2023全国1卷文科数学真题及答案

绝密★启用前

2023年一般高等学校招生全国统一考试

文科数学

本试卷共5页，满分150分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1.已知集合4={小<2},B={A|3-2x>0},则

A.A(B=|xk<||B.A(B=0

C.A8=卜|尤<|:D.AB=R

2.为评估一种农作物的种植效果，选了"块地作试验田.这〃块地的亩产量(单位：kg)分别为XI,尤2,

Xn,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是

A.XI,X2,X,的平均数B.XI,X2,的差

C.XI,尤2,…，尤”的最大值D.尤1,无2,…，无〃的中位数

3.下列各式的运算结果为纯虚数的是

A.i(l+i)2B.i2(l-i)C.(1+i)2D.i(l+i)

4.如图，正方形ABC。内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形

的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，学科&网则此点取自黑色部分的概率是

5.己知尸是双曲线C：x2-：=l的右焦点，尸是C上一点，且尸尸与无轴垂直，点A的坐标是(1,3).则AAPE

的面积为

A.1B,1C.2D.2

3232

6.如图，在下列四个正方体中，A,B为正方体的两个顶点，M,N,。为所在棱的中点，则在这四个正方

体中，干脆AB与平面MNQ不平行的是

x+3y<3,

7.设x,y满意约束条件,x-y>l,贝!Jz=x+y的最大值为

、y>0,

A.0B.1C.2D.3

ein2_X

8..函数丁=-------的部分图像大致为

1-COSX

9.己知函数/(x)=lnx+ln(2—x),则

A./(%)在(0,2)单调递增B./(%)在(0,2)单调递减

C.y=/(x)的图像关于直线x=l对称D.y=/(x)的图像关于点(1,0)对称

10.如图是为了求出满意3"-2">1000的最小偶数力学I科网那么在*O*和匚二I两个空白框中，可以分

别填入

A.A>1000和n=n+lB.A>1000和行〃+2

C.A<1000和n=n+lD.A01OOO和E+2

11.及48。的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。已知sin5+sinA(sinC—cosC)=0,a=2,c=后，

则C=

兀兀兀兀

A.—B.-C.-D.一

12643

22

12.设A、B是椭圆C：上+2-=1长轴的两个端点，若C上存在点〃满意N4W8=120。，则相的取值范

3m

围是

A.(0,1][9,+oo)B.(0,百][9,+oo)

C.(0,1][4,+oo)D.(0,向[4,+oo)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量。=(-1,2),b=(m,1).若向量。十方与。垂直，贝!J形=.

1

14.曲线y=9/+—在点(1,2)处的切线方程为.

x

7t7t

15.已知ae(0,—),tana=2,贝!Jcos(a——)=________。

24

16.已知三棱锥S-ABC的全部顶点都在球0的球面上，SC是球。的直径。若平面SCAL平面SCB,SA=AC,

SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球。的表面积为。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生

都必需作答。第22、23题为选考题，考生依据要求作答。

(一)必考题：60分。

17.(12分)

记Sn为等比数列｛«„｝的前n项和，已知52=2,&=-6,

（1）求｛4｝的通项公式；

（2）求S”并推断S,+i,Sn,S.+2是否成等差数列.

18.（12分）

如图，在四棱锥P-A8C。中，AB//CD,且N8AP=NCDP=90

（1）证明：平面平面PAD；

Q

（2）若P4=Pr>=AB=£>C,NAP£）=90，且四棱锥尸-ABC。的体积为§,求该四棱锥的侧面积.

19.（12分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并

测量其尺寸（单位：cm）.下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:

抽取次序12345678

零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

抽取次序910111213141516

零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

116pi_16l-i16~

经计算得「滔…97,个启）、日（卒一加）32,

I1616

—8.5『R8.439,—君（7—8.5）=-2.78,其中七为抽取的第2•个零件的尺寸，，=1,2,…,16.

i=l，=1

（1）求（X"）（7=1,2,…,16）的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过

程的进行而系统地变大或变小（若|川<0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或

变小）.

（2）一天内抽检零件中，假如出现了尺寸在（元-3s,元+3s）之外的零件，就认为这条生产线在这一天

的生产过程可能出现了异样状况，需对当天的生产过程进行检查.

(i)从这一天抽检的结果看，学.科网是否需对当天的生产过程进行检查？

(ii)在叵-3s,元+3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺

寸的均值与标准差.(精确到0.01)

士①一君(y—9)

附：样本附”外)(，=1,2「一,")的相关系数厂=|匕一］一，,0.008-0.09.

回「巴忙GT

V；=1V/=1

20.(12分)

T2

设A,8为曲线C：产上上两点，A与B的横坐标之和为4.

4

(1)求直线A8的斜率；

(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且求直线A2的方程.

21.(12分)

已知函数/(x)=eE(e*-47)-cz2x.

(1)探讨/(x)的单调性；

(2)若/(x)20,求。的取值范围.

(-)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分。

22.［选修4一4：坐标系与参数方程］(10分)

fx=3cos3,

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为.A(0为参数)，直线I的参数方程为

［y=sin。，

［』+4%为参数).

(1)若。=-1,求c与/的交点坐标；

(2)若C上的点到/的距离的最大值为J万，求a

23.［选修4—5：不等式选讲］(10分)

已知函数/(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.

(1)当。=1时，求不等式/(x)>g(x)的解集；

(2)若不等式/(无)泅(x)的解集包含［-1,1］,求。的取值范围.

2023年高考新课标1文数答案

l.A2.B3.C4.B5.D6.A7.D8.C9.C10.Dll.B12.A

,3M

13.714.y—x+115.--------16.36兀

10

（1+夕）=2

17.（12分）【解析】（1）设｛4｝的公比为夕.由题设可得，解得4=—2,q=—2.

（1+g+q）——6

故｛。/的通项公式为an=（-2）\

⑵由⑴可得s.=JX-2+（-1）〃2

1-q33

Ar^n+3r\n+2QQW+1

M

由于S〃+2+=--+（-1）"-==2[--+（-1）亍]=2sli,

故S.+「sn,S“+2成等差数列•

18.（12分）【解析】（1）由己知NBAP=NCDP=90°,得AB,AP,CE），PD.

由于AB〃CD,故ABLPD,从而A3,平面MD.

又ABu平面B4B,所以平面FAB,平面QAD.

（2）在平面QAD内作PELAD,垂足为E.

由（1）知，AB,平面MD,故可得PEL平面ABCD.

设=则由已知可得AD=J%,PE=—X.

2

故四棱锥P—。的体积匕，X3

ABCr-/A1DBCC£ZD=-3ABADPE=-3.

138

由题设得一V=2,故尤=2.

33

从而必=PD=2,AD=BC=2y/2,PB=PC=2y/2.

可得四棱锥P—ABCD的侧面积为LPA.PD+LPA.AB+LPQ.DC+LBC?sin60°=6+2^/3.

2222

19.(12分)【解析】(1)由样本数据得(%，)(力=1,2,-,16)的相关系数为

16

J；(x,.-x)(z-8.5)

-2.78

y—0.18.

0.212x^x18.439

由于|川＜0.25,因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.

(2)(i)由于元=9.97/^0.212,由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(元—3s,元+3s)以外,

因此需对当天的生产过程进行检查.

(ii)剔除离群值，即第13个数据，乘U下数据的平均数为3(16x9.97-9.22)=10.02,这条生产线当天

生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.

16

2=16x0.2122+16x9.972«1591.134,

Z=1

剔除第13个数据，乘IJ下数据的样本方差为,(1591.134-9.22?-15x10.022)a0.008,

这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为血瀛合0.09.

20.(12分)解:

、X2X2

(1)设A(xi,y),B(%2,＞2),贝%=十，%=j，XI+X2=4,

于是直线A8的斜率人丝/=91=1.

玉一%24

Y2X

(2)由＞=—，得了=—.

42

设“(X3,为)，由题设知三=1，解得七=2，于是“(2,1).

2

设直线的方程为、=%+相，故线段A3的中点为N(2,2+m)，|MA1=|m+l|.

、x2

将y=%+加代入y=—^x2-4x-4m=0.

当△=16Qn+l)>0，即m>一1时，x152=2±2y/m+1.

从而\AB\=^f2|玉一%21=4,2(徵+1).

由题设知IAB|=2|肱V|,即4Qm+l)=2(加+1),解得加=7.

所以直线A5的方程为y=i+7.

2i.(12分)(1)函数/(%)的定义域为(-oo,+8),fr(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a),

①若〃=0,则/(%)=/%,在(—8,+oo)单调递增.

②若〃>0,则由f\x)=0得x=In〃.

当(-8,lna)时，f\x)<0；当(Ina,+oo)时，fr(x)>0,所以/(%)在(一8,Ina)单调递减，在

(Ina,+oo)单调递增.

③若a<0,则由/'(x)=0得x=ln(—£).

当xe(-co/n(-■|))时，f'(x)<0；当xe(In(-•1),+oo)时，f'(x)>0,故/(x)在(一oo,ln(-9)单调递

减，在51(—9,+8)单调递增.

(2)①若a=0,^]f(x)=e2x,所以/(x)>0.

②若a>0,则由(1)得，当x=lna时，/(x)取得最小值，最小值为/(Ina)=—1Ina.从而当且仅当

-a2Ina>0,即aWl时，/(x)>0.

③若a<0,则由⑴得，当x=ln(—9时，/⑴取得最小值，最小值为/(ln(—9)=送一皿―9].

从而当且仅当〃?一ln(—£)]20,即/时/(x)>0.

3

综上，a的取值范围为

22.[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)

无2

解：(1)曲线。的一般方程为一+y2=1.

9-

当a=—1时，直线/的一般方程为x+4y—3=0.

21

x+4y—3=0x=----

“为或.25

由<X22।解得'

y=024

[9y="-

-25

从而。与/的交点坐标为(3,0),

(2)直线/的一