2023-2024学年浙江省杭州市滨江区九年级(上)期末数学试卷

2023-2024学年浙江省杭州市滨江区九年级（上）期末数学试卷

一、细致选一选

1.已知2：x=3：9,则x=（）

A.2B.3C.4D.6

2.已知sinA=,则NA的度数为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

3.已知一条圆弧的度数为60。，弧长为10n,则此圆弧的半径为（）

A.15B.30C.D.15n

4.下列事务哪个是必定事务（）

A.随意抛掷一枚图钉，结果针尖朝上

B.随意抛掷一枚匀称的骰子，骰子停止转动后，朝上的一面的点数为1

C.连结。O的一条弦的中点和圆心的直线垂直这条弦

D.在一张纸上画两个三角形，这两个三角形相像

5.如图，AD〃BE〃CF,点B,E分别在AC,DF±,DE=2,EF=AB=3,则BC长

6.一抛物线的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（）

7.如图，在。为^ABC内一点，D,E,F分别是OA,OB,OC上的点，且===,

则=()

8.如图，。。的半径为2,4ABC是。0的内接三角形，连结OB,0C,若NBAC

与NBOC互补，则弦BC的长为（）

A

9.如图，将正方形ABCD对折，使点A点与D重合，点B与C重合，折痕EF；

绽开后再次折叠，使点A与点D重合于正方形内点G处，折痕分别为BH,CI,

假如正方形ABCD的边长是2,则下列结论：①4GBC是等边三角形；②△IGH

的面积是7-12；③tanNBHA=2+；④GE=2,其中正确的个数有（）

10.如图，©O的直径AB=2,C是弧AB的中点，AE,BE分别平分NBAC和NABC,

以E为圆心，AE为半径作扇形EAB,n取3,则阴影部分的面积为（）

O

A.-4B.7-4C.6-D.

二、细致填一填

11.已知△ABCs^DEF,=3,则4ABC与4DEF的面积比为.

12.已知圆内接四边形ABCD中，ZA：ZB：NC=1：3：5,则ND的度数为.

13.九年级三班同学做了关于私家车乘坐人数的统计，在100辆私家车中，统计

如表：

每辆私家车乘客的12345

数目

私家车的数目5827843

依据以上结果，估计抽查一辆私家车且它载有超过3名乘客的概率是.

14.抛物线y=3(x-2)2+1绕抛物线的顶点旋转180。所得的抛物线的解析式

是.

15.如图，AB是。。的直径，且点B是的中点，AB交CD于E,若NC=21。，则

ZADC=.

A

B

16.如图，一抛物线经过点A(-2,0),B(6,0),C(0,-3),D为抛物线

的顶点，过OD的中点E,作EF，x轴于点F,G为x轴上一动点，M为抛物线上

一动点，N为直线EF上一动点，当以F、G、M、N为顶点的四边形是正方形时，

点G的坐标为.

D

三、全面答一答

17.（1）2sin30°+tan600-cos45°

（2）若=,求的值.

18.在一个箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同.

（1）从箱子里摸出1个球，是黑球，这属于哪类事务？摸出一个球，是白球或

者是红球，这属于哪类事务？

（2）从箱子里摸出1个球，放回，摇匀后再摸出一个球，这样先后摸得的两个

球有几种不同的可能？请用画树状图或列表表示，这样先后摸得的两个球刚好是

一红一白的概率是多少？

19.图1中是小区常见的闲逛机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，

就会带动踏板连杆绕轴旋转，从侧面看图2,立柱DE高1.7m,AD长0.3m,踏

板静止时从侧面看与AE上点B重合，BE长0.2m,当踏板旋转到C处时，测得

NCAB=42°,求此时点C距离地面EF的高度.（结果精确到0.1m）

（参考数据：sin42°=0.67,cos42°=0.74,tan42°=0.90）

20.一运动员推铅球，铅球经过的路途为如图所示的抛物线.

（1）求铅球所经过的路途的函数表达式和自变量的取值范围;

（2）求铅球落地点离运动员有多远（精确到0.01）?

21.如图，AB,CD是。O的弦，AB±CD,且AE=,EB=3,的度数为120。.解答

问题：

（1）请用直尺和圆规作出圆心O（不写作法，保留痕迹）

（2）求出。O的半径；

(3)求出弦CD的长度.

D、----/

22.如图1,已知点P是线段AB上一动点(不与A,B重合)，AB=10,在线段

AB的同侧作正AAPC和正aBPD,连结AD和BC,它们相交于点Q,AD与PC交

E

图2

(1)求证：4APDmACPB,AACQ^ABCA；

(2)若4APC和4BPD不是等边三角形，如图2,只满意NAPC=NBPD,PA=kPC,

PD=kPB(k>0,k为实数)，E是AB中点，F是AC中点，G是BD中点，连结EF,

EG,求的值(用含k的式子表示)；

(3)请干脆写出在图1中，经过P,C,D三点的圆的半径的最小值.

23.如图，在平面直角坐标系中.直线y=-x+3与x轴交于点B,与y轴交于点

C,抛物线y=ax2+bx+c经过B,C两点，与x轴负半轴交于点A,连结AC,tanZ

CAB=3

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P(m,n)是抛物线上在第一象限内的一点，求四边形OCPB面积S关

于m的函数表达式及S的最大值；

(3)若M为抛物线的顶点，点Q在直线BC上，点N在直线BM上，Q,M,N

三点构成以MN为底边的等腰直角三角形，求点N的坐标.

2023-2024学年浙江省杭州市滨江区九年级（上）期末数

学试卷

参考答案与试题解析

一、细致选一选

1.已知2：x=3：9,则x=（）

A.2B.3C.4D.6

【分析】依据内项之积等于外项之积转化为方程即可解决问题.

【解答】解：：2：x=3：9,

.,.3x=18,

x=6,

故选D.

【点评】本题考查比例的性质，记住两内项之积等于两外项之积是解题的关键.

2.已知sinA=,则NA的度数为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【分析】干脆利用特别角的三角函数值进而求出答案.

【解答】解：••,sinA=,

•,.NA的度数为：30。.

故选：A.

【点评】此题主要考查了特别角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键.

3.已知一条圆弧的度数为60。，弧长为lOn,则此圆弧的半径为（）

A.15B.30C.D.15n

【分析】依据弧长公式1=进行解答.

【解答】解：设该圆弧的半径等于rem,则

10n=,

解得r=30.

故答案为30.

【点评】本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键.

4.下列事务哪个是必定事务（）

A.随意抛掷一枚图钉，结果针尖朝上

B.随意抛掷一枚匀称的骰子，骰子停止转动后，朝上的一面的点数为1

C.连结。。的一条弦的中点和圆心的直线垂直这条弦

D.在一张纸上画两个三角形，这两个三角形相像

【分析】依据事务发生的可能性大小推断相应事务的类型即可.

【解答】解：A、随意抛掷一枚图钉，结果针尖朝上是随机事务；

B、随意抛掷一枚匀称的骰子，骰子停止转动后，朝上的一面的点数为1是随机

事务；

C、连结。0的一条弦的中点和圆心的直线垂直这条弦是必定事务；

D、在一张纸上画两个三角形，这两个三角形相像是随机事务；

故选：C.

【点评】本题考查的是必定事务、不行能事务、随机事务的概念.必定事务指在

肯定条件下，肯定发生的事务.不行能事务是指在肯定条件下，肯定不发生的事

务，不确定事务即随机事务是指在肯定条件下，可能发生也可能不发生的事务.

5.如图，AD〃BE〃CF,点B,E分别在AC,DF上，DE=2,EF=AB=3,则BC长

【分析】依据平行线分线段成比例定理即可得出答案.

【解答】解：：AD〃BE〃CF,

VDE=2,EF=AB=3,

BC=,

故选A.

【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，驾驭定理的内容是解题的关键.

6.一抛物线的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（）

C.ac>0D.2a+b>0

【分析】依据二次函数开口向上推断出a>0,再依据对称轴推断出b>0,再依

据与y轴的交点推断出c<0；依据对称轴列出不等式求解即可得到2a+b>0.

【解答】解：•.•二次函数开口向上,

?.a>0,

••.A错误;

•对称轴在y轴左边,

->0,

.\ab<0,

••.B错误;

•二次函数图象与y轴的交点在y轴负半轴,

.*.c<0,

/.ac<0,

・・.C错误;

Va>0,

b>-2a,

b+2a>0

，D正确.

故选D.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，关键是利用了二次函数的开口

方向，对称轴，与y轴的交点.

7.如图，在。为^ABC内一点，D,E,F分别是OA,OB,0C上的点，且===,

则=()

【分析】依据已知条件得到EF〃BC,推出△EOFs^BOC,依据相像三角形的性

质即可得到结论.

【解答】解：..』，

.".EF//BC,

.,.△EOF^ABOC,

故选B.

【点评】本题考查了相像三角形的判定和性质，娴熟驾驭相像三角形的判定和性

质是解题的关键.

8.如图，。。的半径为2,4ABC是。。的内接三角形，连结OB,0C,若NBAC

与NBOC互补，则弦BC的长为（）

A.B.2C.2D.4

【分析】作弦心距0D,先依据已知求出NBOC=120。，由等腰三角形三线合一的

性质得：ZDOC=ZBOC=60°,利用30。角所对的直角边是斜边的一半可求得OD

的长，依据勾股定理得DC的长，最终利用垂径定理得出结论.

【解答】解•「NBAC与NBOC互补,

AZBAC+ZBOC=180°,

VZBAC=ZBOC,

AZBOC=120°,

过。作ODLBC,垂足为D,

ABD=CD,

VOB=OC,

AOB平分NBOC,

AZDOC=ZBOC=60°,

AZOCD=90°-60°=30°,

在Rt^DOC中,0C=2,

.,.OD=1,

；.DC=,

BC=2DC=2,

故选B.

BD

【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理及等腰三角形三线合一的性质，娴熟

驾驭垂径定理是关键，本题中利用圆周角定理中圆周角与圆心角的关系得出角的

度数，从而得到AODC是30。的直角三角形，依据30。角所对的直角边是斜边的

一半得到OD的长，从而得出弦BC的长.

9.如图，将正方形ABCD对折，使点A点与D重合，点B与C重合，折痕EF；

绽开后再次折叠，使点A与点D重合于正方形内点G处，折痕分别为BH,CI,

假如正方形ABCD的边长是2,则下列结论：①4GBC是等边三角形；②AlGH

的面积是7-12；③tanNBHA=2+；④GE=2,其中正确的个数有()

【分析】由折叠的性质得，AB=BG,CD=CG,依据正方形的性质得到AB=BC=CD,

等量代换得到BG=BC=CG,推出AGBC是等边三角形；故①正确；依据正方形的

性质得至UAD=AB=BC=DC=2；ZD=ZA=90°,由等边三角形的性质得到NBGC=60。，

GE=BC=,故④错误；推出NFIG=30°,得至UFI=FG=(2-)=2-3,依据三角形打

麻将公式得到△HIG的面积=7-12,故②正确；依据勾股定理得到AH=HG==4-2,

由三角函数的定义得到tan/BHA===2+；故③正确.

【解答】解：由折叠的性质得，AB=BG,CD=CG,

•四边形ABCD是正方形，

二・AB=BC二CD,

BG二BC=CG,

...△GBC是等边三角形；故①正确；

VFE±BC,EF±AD,

•四边形ABCD为正方形，

，AD=AB=BC=DC=2；ND=NA=90°,

又•••将正方形ABCD折叠，使点A与点D重合于正方形内点G处，

•••△GBC为等边三角形，

AZBGC=60°,GE=BC=,故④错误;

AZHGI=120",FG=EF-GE=2-,

AZFIG=30°,

.*.FI=FG=(2-)=2-3,

.,.HI=2FI=4-6,

.,.△HIG的面积=HI・FG=(2-)(4-6)

=7-12,故②正确；

VAH=HG==4-2,

.*.tanZBHA===2+；故③正确；

故选C.

【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后的两图形全等，即对应角相等，对应

线段相等.也考查了正方形和等边三角形的性质以及含30。的直角三角形三边的

关系.

10.如图，O0的直径AB=2,C是弧AB的中点，AE,BE分别平分NBAC和NABC,

以E为圆心，AE为半径作扇形EAB,兀取3,则阴影部分的面积为()

C

A.-4B.7-4C.6-D.

【分析】依据AB是。。的直径，得到NC=90。，依据角平分线的定义和三角形的

内角和得到NAEB=180。-(ZBAC+ZCBA)=135°,连接EO,推出EO为RtaABC

内切圆半径，依据三角形的面积得到E0=-1,依据勾股定理得到

AE2=AO2+EO2=12+(-1)2=4-2,然后依据扇形和三角形的面积即刻得到结论.

【解答】解：的直径AB=2,

AZC=90°,

,.•C是弧AB的中点,

.,.AC=BC,

，NCAB=NCBA=45°,

VAE,BE分别平分NBAC和/ABC,

NEAB=NEBA=22.5°,

AZAEB=180°-(ZBAC+ZCBA)=135°,

连接EO,

VZEAB=ZEBA,

AEA=EB,

VOA=OB,

AEO±AB,

EO为RtAABC内切圆半径，

.,.SAABC=(AB+AC+BC)•EO=AC»BC,?.E0=-1,

.*.AE2=AO2+EO2=12+(-1)2=4-2,

扇形EAB的面积==(2-),AABE的面积=AB・EO=-1,

I.弓形AB的面积=扇形EAB的面积-4ABE的面积=,

・•・阴影部分的面积=。0的面积-弓形AB的面积=-(-)=-4,

故选A,

【点评】本题考查了扇形的面积的计算，等腰三角形的性质，角平分线的定义,

知道E0为RtAABC内切圆半径是解题的关键.

二、细致填一填

11.已知△ABCS^DEF,=3,则△ABC与4DEF的面积比为9.

【分析】依据相像三角形的面积比是相像比的平方即可求解.

【解答】VAABC^ADEF,=3,

.,.△ABC与z^DEF的面积比为9.

故答案为9.

【点评】本题考查相像三角形的性质，驾驭相像三角形的面积比等于相像比的平

方是解题的关键.

12.已知圆内接四边形ABCD中，ZA：ZB：NC=1：3：5,则ND的度数为90。.

【分析】可设NA=x,则NB=3x,ZC=5x；利用圆内接四边形的对角互补，可求

出NA、NC的度数，进而求出NB和ND的度数，由此得解.

【解答】解：VZA：ZB：ZC=1：3：5,

.•.设NA=x,则NB=3x,NC=5x,

四边形ABCD为圆内接四边形，

AZA+ZC=180°,即x+5x=180,解得x=30°,

I.NB=3x=90°,

AZD=180°-ZB=180°-90°=90°,

故答案为：90°.

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解

答此题的关键.

13.九年级三班同学做了关于私家车乘坐人数的统计，在100辆私家车中，统计

依据以上结果，估计抽查一辆私家车且它载有超过3名乘客的概率是

【分析】先利用表中数据计算出一辆私家车载有超过3名乘客的频率，然后利用

频率估计概率求解

【解答】解：依据题意得：

估计调查一辆私家车而它载有超过3名乘客的概率是.

故答案为：.

【点评】本题考查了列表法与树状图法，利用频率估计概率是求实际生活中某事

务概率的常用方法.

14.抛物线y=3(x-2)2+1绕抛物线的顶点旋转180。所得的抛物线的解析式是

y=-3(x-2)2+1.

【分析】依据旋转的性质即可得出顶点坐标不变，a变为-3,由此即可得出旋

转后新抛物线的解析式.

【解答】解：抛物线y=3(x-2)2+1顶点坐标为(2,1),a=3,

绕顶点旋转180。后，顶点坐标为(2,1),a=-3,

抛物线y=3(x-2)2+1绕抛物线的顶点旋转180。所得的抛物线的解析式是y=

-3(x-2)2+1.

故答案为：y=-3(x-2)2+l.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，依据旋转180。找出顶点坐标不

变、开口相反是解题的关键.

15.如图，AB是。0的直径，且点B是的中点，AB交CD于E,若NC=21。，则

NADC=69°.

【分析】先依据圆周角定理求出NA的度数，再由点B是的中点可得出的度数,

进可得出的度数，由圆心角、弧、弦的关系即可得出结论.

【解答】解：•••/C=21。,

AZA=ZC=21".

:点B是的中点，

•••的度数为42°.

VAB是。0的直径，

的度数=180。-42°=138°,

AZADC=X138°=69°.

故答案为：69°.

【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆

周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.

16.如图，一抛物线经过点A(-2,0),B(6,0),C(0,-3),D为抛物线

的顶点，过OD的中点E,作EF，x轴于点F,G为x轴上一动点，M为抛物线上

一动点，N为直线EF上一动点，当以F、G、M、N为顶点的四边形是正方形时，

点G的坐标为(4-2,0)、(-4,0)、(4+2,0)或(4,0).

【分析】依据A、B、C三点坐标利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后求

出D和E的坐标，设点G的坐标为(m,0),则点M的坐标为(m,m2-m-3),

点N的坐标为(1,m2-m-3),依据以F、G、M、N为顶点的四边形是正方形，

即可找出关于m的含肯定值符合的一元二次方程，解之即可得出m值，将其代

入点G的坐标中即可得出结论.

【解答】解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,

将A(-2,0)、B(6,0)、C(0,-3)代入y=ax2+bx+c,

,解得:，

二抛物线的解析式为y=x2-x-3.

y=x2-x-3=（x-2）2-4,

，点D的坐标为（2,-4）,点E的坐标为（1,-2）,

直线EF的解析式为x=l.

设点G的坐标为（m,0）,则点M的坐标为（m,m?-m-3）,点N的坐标为

（1,m2-m-3）,

•以F、G、M、N为顶点的四边形是正方形，

Im-11=Im2-m-31,

解得：mi=4-2,rri2=4+2,rri3=-4,rri4=4.

点G的坐标为（4-2,0）、（-4,0）、（4+2,0）或（4,0）.

故答案为：（4-2,0）、（-4,0）、（4+2,0）或（4,0）.

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、正方形的性质以及解一元二

次方程，依据点的坐标利用待定系数法求出二次函数解析式是解题的关键.

三、全面答一答

17.（1）2sin300+tan60°-cos45°

（2）若=,求的值.

【分析】（1）将特别角的三角函数值代入，再依据实数的运算法则计算即可；

（2）由=,可得y=3x,代入，计算即可.

【解答】解：（1）2sin30°+tan60--cos45°

=2X+X-X

=1+3-1

=3；

(2)：=,

/.y=3x,

【点评】本题考查了比例的基本性质，实数的运算，以及特别角的三角函数值,

比较简洁.

18.在一个箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同.

（1）从箱子里摸出1个球，是黑球，这属于哪类事务？摸出一个球，是白球或

者是红球，这属于哪类事务？

（2）从箱子里摸出1个球，放回，摇匀后再摸出一个球，这样先后摸得的两个

球有几种不同的可能？请用画树状图或列表表示，这样先后摸得的两个球刚好是

一红一白的概率是多少？

【分析】（1）由不行能事务与随机事务的定义，即可求得答案；

（2）首先依据题意画出树状图，然后由树状图求得全部等可能的结果与两个球

刚好是一红一白的状况，再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：

（1）箱子里放有1个白球和2个红球，

•••从箱子里摸出1个球，是黑球，这属于不行能事务；

摸出一个球，是白球或者是红球，这属于随机事务；

（2）画树状图得：

开始

白红红

八八C

红红白红白红

•••共有6种等可能的结果，摸出的球中有两个球刚好是一红一白有2种状况，

两个球刚好是一红一白的概率==.

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的学问点为：概率=所求状

况数与总状况数之比.

19.图1中是小区常见的闲逛机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，

就会带动踏板连杆绕轴旋转，从侧面看图2,立柱DE高1.7m,AD长0.3m,踏

板静止时从侧面看与AE上点B重合，BE长0.2m,当踏板旋转到C处时，测得

NCAB=42。，求此时点C距离地面EF的高度.（结果精确到0.1m）

（参考数据：sin42°=0.67,cos42°=0.74,tan42°=0.90）

【分析】过点C作CG±AB于G,通过解余弦函数求得AG,然后依据EG=AE-

AG求得即可.

【解答】解：由题意，得AE=DE-AD=1.7-0.3=1.4m,

AB=AE-BE=1.4-0.2=1.2m,

由旋转，得AC=AB=1.2m,

过点C作CGLAB于G,过点C作CHLEF于点H,

在Rt^ACG中，ZAGC=90°,ZCAG=42°,

cosZCAG=,

...AG=AOcosNCAG=1.2Xcos42°=1.2X0.74-0.89m,

：.EG=AE-AG^1.4-0.89=0.51m,

.\CH=EG=0,51m.

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，娴熟应用锐角三角函数关系是解

题关键.

20.一运动员推铅球，铅球经过的路途为如图所示的抛物线.

（1）求铅球所经过的路途的函数表达式和自变量的取值范围;

（2）求铅球落地点离运动员有多远（精确到0.01）?

【分析】(1)利用顶点式设抛物线的解析式为y=a(x-4)2+3,把(0,)代入得

至Ua=-,由此即可解决问题.

(2)令y=0,解方程即可解决问题.

【解答】解：(1)由题意设抛物线的解析式为y=a(x-4)2+3,

把(0,)代入得到a=-,

二抛物线的解析式为y=-(x-4)2+3(0<x<4+4).

(2)令y=0,得到-(x-4)2+3=0,解得x=4+4或4-4(舍弃)，

...铅球落地点离运动员有4+4处9.66m.

【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是娴熟驾驭二次函数的三种形式,

学会利用待定系数法确定函数解析式，属于中考常考题型.

21.如图，AB,CD是。O的弦，AB±CD,且AE=,EB=3,的度数为120。.解答

问题：

(1)请用直尺和圆规作出圆心O(不写作法，保留痕迹)

(2)求出。O的半径；

(3)求出弦CD的长度.

【分析】(1)分别作AB和CD的垂直平分线，它们的交点为点O；

(2)连接OB,AB的垂直平分线交AB于F,如图，依据垂径定理得到AF=BF,

利用圆心角、弧、弦的关系得到NBOF=60。，然后在RtABOF中利用NBOF的正

弦可求出0B；

(3)CD的垂直平分线交CD于H,连接0D,如图，易得四边形OFEH为矩形，

则OH=EF=,则在Rt^OHD中利用勾股定理可计算出DH=,然后依据垂径定理得

到CD=2DH=2.

【解答】解：(1)如图，点。为所作；

(2)连接OB,AB的垂直平分线交AB于F,如图，

VOFXAB,

，AF=BF,ZBOF=X120°=60°,

VAE=,EB=3,

；.AF=BF=2,

在RtABOF中，VsinZBOF=,

.•.0B==4,

即。。的半径为4；

(3)CD的垂直平分线交CD于H,连接0D,如图，

VAF=2,AF=,

.♦.EF=,

易得四边形OFEH为矩形，

.*.OH=EF=,

在Rt^OHD中，DH===,

VOH±CD,

.•.CH=DH,

.\CD=2DH=2.

【点评】本题考查了作图-困难作图：困难作图是在五种基本作图的基础上进行

作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟

识基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把困难作图拆解成基本作图,

逐步操作.也考查了垂径定理和解直角三角形.

22.如图1,已知点P是线段AB上一动点（不与A,B重合），AB=10,在线段

AB的同侧作正△APC和正ABPD,连结AD和BC,它们相交于点Q,AD与PC交

于点M.图1图2

（1）求证：△APDGACPB,AACQ^ABCA；

（2）若4APC和4BPD不是等边三角形，如图2,只满意NAPC=NBPD,PA=kPC,

PD=kPB（k>0,k为实数），E是AB中点，F是AC中点，G是BD中点，连结EF,

EG,求的值（用含k的式子表示）；

（3）请干脆写出在图1中，经过P,C,D三点的圆的半径的最小值.

【分析】（1）依据SAS即可证明4APD之aCPB,推出NPAD=NPCB,由NAMP=

NCMQ,推出NAQC=NAPC=60°,由NCAB=60°,推出NAQC=NCAB,即可证明

AACQ^ABCA；

（2）由NAPC=NDPB,推出NAPD=NCPB,由==匕推出△APDs^CPB,推出==k,

由EF=BC,EG=AD,即可推出===.

（3）视察图象可知，当4PCD是等边三角形时，4PCD的外接圆的半径最小.

【解答】（1）证明：

图1

VAAPC,ZkDPB都是等边三角形,

.*.PA=PC,PD=PB,ZAPC=ZDPB=60°,

在4APD和ACPB中，

.♦.△APD义△CPB,

NPAD=NPCB,VZAMP=ZCMQ,

...NAQC=NAPC=60°,

VZCAB=60",

，NAQC=NCAB,VZACQ=ZACB,

/.△ACQ^ABCA；

(2)证明：如图2中,

图2

NAPC=NDPB,

ZAPD=ZCPB,

==k,

△APD^ACPB,

==k,

AF=FC,AE=BE,

EF=BC,

BG=GD,BE=EA,

EG二AD,

(3)解：如图3中,

VZAPC=ZDPB=60°,

AZCPD=60°,

视察图象可知，当^PCD是等边三角形时，4PCD的外接圆的半径最小，最小值

为.

【点评】本题考查相像三角形综合题、等边三角形的性质.全等三角形的判定和

性质、三角形的中位线定理等学问，解题的关键是敏捷运用所学学问解决问题,

属于中考常考题型.

23.如图，在平面直角坐标系中.直线y=-x+3与x轴交于点B,与y轴交于点

C,抛物线y=ax2+bx+c经过B,C两点，与x轴负半轴交于点A,连结AC,tanZ

CAB=3

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P(m,n)是抛物线上在第一象限内的一点，求四边形OCPB面积S关

于m的函数表达