重难点专题01 妙用奔驰定理解决三角形面积比问题-2024学年高一数学同步学与练（苏教版）（解析版）

第第页重难点专题01妙用奔驰定理解决三角形面积比问题【题型归纳目录】题型一：直接使用奔驰定理题型二：三角形面积比问题【方法技巧与总结】奔驰定理解决面积比例问题重心定理：三角形三条中线的交点.已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为.注意：（1）在中，若为重心，则．（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．重心的向量表示：．奔驰定理：，则、、的面积之比等于奔驰定理证明：如图，令，即满足，，，故.（3）为内一点，，则.重要结论：，，.结论1：对于内的任意一点，若、、的面积分别为、、，则：.即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有.结论3：对于内的任意一点，若，则、、的面积之比为.即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比.结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为.即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之比.各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形.【典型例题】题型一：直接使用奔驰定理【例1】（2024·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期末）点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（

）A． B．3 C． D．【答案】D【解析】如图，延长交于点，设，则，因为共线，所以，解得，所以，，则，由，得，即，所以，所以，所以.故选：D.【变式1-1】（2024·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考阶段练习）已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得，即点P在线段BC上，且则与的面积之比等于故选：B【变式1-2】（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】点是所在平面上一点，过作，如下图所示：由，故，所以与的面积之比为，故选：D．【变式1-3】（2024·上海·高三统考期末）已知是三角形内部的一点，，则的面积与的面积之比是（

）A． B．C．2 D．1【答案】B【解析】如下图所示，、分别是、中点，由得即，所以，由，，设，，则，，由三角形相似比可得，解得，因为，所以，即，所以，所以，即的面积与的面积之比是故选：B.题型二：三角形面积比问题【例2】（2024·山东济宁·高一统考期末）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，的面积分别为，则有．设O是锐角内的一点，分别是的三个内角，以下命题不正确的有（

）A．若，则O为的重心B．若，则C．若，，则D．若O为的垂心，则【答案】C【解析】对于A：如下图所示，假设为的中点，连接，则，故共线，即在中线上，同理可得在另外两边的中线上，故O为的重心，即A正确；对于B：由奔驰定理O是内的一点，的面积分别为，则有可知，若，可得，即B正确；对于C：由可知，，又，所以由可得，；所以，即C错误；对于D：由四边形内角和可知，，则，同理，，因为O为的垂心，则，所以，同理得，，则，令，由，则，同理：，，综上，，根据奔驰定理得，即D正确.故选：C【变式2-1】（2024·河南安阳·高一统考期末）已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】是的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图，则，，因此，，同理，于是得，又，即，由“奔驰定理”有，则，而与不共线，有，，即，所以.故选：A【变式2-2】（2024·安徽·芜湖一中校联考三模）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，，的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（

）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】B【解析】由得，由得，根据平面向量基本定理可得，，所以，，延长交于，延长交于，则，又，所以，所以为的平分线，同理可得是的平分线，所以为的内心.故选：B【变式2-3】（2024·四川凉山·高二统考期末）在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（

）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】B【解析】记点O到AB、BC、CA的距离分别为，，，，因为，则，即，又因为，所以，所以点P是△ABC的内心.故选：B【变式2-4】（2024·湖北·高一校联考期末）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】为三角形内一点，且满足，，．，故选：D．【过关测试】1．（2024·陕西西安·高二陕西师大附中校考开学考试）设点在内部，且，则的面积与的面积之比是（

）A．3：2 B．3：1 C．4：3 D．2：1【答案】A【解析】设线段的中点为点，，即，即，即点是中线上靠近点的三等分点，即，那么点到的距离和点到的距离比是，那么，故选：A2．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校考三模）在所在的平面内有一点，如果，那么的面积与的面积之比是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，∴点在边上，且，如下图设的边上的高为，.3．（2024·四川绵阳·高一绵阳中学校考阶段练习）如图所示，设P为所在平面内的一点，并且，则与的面积之比等于（

）A． B． C． D．1【答案】C【解析】连接CP并延长交AB于D，∵P、C.D三点共线,∴，且，设，结合，得，由平面向量基本定理，解之得，且，∴，可得，∵与有相同的底边AB，高的比等于与之比，∴的面积与面积之比为.故选：C.4．（2024·江西上饶·高一玉山一中校考期末）如图所示，设为所在平面内的一点，并且，则与的面积之比等于A． B． C． D．【答案】D【解析】由题，延长AP交BC于点D，利用共线定理，以及向量的运算求得向量的关系，可得与的比值，再利用面积中底面相同可得结果.延长AP交BC于点D，因为A、P、D三点共线，所以，设代入可得即又因为，即，且解得所以可得因为与有相同的底边，所以面积之比就等于与之比所以与的面积之比为故选D5．（2024·广东东莞·高一统考期末）已知在中，是的垂心，点满足：，则的面积与的面积之比是A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，设的中点为，则，故由可得，即，也即，由向量的共线定理可得共线，且，所以结合图形可得,故选:A6．（2024·四川绵阳·高一阶段练习）设，过作直线分别交（不与端点重合）于，若，，若与的面积之比为，则A． B． C． D．【答案】D【解析】连接并延长，则通过的中点，过，分别向所在直线作垂线，垂足分别为，，如图所示与的面积之比为根据三角形相似可知，则即由平行四边形法则得根据待定系数法有，则故选7．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）O是锐角三角形ABC内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足.请根据“奔驰定理”判断下列命题正确的是（

）

A．O为的外心B．C．D．【答案】BCD【解析】因为，同理，，故O为的垂心，故A错误；根据垂心可得，，所以，又，所以，又，所以，故B正确；，同理，延长CO交AB于点P(如图)，则，同理可得，所以，故C正确；设，，的面积分别为，，，则，同理可得，所以，又，所以，故D正确.故选:BCD.8．（多选题）（2024·安徽·高一安徽省宿松中学校联考期末）如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立，此结论称为三角形中的奔驰定理．由此判断以下命题中正确的有（

）A．若是等边三角形，为内任意一点，且点到三边的距离分别是，则有B．若为内一点，且，则是的内心C．若为内一点，且，则D．若的垂心在内，是的三条高，则【答案】ACD【解析】因为为内任意一点，所以两两不共线；对A：是等边三角形，设其高为，则，，，代入奔驰定理得，，即，故A正确；对B：由且，根据平面向量基本定理得，则是的重心，故B不正确；对C：，即，又，由平面向量基本定理得，故C正确；对D：由点是的垂心，则，所以，同理可得，，，代入，得，即，故D正确；故选：ACD．9．（多选题）（2024·安徽六安·高一六安市裕安区新安中学校考期末）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，则，是内的一点，∠，∠，∠分别是的三个内角，以下命题正确的有（

）A．若，则B．若，，且，则C．若，则为的垂心D．若为的内心，且，则【答案】BCD【解析】对选项A：，则，错误；对选项B：，，故，，正确；对选项C：，即，故，同理可得，，故为的垂心，正确；对选项D：，故，设内接圆半径为，，，，即，即，，正确.故选：BCD10．（多选题）（2024·河南南阳·高一统考期末）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，则.设是锐角内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（

）A．若，则B．，，，则C．若为的内心，，则D．若为的重心，则【答案】ACD【解析】对于A选项，因为，由“奔驰定理”可知，A对；对于B选项，由，，可知，又，所以，由可得，，，所以，B错；对于C选项，若为的内心，，则，又（为内切圆半径），所以，，故，C对；对于D选项，如下图所示，因为为的重心，延长交于点，则为的中点，所以，，，且，，所以，，由“奔驰定理”可得，D对.故选：ACD.11．（多选题）（2024·湖南常德·高一临澧县第一中学校考阶段练习）如图.为内任意一点，角的对边分别为，总有优美等式成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（

）A．若是的重心，则有B．若成立，则是的内心C．若，则D．若是的外心，，，则【答案】AB【解析】对于A：如图所示：因为分别为的中点，所以，，同理可得、，所以，又因为，所以.正确；对于B：记点到的距离分别为，，因为，则，即，又因为，所以，所以点是的内心，正确；对于C：因为，所以，所以，所以，所以，化简得：，又因为不共线，所以，所以，所以，错误；对于D：因为是的外心，，所以,，所以，因为，则，化简得：，由题意知同时为负，记，，则，因为，所以，所以，所以，错误.故答案为：AB.12．（多选题）（2024·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考开学考试）如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立,此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中，正确的有（

）A．若是的重心，则有B．若，则是的内心C．若，则D．若是的外心，且，则【答案】ABD【解析】对于A，是的重心，则,代入就得到,正确；对于B，设点P到边的距离分别为，由得，，即，与已知条件比较知，，则是的内心，正确；对于，即，与比较得到，，错误；对于D，是的外心，且，则，设三角形外接圆半径为R，所以，代入奔驰定理即可得到，正确，故选：ABD.13．（2024·四川成都·高一四川省成都市新都一中校联考期末）已知O是所在平面内一点，，则与的面积比．【答案】/0.25【解析】因为，，根据向量平行四边形法则画出草图（如图所示），故答案为：14．（2024·上海虹口·高一华东师范大学第一附属中学校考期末）我校高一同学发现：若是内的一点，、、的面积分别为、、，则存在结论，这位同学利用这个结论开始研究：若为内的一点且为内心，的内角、、的对边分别为、、，且，若，则的最大值为.【答案】【解析】因为的内心到该三角形三边的距离相等，则，由可得，所以，，因为，则，所以，，所以，，可得，因为，由余弦定理可得，由基本不等式可得，所以，，当且仅当时，等号成立，所以，.故答案为：.15．（2024·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）三角形蕴涵大量迷人性质，例如：若点在内部，用分别代表、、的面积，则有．现在假设锐角三角形顶点所对的边长分别为为其垂心，的单位向量分别为，则．【答案】【解析】由可得根据可得，同理可得，所以，所以故答案为：16．（2024·河北衡水·高一校考期末）点为内一点，，则的面积之比是.【答案】【解析】因为，所以，设为中点，为中点，为三角形的中位线，则，因为，可得，所以三点共线，且，则，，分别设，由图可知，，，则，所以，而，所以，所以，，所以，即的面积之比等于.故答案为：.17．（2024·全国·高三专题练习）请你根据“奔驰定理”对以下命题进行判断：①若P是的重心，则有；②若成立，则P是的内心；③若，则；④若P是的外心，，，则；⑤若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，O为内的一点且为内心.若，则的最大值为.则正确的命题有.（填序号）

【答案】①②④⑤【解析】对于①：如图所示，因为D，E，F分别为CA，AB，BC的中点，所以，，，同理可得，，所以，又因为，所以，故①正确；对于②：记点P到AB，BC，CA的距离分别为，，，则，，，因为，则，即.又因为，所以，所以点P是的内心，故②正确；对于③：因为，所以，，，所以，化简得，又因为，不共线，所以，即，所以，，故③错误；对于④：因为P是的外心，，所以，，.因为，则，化简得.由题意知m，n不同时为正.记，，则，因为，所以，即，所以，故④正确；对于⑤：∵O为的内心，∴，∴，∴，∴，∴，即，，∴.∵(当且仅当时取等号)，∴，∴，∴(当且仅当时取等号)，∴的最大值为，故⑤