根的关系

【函数的零点与方程根的关系】

函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一

样的.但是，他们的解法其实质是一样的.

【解法】

求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不

多讲了.我们重点来探讨一下函数零点的求法(配方法).

例题：求函数f(x)=X4+5?-277-101x-70的零点.

解：\'f(x)=A4+5?-27x2-lOlx-70

=(x-5)・(x+7)・(x+2)・(x+l)

...函数f(x)=/+5--27f-101X-70的零点是：5、-7、-2、-1.

通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的

乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0

时的解即可.

【考查趋势】

考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可.

5.定积分的应用

【应用概述】

正如前面定积分的概念哪里所说，定积分表示的是一个面积，是一个大于零的数.那

么它在实际当中的应用也就和求面积相关.

3n

例1：定积分|siar|公的值是.

37r3ff

解：G|sior|公=sinxdx+(―smx)dx

3n

=_cosx|J+cosx|J

=1+1+0-(-1)

=3

这个题如果这样子出，|sinx|在区间(0,—)上与x轴所围成的面积，那么就成了一个

2

应用题.如何解这类应用题呢？其实就是构建一个定积分，找到区间和要积分的函数即可.

【定积分在求面积中的应用】

1、直角坐标系下平面图形的面积

a)由曲线产f&)与直线x=a,x=b(a<i>)及y=0所围成平面图形的面积

特别：I、若f(x)20,(见图1),则其面积为A=;

*a

n.若f见图2),则其面积为A=-J)(x粒；

b)由曲线y=f(x),尸g(x)与直线x=a,*=b(aWb)所围成平面图形面积

为A=.C|/(x)-g(x»tr

特别:若曲线y=f(x)位于曲线y=g(x)的上方(见图3),则其面积为

A=f〉(x)-g(x)拉

C、由曲线X=(p(y),X=w(y)与直线尸C,尸d(c4d)所围成的平面图形的面积

特别：I：、若曲线x=(p(y)位于曲线x=w(y)的右侧(见图4)

则其面积为A=(&<>，)_p(y)］力

H、若左侧曲线为x==0(即y轴)，(见图5)则其面积为A=［彳心-昉，

2、极坐标系下平面图形的面积

由连续曲线r=r(O)及射线0=a,0所围成的平面图形的面积(图6)为

3、用定积分求平面图形的面积的步骤

«)根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；

b)解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；

c)具体计算定积分，求出图形的面积.

6.利用导数研究函数的单调性

【知识点的知识】

1、导数和函数的单调性的关系：

(1)若/(x)>0在(“，b)上恒成立，则/(x)在(a,h)上是增函数，f(x)>0

的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；

(2)若，(x)<0在(a,b)上恒成立，则/(x)在(a,b)上是减函数，f(x)<0

的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.

2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：

(1)确定/(x)的定义域；

(2)计算导数/(x)；

(3)求出/'(无)=0的根；

(4)用，(x)=0的根将/(x)的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内广

(x)的符号，进而确定了(x)的单调区间：fCx)>0,则/(x)在对应区间上是增函数,

对应区间为增区间；f(x)<0,则/(x)在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.

【典型例题分析】

题型一：导数和函数单调性的关系

典例1：已知函数/(x)的定义域为R,/(-1)=2,对任意xeR,/(%)>2,则/(x)

>2x+4的解集为()

A.(-1,1)B.(-1,+°°)C.(-8,-1)。.(-8,4-00)

解：设g(x)=f(x)-2x-4,

则g'(x)=f(x)-2,

:对任意x€R,f(x)>2,

对任意x6R,g'(x)>0,

即函数g(x)单调递增，

■:f(-1)=2,

；.g(-1)=/(-1)+2-4=4-4=0,

则由g(x)>g(-1)=0得

x>-1,

即/(x)>2x+4的解集为(-1,+8),

故选：B

题型二：导数和函数单调性的综合应用

典例2：已知函数/(x)=alnx-ax-3(aGR).

(I)求函数/(x)的单调区间；

(II)若函数y=f(x)的图象在点(2,/(2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的始[1,

2],函数g(x)=x?+炉『⑴+劣在区间"3)上总不是单调函数，求，〃的取值范围；

4T52ln3ln4Inn1

(ZTITITXI)求证：—x—x—x…x—<-(n>2,neNY

234nn

解：(I)广(x)=a(1~x)(x>0)(2分)

当〃>0时，fCx)的单调增区间为(0,1］,减区间为［1,+8)；

当”<0时，/(x)的单调增区间为［1,+8),减区间为(0,1］；

当a=0时，f(X)不是单调函数(4分)

(11)f，(2)=-*=1得a=-2,f(x)--2lnx+2x-3

••g(x)=x3+6+2)x2—2x>

.".g'(x)=3f+(m+4)x-2(6分)

,：g(x)在区间(f,3)上总不是单调函数，且g'(0)=-2

"©VO

(8分)

由题意知：对于任意的正［1,2J,g1(f)<0恒成立,

仅‘⑴<0

所以有：｛g<2)<0，，一当■Vm<—9(10分)

晶3)>0

(III)令a=-1此时f(x)=-lnx+x-3,所以/(I)=-2>

由(I)知/(x)=-lnx+x-3在(1,+8)上单调递增，

...当(1,+°°)时/(x)>f(1),B[J-lnx+x-1>0,

lnx<x-1一切(1,+8)成立，(12分)

:心2,nGN*,则有

.AAnn^n—1

，・uV----<-------

.In2ln3ln4Inn123n-11

••----•-----•-----••-----<-，—一••---=~(n>2,n6JV)

234n234nn

【解题方法点拨】

若在某区间上有有限个点使/(x)=0,在其余的点恒有/(%)>0,则/(x)仍为增

函数(减函数的情形完全类似).即在区间内，(%)>0是/G)在此区间上为增函数的

充分条件，而不是必要条件.

7.利用导数研究曲线上某点切线方程

【考点描述】

利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能

力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了儿个比较重要的

基本点，所以在高考出题时备受青睐.我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切

线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式

把直线方程求出来.

【实例解析】

例：已知函数'=工/"彳，求这个函数的图象在点X=1处的切线方程.

解：k=y'\x=\—ln\+\=\

又当尤=1时，y=0,所以切点为(1,0)

,切线方程为y-0=lX(%-1),

即y=x-1.

我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三

步利用点斜式求出直线方程.这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结.

8.简单线性规划

【概念】

线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一

种重要的数学模型.简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划,其最优解可

以用数形结合方法求出.我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行

域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值.

【例题解析】

x+2y<8

例：若目标函数z=x+y中变量x,y满足约束条件0三尤=4.

.0<y<3

(1)试确定可行域的面积；

(2)求出该线性规划问题中所有的最优解.

解：(1)作出可行域如图：对应得区域为直角三角形A8C,

其中B(4,3),A(2,3),C(4,2),

则可行域的面积S=^BC-AB=jx1X2=1.

（2）由z=x+y,得＞=-万+2,则平移直线y=-x+z,

则由图象可知当直线经过点A（2,3）时，直线），=-x+z得截距最小，

此时z最小为z=2+3=5,

当直线经过点2（4,3）时，直线y=-x+z得截距最大，

此时z最大为z=4+3=7,

故该线性规划问题中所有的最优解为（4,3）,（2,3）

这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一

个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找

到它的最值.

【典型例题分析】

题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域

典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线），=船+分为面积相等的两部分，则k的值是

（）

7343

A.—B.—C.—D.—

3734

44

分析：画出平面区域，显然点（0,-）在已知的平面区域内，直线系过定点（0,-）,结合

33

图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可.

解答：不等式组表示的平面区域如图所示.

由于直线尸质+得过定点(0,因此只有直线过AB中点时，直线产质+然平分平面

33J

区域.

因为A(1,1),B(0,4),所以AB中点O(-,-).

22

Aisq"4-7

当过点(一，—)时，—=—I-所以左=5.

3222233

答案：A.

点评：二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域.

注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.测试点可

以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点.

题型二：求线性目标函数的最值

X—3

<3x+5yW25

典例2：设x,y满足约束条件：1x21,求2=彳+、的最大值与最小值.

分析：作可行域后，通过平移直线/o：x+y=0来寻找最优解，求出目标函数的最值.

解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A(5,2)、B(1,1)、C(1,),作

出直线/o：x+)，=O,再将直线/o平移，当/o的平行线4过点B时，可使z=x+y达到最小值;

当lo的平行线12过点A时，可使Z=x+y达到最大值.故Zmin=2,Zmax=1.

OK2345

*、、

\zo^+y=o

点评：(1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得.

（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线

的纵截距的关系.

题型三：实际生活中的线性规划问题

典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假

设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：

年产量/亩年种植成本/亩每吨售价

黄瓜4吨1.2万元0.55万元

韭菜6吨0.9万元0.3万元

为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入-总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植

面积（单位：亩）分别为（）

A.50,0B.30,20C.20,30D.0,50

分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，

设出目标函数，转化为线性规划问题.

<X+y<50

解析设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知卜2x+0.9y=54

yeN+

求目标函数z=x+0.9），的最大值，

根据题意画可行域如图阴影所示.

当目标函数线/向右平移，移至点A（30,20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植

30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大.故答案为：B

点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列

成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如

下步骤完成：

（1）作图--画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的

那一条/;

（2）平移--将/平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；

（3）求值--解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值.

题型四：求非线性目标函数的最值

2^0,

<x+2y—4N0,

典例4：（1）设实数x,y满足12y—3W0，,则丫的最大值为

俨+p22,

1x^1,

（2）已知。是坐标原点，点A（1,0）,若点M（x,y）为平面区域上lj'W2，的一个

动点，则|易+公/|的最小值是.

分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一

般要结合给定代数式的几何意义来完成.

解答：（1）评示点（，，y）与原点（0,0）连线的斜率，在点。，|）处取到最大值.

（2）依题意得，OA+OM=（x+1，y），|办+加1|=+1产+尸可视为点（x，y）与点

（-1,0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，

在该平面区域内的点中，由点（-1,0）向直线x+y=2引垂线的垂足位于该平面区域内，

且与点（7,0）的距离最小，因此|4+加］|的最小值是=任.

2

故答案为：（1）-（2）——.

22

点评：常见代数式的几何意义有

（1）J炉+阿表示点（x,y）与原点（0,0）的距离；

（2）—a），+（y-b尸表示点（”,y）与点（a,b）之间的距离;

(3)丫表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率；

x

(4)匕上表示点(x,y)与点(a,h)连线的斜率.

x-a

【解题方法点拨】

1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.

2.在通过求直线的截距日的最值间接求出z的最值时，要注意：当。>0时，截距三取最大值

bb

时，z也取最大值；截距土取最小值时，z也取最小值；当b<0时，截距日取最大值时，z取

bb

最小值；截距三取最小值时，z取最大值.

b

9.数列的求和

【知识点的知识】

就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比

数列等等，常用的方法包括：

(1)公式法：

①等差数列前”项和公式：％=刖+6(n-1)”或S“=隼出

②等比数列前〃项和公式：

九％(9=1)

—ax_anq

—:-----------=------------(9+1)

\-q\-q

③几个常用数列的求和公式：

八1

(1)SR=k-1+2+3+...+九=—九(九+1)

-1

（2）2222

Sn=^/r=i+2+3+...+«=-n(n+l)(2n+l)

£=16

（3）3332

=1+2+3+…+"=[-n(n+1)]

2

(2)错位相减法:

适用于求数列｛a”X6”｝的前八项和，其中｛珈｝｛瓦｝分别是等差数列和等比数列.

（3）裂项相消法:

适用于求数列｛」一｝的前〃项和，其中｛板｝为各项不为o的等差数列，即」一

anan+ianan+i

anan+i

特别：一:士__:11(11

n(n2)21九1十2

n(n+1)nn+l+

a

n—,.......-=J〃+1—即

y/n+l+y/n

（4）倒序相加法：

推导等差数列的前〃项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再

把它与原数列相加，就可以得到“个（⑶+刖）.

（5）分组求和法：

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个

等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

【典型例题分析】

典例1:已知等差数列｛前｝满足:43=7,a5+07=26,｛，〃｝的前十项和为S〃.

（I）求〃〃及Sn；

（H）令bn=-4-7（nGN*）,求数列｛加｝的前n项和T,,.

分析：形如｛等栏的求和，可使用裂项相消法如：

11111111111

——+——+——4-

1X33X55X7+^^=K(1一/(二？十。一尹.”+(石一

199

乖）｝二荷

解：（1）设等差数列｛〃"｝的公差为d,

,**673=7,。5+。7=26,

*甯（乙6,解得…d=2,

•・。〃=3+2(〃~1)=2〃+1；

2

Sn=3n+"(丁)x2=n+2n.

(II)由(I)知Un=2n+1，

岳==_=_I_=1=__L

°n2-1(2n+l)2-l4n(n+l)4?in+1

••""4…+A方=1.(】_51)=

4(n+l)>

即数列｛b｝的前n项和Tn=

4（n+l）

点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像

友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和.

【解题方法点拨】

数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要

往这里面考.

10.平面向量数量积的性质及其运算

【知识点的知识】

1、平面向量数量积的重要性质：

设Z，b都是非零向量，"是与b方向相同的单位向量，片与b和夹角为。，则:

（1）a•e=e-a=la|cos0；

（2）a1b=Q•b=0；（判定两向量垂直的充要条件）

（3）当，b方向相同时,a•b=lall&l;当1，b方向相反时,a-b=-lalldl：

特别地：a-aHZ/或而=J=（用于计算向量的模）

（4）cos0==g（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）

\a\\b\

（5）|a-S^lalJl

2、平面向量数量积的运算律

（1）交换律：a•b=b•a；

（2）数乘向量的结合律：（底）石=入（a.6）=：•（•）；

（3）分配律：（Q•*a9（b.c）

【平面向量数量积的运算】

平面向量数量积运算的一般定理为①（a±b）2=a2±1a'b+b2.©（a-&）（a+ft）

=a2-?.③■（二？）手（a-b）-c，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是

相同的，有些不一样.

【例题解析】

例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则:

①umn^nmn类比得到5・b=b.a"

②u（/w+n）t=mt+ntn类比得到"（；+5）*c=a-c+b-c

③“f"0,mt=nt^m=nn类比得到“Zh0,a-c=b-c=>a=Z";

④•川=依卜|川"类比得到“丘•h|=|al,lbl，，s

⑤“（,〃•〃）t=m（〃"）”类比得到“（Zl）W=1（0Z）”；

TTT

@“竺=类比得到军1=1以上的式子中，类比得到的结论正确的是①②.

bebb'Ca

解：：向量的数量积满足交换律，

二类比得到“；）>a",

即①正确；

•••向量的数量积满足分配律，

“（〃z+〃）t=mt+ntn类比得到“（'+>）•〃=a-c+b-c,>,

即②正确；

•••向量的数量积不满足消元律，

“*0,，“=〃/=，”=/'不能类比得到“Zh0,a-c=b-c^a=

即③错误；

•••日）|片面•日，

..."w=i刑・1川”不能类比得到“向岳=|/・iM；

即④错误;

•••向量的数量积不满足结合律,

...“（〃?•〃）（〃“）”不能类比得到“（Z£）•?=[（£]',

即⑤错误；

•.•向量的数量积不满足消元律，

=巴’不能类比得到笺=1

bebbtca

即⑥错误.

故答案为：①②.

向量的数量积满足交换律，由“加7=即”类比得到“:工=鼠滔；向量的数量积满足分

配律，故“（，"+"）t=mt+ntn类比得到+=a-c+b-c^向量的数量积不满足

消元律，故"fWO,,加=〃Q%=〃”不能类比得到h0,a-c=b-c=>a=cw;la'b\^

而•山，故“依•川=|〃力・|川”不能类比得到“日工户面，1加'；向量的数量积不满足结合律，

故”（"•〃）t=m（〃"）”不能类比得到“。.b）*c=a-（b•己”；向量的数量积不满足消元

律，故竺=巴"不能类比得到笠=2

bebb*ca

【考点分析】

本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，

题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握.

11.虚数单位i、复数

【虚数单位，•的概念】

i是数学中的虚数单位，『=-1,所以，•是-1的平方根.我们把4+瓦的数叫做复数，

把〃=0且6W0的数叫做纯虚数，aWO,且〃=0叫做实数.复数的模为“1二+后.

【复数的运算】

①复数的加法，若M=a+bi,N=c+di,那么M+N=(a+c)+(h+d)i,即实部与实部相加，

虚部与虚部相加.

②复数的乘法，若M=a+bi,N=c+di,那么M・N=(ac-bd)+(ad+bc)i,与多项式乘

法类似，只不过要加上i.

【例题解析】

例：定义运算^=ad-bc，则符合条件［l|=4+2i的复数z为.

解：根据定义，可知IXzi-(-1)Xz=4+2/,即z(1+i)=4+2/,

4+2i(4+2Q(l-i)6-2i.

TH-(l+i)(l-i)~~T八

这个题很好地反应了复数的一般考法，也就是考查复数的运算能力，其中常常用到复数与复

数相除.这个题的第一步先把复数当做一个整体进行运算，第二部相除，思路就是把分母变

成实数，方法就是乘以它的共配复数(虚数前面的符号变为相反既是).处理这种方法外，

有的时候还需要设出复数的形式为。+万，然后在求出a和4这种类型的题一般用待定系数

法.

【复数的概念】形如a+历(小旄R)的数叫复数，其中a,b分别是它的实部和虚部.若6

=0,则a+从为实数；若bWO,则a+切'为虚数；若a=0,bWO,则〃+方为纯虚数.

2、复数相等：a+bi—c+di<^>a—c,b—d(a,b,c,t/GR).

3、共貌复数：a+bi与c+di共规=a=c,b+d=O(a,b,c,deR).

4、复数的模：&的长度叫做复数z=a+6i的模，记作|z|或|a+41，即|z|=|a+4|=后与

12.离散型随机变量及其分布列

【考点归纳】

1、相关概念；

(1)随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变

量随机变量常用希腊字母晶口等表示.

(2)离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机

变量叫做离散型随机变量.若s是随机变量，”=戒+从其中“、人是常数，则n也是随机

变量.

（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变

量就叫做连续型随机变量

（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量

都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而

连续性随机变量的结果不可以一一列出.

2、离散型随机变量

（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是

随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量.随机变量常用大写字母X,

匕…表示，也可以用希腊字母奉口，…表示.

（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离

散型随机变量.

3、离散型随机变量的分布列.

（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为xi,也，…，物；X取每一个对

应值的概率分别为〃，P2,…,Pn,则得下表：

Xx\X2…Xi•,•Xn

PPiP2…pi-

该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列.

（2）性质：①pi'O,i=l,2,3,•••,n；@p\+p2+--+pn=1.

13.离散型随机变量的期望与方差

【知识点的知识】

1、离散型随机变量的期望

数学期望：一般地，若离散型随机变量s的概率分布为

XIX2…Xn•••

・・・・・・

PpiP2Pn

则称段=xipi+x2P2+…+X"P"+…为W的数学期望，简称期望.

数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的

平均水平.

平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量f的概率分布中，令pi=p2="=pn,

则有pi=p2="=p“=L筋=(X1+JQ+…+X”)xL所以；的数学期望又称为平均数、均

nn

值.

期望的一个性质:若「求+"则E(求+〃)=aE^+b.

2、离散型随机变量的方差；

方差：对于离散型随机变量亭如果它所有可能取的值是XI,X2,…，切，…，且取这些值

的概率分别是pi,P2,…,P”…，那么,

：2

DJ=区-港)2Pl+(x7-E4)-----卜(xn-E^p„+…称

为随机变量E的均方差，简称为方差，式中的&J分是随机变量S的期望.

标准差：。孑的算术平方根必叫做随机变量：的标准差，记作上.

方差的性质：①。(谑+匕)=/。5;②-(EM2.

方差的意义：

(1)随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；

(2)随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳

定与波动、集中与离散的程度；

(3)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛.

14.二项式定理

【二项式定理】又称牛顿二项式定理.公式(a+b)"=£乜0Cn3»"7.通过这个定理可以

把一个多项式的多次方拆开.

例1：用二项式定理估算1。1°=1.105.(精确到0.001)

解：1.0110=(1+0.01)1O=1IO+CIOU19XO.O1+CIO2M8.O.O12=«1+O.1+O.OO45=«1.1O5.

故答案为：1.105.

这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型.

例2：把(、，予-乃2。把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是.

解：由题意78=CIO7X(技尸X(-1)7=120义3技=360技.

故答案为：360V4工

通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定

理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了.

【性质】

1、二项式定理

一般地，对于任意正整数〃，都有

(a+b)"=CW+C\an-Xb+…+C：a"-'b'+…+C：b"(neN)

这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a+b)”的二项展开式.其中各项的系数

C；&=0J2…，)叫做二项式系数.

注意：

(1)二项展开式有"+1项；

(2)二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；

(3)每一项的次数是一样的，即为"次，展开式依a的降基排列，b的升塞排列展开；

(4)二项式定理通常有如下变形：

①(a—与"=亡优一+…+(―1)'。：广引+…+(—1)"

②(1+x)”=1-rC^x+C：.x'+…+C：x'+…+x"；

(5)要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题.

2、二项展开式的通项公式

二项展开式的第n+\项77=。：屐""'&=()工2,・：〃)叫做二项展开式的通项公

式.它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展

开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用.

注意：

(1)通项公式表示二项展开式的第汁1项，该项的二项式系数是Cn『；

(2)字母人的次数和组合数的上标相同；

(3)a与b的次数之和为〃.

3、二项式系数的性质.

(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即

c黑c,c^cr1,第=©-2,…，噂=器；

（2）增减性与最大值：当上〈亨时，二项式系数是逐渐增大的.由对称性知，它的后半

部分是逐渐减小的，且在中间取最大值.当"为偶数时，则中间一项C?的二项式系数最大;

rx-1n+1

当”为奇数时，则中间的两项c/~，。了相等，且同时取得最大值.

15.程序框图

【知识点的知识】

1.程序框图

（1）程序框图的概念：程序框图乂称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来

准确、直观地表示算法的图形;

（2）构成程序框的图形符号及其作用

程序框名称功能

起止框表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不

可缺少的.

输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息、，可用在算法中任何

需要输入、输出的位置.

处理框赋值、计算.算法中处理数据需要的算式、公式等,

它们分别写在不同的用以处理数据的处理框内.

判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”

或“y”；不成立时在出口处标明则标明“否”或"N".

流程线算法进行的前进方向以及先后顺序

连结点连接另一页或另一部分的框图

注释框帮助编者或阅读者理解框图

(3)程序框图的构成.

一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的流程线；程

序框内必要的说明文字.

16.两角和与差的三角函数

【知识点的认识】

(1)C(«-P)：cos(a-p)=cosacosB+sinasinB;

(2)C(a+p)：cos(a+p)=cosacosB-sioasinB;

(3)S<a+p)：sin(a+p)=sinacosB+cosasinB；

(4)S<a-p)：sin(a-p)=sinacosB-cosasinB;

tana-^tan^

(5)T(a+p):tan(a+0)=

l-tmiatanfi

tana-tanfi

(6)T<a-p>:tan(a-p)=

1+tanatanft

17.三角函数的周期性

【知识点的认识】

周期性

①一般地，对于函数/(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,

都有/~(x+T)=f(x),那么函数/(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

②对于一个周期函数/'(X),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正

数就叫做了(X)的最小正周期.

③函数y=Asin(axr+(p),JIER及函数y=Acos(a)x+(p)；xER(其中A、3、<p为常数，且

AWO,3>o)的周期r=红.

3

【解题方法点拨】

1.一点提醒

求函数y=Asin(3x+(p)的单调区间时，应注意3的符号，只有当3>0时，才能把cox+cp

看作一个整体，代入y=sinr的相应单调区间求解，否则将出现错误.

2.两类点

y=sinx,xG[O,2ny=cosx,xG[O,2n]的五点是:零点和极值点(最值点).

3.求周期的三种方法

①利用周期函数的定义./(x+T)=f(x)

②利用公式：y=Asin(a)x+(p)和y=Acos(a)x+(p)的最小正周期为；三，y=tan(a)x+(p)

的最小正周期为白

③利用图象.图象重复的x的长度.

18.余弦定理

【知识点的知识】

1.正弦定理和余弦定理

定理正弦定理余弦定理

内容c^—tr+ci-2/?ccosA,

b

----=-----=-----=2R

sinAsinBsinC廿="2+02-2accos_B,

(R是△ABC外接圆半径)<?=次+/_2abcos_C

变形①a=2RsinA,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C；

b"+c2—a2

形式2bc

②sinA=右sinB=寻sinC=号

cosB=M噌"

③a：b：c=sinA：sinB：sinC；2ac

④〃sinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC

=csinA

解决①已知两角和任一边，求另一角和其他两①己知三边，求各角;

三角条边;②已知两边和它们的夹角，求第三边和

形的②②已知两边和其中一边的对角，求另其他两角

问题一边和其他两角

【正余弦定理的应用】

1、解直角三角形的基本元素.

2、判断三角形的形状.

3、解决与面积有关的问题.

4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方

面都要用到解三角形的知识

(1)测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理

就可解决.

解题关键在于明确：

①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形

两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；

②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应

用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可

到达的一点之间的距离问题.

(2)测量高度问题：

解题思路：

①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三

角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，

然后转化为解直角三角形的问题.

②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，

然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余

弦定理求解即可.

点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概