《正态分布》示范公开课教学设计【高中数学人教A版】

第3课时《正态分布》教学设计

（一）教学内容

正态分布

（二）教学目标

1.通过实例了解正态分布密度曲线及其特点，了解参数。，〃的含义及其对正态曲线的影响

2.理解正态分布的意义，了解正态分布随机变量在（〃-o,”+o],-2CT,H+2O],

（/z-3a,〃+3可上取值的概率及3o原则.

3.通过学习，培养学生观察、分析问题的能力，用图象和函数的观点分析随机变量的分布情

况，体会正态分布在实际应用中的广泛性.

4.进行偶然性和必然性对立统一观点的教育，激发学生进一步学习的兴趣.

（三）教学重点与难点

重点：正态分布曲线的特点，正态分布参数所表示的意义.

难点：运用正态分布模型解释随机现象、解决实际问题.

（四）教学过程设计

1.引入新课

问题1：前面我们学习了两点分布、二项分布、超几何分布，它们的随机变量有什么共同点？

答：它们都是离散型随机变量.

追问：生产生活当中还有其它类型的随机变量吗？举例说明

答：生活中还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整

个实轴，但取一点的概率为0,我们称这类随机变量为连续型随机变量（continuousrandom

variable）.

比如，某种产品的使用寿命X是一个随机变量，它可以取区间[0,句或[0,+8）内的所有值.

设计意图：复习回顾两点分布、二项分布、超几何分布，为引出正态分布做铺垫.

2.课堂探究

问题2：自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400g.由于各种不可控制的因素，任意抽取

一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差（实际质量减去标准质量），

用X表示这种误差，贝UX是一个连续型随机变量，检测人员在一次产品检验中，随机抽取了

100袋食盐，获得误差X（单位：g）的观测值如下：

-0.6-1.4一0.73.3-2.9-5.21.40.14.40.9

-2.6-3.4-0.7-3.2-1.72.90.61.72.91.2

0.5-3.72.71.1-3.0-2.6-1.91.72.60.4

2.6-2.0-0.21.8-0.7-1.3-0.5-1.30.2-2.1

2.4-1.5-0.43.8-0.11.50.3-1.80.02.5

3.5-4.2-1.0-0.20.10.91.12.20.9-0.6

-4.4-1.13.9-1.0-0.61.70.3-2.4-0.1-1.7

-0.5-0.81.71.44.41.2-1.8-3.1-2.1-1.6

2.20.34.8-0.8-3.5-2.73.81.4-3.5-0.9

-2.2-0.7-1.31.5-1.5-2.21.01.31.7-0.9

追问1：(1)如何描述这100个样本误差数据的分布？

答：我们可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布.

追问2：图1是上述数据的频率分布直方图，你能据图说出它

代表的含义吗？

答：频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区

间内的频率，所有小矩形的面积之和为1.

追问3：这组误差数据的特点吗？

答：观察图形可知，误差观测值有正有负，并大致对称地分布在X=0的两侧，而且小误差比

大误差出现得更频繁.

设计意图：通过分析频率分布直方图的特点，方便通过类比得出正态分布的概念及性质.

问题2：如果所取样本数据量越来越大，让分组越来越多，频

率分布直方图会有怎样的变化特点？

答：随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来

越小，由频率的稳定性可知频率分布直方图的轮廓就越来越

稳定，接近一条光滑的钟形曲线.

追问1：对照频率分布直方图，说一说这一光滑的钟形曲线所

包含的实际意义是什么？.

答：根据频率与概率的关系，我们可用图中的钟形曲线来描述

袋装食盐质量误差的概率分布，曲线与水平轴之间的面积为1.

例如，任意抽取一袋食盐，误差落在［-2,-1］内的概率，可

用图中黄色阴影部分的面积表示

追问2：如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布？

答：由函数知识可知，图中的钟形曲线是一个函数，数学家找到了以下刻画随机误差分布的

解析式：定义：

1(x-4)z

/(无)=——e2<r2,XGR

W27r

其中〃6R,c>0为参数.我们称f(x)为正态密度函

数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.若随

机变量X的概率分布密度函数为/(x),则称随机变量X服

从正态分布(normaldistribution),记为X〜N(ju,

力).特别地，当〃=0,<7=1时，称随机变量X服

从标准正态分布.

追问3：由整体密度函数的表达式和函数的理解过

程，其函数图象有怎样的特点？

答：对任意的xeR都有f(x)>0,它的图象在x轴

的上方，我们也可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.

追问4：结合频率分布直方图和钟形曲线的实际意义，上述图象中区域A、B的面积有怎样

的概率含义？

答：若X〜N(〃，a2),则区域A的面积表示X取值不超过x的概率P(XSx),区域8的面

积表示图中而P(a<X<b).

追问5：你知道在生产生活中有哪些现象适合正态分布模型吗？

答：正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之

中.在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.

例如，某些物理量的测量，误差，某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等，一定条

件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量，自动流水线生产的各种产品的质量指标

(如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容)，某地每年7月的平均气温、平均湿度、降

水量等，一般都近似服从正态分布.

设计意图：类比分析频率分布直方图得出正态分布的概念及实际意义.

问题3：观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点？

答：(1)对称性：曲线是单峰的，它关于直线x=〃对称；

(2)集中性：曲线在x=“处达到峰值号；

(3)非负性：当因无限增大时，曲线无限接近x轴.

追问1：一个正态分布由参数。和〃完全确定，如何研究两个参数对正态曲线的形状影响

呢？

答：可以让一个参数保持不变，研究另一个参数对图象的影响.

追问2：分析正态函数解析式，说一说当参数。取固定值时，参

数〃变化时图象如何变化？

答:我们知道，函数y=/(%-4)的图象可由y=f(x)的图象

平移得到，因此，在参数。取固定值时，正态曲线的位置由〃确

定，且随着“的变化而沿X轴平移.

追问3：结合正态函数解析式及其性质，说一说当参数4取固定

值时，参数。变化时图象如何变化？

答：当〃取定值时，因为曲线的峰值高与。成反比，而且对任意

的。＞0,曲线与x轴围成的面积总为1.因此，当较小时•，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机

变量X的分布比较集中：当c较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分

散.

追问4：结合上述正态分布的图象特点，你能得出正态分布的均值和方差分别和哪些量有关

吗？

答：可以发现，参数〃反映了正态分布的集中位置，。反映了随机变量的分布相对于均值从

的离散程度，实际上，我们有

若X〜N(ji,a2),则E(X)=〃，D(X)=a2.

设计意图：结合正态密度函数及曲线研究了正态分布的性质.

3.知识应用

问题5：例李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车

所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min,样本方差为36；骑自行车平均

用时34min,样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时丫都服从正态分布.

(1)估计X,丫的分布中的参数；

(2)根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出

x和y的分布密度曲线；

(3)如果某天有38min可用，李明应选择哪种交通工

具？如果某天只有34min可用，又应该选择哪种交通

工具？请说明理由.

解：(1)随机变量X的样本均值为30,样本标准差为6；随机变量丫的样本均值为34,样

本标准差为2.用样本均值〃估计参数，用样本标准差估计参数〃，可以得到X〜N(30,62),

V〜N(34,22).

(2)x和丫的分布密度曲线如图所示

(3)分析：观察图象可得，在时间小于38分钟时，蓝色线与X轴围成面积小于等于红色

线与x轴围成面积；在时间小于等于34分钟时，蓝色线与x轴围成面积大于红色线与x轴

围成面积；

应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具，由图可知，P(XS38)<P(YS

38),P(X<34)>P(Y<34).

所以，如果有38min可用，那么骑自行车不迟到的概率大，应该选择骑自行车；如果只有

34min可用，那么坐公交车不迟到的概率大，应该选择坐公交车.

设计意图：通过分析和解决具体的正态分布实例，帮助学生理解正态分布的概念与性质.

问题5：在生产生活中常常会记住一些常用的

对应数值以方便计算及比较，比如某些数的

开方近似值、某些对数的近似值，那么正态

分布有没有类似做法呢？

答：假设X〜N(%ct2),可以证明：对给定的

k是一个只与k6N*,P(〃-kbWXW〃+ka)

是一个只与k有关的定值，特别地，PQi—o：X<M~0.6827,P(〃—2a<X<n+

2ct)x0.9545,P(/z-3cr<X<M+3<r)«0.9973.

由此看到，尽管正态变量的取值范围是(-8,+8),但