2020-2021学年广东省江门市高一（下）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年广东省江门市高一（下）期末数学试卷

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.

1.复数z=4+3i（其中z•为数单位），则z在复平面上对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

TT

2.下列四个函数中，在定义域内是偶函数且在区间（白，兀）上单调递增的是（）

A.y=|sinx|B.y=cosxC.y=|tanx|D.y=cos2x

3.为了更好了解高中学生的身高发情况，现抽取某中学高一年级的学生作为样木，其中某

班的24位男生身高由低到高排序情况如下：164.0,165.0,165.0,166.0,167.0,168.0,

168.0,169.0,170.0,170.0,171.0,171.0,172.0,172.0,172.0,173.0,174.0,175.0,

175.0,176.0,176.0,177.0,177.0,178.0（单位：cm）,则这24个数据的中位数、众

数，以及预估该班男生的第30百分位数为（）

A.171、170、168.5B.171、170、169

C.171.5、172、169D.172、172、169

4.下列命题中，错误的是（）

A.平行于同一条直线的两条直线平行

B.已知直线:"垂直于平面a内的任意一条直线，则直线机垂直于平面a

C.已知直线相〃平面a,直线“ua,则直线相〃”

D.已知，〃为直线，a、0为平面，若且则尊_1_0

5.经过科学的研究论证，人类的四种血型与基因类型的对应为：。型的基因类型为it,A

型的基因类型为出或aa，B型的基因类型为方或防，AB型的基因类型为漏，其中a、

b是显性基因，，是隐性基因.若一对夫妻的血型一个A型，基因类型为am一个2型，

基因类型为瓦；则他们的子女的血型为（）

A.。型或A型B.A型或B型C.8型或型D.A型或型

6.在AABC中，为BC边上的中线，E为AQ的中点，若旗=入标+口而则入+日=（）

A.——B.—C.—D.1

424

7.在棱长为。的正方体ABCO-4BCQ1中，E为441的中点，则过B、G、E三点的平面

截正方体ABCD-AjBiCiA所得的截面面积为（）

3&2

,丁&

8.高一年级某同学为了丰富自己的课外活动，参加了学校“文学社”“咏春社”“音乐社”

三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立.假设该同学能够进入“文

学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的概率分别为“、仇3,该同学可以进入两个社

团的概率为高，且三个社团都进不了的概率为之，则必=（）

51U

A.—B.—C.—D.—

2010155

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分。

9.下列叙述中，正确的是（）

A.某班有40名学生，若采用简单随机抽样从中抽取4人代表木班参加社区活动，那么

学号为04的学生被抽到的可能性为40%

B.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，采用分层抽样的方法从该

校四个年级的科生中抽取一个容量为500的样木进行调查.已知该校一、二、三、四年级木

科生人数之比为8：5：4：k,若从四年级中抽取75名学生，则上=3

C.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，得到四组数据，若某组数据

的平均数为2,方差为2.4,则这组数据一定没有出现6

D.一组数据按从小到大的顺序排列为1,4,4,x,7,8（其中xW7）,若该组数据的

中位数是众数呜倍，则该组数据的平均数是6

10.已知函数/（x）—sin（2x+-^-）+cos（2x-^）+a的最大值为1，则（）

A.a=-1

B.（-至-，0）是函数/（x）的对称中心

c./（X）在区间［二，二］上单调递减

62

D./（X）20成立的X的集合为［k兀，k兀（住Z）

11.如图，矩形ABC。中，4B=2AD,E是边4B的中点，将△ADE沿直线OE翻折成△4OE

（点4不落在底面内），连接42、AiC.若M为线段4C的中点，则在△ADE

的翻折过程中，以下结论正确的是（）

1

AEB

A.〃平面AiOE1恒成立

B.V三棱锥A-A：DE：V四棱锥A「氏DE=1：3

C.存在某个位置，使DELAiC

D.线段2M的长为定值

12.已知△O4B的顶点坐标为O(0,0)、A(2,9)、B(6,-3),点P的横坐标为14,

且。、B、尸三点共线，点。是边上一点，且5•乐=0，R为线段。。上的一个动

点，则()

A.点P的纵坐标为-5

B.向量示在向量而上的投影向量为-3■而

=2

c.ABAQ

D.而•曲的最大值为1

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若复数z满足(1+i)z=2i,则复数z=.

14.已知向量Z、芯满足|胃=3,|%=4,二E的夹角为60。，则.

15.古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，如图所示，圆柱内有一个内切球，这个

球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现.我们

来重温这个伟大发现吧！记圆柱的体积和表面积分别为0、S,球的体积和表面积分别

,%s2

为丫2、$2,则不一XT；—=_____.

V2S1

16.随着经济发展，江门市居住环境进一步改善，市民休闲活动的公园越来越多，其中，最

新打造的网红公园有儿童公园、湖连潮头中央公园、下沙公园.某个节假日，甲、乙、

丙、丁四组家庭到这个网红公园打卡，通过访问和意向筛查，最后将这四组家庭的意向

汇总如下:

公园儿童公园湖连潮头中央公园下沙公园

有意向的家族组甲、乙、丙甲、乙、丁乙、丙、丁

若每组家庭只能从已登记的选择意向中随机选取一项，且每个公园至多有两组家庭选择,

则甲、乙两组家庭选择同一个公园打卡的概率为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.夏天是用电的高峰期，为了既满足居民基本用电需求，又提高能源利用效率，某市统计

局调查了200户居民去年一年的月均用电量(单位:/7),发现他们的用电量都在34KW

./z至474KW4之间，适当分组后，画出频率分布直方图如图所示.

(1)求机的值；并求被调查用户中，用电量在［200,350)(W-/1)的户数；

(2)为了更合理地满足居民们基本用电需求，增强市民的环保意识，市政府计划采用阶

梯定价，希望使75%的居民缴费在第一档，使90%的居民缴费在第二档，请给出居民缴

费位于第二档月平均用电量标准的范围(单位：kw-h).

18.已知函数/(x)=cos4j;-sin4x,g(无)是由尸sinx横坐标缩短到原来的方，纵坐标保

持不变得到的函数，令h(x)=g(x)-f(x).

(1)求函数〃(无)的最小正周期及其对称轴方程；

(2)当n］时，J①(x)》加2+3/〃恒成立，求机的取值范围.

19.如图，AB是圆。的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆。上的点.

(1)求证：3cl,平面FAC；

(2)设。为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：面OQG〃平面PBC.

20.已知关于x的二次函数/(x)=/nx2-nx-\,令集合M={1,2,3,4},N={-1,2,

4,6,8},若分别从集合M、N中随机抽取一个数机和〃，构成数对(%，n).

(1)列举数对(m,")的样本空间；

(2)记事件A为“二次函数/(x)的单调递增区间为［1,+8)”,求事件A的概率;

(3)记事件3为“关于x的一元二次方程，(x)|=2有4个零点”，求事件B的概率.

IT7T

21.如图，在平面四边形ABCD中，ZABC=——，ZADC=—,BC=2.

32

(1)若△A3。的面积为旭，求AC的长;

2

7T

(2)若A0=F，ZACB=ZACD+—.求NAC0的大小.

22.如图，ABC。-AiSCiDi是正方体，E、尸分别为AB、BC上的点，J.AE=BF.

(1)当三棱推Bi-BEF的体积最大时，求二面角Br-EF-B的正切值；

(2)求异面直线4E与2F所成的角的取值范围.

参考答案

一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.

1.复数z=4+3i（其中i为数单位），贝也在复平面上对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】根据复数的几何意义判断即可.

解：复数z=4+3i（其中，为数单位），则z在复平面上对应的点为（4,3）,在第一象

限.

故选：A.

JT

2.下列四个函数中，在定义域内是偶函数且在区间（彳-，冗）上单调递增的是（）

A.y=|sinx|B.y=cos尤C.y=|tan%|D.y=cos2x

【分析】根据函数奇偶性的定义和单调性，分别判断各选项即可.

解：A./（-x）=|sin（-解|=|-sinx|=|sinx|=/（x）,则/（无）是偶函数，

当尤（£~，兀）时，，（x）=sinx为减函数，不满足条件.

B.y=cosx是偶函数，当xe兀）时，f（x）=cosx为减函数，不满足条件.

C./（-x）=|tan（-x）|=|-tanx|=|tanx|=/（x）,则/（x）是偶函数，

IT

当花,兀）时，f（x）=-tanx为减函数，不满足条件.

JT

D.y=cos2x是偶函数，当xe,兀）时，2xe（it,2ir）,f（x）=cos2x为增函数，

满足条件.

故选：D.

3.为了更好了解高中学生的身高发情况，现抽取某中学高一年级的学生作为样木，其中某

班的24位男生身高由低到高排序情况如下：164.0,165.0,165.0,166.0,167.0,168.0,

168.0,169.0,170.0,170.0,171.0,171.0,172.0,172.0,172.0,173.0,174.0,175.0,

175.0,176.0,176.0,177.0,177.0,178.0（单位：cm）,则这24个数据的中位数、众

数，以及预估该班男生的第30百分位数为（）

A.171、170、168.5B.171、170、169

C.171.5、172、169D.172、172、169

【分析】利用中位数，众数，百分位数的定义求解即可.

解：这24个数据的中位数为"I?”=171.5,

众数为172,

：24X30%=7.2,.•.第30百分位数为第8个数169,

故选：C.

4.下列命题中，错误的是（）

A.平行于同一条直线的两条直线平行

B.已知直线机垂直于平面a内的任意一条直线，则直线小垂直于平面a

C.已知直线，"〃平面a,直线〃ua,则直线

D.已知根为直线，a、0为平面，若根〃a且加_L0,则

【分析】由平行线的传递性可判断A;由线面垂直的定义可判断&由线面平行的定义可

判断C；由线面平行的性质和线面垂直的性质，结合面面垂直的判定定理，可判断D

解：由平行线的传递性可得，平行于同一条直线的两条直线平行，故A正确；

由线面垂直的定义可得，若直线机垂直于平面a内的任意一条直线，则直线m垂直于平

面a,故8正确；

由线面平行的定义可得，若直线平面a,直线“ua,则直线相〃"或相，〃异面，故

C错误；

若必〃。，由线面平行的性质，可得过7〃的平面与a的交线/与机平行，

又加，仇可得/，仇结合/ua,可得故。正确.

故选：C.

5.经过科学的研究论证，人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为ii,A

型的基因类型为出或amB型的基因类型为瓦或仍，AB型的基因类型为"，其中a、

6是显性基因，i是隐性基因.若一对夫妻的血型一个A型，基因类型为aa,一个8型,

基因类型为万；则他们的子女的血型为（）

A.。型或A型B.A型或B型C.8型或型D.A型或型

【分析】利用已知条件，求出他们的子女的基因类型，即可得到答案.

解：因为一对夫妻的血型一个A型，基因类型为四，一个2型，基因类型为从，

则他们的子女的基因类型为：ab,ai,

所以对应的血型为A型或A8型.

故选：D.

6.在△ABC中，A。为BC边上的中线，E为A。的中点，若康=入屈+日'正，则入+日=()

A.—B.-C.—■D.1

424

【分析】根据A。为BC边上的中线，£为AD的中点，得到前而+［菽，然后结

合标=入标+以正，求出入+□的值•

解：为BC边上的中线，E为AD的中点，

~•—1-*,1-*_1---*_1_1---*

BE=]BA+]BD=5BA+aBC

_1_*1z-*-*、—3-*1-►

=_彳施十五（AC_AB）—--^AB+'^AC-

—.—.—.31

•••BE=>AB+UAC，•••4一]尸]

・o—1

••入+n=-->

故选：B.

7.在棱长为a的正方体ABCn-AiBCid中，E为AAi的中点，则过3、G、E二点的平面

截正方体ABCD-AiBiCi。所得的截面面积为()

2

A.3V102B.2a?C.则2a?D.^a

8842

【分析】取4。中点，则有跖〃BC1,故四点3,Ci,E,P共面，所以过8、Ci、E三

点的平面截正方体ABCD-AiBiGDi所得的截面为等腰梯形EFC.B,根据已知，即可求

解.

解：如图，取Aid中点，则有EE〃BCi,故四点B,Ci,E,尸共面，

所以过8、G、E三点的平面截正方体ABCD-AICQi所得的截面为等腰梯形所GB,

其中石尸=返BCi=V2a,BE=FCi=^a,

22

可得梯形的高h=

(1—V2a

梯形EFCiB的面积S=

故选：B.

8.高一年级某同学为了丰富自己的课外活动，参加了学校“文学社”“咏春社”“音乐社”

三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立.假设该同学能够进入“文

学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的概率分别为八6、3,该同学可以进入两个社

团的概率为《，且三个社团都进不了的概率为盘，则岫=()

510

A.—B.—C.—D.—

2010155

【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式，列出关于。，b的方程组，求解即可.

解：由题意可知，该同学可以进入两个社团的概率为京，

5

4445

又三个社团都进不了的概率为得，

所以②，

由①②可得，今.

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分。

9.下列叙述中，正确的是()

A.某班有40名学生，若采用简单随机抽样从中抽取4人代表木班参加社区活动，那么

学号为04的学生被抽到的可能性为40%

B.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，采用分层抽样的方法从该

校四个年级的科生中抽取一个容量为500的样木进行调查.已知该校一、二、三、四年级木

科生人数之比为8：5：4：k,若从四年级中抽取75名学生，贝琳=3

C.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，得到四组数据，若某组数据

的平均数为2,方差为2.4,则这组数据一定没有出现6

D.一组数据按从小到大的顺序排列为1,4,4,x,7,8(其中x#7),若该组数据的

中位数是众数的2倍，则该组数据的平均数是6

【分析】求出学生被抽到的可能性，即可判断A;根据抽样比列方程，求出匕即可判断

B；假设这组数据有6,求出方程，即可判断C,求出众数，中位数，平均数，即可判断

D.

解：人•••学号为04的学生被抽到的可能性为々=10%,.以错误,

40

75k

B：•••抽样比为'.k=3,.♦.B正确,

5008+5+4+k

若这组数据有6,则方差‘2》(§二2产兽>2.4,正确,

55

的中位数为等，众数为4,

D,:数据1,4,4,尤，7,8(其中xW7)

・4+x一/\/5・一(

>•4X,••x6,

24

•••该组数据的平均数是1+4+4+6+7+国=5••.D错误.

6

故选：BC.

10.已知函数/(x)=sin(2x+_^_)+cos(2x一丁)+a的最大值为1，则()

A.a--1

B.(―,0)是函数/CO的对称中心

6

C.f(x)在区间［-上单调递减

62

D./(%)20成立的x的集合为［k兀，k兀七丁］(在Z)

【分析】由条件利用三角函数恒等变换化简函数的解析式可得/(%)=2sin(2x+—)+〃,

6

进而利用正弦函数的图像和性质逐项分析即可得解.

兀兀兀

解：f(x)=sin(2x+----)+cos(2x-------)=sin2x•cos----+cos2x•

636

〃

sin—+cos2xcos—+sin2xsin-7^+4=V^sin2x+cos2x+=2sin(2x+^-)+a,

63

又/(x)3=2+〃=1,

所以解得。=-1,故A正确；

可得/(x)=2sin(2x+-^-)-1,

6

JTTT"IT

因为/(丁)=2sin(2X—+—)-1=1WO,故3错误；

666

TTTTQTTTTOTT

令2kR+——<2x+——^2^n+———，keZ,解得：kn+————，keZ,

26263

TTOTT

可得/(x)的单调递减区间为肉i+——，kn+———］,kez,

63

可得/(x)在区间［3，上单调递减，故C正确；

o2

令/(x)=2sin(21十二-)-1>0,解得sin(21+二-)>—,可得2X+E-C(2hr+'-,

66266

RTT

2kn+----),依Z,

6

解得xE(hi,hr+f-),在Z,故。正确.

o

故选：ACD.

11.如图，矩形ABC。中，AB^IAD,E是边4B的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△4DE

(点4不落在底面BCDE内)，连接A］、AiC.若M为线段4C的中点，则在△&£>£

的翻折过程中，以下结论正确的是()

B-V三棱锥A-A：DE：V四棱锥A「BCDE=1：3

C.存在某个位置，使DEL4C

D.线段8M的长为定值

【分析】利用线面平行的判定定理，即可证明从而判断A；4到平面E2CZ)

的距离为//,。到AB的距离为“，直接求出VA-A、DE：VA.-BCDE，即可判断8;由AC

在平面ABC。中的射影在AC上，AC与。E不垂直，OE与4C不垂直，从而判断C；

由余弦定理，可得MB,结合MR处为定值，即可判断D

解：取C。中点F,连接MF,BF,如图所示，

则敏〃AQ,FB//DE,则可得平面〃平面AQE,

平面MBF,BMC平面AiDE,

：.BM//A\DE,故A选项正确，

设4到平面EBCD的距离为h,D到AB的距离为h',

VVX

则A-A1DE:A：-BCDE=fXSAADE><h：|xS梯形EBCDh

z

=SAADE：s梯形EBCD,XAEXh'：yX(CD+BE)Xh=1：故B选项正确，

AC在平面ABC。中的射影在AC上，

•；AC与。E不垂直，与AC不垂直，故C选项错误，

VZMFB=ZAiDE=45°,

又•.•由余弦定理，可得MB?=MP+FB2-2MF・FB・cos/MFB,且〃尸，尸8为定值，

.•.MB为定值.

故选：ABD.

12.已知△0A2的顶点坐标为。(0,0)、A(2,9)、8(6,-3)，点尸的横坐标为14,

且O、B、P三点共线，点。是边AB上一点，且5•厢=0,R为线段。。上的一个动

点，则()

A.点P的纵坐标为-5

B.向量示在向量而上的投影向量为-1而

cAB=2AQ

D.诿•诬的最大值为1

【分析】对于A：设尸(14,y),再由由O、B、P三点共线，得存在入6R,使得而=入丽,

即可记得入，户即可判断A是否正确；

对于8：向量示在向量而上的投影向量为吗里••基g_,计算即可判断B是否正确；

IBPIIBPI

对于C：设。(a,b),由丽•赤'=0，得3a=48①，由点。在边AB上，得¥=小导②,

-4a-6

解得a,b,进而可得。点坐标，计算瓦，歪，即可判断C是否正确；

对于。：由R为线段OQ上的一个动点，设R(4f,3力，且0W/W1,利用二次函数的

性质，计算了,而最大值，即可判断D是否正确.

解：对于A：设尸(14,y),

则而=(14,y),pB=(-8,-3-y),

由O、B、P三点共线，得存在入ER,使得而=入区，

得(14,y)=入(-8,-3-y),

解得入=--7,y=-7,

4

所以尸(14,-7),故A错误；

对于8：由上可知A(2,9),gp=(8,-4)

一一OA-BPBP⑵9)-(8,-4)BP

向量0A在向量BP上的投影向量为―>>—>=/2/、6-'/99

IBPIIBPIV82+(-4)2V82+(-4)2

=--7BP，故2正确；

4

对于C：设。(a,b),则而=(a,b),

又屈=(12,-16),

则由祈•族=0,得3a=46①，

因为点。在边AB上，

所以~^~=b十°,即3a+b-15=0(2),

-4a-6

由①②得，a=4,6=3,

所以。(4,3),

所以与=(2，-6),无=(4,-12),

所以标=2与，故C正确；

对于D：因为R为线段。。上的一个动点，

设R141,3。,且0WW1,

则赤=(4-4,3/-3),诬=(6-4r,-3r-3),

所以而•而=(4,-4，3/-3)•(6-4],-3r-3)=-251+40,-15,0W/W1,

所以当，=%时，底•丽的最大值为1.故。正确.

5

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若复数z满足(1+i)z=2i,则复数z=1+，.

【分析】利用复数的运算法则即可得出.

解：*.*(1+0z—2i,(1-0(1+z)z—2i(1-z),

化为2z=2(z+1),

・\z=1+z.

故答案为：1+i.

14.已知向量2、满足国=3，£1=4,Z、E的夹角为6。。，则—

【分析】直接利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可.

解：向量2E满足国=3，忘=4，二E的夹角为6。。，

则1-：=式2+/_2；吊=小+16-2X3X4X-1=V13.

故答案为：V13.

15.古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，如图所示，圆柱内有一个内切球，这个

球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现.我们

来重温这个伟大发现吧！记圆柱的体积和表面积分别为％、Si,球的体积和表面积分别

v,s2

为V2、S2,则不一—=1.

V2%

【分析】设球的半径为R,确定圆柱的底面半径以及高，利用圆柱和球的体积公式以及

表面积公式，列式求解即可.

解：设球的半径为R,

则圆柱的底面半径为R,高为2R,

所以％=7TR2・2R=2几代，V4冗R3,

148

2

S『2兀R・2R+2•兀R2=6兀R2,S2=4HR,

V,S22冗R34兀R?

故不一二2

43JATTp•

V251yKR6兀R

J

故答案为：1.

16.随着经济发展，江门市居住环境进一步改善，市民休闲活动的公园越来越多，其中，最

新打造的网红公园有儿童公园、湖连潮头中央公园、下沙公园.某个节假日，甲、乙、

丙、丁四组家庭到这个网红公园打卡，通过访问和意向筛查，最后将这四组家庭的意向

汇总如下：

公园儿童公园湖连潮头中央公园下沙公园

有意向的家族组甲、乙、丙甲、乙、丁乙、丙、丁

若每组家庭只能从已登记的选择意向中随机选取一项，且每个公园至多有两组家庭选择,

则甲、乙两组家庭选择同一个公园打卡的概率为-.

-9-

【分析】分以下三种情况枚举所有情况即可，①选儿童公园和湖连潮头中央公园，②选

儿童公园和下沙公园，③选下沙公园和湖连潮头中央公园，利用古典概型计算公式即可.

解：①选儿童公园和湖连潮头中央公园时，有以下情况：甲丙、乙丁；乙丙、甲丁；

②选儿童公园和下沙公园时，有以下情况：甲乙、丙丁；甲丙、乙丁；

③选下沙公园和湖连潮头中央公园时，有以下情况：甲乙、丙丁；甲丁、乙丙；

④选3个公园时，有以下几种情况：甲乙、丁、丙；甲丙、乙、丁；甲丙、丁、乙；乙

丙、甲、丁；

丙、甲乙、丁；乙、甲丁、丙；丙、甲丁、乙；乙、甲丁、丙；丙、甲丁、乙；

甲、丁、乙丙；丙、甲、乙丁；甲、乙、丙丁；乙、甲、丙丁；

共有18种选择，其中甲、乙两组家庭选择同一个公园打卡的4种，则甲、乙两组家庭选

择同一个公园打卡的概率为亮栏■.

189

故答案为：看.

9

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.夏天是用电的高峰期，为了既满足居民基本用电需求，又提高能源利用效率，某市统计

局调查了200户居民去年一年的月均用电量(单位:KW"),发现他们的用电量都在34KW

./7至474KW1之间，适当分组后，画出频率分布直方图如图所示.

(1)求机的值；并求被调查用户中，用电量在［200,350)的户数；

(2)为了更合理地满足居民们基本用电需求，增强市民的环保意识，市政府计划采用阶

梯定价，希望使75%的居民缴费在第一档，使90%的居民缴费在第二档，请给出居民缴

费位于第二档月平均用电量标准的范围(单位：kW-h).

【分析】(1)由频率分布直方图即可求出根及样本落在［200,350)的频率，由此能求

出样本中用电量在［200,350)的用户数.

(2)由图计算可得频率和为0.75对应的数据在第七组，即可对应求出第一档用电量最高

值；再求出前八组频率和，即可得到第二档用电量最高值.

解：(1)依题意，(0.0008X2+0.0016X2+0.002X2+0.0024+0.0036+z/z)X50=l,解得

m=0.004,

根据频率分布直方图，用电量在［200,350)的频率为(0.004+0.0024+0.0002)X50=0.42,

则用电量在［200,350)的户数为0.42X200=84户;

(2)根据频率分布直方图，前六组的频率和为：

(0.0008+0.0016+0.002+0.0036+0.004+0.0024)X50=0.72<0.75,

前七组的频率和为：(0.0008+0.0016+0.002+0.0036+0.004+0.0024+0.0002)X50=0.82>

0.75,

所以，频率和为0.75对应的数据在第七组，第一档用电量最高为300+E普产=315；

前八组的频率之和为：0.0008+0.0016+0.002+0.0036+0.004+0.0024+0.0002+0.0016)X50

=0.9,

第二档用电量最高为400W-/1,

所以，第二档月平均用电范围为［315,400)(HV1).

18.已知函数/(x)=cos4x-sin4x,g(x)是由y=sinx横坐标缩短到原来的纵坐标保

持不变得到的函数，令h(x)=g(x)-f(x).

(1)求函数万(x)的最小正周期及其对称轴方程；

(2)当尤it］时，血/z(无)与加2+3小恒成立，求机的取值范围.

【分析】(1)化简函数了(无)，求出了(无)的解析式，由图象变换求出函数g(x),再

写出函数〃(x)的解析式，求出它的最小正周期和对称轴方程；

(2)求出疣［-“，IT］时"(x)的最小值，把不等式(x)2/+3根化为m2+3nt+2W

0,求出解集即可.

解：(1)函数/(x)=cos4x-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2^)=cos2x,

y=sinx横坐标缩短到原来的纵坐标保持不变得到函数g(x)=sin2x,

h(x)=g(x)-/(%)=sin2x-cos2x=*^sin(2x----)；

所以函数〃(x)的最小正周期为7=等=冗,

.兀7兀7r

令A2x----=加+---,kEZ,

42

右刀舛k兀工3兀

触得X=Q-+-^一,依Z；

所以函数〃(X)的对称轴方程为％=母+等，住Z；

28

、「兀,兀兀7兀

(2)当x£［-^―,n1时，2x----］,

4444

当2X-子=三；时，h(X)取得最小值为h(X),nin=-'/2>

所以不等式立人(X)2/+3加恒成立，等价于加义(-&)^m2+3m,

整理得机2+3m+2W0,

解得-2W比W-1,

所以加的取值范围是［-2,-1］.

19.如图，AB是圆。的直径，PA垂直圆。所在的平面，C是圆。上的点.

(1)求证：3C_L平面尸AC；

(2)设。为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：面OQG〃平面PBC.

【分析】(1)根据圆直径的性质，得BC_LAC,由尸A_L平面ABC得BC_LFA.利用线

面垂直的判定定理，可BC_L平面PAC-

(2)取延长。G,交AC于跖连结GM、QM,证出QW是△尸AC的中位线，得QM〃

PC.利用线面平行的判定定理证出QM〃平面PBC,同理可得Q。〃平面PBC,根据面

面平行的判定定理，可得平面OQG〃平面PBC.

解:(1)TAB是圆。的直径，...BC,AC,

又：尸4_1平面ABC,BCu平面ABC,：.BC±PA.

'：PAnAC=A,平面PAC；

(2)取延长OG,交AC于M,连结GM、QM,

：G为△AOC的重心，是△AOC的中线，

•••。为PA的中点，M为AC的中点，J.QM//PC,

平面尸3C,PCu平面PBC,〃平面PBC,

同理可得QO〃平面PBC,

,：QM,。。是平面OQG内的相交直线，，平面OQG〃平面PBC.

20.已知关于x的二次函数/(x)=m^-nx-1,令集合M={1,2,3,4},N={-1,2,

4,6,8},若分别从集合M、N中随机抽取一个数机和〃，构成数对(m,n).

(1)列举数对(m,n)的样本空间；

(2)记事件A为“二次函数/(x)的单调递增区间为口，+8)”，求事件A的概率;

(3)记事件3为“关于x的一元二次方程|/(无)|=2有4个零点”，求事件2的概率.

【分析】(1)直接列举即可；

(2)由二次函数的性质可得，”=2加，求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，

利用古典概型的概率公式求解即可；

(3)由函数与方程的关系，求出层＞4〃?，求出总的基本事件数和符合条件的基本事件

数，利用古典概型的概率公式求解即可.

解:(1)由题意可得，，花{1,2,3,4},ne{-1,2,4,6,8),

数对(机，〃)的样本空间为。={(1,-1),(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),

(2,-1),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,-1),(3,2),(3,

4),(3,6),(3,8),(4,-1),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8)}；

(2)若二次函数/(x)的单调递增区间为“，+8),

则二次函数/(尤)的对称轴xT-=l，即n=2m,

2m

由(1)可得，总的基本事件个数为20个，

符合”=2利的基本事件为：(1,2),(2,4)(3,6),(4,8),共4个,

=_£二

所以尸(A)

~20~5

(3)因为机＞0,二次函数的图象开口向上,

方程，(尤)1=2有4个零点，即方程了(无)=2和/(无)=-2各有2个零点,

等价于二次函数/(x)=mx2-nx-\的最小值〉-2,

所以逢匚£_＜_2，即层＞4优，

4m

样本空间中符合层＞4m的基本事件有：(1,4),(1,6),(1,8),(2,4),(2,

6),(2,8),(3,4),(3,6),(3,8),(4,6)(4,8),共11个,

11

所以尸(B)

20

JT兀

21.如图，在平面四边形A3CD中，ZABC=—,ZADC=—,BC=2.

2

(1)若△ABC的面积为旭，求AC的长;

2

7T

(2)若AD=«,ZACB=ZACD+—.求/ACD的大小.

D

【分析】(1)由已知利用三角形的面积公式可求AB的值，在△ABC中，由余弦定理可

求AC的值.

(2)设NACQ=a,由已知可求AC=」^—,利用三角形内角和定理可求4847=等

sinCl12

_______2___________亚—、5兀

-a,由正弦定理，可得.,5兀＞、=M，求得sina)=sina,由

sm(-^-a)詈