等比数列的前n项和公式（原卷版）

第四章《数列》比数列的前n项和公式[核心素养·学习目标]课程标准课标解读掌握等比数列前n项和公式及求取思路，熟练掌握等比数列的五个量之间的关系并能由三求二，能用通项与和求通项.会利用等比数列性质简化求和运算，会利用等比数列前n项和的函数特征求最值.能处理与等比数列相关的综合问题通过本节课的学习，要求能掌握等比数列的通项与前n项和的相关计算公式，能熟练处理与等比数列的相关量之间的关系，用函数的思想解决等比数列的相关问题，会利用等比数列的性质灵活解决与之相关的问题.课前预习课前预习一、等比数列的前n项和1．等比数列的前n项和公式2．等比数列前n项和的性质若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠±1)，则数列{an}是．3.两个常用的结论：若数列{an}是公比为q的等比数列，则①Sn＋m＝Sn＋qnSm.②在等比数列中，若项数为2n(n∈N＋)，则eq\f(S偶,S奇)＝q.③Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，的情况．3．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列的前n项和时，可采用错位相减法的方法求解．二、等比数列和及综合应用1．解应用问题的核心是建立数学模型．2．解决等比数列前n项和的实际应用的一般步骤：(1)审题——(2)建模——(3)求解——(4)还原3．求解等比数列前n项和的实际问题要注意的问题(1)解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答．(2)在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确．(3)在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系．(4)在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求．4.两个常用的结论：(1)等额本金还款法：即将本金平均分配到每一期进行偿还，每期还款金额＝eq\f(贷款本金,还款期数)＋(贷款本金－已还本金总额)×利率．(2)等额本息还款法：即将本金和利息平均分配到每一期进行偿还．每期还款金额＝eq\f(A0r1＋rm,1＋rm－1)，其中A0为贷款时的资金，r为银行贷款月利率，m为还款总期数(单位：月)．知识讲解知识讲解1.等比数列的前n项和公式已知量首项a1，项数n与公比q首项a1，末项an与公比q公式Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)，q≠1))Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)，q≠1))2.等比数列前n项和公式的函数特征当公比q≠1时，设A＝eq\f(a1,q－1)，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1).即Sn是n的指数型函数.当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数.3.等比数列前n项和的性质等比数列{an}前n项和的三个常用性质(1)数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列.(2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*).(3)若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，eq\f(S偶,S奇)＝q；②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq\f(a1＋a2n＋1q,1－－q)＝eq\f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1).【大招总结】已知等比数列{}的公比为q，前n项和为，则有如下性质：

(1).

(2)若(k)均不为0，则成等比数列，且公比为.

(3)若{}共有2n(n)项，则=q；

若{}共有(2n+1)(n)项，则=q.二级结论总结二级结论总结1.一般地，使用等比数列求和公式时需注意(1)一定不要忽略q＝1的情况；在应用公式求和时，应注意到Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)的使用条件为q≠1，而当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1.(2)知道首项a1、公比q和项数n，可以用eq\f(a11－qn,1－q)；知道首尾两项a1，an和q，可以用eq\f(a1－anq,1－q)；(3)在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个.(1)公式法求和

①直接用等差、等比数列的求和公式.

②掌握一些常见的数列的前n项和公式.(2)倒序相加法求和

如果一个数列{}中，与首、末两项“等距离”的两项,的和相等，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.(3)错位相减法求和

错位相减法求和适用于型数列，其中、分别是等差数列和等比数列.(4)裂项相消法求和

利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面剩两项，再就是通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂项前后保持相等.典型例题典型例题例1.设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则an＝（

）A．2n B．2n－1C．2n D．2n－1【解题思路】利用数列的递推关系式求出首项，然后判断数列是等比数列，求出通项公式即可．【解答过程】解：当n=1时a1=S当n⩾2时，an=S所以数列{a所以通项公式为an故选：C．例2.设等比数列an的前n项和为Sn，若S10S5A．32 B．154 C．21【解题思路】根据等比数列的求和公式或者等比数列的性质解析即可；【解答过程】法一：设等比数列的公比为q，若q=1，则S10S5由S10S5=5，得a1解得q5=4，则故选：C.法二：设等比数列的公比为q，若q=1，则S10S5由等比数列的性质知S5,S10−S5,S15−所以S15=21t，所以故选：C.例3.已知数列an的前n项和是Sn，且满足a1=3,a2k=8a2kA．42023−1 C．3×41012−9【解题思路】根据给定的递推公式，分奇偶探讨数列an【解答过程】由k∈N∗，a2k=8a因此数列{a显然a2=8a所以S2023=(a故选：C.例4.记Sn为等比数列{ an}的前na1=8A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项【解题思路】求出公比q，求出Sn，然后分析{【解答过程】设公比为q，则q3=aSn当n为偶数时，Sn=16当n为奇数时，Sn=16所以{Sn}有最大项为S故选：A．例5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因为脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了多少里？【解题思路】根据题意可知，此人每天走的路程构成等比数列an，公比为12，再根据等比数列的前n项和公式即可解出a1【解答过程】设第n天走的路程为an，n∈1,2,3,4,5,6，所以此人每天走的路程可构成等比数列依题可知，公比为12，所以378=a1所以a2例6.已知等差数列an满足a2=4，2a4−a5=7(1)求an与b(2)设cn=anbn，求【解题思路】（1）根据已知条件列出方程组，分别求出等差数列和等比数列的首项、公差或公比，根据定义写出通项公式即可.（2）由错位相减法结合等比数列求和公式法进行运算即可求解.【解答过程】（1）由题意不妨设等差数列、等比数列的公差、公比分别为d,q，所以有a1+d=42注意到b1≠0,q≠−1，所以分别解得a1因此由定义可知an与bn的通项公式分别为（2）由（1）可知an所以由题意有cn当n≥2,n∈N∗时，有所以有2S以上两式作差得Sn=−1−3×=−1+6−3×=5+3n−5当n=1时，有S1综上所述：cn的前n项和为S例7.已知数列an的前n项和为S(1)求数列an(2)设bn=n2+n⋅2na【解题思路】（1）根据公式an（2）根据（1）的结果化简数列bn【解答过程】（1）当n=1时，S1=a当n≥2时，Sn−1则Snan=2an−2得an2n−aan2n所以数列an的通项公式a（2）bn即bnTn=1即Tn=1−12n+1所以Tn的最小值为T1=23所以23强化训练强化训练一、单选题1．已知等比数列的前项和为，则下列判断一定正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则2．设无穷等比数列的前项和为，若，则（

）A．为递减数列 B．为递增数列C．数列有最大项 D．数列有最小项3．数列满足，则满足的的最小值为（

）A．16 B．15 C．14 D．134．已知数列满足，若，数列的前项和为，且对于任意的都有，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．5．公比为q的等比数列，其前n项和为，前n项积为，满足．则下列结论正确的是（

）A． B．的最大值为C．的最大值为 D．6．已知数列满足，若数列前5项的和为31，则的值为（

）A．8 B．16 C．31 D．327．已知数列前项和为且为非零常数则下列结论中正确的是（）A．数列不是等比数列 B．时C．当时， D．8．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（

）A．

B．

C．的最大值为

D．的最大值为9．等比数列的各项均为正数，其前n项和为，已知，，则（

）A． B．32 C．64 D．10．已知首项为1的数列的前n项和为，，则下列说法不正确的是（

）．A．数列是等比数列 B．数列是严格增数列C． D．11．已知等比数列的前项和为，下列一定成立的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则12．已知数列满足，，则下列结论中错误的有（

）．A．为等比数列 B．的通项公式为C．为递减数列 D．的前n项和二、填空题13．已知正项等比数列的前项和为，若，，则．14．在等比数列中，若，则.15．等比数列{an}的前n项和Sn＝48，前2n项和S2n＝60，则前3n项和S3