山东省济南市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（14套）-03解答题（提升题）

山东省济南市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（14套）-03解答题（提升题）一．分式方程的应用（共1小题）1．（2023•长清区一模）某社区在防治新型冠状病毒期间，需要购进一批防护服，现有甲、乙两种不同型号的防护服，已知每件甲型防护服的价格比每件乙型防护服的价格便宜30元，用4200元购买甲型防护服的件数与用5250元购买乙型防护服的件数刚好相等．（1）求甲、乙两种型号的防护服每件各是多少元？（2）如果该社区计划购进的防护服共需80件，且要求投入的经费不超过11400元，则最多可购买多少件乙型防护服？二．一元一次不等式的应用（共2小题）2．（2023•历下区一模）某校手工社团计划制作A、B两类手工产品共100个，准备在“红领巾爱心义卖”活动中出售，所获收入全部捐给希望小学建图书角．若售出3个A类产品和2个B类产品收入65元，售出4个A类产品和3个B类产品收入90元．（1）求A、B两类手工产品的售价各是多少元；（2）已知A类产品个数不超过B类产品的3倍，则制作A、B类两种产品各多少个的时候总收入最多？请说明理由．3．（2023•市中区一模）某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计，并进行义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场花4800元购买了红、蓝两种颜色的文化衫220件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表：批发价（元）零售价（元）红色文化衫2545蓝色文化衫2035（1）学校购进红、蓝文化衫各几件？（2）若学校再次购进红、蓝两种颜色的文化衫300件，其中红色文化衫的数量不多于蓝色文化衫数量的2倍，请设计一个方案：学校购进红色文化衫多少件时获得最大利润，最大利润是多少？三．解一元一次不等式组（共1小题）4．（2023•槐荫区一模）解不等式组：．四．一元一次不等式组的整数解（共1小题）5．（2023•济阳区一模）解不等式组：，并写出它的所有整数解．五．反比例函数综合题（共4小题）6．（2023•平阴县一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣1，2），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝mx的图象与反比例函数的图象相交于A、P两点．（1）求m、n的值；（2）求证：△CPD∽△AEO；（3）求sin∠CDB的值．7．（2023•市中区一模）已知在等腰直角三角形△ABC中，∠B＝90°，A（0，2），B（1，0）．（1）如图1，请直接写出点C的坐标，若点C在反比例函数y＝（x＞0）上，则k1＝；（2）如图2，若将△ABC沿x轴向右平移得到△A'B'C'，平移距离为m，当A'，C'都在反比例函数y＝（x＞0）上时，求k2，m；（3）如图3，在（2）的条件下，在y轴上是否存在点P，使得△B'C'P的面积是△A'B'C'面积的一半．若存在，请求出点P；若不存在，请说明理由．8．（2023•济阳区一模）如图，已知点B坐标为（1，0），点C与点B关于原点对称，过点B作AB⊥x轴，交反比例函数y＝（k＞0）的图象于点A，若ABC的面积为1．（1）求k的值；（2）如图2，点D在第二象限，△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，tan∠ADC＝，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，点M为x轴上一点，点N为坐标平面内一点，若以A，D，M，N为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．9．（2023•长清区一模）如图1，直线l与坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象交于C，D两点（点C在点D的左边），过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，CE与DF交于点G（4，3）．（1）当点D恰好是FG中点时，求此时点C的横坐标；（2）如图2，连接EF，求证：CD∥EF；（3）如图3，将△CGD沿CD折叠，点G恰好落在边OB上的点H处，求此时反比例函数的解析式．六．三角形综合题（共1小题）10．（2023•莱芜区一模）如图1，△ACB是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点D在△ACB的内部，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接DE、BD、AE．（1）判断线段AE与BD的数量关系并给出证明；（2）如图2，当B、D、E三点在同一条直线上时，写出线段BE、CE、AE的数量关系为；（3）如图3，若AC＝2，DC＝1.2，点F为线段AB中点，当E、D、F三点在同一条直线上时，连接BD，求BD的长度．​七．平行四边形的性质（共3小题）11．（2023•莱芜区一模）在▱ABCD中，点E、F在对角线AC上，且DE∥BF，求证：BF＝DE．12．（2023•槐荫区一模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，并且AE＝CF．求证：BE＝DF．13．（2023•长清区一模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，BF，DE∥BF．求证：AE＝CF．八．菱形的性质（共1小题）14．（2023•济阳区一模）已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，AE＝CF．求证：∠ADF＝∠CDE．九．切线的性质（共6小题）15．（2023•历下区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，与AC延长线交于点D，连接BC，点E是⊙O上一点，OE∥BC，连接BE交AC于点H，BH＝BD．（1）求证：∠DBC＝∠EBA；（2）若BD＝5，求AB长．16．（2023•莱芜区一模）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，DE是⊙O的切线，DE⊥AC于E．（1）求证：AB＝AC；（2）若⊙O的半径为4，∠C＝30°，求AE的长．​17．（2023•商河县一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点F在AB上，以BF为直径的⊙O恰好经过点E，且边AC与⊙O切于点E，连接BE．（1）求证：BE平分∠CBA；（2）若AE＝2AF＝4，求BC的长．18．（2023•济阳区一模）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，DO⊥AB交AC于点E．（1）求证：DE＝DC；（2）若OE＝2，sin∠ODC＝，求⊙O的半径．19．（2023•槐荫区一模）如图，点E是⊙O中弦AB的中点，过点E作⊙O的直径CD，点P是⊙O上一点，过点P作⊙O的切线，与AB的延长线交于点F，与CD的延长线交于点G，连接CP与AB交于点M．（1）求证：FM＝FP；（2）若cos∠F＝，⊙O半径长为3，求DG长．20．（2023•长清区一模）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，DP是⊙O的切线，过点P作AC的垂线，交AC的延长线于点D．（1）求证：AP平分∠DAB；（2）若AC＝5，sin∠APC＝，求DP的长．一十．相似三角形的判定与性质（共1小题）21．（2023•长清区一模）如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作⊙O的切线交AB的延长线于E，交BC于F．（1）求证：DF⊥BC；（2）求证：DE2＝AE•BE．一十一．解直角三角形的应用（共1小题）22．（2023•槐荫区一模）圭表（如图1）是我国古代度量日影长度的天文仪器，它包括一根直立的杆（称为“表”）和一把南北方向水平放置且与杆垂直的标尺（称为“圭”）．当正午的阳光照射在“表”上时，“表”的影子便会投射在“圭”上．我国古代历法将一年中白昼最短的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最长）定为冬至；白昼最长的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最短）定为夏至．某地发现一个圭表遗迹（如图2），但由于“表”已损坏，仅能测得“圭”上记录的夏至线与冬至线间的距离（即AB的长）为11.3米．现已知该地冬至正午太阳高度角（即∠CBD）为35°34′，夏至正午太阳高度角（即∠CAD）为82°26'，请通过计算推测损坏的“表”原来的高度（即CD的长）约为多少米？（参考数据：sin35°34′≈0.58；cos35°34′≈0.81；tan35°34′≈0.72；sin82°26'≈0.99；cos82°26'≈0.13；tan82°26'≈7.5）一十二．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）23．（2023•济阳区一模）新元学校科技社团赵翔同学借助无人机，测量坡角为34°的滑行跑道斜坡部分AB的长度．如图所示，水平飞行的无人机在点D处测得跑道斜坡的顶端A处的俯角∠EDA＝25°，底端点B处的俯角∠EDB＝56°，点C，B，F在同一条水平直线上，BC＝28米．（1）求无人机的飞行高度CD；（2）求滑行跑道AB的长度．（所有计算结果精确到1米，参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.48，tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）一十三．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）24．（2023•历城区一模）如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B，游轮以海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上．（1）求C到直线AB的距离；（2）求游轮继续向正东方向航行过程中与灯塔B的最小距离是多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：，，sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）一十四．频数（率）分布折线图（共1小题）25．（2023•济阳区一模）实验中学为了解七、八年级学生对交通安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制且成绩均为整数）进行整理、描述和分析，部分信息如下：信息一：七年级成绩频数分布直方图（如图）：信息二：七年级成绩在70≤x＜80这一组的数据为：70，72，74，75，76，76，77，77，77，78，79信息三：七、八年级成绩的平均数、中位数如下：年级平均数中位数七76.9m八79.279.5根据以上信息，回答下列问题：（1）在这次测试中，七年级在80分以下（不含80分）的有人；（2）表中m的值为；（3）该校七年级学生有500人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．一十五．条形统计图（共1小题）26．（2023•商河县一模）某校为了了解家长和学生参与“防疫教育”的情况，在本校学生中随机抽取部分学生做调查，把收集的数据分为以下4类情形：A．仅学生自己参与；B．家长和学生一起参与；C．仅家长自己参与；D．家长和学生都未参与，请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）在这次抽样调查中，共调查了名学生？（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中计算C类所对应扇形的圆心角的度数；（4）根据抽样调查结果，估计该校3200名学生中“家长和学生一起参与”的人数．一十六．概率公式（共1小题）27．（2023•钢城区一模）为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下：（数据分成5组：6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12，12≤x＜14，14≤x＜16）b．甲城市邮政企业4月份收入的数据在10≤x＜12这一组的是：10.0，10.0，10.1，10.9，11.4，11.5，11.6，11.8c．甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下：平均数中位数甲城市10.8m乙城市11.011.5根据以上信息，回答下列问题：（1）甲城市抽取4月份收入数据在8≤x＜10的有家邮政企业，并补全频数分布直方图；（2）写出表中m的值；（3）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p1．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p2．比较p1，p2的大小，并说明理由；（4）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）．

山东省济南市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（14套）-03解答题（提升题）参考答案与试题解析一．分式方程的应用（共1小题）1．（2023•长清区一模）某社区在防治新型冠状病毒期间，需要购进一批防护服，现有甲、乙两种不同型号的防护服，已知每件甲型防护服的价格比每件乙型防护服的价格便宜30元，用4200元购买甲型防护服的件数与用5250元购买乙型防护服的件数刚好相等．（1）求甲、乙两种型号的防护服每件各是多少元？（2）如果该社区计划购进的防护服共需80件，且要求投入的经费不超过11400元，则最多可购买多少件乙型防护服？【答案】（1）每件甲型防护服为120元，每件乙型防护服为150元；（2）最多可购买60件乙种商品．【解答】解：（1）设每件乙型防护服为x元，则每件型防护服为（x﹣30）元，根据题意得：，解得：x＝150，经检验，x＝150原方程的解，∴x﹣30＝120．答：每件甲型防护服为120元，每件乙型防护服为150元；（2）设购买y件乙型防护服，则购买（80﹣y）件甲型防护服，根据题意得：150y+120（80﹣y）≤11400，解得：y≤60．答：最多可购买60件乙种商品．二．一元一次不等式的应用（共2小题）2．（2023•历下区一模）某校手工社团计划制作A、B两类手工产品共100个，准备在“红领巾爱心义卖”活动中出售，所获收入全部捐给希望小学建图书角．若售出3个A类产品和2个B类产品收入65元，售出4个A类产品和3个B类产品收入90元．（1）求A、B两类手工产品的售价各是多少元；（2）已知A类产品个数不超过B类产品的3倍，则制作A、B类两种产品各多少个的时候总收入最多？请说明理由．【答案】（1）A类手工产品的售价是15元，B类手工产品的售价是10元；（2）制作A类产品75个、B类产品25个的时候总收入最多．理由见解答．【解答】解：（1）设A类手工产品的售价是x元，B类手工产品的售价是y元，依题意有：，解得．故A类手工产品的售价是15元，B类手工产品的售价是10元；（2）制作A类产品75个、B类产品25个的时候总收入最多．理由如下：设A类产品个数为m个，则B类产品个数为（100﹣m）个，依题意有：m≤3（100﹣m），解得m≤75．∵A类手工产品的售价是15元，B类手工产品的售价是10元，∴制作A类产品75个、B类产品25个的时候总收入最多．3．（2023•市中区一模）某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计，并进行义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场花4800元购买了红、蓝两种颜色的文化衫220件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表：批发价（元）零售价（元）红色文化衫2545蓝色文化衫2035（1）学校购进红、蓝文化衫各几件？（2）若学校再次购进红、蓝两种颜色的文化衫300件，其中红色文化衫的数量不多于蓝色文化衫数量的2倍，请设计一个方案：学校购进红色文化衫多少件时获得最大利润，最大利润是多少？【答案】（1）学校购进红文化衫80件，蓝文化衫140件；（2）学校购进红色文化衫200件时获得最大利润，最大利润是5500元．【解答】解：（1）设学校购进红文化衫x件，蓝文化衫y件，依题意，得：，解得：．答：学校购进红文化衫80件，蓝文化衫140件；（2）设学校再次购进红文化衫a件，则蓝文化衫（300﹣a）件，获得的利润为w元，则w＝（45﹣25）a+（35﹣20）（300﹣a）＝5a+4500，由题意得a≤2（300﹣a），解得a≤200，∵k＞0，0≤a≤200，∴w随a的增大而增大．当a＝200时，最大利润为5500元．故学校购进红色文化衫200件时获得最大利润，最大利润是5500元．三．解一元一次不等式组（共1小题）4．（2023•槐荫区一模）解不等式组：．【答案】x＜﹣1．【解答】解：，由①得，x≤0，由②得，x＜﹣1，所以，不等式组的解集是x＜﹣1．四．一元一次不等式组的整数解（共1小题）5．（2023•济阳区一模）解不等式组：，并写出它的所有整数解．【答案】0、1、2、3．【解答】解：解不等式①得，x≤3，解不等式②得，x＞﹣1，所以不等式组的解集为﹣1＜x≤3，所以原不等式组的整数解是0、1、2、3．五．反比例函数综合题（共4小题）6．（2023•平阴县一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣1，2），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝mx的图象与反比例函数的图象相交于A、P两点．（1）求m、n的值；（2）求证：△CPD∽△AEO；（3）求sin∠CDB的值．【答案】（1）﹣2，1；（2）证明见解答过程；（3）．【解答】（1）解：将点P（﹣1，2）代入y＝mx，得：2＝﹣m，解得：m＝﹣2，∴正比例函数解析式为y＝﹣2x；将点P（﹣1，2）代入y＝，得：2＝﹣（n﹣3），解得：n＝1，∴反比例函数解析式为y＝﹣．故m、n的值为﹣2，1．（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB∥CD，∴∠DCP＝∠BAP，即∠DCP＝∠OAE．∵AB⊥x轴，∴∠AEO＝∠CPD＝90°，∴△CPD∽△AEO；（3）解：联立正、反比例函数解析式成方程组，得：，解得：（舍去），，∴点A的坐标为（1，﹣2），∴AE＝2，OE＝1，AO＝＝．∵△CPD∽△AEO，∴∠CDP＝∠AOE，∴sin∠CDB＝sin∠AOE＝＝＝．所以sin∠CDB的值为．7．（2023•市中区一模）已知在等腰直角三角形△ABC中，∠B＝90°，A（0，2），B（1，0）．（1）如图1，请直接写出点C的坐标（3，1），若点C在反比例函数y＝（x＞0）上，则k1＝3；（2）如图2，若将△ABC沿x轴向右平移得到△A'B'C'，平移距离为m，当A'，C'都在反比例函数y＝（x＞0）上时，求k2，m；（3）如图3，在（2）的条件下，在y轴上是否存在点P，使得△B'C'P的面积是△A'B'C'面积的一半．若存在，请求出点P；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（3，1），3；（2）m＝3，k2＝6；（3）存在，点P的坐标为：（0，﹣）或（0，﹣）．【解答】解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，则BA＝BC，∠ABC＝90°，过点C作CH⊥x轴于点H，∵∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBH＝90°，∵∠CBH+∠BCH＝90°，∴∠ABO＝∠BCH，∵∠ABO＝∠BHC＝90°，BC＝BA，∴△ABO≌△BHC（AAS），∴BH＝AO＝2，CH＝OB＝1，∴C（3，1），将点C的坐标代入反比例函数表达式得：k1＝3×1＝3，故答案为：（3，1），3；（2）设A'（m，2），C'（3+m，1），∴k2＝2m＝3+m，∴m＝3，则点A′（3，2），将点A′坐标代入反比例函数表达式得：k2＝2×3＝6；（3）存在，理由：∵A'（3，2），C'（6，1），B′（4，0），设A'B'中点为D，则D（，1），由点B′、C′的坐标得，直线B′C′的表达式为：y＝x﹣2，延长C′B′交y轴于点H，则点H（0，﹣2），作DP∥B'C'交y轴于点P，则DH的表达式为：y＝（x﹣）+1，则点P（0，﹣），点P即为所求点；DP点关于直线B'C'的对称直线与y轴交点P′也为所求点，由中点坐标公式得，点P′（0，﹣），综上，点P的坐标为：（0，﹣）或（0，﹣）．8．（2023•济阳区一模）如图，已知点B坐标为（1，0），点C与点B关于原点对称，过点B作AB⊥x轴，交反比例函数y＝（k＞0）的图象于点A，若ABC的面积为1．（1）求k的值；（2）如图2，点D在第二象限，△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，tan∠ADC＝，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，点M为x轴上一点，点N为坐标平面内一点，若以A，D，M，N为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．【答案】（1）k＝1；（2）点D（﹣4，6）；（3）点N的坐标为：（﹣2，7）或（﹣1，7）或（﹣5，﹣5）或（﹣5，5）．【解答】解：（1）∵点B坐标为（1，0），点C与点B关于原点对称，则点C（﹣1，0），则BC＝2，则ABC的面积＝BC•AB＝2×AB＝1，解得：AB＝1，即点A（1，1），将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k＝1×1＝1；（2）过点D作DH⊥x轴于点H，∵∠DCH+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAB＝90°，∴∠DCH＝∠CAB，∵∠DHC＝∠CBA＝90°，∴△DHC∽△CBA，∴，即，解得：DH＝6，CH＝3，∴点D（﹣4，6）；（3）设点M（x，0），点N（s，t），①当AD是对角线时，由中点坐标公式和AD＝MN得：，解得：，即点N的坐标为：（﹣2，7）或（﹣1，7）；②当AM或AN是对角线时，由中点坐标公式和AD＝MN或AN＝DM得：或，解得：或，即点N的坐标为：（﹣5，﹣5）或（﹣5，5）；综上，点N的坐标为：（﹣2，7）或（﹣1，7）或（﹣5，﹣5）或（﹣5，5）．解法二：设M（m，0）．如图1中，当四边形ADMN上当矩形时，作DT⊥OM于点T，AG⊥DT于点G．由△DTM∽△AGD，可得＝，∴＝，∴m＝﹣10，∴M（﹣10，0）．由平移变换的性质可知N（﹣5，﹣5），如图2中，当四边形ADNM是矩形时，同法可得m＝0，M（0，0）．由平移变换的性质可知，N（﹣5，5）．如图3中，当四边形AMND是矩形时，同法可得m＝﹣2，M（﹣2，0），N（﹣1，7）．9．（2023•长清区一模）如图1，直线l与坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象交于C，D两点（点C在点D的左边），过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，CE与DF交于点G（4，3）．（1）当点D恰好是FG中点时，求此时点C的横坐标；（2）如图2，连接EF，求证：CD∥EF；（3）如图3，将△CGD沿CD折叠，点G恰好落在边OB上的点H处，求此时反比例函数的解析式．【答案】（1）2；（2）见解答；（3）y＝．【解答】（1）解：当点D恰好是FG中点时，则点D（4，），将点D的坐标代入反比例函数表达式得：＝，解得：k＝6，即反比例函数的表达式为：y＝，当y＝3时，则3＝，解得：x＝2，即此时点C的横坐标是2；（2）证明：设点D（4，），C（k，3），则GD＝3﹣，则＝1﹣，同理可得：，∴CD∥EF；（3）解：过点C作CN⊥OB于点N，设GD＝HD＝x，CG＝CH＝a，则EC＝4﹣a，DF＝3﹣x，即点C、D的坐标分别为（4﹣a，3）、（4，3﹣x），则3（4﹣a）＝4（3﹣x）①，∵∠CHD＝90°，∴∠NCH+∠FHD＝90°，∠NCH+∠HNC＝90°，∴∠NCH＝∠DHF，∴sin∠NCH＝sin∠DHF，即②，联立①②并解得：x＝，则点D（4，），将点D的坐标代入反比例函数表达式得：＝，解得：k＝，故反比例函数的表达式为：y＝．六．三角形综合题（共1小题）10．（2023•莱芜区一模）如图1，△ACB是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点D在△ACB的内部，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接DE、BD、AE．（1）判断线段AE与BD的数量关系并给出证明；（2）如图2，当B、D、E三点在同一条直线上时，写出线段BE、CE、AE的数量关系为BE＝CE+AE；（3）如图3，若AC＝2，DC＝1.2，点F为线段AB中点，当E、D、F三点在同一条直线上时，连接BD，求BD的长度．​【答案】（1）AE＝BD，理由见解答过程；（2）BE＝CE+AE；（3）1.6．【解答】解：（1）AE＝BD，理由如下：根据旋转的性质得，∠ECD＝90°＝∠ACB，CE＝CD，∴∠ECD﹣∠ACD＝∠ACB﹣∠ACD，∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD；（2）在Rt△CED中，∠ECD＝90°，CE＝CD，∴DE＝＝CE，∵AE＝BD，BE＝DE+BD，∴BE＝CE+AE，故答案为：BE＝CE+AE；（3）如图3，连接CF，∵△ACB、△CDE是等腰直角三角形，∴∠CED＝45°＝∠CAB，∴A、E、C、F四点共圆，∴∠EAC＝∠EFC，∵△ACE≌△BCD，∴∠EAC＝∠DBC，∴∠EFC＝∠DBC，∴B、C、D、F四点共圆，∴∠DCF＝∠DBF，∵点F为线段AB中点，∴CF⊥AB，∴∠CFB＝90°，∴∠FCB+∠DBC+∠DBF＝90°，∴∠FCB+∠DBC+∠DCF＝90°，∴∠CDB＝180°﹣90°＝90°，∵BC＝AC＝2，DC＝1.2，∴BD＝＝＝1.6．七．平行四边形的性质（共3小题）11．（2023•莱芜区一模）在▱ABCD中，点E、F在对角线AC上，且DE∥BF，求证：BF＝DE．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，BC∥AD，∴∠BCF＝∠DAE，∵DE∥BF，∴∠BFE＝∠DEF，∴∠BFC＝∠DEA，在△BCF和△DAE中，，∴△BCF≌△DAE（AAS），∴BF＝DE．12．（2023•槐荫区一模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，并且AE＝CF．求证：BE＝DF．【答案】证明过程见解答部分．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD．∴∠BAE＝∠DCF．在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE＝DF．13．（2023•长清区一模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，BF，DE∥BF．求证：AE＝CF．【答案】见解析．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，∵DE∥BF，∴∠DEF＝BFE，∴∠AED＝∠CFB，在△ADE与△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF．八．菱形的性质（共1小题）14．（2023•济阳区一模）已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，AE＝CF．求证：∠ADF＝∠CDE．【答案】证明见解析部分．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，在△DAE和△DCF中，∴△DAE≌△DCF（SAS），∴∠ADE＝∠CDF，∴∠ADE+∠EDF＝∠CDF+∠EDF，∴∠ADF＝∠CDE．九．切线的性质（共6小题）15．（2023•历下区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，与AC延长线交于点D，连接BC，点E是⊙O上一点，OE∥BC，连接BE交AC于点H，BH＝BD．（1）求证：∠DBC＝∠EBA；（2）若BD＝5，求AB长．【答案】（1）见解答；（2）5．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∵OE∥BC，∴OE⊥AC，∴＝，∴∠ABE＝∠CBE，∵BH＝BD，BC⊥DH，∴BC平分∠DBH，即∠DBC＝∠CBH，∴∠DBC＝∠EBA；（2）解：∵BD为⊙O的切线，∴BD⊥AB，∴∠ABD＝90°，∵∠DBC＝∠CBE＝∠EBA，∴∠DBC＝30°，∵∠BCD＝90°，∴∠D＝60°，在Rt△ABD中，AB＝BD＝5．16．（2023•莱芜区一模）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，DE是⊙O的切线，DE⊥AC于E．（1）求证：AB＝AC；（2）若⊙O的半径为4，∠C＝30°，求AE的长．​【答案】（1）证明见解答；（2）AE的长为2．【解答】（1）证明：如图，连接AD、OD，∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，∵DE⊥AC，∴AC∥OD，∴∠C＝∠ODB，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠B，∴∠C＝∠D，∴AB＝AC；（2）解：如图，连接AD，∵⊙O的半径为4，AB是⊙O的直径，∴AB＝8，∠ADB＝∠ADC＝90°，∵∠C＝30°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴AD＝AB＝4，∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠C+∠DAE＝∠DAE+∠ADE＝90°，∴AE＝AD＝2．17．（2023•商河县一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点F在AB上，以BF为直径的⊙O恰好经过点E，且边AC与⊙O切于点E，连接BE．（1）求证：BE平分∠CBA；（2）若AE＝2AF＝4，求BC的长．【答案】（1）证明见解答；（2）BC＝．【解答】（1）证明：连接OE，∵OE＝OB，∴∠OBE＝∠OEB，∵AC与⊙O相切于点E，∴OE⊥AC，∴∠AEO＝90°，∵∠C＝90°，∴∠C＝∠AEO，∴OE∥BC，∴∠OEB＝∠CBE，∴∠OBE＝∠CBE，∴BE平分∠CBA；（2）解：∵AE＝2AF＝4，∴AF＝2，设⊙O的半径为R，则OE＝OF＝R，在Rt△AEO中，由勾股定理得：OA2＝AE2+OE2，即（R+2）2＝42+R2，解得：R＝3，∴BF＝6，∴OA＝OF+AF＝5，∵∠C＝∠OEA＝90°，∴OE∥BC，∴△OEA∽△BCA，∴，∴，∴BC＝．18．（2023•济阳区一模）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，DO⊥AB交AC于点E．（1）求证：DE＝DC；（2）若OE＝2，sin∠ODC＝，求⊙O的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）4．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵CD与⊙O相切于点C，∴OC⊥CD，∴∠OCE+∠DCE＝90°．∵DO⊥AB，∴∠AOE＝90°，∴∠A+∠AEO＝90°．∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCE．∴∠DCE＝∠AEO，∵∠AEO＝∠DEC，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC；（2）解：∵sin∠ODC＝，sin∠ODC＝，∴，设OC＝4k，则OD＝5k，∴CD＝＝3k．∴DE＝DC＝3k，∴OE＝OD﹣DE＝2k．∵OE＝2，∴2k＝2，∴k＝1．∴⊙O的半径＝OC＝4k＝4．19．（2023•槐荫区一模）如图，点E是⊙O中弦AB的中点，过点E作⊙O的直径CD，点P是⊙O上一点，过点P作⊙O的切线，与AB的延长线交于点F，与CD的延长线交于点G，连接CP与AB交于点M．（1）求证：FM＝FP；（2）若cos∠F＝，⊙O半径长为3，求DG长．【答案】（1）证明见解析；（2）3．【解答】（1）证明：连接OP，OB，OA，∵OA＝OB，E是AB中点，∴OE⊥AB，∵FG与圆相切于P，∴半径PO⊥FG，∵OC＝OP，∴∠C＝∠OPC，∵∠EMC+∠C＝∠FPM+∠OPC＝90°，∴∠FPM＝∠EMC，∵∠FMP＝∠EMC，∴∠FMP＝∠FPM，∴FM＝FP；（2）解：∵cos∠F＝，∴∠F＝60°，∵∠OEB＝90°，∴∠G＝90°﹣∠F＝30°，∵∠OPG＝90°，∴OP＝OG，∵⊙O半径长为3，∴OG＝2×3＝6，∴DG＝OG﹣OD＝6﹣3＝3．20．（2023•长清区一模）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，DP是⊙O的切线，过点P作AC的垂线，交AC的延长线于点D．（1）求证：AP平分∠DAB；（2）若AC＝5，sin∠APC＝，求DP的长．【答案】（1）证明见解析；（2）6．【解答】（1）证明：连接PO，∵PD与圆相切于P，∴半径OP⊥PD，∵AD⊥PD，∴OP∥AD，∴∠DAP＝∠APO，∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠APO，∴∠DAP＝∠OAP，∴PA平分∠DAB；（2）解：连接BC，∵AB是圆的直径，∴ACB＝90°，∵∠ABC＝∠APC，∴sin∠APC＝sin∠ABC＝，∴＝＝，∴AB＝13，∴BC＝＝＝12，∵BC⊥AD，PD⊥AD，∴PD∥BC，∵OP⊥PD，∴PO⊥BC，∴CH＝BC＝6，∵四边形DCHP是矩形，∴PD＝CH＝6．一十．相似三角形的判定与性质（共1小题）21．（2023•长清区一模）如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作⊙O的切线交AB的延长线于E，交BC于F．（1）求证：DF⊥BC；（2）求证：DE2＝AE•BE．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）连接OD，∵OA＝OD，AB＝BC，∴∠A＝∠C，∠A＝∠ODA，∴∠C＝∠ODA，∴OD∥BC，∴∠BFE＝∠ODE，∵DE为⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，∴∠BFE＝90°，∴DF⊥BC；（2）连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A+∠ABD＝90°，∵∠ODE＝90°，∴∠ODB+∠BDE＝90°，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABD，∴∠A＝∠BDE，∵∠E＝∠E，∴△DBE∽△ADE，∴＝，∴DE2＝AE×BE．一十一．解直角三角形的应用（共1小题）22．（2023•槐荫区一模）圭表（如图1）是我国古代度量日影长度的天文仪器，它包括一根直立的杆（称为“表”）和一把南北方向水平放置且与杆垂直的标尺（称为“圭”）．当正午的阳光照射在“表”上时，“表”的影子便会投射在“圭”上．我国古代历法将一年中白昼最短的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最长）定为冬至；白昼最长的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最短）定为夏至．某地发现一个圭表遗迹（如图2），但由于“表”已损坏，仅能测得“圭”上记录的夏至线与冬至线间的距离（即AB的长）为11.3米．现已知该地冬至正午太阳高度角（即∠CBD）为35°34′，夏至正午太阳高度角（即∠CAD）为82°26'，请通过计算推测损坏的“表”原来的高度（即CD的长）约为多少米？（参考数据：sin35°34′≈0.58；cos35°34′≈0.81；tan35°34′≈0.72；sin82°26'≈0.99；cos82°26'≈0.13；tan82°26'≈7.5）【答案】损坏的“表”原来的高度约为9米．【解答】解：设AD＝x米，∵AB＝11.3米，∴BD＝AD+AB＝（x+11.3）米，在Rt△ADC中，∠CAD＝82°26′，∴CD＝AD•tan82°26′≈7.5x（米），在Rt△CDB中，∠CBD＝35°34′，∴tan35°34′＝＝≈0.72，解得：x＝1.2，经检验：x＝1.2是原方程的根，∴CD＝7.5x＝9（米），∴损坏的“表”原来的高度约为9米．一十二．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）23．（2023•济阳区一模）新元学校科技社团赵翔同学借助无人机，测量坡角为34°的滑行跑道斜坡部分AB的长度．如图所示，水平飞行的无人机在点D处测得跑道斜坡的顶端A处的俯角∠EDA＝25°，底端点B处的俯角∠EDB＝56°，点C，B，F在同一条水平直线上，BC＝28米．（1）求无人机的飞行高度CD；（2）求滑行跑道AB的长度．（所有计算结果精确到1米，参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.48，tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）【答案】（1）无人机的飞行高度CD约为41米；（2）滑行跑道AB的长度约为30米．【解答】解：（1）由题意得：DC⊥CF，ED∥CB，∴∠EDB＝∠DBC＝56°，在Rt△DCB中，BC＝28米，∴CD＝BC•tan56°≈28×1.48＝41.44≈41（米），∴无人机的飞行高度CD约为41米；（2）∵∠EDB＝56°，∠EDA＝25°，∴∠ADB＝∠EDB﹣∠EDA＝31°，由题意得：∠ABF＝34°，∴∠DBA＝180°﹣∠DBC﹣∠ABF＝90°，在Rt△DCB中，BC＝28米，∴BD＝≈＝50（米），在Rt△ABD中，AB＝BD•tan31°≈50×0.60＝30（米），∴滑行跑道AB的长度约为30米．一十三．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）24．（2023•历城区一模）如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B，游轮以海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上．（1）求C到直线AB的距离；（2）求游轮继续向正东方向航行过程中与灯塔B的最小距离是多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：，，sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）【答案】（1）点C到线段AB的距离为40海里；（2）与灯塔B的最小距离是77海里．【解答】解：（1）如图，由题意可得，∠CAB＝45°，过点C作CE⊥AB于点E，在△ABC中，∠BAC＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，由题意得：AC＝2×20＝40，∴CE＝AC＝40，即点C到线段AB的距离为40海里；（2）由题意可得，∠DCB＝15°，则∠ACB＝105°，∵∠ACE＝45°，∴∠CBE＝30°，在Rt△BEC中，AE＝CE＝40，∴BE＝CE＝40，∴AB＝AE+BE＝40+40，作BF⊥AC于点F，则∠AFB＝90°，在Rt△BEC中，cos∠BAC＝＝，∴BF＝20+20≈77，答：与灯塔B的最小距离是77海里．一十四．频数（率）分布折线图（共1小题）25．（2023•济阳区一模）实验中学为了解七、八年级学生对交通安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制且成绩均为整数）进行整理、描述和分析，部分信息如下：信息一：七年级成绩频数