2022年北京人大附初二（上）期中数学试卷

第1页/共1页2022北京人大附初二（上）期中数学说明：本试卷共三道大题，28道小题，共6页：满分100分，考试时间90分钟：请在密封线内填写个人信息，请将答案全部作答在答题卡相应的位置上．一、选择题：（每小题3分，共30分）1.2022年6月28日，北京市教委发布《义务教育体育与监考过程性考核管理办法》，以进一步加强中小学生日常体育锻炼和身体素质．在下列常见体测项目图标中，是轴对称图形的是（）．A. B. C. D.2.一个七边形内角和度数为（）A.360° B.720° C.900° D.1080°3.关于的方程解为负数，则实数a的取值范围是（）．A. B. C. D.4.如图，小健家的仿古家俱有一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．将该三角形记为，若通过电话给玻璃店老板提供相关数据，则提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（）．A. B. C. D.5.如图，在中，，，为的角平分线，若中边上的高为5，则长为（）A.15 B.12 C.10 D.8

6.我国民间流传这样一道题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人；每人7两多7两，每人半斤少半斤．试问各位善算者，多少人分多少银（注：古代1斤=16两）．若设有人，分两银，则可列方程组为（）．A. B. C. D.7.如图，，且在边上，，则的度数（）A.70° B.71° C.72° D.76°8.如图，在中，根据规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（）．A. B.C. D.9.在平面直角坐标系中，已知点，，若恰为等腰直角三角形，则点坐标不可能是（）．A. B. C. D.10.如图，对于，若存在点分别在上，使得，，，则称为“反射三角形”．下列关于“反射三角形”的说法中，错误的是（）．A.若“反射三角形”存在，则必为锐角三角形B.等边三角形的“反射三角形”必为等边三角形C.直角三角形的“反射三角形”必为直角三角形D.等腰三角形的“反射三角形”必为等腰三角形

二、填空题：（每空2分，共20分）11.如图，已知为的外角，，，那么的度数为_____________．12.若是是二元一次方程的一个解，则的值为_____________．13.在平面直角坐标系中，若点关于某条直线对称后得点，则这条直线为_____________．14.小康同学用一根铁丝围三角形，若围成的三角形有两边长分别为3和4，则该三角形的第三边长应满足_____________．15.同时满足不等式和不等式的的整数值为_________．16.数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度．此方案依据的数学定理或基本事实是_________．17.如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为_________·

18.如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，之间的数量关系是________．19.BD是等腰△ABC一腰上的高,∠ABD=50°,则该等腰三角形的顶角度数为_____20.如图，等边和等边中，、、共线，且，和相交于点，下列四个结论中：①；②平分；③；④．所有正确结论的序号是：_________．三、解答题：（第21题8分，第22、24题每小题5分，第23、25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分，共50分）21.解下列方程组：（1）（2）22.解不等式，并把解集在数轴上表示出来．23.如图，点在一条直线上，，，．求证：．

24.作图题：如图，已知直线与点，求作过点的直线，使．要求：（1）尺规作图，保留作图痕迹，下结论，不写作法：（2）根据你的作法用一句话简单说明为什么．25.如图，在中，，为上一个动点．（1）已知，求证：．下面是两位同学分享的思路：小快同学：从求证目标出发，倍长到，即，又，则只需证．小乐同学：从已知条件角的关系出发，发现若将关于直线对称得到，则可证为等腰三角形．请你选择一种思路，完成证明（2）已知，，请直接写出的大小（用含式子表示）．26.列方程（组）或不等式（组）解实际问题：学校图书馆准备购买定价分别为8元和14元的杂志和小说共80本，计划总费用在750元到850元之间（包括750元和850元），那么14元一本的小说最少可以买多少本？最多可以买多少本？27.等腰中，，，点为角平分线上一点，点、分别在边、上，，且点在的内部，在上截.（1）如图1，若点与点重合，且．①求证：；②判断和的位置关系，并证明；（2）若点与线段两个端点均不重合，且，请直接写出的大小（用含的式子表示）．28.在平面直角坐标系中，已知点，将经过点且垂直于轴的直线记为直线，将经过点且垂直于轴的直线记为直线．对于点给出如下定义，将点先关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得到点，称点为点关于的“对应点”．已知顶点坐标为，，．（1）如图1，若点．①由村料，将点关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得到点，则点关于“对应点”为．请写出点关于的“对应点”：__________；点关于的“对应点”：__________；②若点和点关于的“对应点”分别为点和点，且线段与的边没有公共点，求的取值范围：（2）若点关于的“对应点”为点，且以A、、为顶点的三角形恰与全等，请写出所有满足条件的点的坐标：______________

参考答案一、选择题：（每小题3分，共30分）1.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的定义逐项判定即可．【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选不符合题意；B、不是轴对称图形，故此选不符合题意；C、不是轴对称图形，故此选不符合题意；D、是轴对称图形，故此选符合题意；故选：D．【点睛】本题考查轴对称图形，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．2.【答案】C【解析】【分析】应用多边形的内角和公式计算即可．【详解】解：七边形的内角和．故选：C．【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（且为整数）．3.【答案】C【解析】【分析】将表示的值，然后根据关于的方程解为负数得出其取值范围即可．【详解】解：∵，∴，∵关于的方程解为负数，∴，解得：，故选：C．【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，根据题意列出不等式是解本题的关键．4.【答案】B【解析】【分析】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．【详解】解：A．利用两三角形三角形三边对应相等，两三角形全等，三角形形状大小确定，故此选项不合题意；B．根据两三角形两边及一边的对角对应相等无法确定三角形的形状大小，故此选项符合题意；C．利用三角形两边、且夹角对应相等，两三角形全等，三角形形状大小确定，故此选项不合题意；D．利用两三角形两角及一角对边对应相等，两三角形全等，三角形形状大小确定，故此选项不合题意；故选：B．【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．5.【答案】A【解析】【分析】过点D作于E，根据角平分线的性质得到，求出，再结合含的直角三角形的性质推出，进而求出AC即可．【详解】解：过点D作于E，如图，则DE为中边上的高，即，∵，，BD平分，∴，∵，，∴，∵BD平分，∴，∴，∴，故选A．【点睛】本题考查了含的直角三角形的性质、角平分线的性质和等角对等边的性质，正确的作出辅助线是解决本题的关键．6.【答案】B【解析】【分析】首先理解题意，根据题意，找出关系式，列方程组即可．【详解】解：设有x人，分银y两，根据题意，每人7两多7两，则有，每人半斤少半斤，则有，联立则有．故选B．【点睛】此题主要考查二元一次方程组的实际应用，读懂题意是解决本题的关键．7.【答案】B【解析】【分析】根据全等三角形的性质可得，即可得出，根据等腰三角形等边对等角结合三角形内角和定理可得结果．【详解】解：∵，∴，∴，即，∴，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上性质定理是解本题的关键．8.【答案】D【解析】【分析】由图中尺规作图痕迹可知，为的平分线，为线段的垂直平分线，结合角平分线的定义和垂直平分线的性质逐项分析即可．【详解】解：由图中尺规作图痕迹可知，为的平分线，为线段的垂直平分线．由垂直平分线的性质可得，故A选项说法正确，不符合题意；∵为线段的垂直平分线，∴，，∴，，∴，∵为的平分线，∴，∴故B选项说法正确，不符合题意；由图中尺规作图痕迹可知，为线段的垂直平分线，∴故C选项说法正确，不符合题意；∵F是的垂直平分线与的平分线的交点，∴根据已知条件不能得出平分，∴与不一定相等，故D选项说法不一定正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查尺规作图，熟练掌握垂直平分线的性质和尺规作图，角平分线的尺规作图是解答本题的关键．9.【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理和等腰直角三角形的定义逐一判断选项即可．【详解】解：由题意得，A、∵，，又∵，∴为等腰三角形不是等腰直角三角形，符合题意，故该选项正确；B、，，又∵，∴为等腰直角三角形，不符合题意，故该选项错误；C、，，又∵，∴为等腰直角三角形，不符合题意，故该选项错误；D、，，又∵，∴为等腰直角三角形，不符合题意，故该选项错误．故选A．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的定义，解决本题的关键是运用勾股定理解决问题．等腰直角三角形：有一个角是直角的等腰三角形，或两条边相等的直角三角形是等腰直角三角形．10.【答案】C【解析】【分析】设，得出，，根据三角形内角和定理得出，从而得出，进而得出，，然后根据选项中情况进行讨论即可．【详解】解：设，则，，∴，即：，∵，∴，∴，，，∵，∴，∴，解得：，同理，，故只有锐角三角形存在“反射三角形”，故A正确，不符合题意；当为等边三角形，则，则，∴，∴为等边三角形，故B正确，不符合题意；当，，不符合题意，同理，均不符合题意，∴直角三角形不存在“反射三角形”，故C错误，符合题意；当，则，则，∴为等腰三角形，故D正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了三角形的分类，等腰三角形的性质，直角三角形的定义，等边三角形的性质，解题的关键是读懂题意，理解“反射三角形”的意义，根据以上三角形的性质及定义解题．二、填空题：（每空2分，共20分）11.【答案】##40度【解析】【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，进行解答即可．【详解】解：∵为的外角，，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解本题的关键．12.【答案】1【解析】【分析】将代入中即可得出值．【详解】解：∵是二元一次方程的一个解，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟知二元一次方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解本题的关键．13.【答案】轴【解析】【分析】根据关于某条直线对称后横坐标互为相反数，纵坐标不变，可知对称轴为轴．【详解】解：∵点关于某条直线对称后得点，即横坐标互为相反数，纵坐标不变，∴对称轴为轴，即这条直线为轴，故答案为：轴．【点睛】本题考查了轴对称，读懂题意，理解关于坐标轴对称的两个点的坐标特征是解本题的关键．14.【答案】【解析】【分析】根据三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求解即可．【详解】解：由题意，得，则，故答案为：．【点睛】本题考查三角形三边的关系，熟练掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．15.【答案】5和6【解析】【分析】分别解出两个不等式的解集，再联立两个不等式的解集，最后进行判断即可．【详解】解：∵，解得，∵，解得，则联立不等式解集为，∴的整数值有5和6，故答案为：5和6．【点睛】本题考查了不等式的解集，准确的计算是解决本题的关键．16.【答案】两边和它们夹角分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形对应边相等【解析】【分析】根据公理和全等三角形的性质解答即可．【详解】解：在和中，，∴，∴，∴此方案依据的数学定理或基本事实是两边和它们的夹角分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形对应边相等．故答案为：两边和它们的夹角分别对应相等的两个三角形全等，全等三角形对应边相等．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握公理是解题的关键．17.【答案】15【解析】【分析】根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，则可得的周长等于的值．【详解】解：∵和的平分线交于点，∴，∵，∴，∴，∴，∴的周长，故答案为：．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定－等角对等边，将的周长转换为的值是解本题的关键．18.【答案】##【解析】【分析】连接与交于点，则此时周长取到最小值时，则根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可得结果．【详解】解：∵边的垂直平分线分别交，于点，，∴关于对称，连接与交于点，则此时周长取到最小值时，∵，点是边的中点，∴，∵垂直平分，点是上的点，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称－最短路径，三角形外角的性质等知识点，读懂题意，分析出周长取到最小值时点所在的位置，画出图形，根据以上性质进行解答．19.【答案】40°或者140°解析】【分析】本题要分情况讨论.当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况【详解】(1)∵∠ABD=50°，BD⊥AC∴∠A=90°-50°=40°∴三角形顶角是40°;(2)∵∠ABD=50°，BD⊥AC∴∠BAD=90°-50°=40°∵∠BAD+∠BAC=180°∴∠BAC=140°∴三角形的顶角为140°故答案为40°或者140°【点睛】此题考查等腰三角形的性质，解题关键在于利用三角形内角和进行解答20.【答案】①②③④【解析】【分析】根据等边三角形的性质，利用可证明，可判断①；过点C作于点G，于点H，过点F作于点M，根据全等三角形的性质可得，即可判断②；由，得，结合②可判断③；在上截取，连接，可证明，得，再证明是等边三角形，得则可判断④．【详解】解：在等边中，，，在等边中，，，∵B、C、D共线，∴，，即∠ACD=∠BCE，在与中，，∴，

∴，故①正确；过点C作于点G，于点H，过点F作于点M，如图所示：∵，∴，，即，∴，∴CF平分，故②正确；∵，，又∵，∴，∵，，又∵，∴，故③正确；在上截取，连接，∵，∴在和中，，∴，∴，∵，∴，∵∴，由①知，CF平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∴，故④正确，综上所述，正确的有①②③④，

故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，三角形的面积等知识，本题综合性较强，难度较大．三、解答题：（第21题8分，第22、24题每小题5分，第23、25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分，共50分）21.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据代入消元法解二元一次方程组即可；（2）根据加减消元法解一元二次方程即可．【小问1详解】解：将②代入①得：解得：，将代入②：，∴原方程组的解为；【小问2详解】，由①+②得：，解得：，将代入②：解得：，∴原方程组的解为．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法以及加减消元法是解本题的关键．22.【答案】，数轴见解析【解析】【分析】先按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解不等式，再将其解集表示在数轴上即可．【详解】解：，解集在数轴上表示如下：【点睛】本题考查了解一元一次不等式，掌握不等式的解法是解题关键．23.【答案】见解析【解析】【分析】根据“”证明，然后根据全等三角形的性质即可解答．【详解】证明：∵，∴，即．∵，∴．在和中∴（）∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．24.【答案】（1）见解析；结论：垂直平分（2）线段的垂直平分线垂直于该线段所在直线【解析】【分析】（1）以点为圆心画弧与直线交于两点，分别以为圆心大于长度为半径画弧，两弧交于点，连接即可；（2）根据垂直平分线的定义即可解答．【小问1详解】如下图：结论：垂直平分；【小问2详解】说明：线段的垂直平分线垂直于该线段所在直线．【点睛】本题考查了尺规作图－作垂线，作垂线的方法和作垂直平分线的做法基本一致，要熟练掌握，也考查了垂直平分线的性质．25.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）延长到，使，连接．证得等腰，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可；（2）延长到E，使，连接CE，证得等腰和等腰，然后利用等三角形的性质与三角形外角的性质、三角形内角和定理即可求解．【小问1详解】证明：延长到，使，连接．∵，∴为线段的中垂线，∴，∴．在中，．又，∴．在中，，∴，∴．∴∴．即．【小问2详解】解：延长到E，使，连接CE，∵，∴为线段的中垂线，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴．∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，通过作辅助线构造等腰三角形是解题的关键．26.【答案】14元一本的小说最少可以买19本，最多可以买35本【解析】【分析】设14元一本的小说买了本，则8元一本的杂志买了本，根据计划总费用在750元到850元之间（包括750元和850元）列出一元一次不等式组，求解即可．【详解】解：设14元一本的小说买了本，则8元一本的杂志买了本．由题意，，解得：．∵为整数，∴最小值为19，最大值为35．答：14元一本的小说最少可以买19本，最多可以买35本．【点睛】本题考查了不等式组的应用，读懂题意，根据题意列出不等式组是解本题的关键．27.【答案】（1）①见解析；②，见解析（2）【解析】【分析】（1）①根据四边形内角和为，则根据题意可得，所以，，根据角平分线上的任意一点到角两边的距离相等可得结论；②根据题意证明，则可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得，从而得到，然后根据三角形内角和定理可得的度数，则结果可得；（2）当时，在上任取点，在上取，使得，在上取点，使得，过作点的对称点，连接，根据轴对称的性质得出，然后证明，得出，再证明，得出，进一步计算即可得出结果；当时；当时；分别根据上述方法进行