2019年四川省内江市中考数学试卷（解析版）

2019年四川省内江市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.）

1.（3分）（2019•内江）-L的相反数是（）

6

A.6B.-6C.1D.」

66

【考点】14：相反数.

【专题】511：实数.

【分析】根据相反数的定义即可得到结论.

【解答】解：-2的相反数是工，

66

故选：C.

【点评】本题考查了相反数，熟记相反数的定义是解题的关键.

2.（3分）（2019•内江）-268000用科学记数法表示为（）

A.-268X103B.-268XIO4C.-26.8X104D.-2.68X105

【考点】H：科学记数法一表示较大的数.

【专题】511：实数.

【分析】科学记数法的表示形式为“X10"的形式，其中lW|a|<10,九为整数.确定〃

的值时，要看把原数变成“时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值>10时，〃是正数；当原数的绝对值<1时，"是负数.

【解答】解：数字-268000用科学记数法表示应为：-2.68X105,

故选：D.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其

中lW|a|<10,〃为整数，表示时关键要正确确定〃的值以及"的值.

【考点】U1：简单几何体的三视图.

【专题】55F：投影与视图.

【分析】分别找出从图形的正面看所得到的图形即可.

【解答】解：A、主视图是三角形，故此选项正确；

8、主视图是矩形，故此选项错误；

C、主视图是圆，故此选项错误；

。、主视图是矩形，故此选项错误；

故选：A.

【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图是从几何体的正面看

所得到的图形.

4.（3分）（2019♦内江）下列事件为必然事件的是（）

A.袋中有4个蓝球，2个绿球，共6个球，随机摸出一个球是红球

B.三角形的内角和为180°

C.打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告

D.抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上

【考点】K7：三角形内角和定理；XI：随机事件.

【专题】543：概率及其应用.

【分析】一定会发生的事情称为必然事件.依据定义即可解答.

【解答】解：儿袋中有4个蓝球，2个绿球，共6个球，随机摸出一个球是红球是不可

能事件；

B.三角形的内角和为180°是必然事件：

C.打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告是随机事件；

D.抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上是随机事件；

故选:B.

【点评】本题主要考查随机事件，关键是理解必然事件为一定会发生的事件；解决此类

问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高

自身的数学素养.

5.（3分）（2019•内江）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

□@eJi.豳

【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形.

【专题】558：平移、旋转与对称.

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；

8、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

。、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确.

故选：D.

【点评】此题考查了轴对称及中心对称图形的判断，解答本题的关键是掌握中心对称图

形与轴对称图形的概念，属于基础题.

6.（3分）（2019•内江）下列运算正确的是（）

A.m2*rr^=m（>B.（/n4）2=w6

C./M3+/H3=2/M3D.（，〃-〃）2=m2-n2

【考点】35：合并同类项；46：同底数募的乘法；47：塞的乘方与积的乘方；4C：完全

平方公式.

【专题】512：整式.

【分析】分别根据同底数幕的乘法、嘉的乘方、合并同类项的法则以及完全平方公式化

简即可判断.

【解答】解：A.m2-m3—m5,故选项A不合题意；

B.（1）2=%8,故选项8不合题意；

C.m3+m3=2m3,故选项C符合题意；

D.（相-”）2=#-故选项。不合题意.

故选：C.

【点评】本题主要考查了累的运算法则、合并同类项的法则以及完全平方公式，熟记公

式是解答本题的关键.

7.（3分）（2019•内江）在函数y=」_中，自变量x的取值范围是（）

x+3

A.x<4B.x24且x#-3C.x>4D.xW4且xr-3

【考点】E4：函数自变量的取值范围.

【专题】532：函数及其图像.

【分析】根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件列出不等式，计算即可.

【解答】解：由题意得，x+3#0,4-x^0,

解得，xW4且xW-3,

故选：D.

【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件、二次根式有意

义的条件是解题的关键.

8.（3分）（2019•内江）如图，在△ABC中，DE//BC,AZ）=9,DB=3,CE=2,则AC的

A.6B.7C.8D.9

【考点】S4：平行线分线段成比例.

【专题】55D：图形的相似.

【分析】利用平行线分线段成比例定理得到坦=3员，利用比例性质求出AE,然后计算

DBEC

AE+EC即可.

【解答】解：，；DE〃BC,

.AD=AE即9:AE

••丽而，、WT，

.'.AE=6,

：.AC=AE+EC=6+2=8.

故选：C.

【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成

比例.

9.（3分）（2019•内江）一个等腰三角形的底边长是6,腰长是一元二次方程f-8x+15=0

的一根，则此三角形的周长是（）

A.16B.12C.14D.12或16

【考点】A8：解一元二次方程-因式分解法；K6：三角形三边关系；KH：等腰三角形

的性质.

【专题】523：一元二次方程及应用.

【分析】先利用因式分解法解方程求出x的值，再根据三角形三边关系得出三角形的三

边长度，继而相加即可得.

【解答】解：解方程7-8x+15=0,得：x=3或x=5,

若腰长为3,则三角形的三边为3、3、6,显然不能构成三角形；

若腰长为5,则三角形三边长为5、5、6,此时三角形的周长为16,

故选：A.

【点评】本题考查了解一元二次方程和等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理等知

识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键.

10.（3分）（2019•内江）如图，在△ABC中，AB=2,BC=3.6,ZB=60°,将△ABC绕

点A顺时针旋转得到△ADE,当点B的对应点。恰好落在BC边上时，则CD的长为（）

【考点】KQ：勾股定理；R2：旋转的性质.

【专题】558：平移、旋转与对称.

【分析】根据旋转变换的性质得到根据等边三角形的性质解答即可.

【解答】解：由旋转的性质可知，AO=AB,

VZB=60°,AD=AB,

...△AQB为等边三角形，

：.BD^AB=2,

:.CD=CB-BD=16,

故选：A.

【点评】本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的性质，掌握旋转前、后的图形全

等是解题的关键.

'xx+1

11.（3分）（2019•内江）若关于x的代等式组｛23恰有三个整数解，

3x+5a+4>4（x+l）+3w

则a的取值范围是（)

A.B.IVaWWC.D.或a>芭

2222

【考点】CC：一元一次不等式组的整数解.

【专题】524：一元一次不等式（组）及应用.

【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解，求出实数〃的

取值范围.

【解答】解：解不等式岂•+生L>0,得：Q-Z,

235

解不等式3x+5a+4>4（x+1）+3a,得：x<2a,

•..不等式组恰有三个整数解，

...这三个整数解为0、1、2,

，2<2aW3,

解得1

2

故选：B.

【点评】此题考查的是一元一次不等式的解法和特殊解，求不等式组的解集，应遵循以

下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了.

12.（3分）（2019,内江）如图，将△ABC沿着过BC的中点£>的直线折叠，使点B落在AC

边上的Bi处，称为第一次操作，折痕。E到AC的距离为加；还原纸片后，再将△BQE

沿着过8。的中点的直线折叠，使点B落在。E边上的82处，称为第二次操作，折

痕D\E\到AC的距离记为力2；按上述方法不断操作下去……经过第n次操作后得到折痕

Dn-\En-\,到AC的距离记为的.若加=1,则版的值为（）

【考点】38：规律型：图形的变化类；PB：翻折变换（折叠问题）.

【专题】2A：规律型；55D：图形的相似.

【分析】根据相似三角形的性质，对应高的比对于相似比，得出〃2=工，依次得出〃3、

2

力4、加、...hn,再对战进行计算变形即可.

【解答】解：•.•。是BC的中点，折痕OE到AC的距离为加

...点B到OE的距离=加=1,

VD1是BD的中点,折痕D\E\到AC的距离记为hi,

.,.D\Ei到AC的距离也=加+点B到D\E\的距离=1+L”=1+L,

22

同理：/?3=।=1+—+.L,

424

人4=例+L]=1+—+-L.+-L

8248

hn=\+-L+-1.+-1.+-+—I—=2----

2482n-12n-1

故选：C.

【点评】考查图形变化规律的问题，首先根据变化求出第一个、第二个、第三个……发

现规律得出一般性的结论.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)

13.(5分)(2019•内江)分解因式：xy2-2xv+x=x(y-l)2.

【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用.

【分析】先提公因式x,再对剩余项利用完全平方公式分解因式.

【解答】解：xy2-2xy+x,

—x(y2-2y+l),

—x(j-1)2.

【点评】本题考查提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式，本题要进行二次分解

因式，分解因式要彻底.

14.(5分)(2019•内江)一组数据为0,1,2,3,4,则这组数据的方差是2.

【考点】W7：方差.

【分析】先求出这组数据的平均数，再根据方差的计算公式*=1(^,--)2+(x2--)

n

2+-+(X«-X)2]代入计算即可.

【解答】解：这组数据的平均数是：(1+2+3+4)+5=2,

则方差？=(0-2)2+(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2+(4-2)2]=2；

5

故答案为:2.

【点评】本题考查了方差：一般地设n个数据，用，x2,…物的平均数为X，则方差S2

22

=1（XI-X）+（X2-X）…+（坳-x）］,它反映了一组数据的波动大小，方差越

n

大，波动性越大，反之也成立.

15.（5分）（2019•内江）若工+工=2,则分式5/5n-2mn的值为一4.

mnF-n

【考点】64：分式的值.

【专题】513：分式.

【分析】由［二+1=2,可得加+〃=2m〃；化简5/5n->mn.=,即可求解；，

mn-m-n-2inn

（解答］解：—+—=2,可得"?+〃=2mn,

mn

5/5ri-2mn

_5（irrt-n）-2m

-（m+n）

_.10inn-2inn

-2inn

=-4；

故答案为-4；

【点评】本题考查分式的值；能够通过已知条件得到〃计〃=2加〃，整体代入的思想是解

题的关键；

16.（5分）（2019•内江）如图，在平行四边形ABCO中，ABVAD,ZA=150°,CD=4,

【考点】L5：平行四边形的性质；MO：扇形面积的计算.

【专题】55C：与圆有关的计算.

【分析】连接OE,作OFLDE,先求出NCOE=2/O=60°、OF^^OD^1,DF=ODcos

2

NODF=M，DE=2DF=2后再根据阴影部分面积是扇形与三角形的面积和求解可得.

【解答】解：如图，连接OE,作OFLOE于点凡

:四边形A2CO是平行四边形，且/A=150°,

AZD=30°,

则NCOE=2/C=60°,

VCD=4,

：.C0=D0=2,

：.OF=1.OD^1,DF=ODcosZODF=2XJl-=J3,

22

：.DE=2DF=2y[3,

2_

...图中阴影部分的面积为60式二2+上义2yx1=2上+我，

36023

故答案为：22L+73，

3

【点评】本题考查的是扇形面积计算、平行四边形的性质，掌握扇形面积公式:5=评工2

360

是解题的关键.

三、解题（本大题共5小题，共4分.解答应写出必要的文字说明或推演步骤.）

17.（7分）（2019•内江）计算：（-1）2019+（-L）-2+|J3-2|+3tan3O0.

2

【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幕；T5：特殊角的三角函数值.

【专题】511：实数.

【分析】化简每一项为（-1）2。19+（-±）A]技2|+3tan30。=-1+4+（2-5/3）

+3X返；

3

【解答】解：（-1）2019+（-/）-2+|«-2|+3tan30°

=-1+4+（2-V3）+3X返

3

—3+2-A/S+A/S

=5；

【点评】本题考查实数的运算；掌握实数的运算，负整数指数辱的运算，牢记特殊三角

函数值是解题的关键.

18.（9分）（2019•内江）如图，在正方形ABC。中，点E是BC上的一点，点尸是C。延

长线上的一点，KBE=DF,连结AE、AF、EF.

（1）求证：△ABE之Z\AOF；

（2）若AE=5,请求出EF的长.

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质.

【专题】556：矩形菱形正方形.

【分析】（1）根据正方形的性质得到AB=AD,ZABC=ZADC=ZADF=90°,利用

SAS定理证明结论；

（2）根据全等三角形的性质得到AE=AF,NBAE=NDAF,得到△AEF为等腰直角三

角形，根据勾股定理计算即可.

【解答】（1）证明：•••四边形4BCO是正方形，

：.AB^AD,ZABC=ZADC=ZADF=90°,

在△A8E和△AOF中，

'AB二AD

<NABE=NADF，

BE=DF

：.^ABE^/\ADF（SAS）；

（2）解：V^ABE^/XADF,

：.AE=AF,ZBAE=ZDAF,

"：ZBAE+ZEAD=9Q0,

.\ZDAF+ZEAD=90°,即NEAF=90°,

，£尸=扬"5&.

【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，掌握全等

三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质整式解题的关键.

19.（9分）（2019•内江）“大千故里，文化内江”，我市某中学为传承大千艺术精神，征集

学生书画作品.王老师从全校20个班中随机抽取了4、B、C、04个班，对征集作品进

行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图.

作品（件）

（1）王老师采取的调查方式是抽样调查（填“普查”或“抽样调查”），王老师所调

查的4个班共征集到作品6件,并补全条形统计图；

（2）在扇形统计图中，表示C班的扇形周心角的度数为150°；

（3）如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1名作者是男生,3名作者是女生.现

要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男

一女的概率.（要求用树状图或列表法写出分析过程）

【考点】V2：全面调查与抽样调查；VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X6：列表法

与树状图法.

【专题】543：概率及其应用.

【分析】（1）根据题意可判断王老师采取的调查方式，再利用A班的作品数除以它所占

的百分比得到调查的总作品件数，然后计算出B班的作品数后补全条形统计图；

（2）用360°乘以C班的作品件数所占的百分比得到在扇形统计图中，表示C班的扇形

周心角的度数；

（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出抽中一男一女的结果数，然后根据

概率公式求解.

【解答】解：（1）王老师采取的调查方式是抽样调查，

4+-^L=24,

360

所以王老师所调查的4个班共征集到作品24件，

B班的作品数为24-4-10-4=6（件），

条形统计图为：

作品（件）

（2）在扇形统计图中,表示C班的扇形周心角=360°X.12.=150°：

24

故答案为抽样调查；6；150°；

（3）画树状图为:

男女女女

女心/N

男女女

共有12种等可能的结果数，其中恰好抽中一男一女的结果数为6,

所以恰好抽中一男一女的概率=旦=工.

122

【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果〃,

再从中选出符合事件A或8的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概

率.也考查了统计图.

20.（9分）（2019•内江）如图，两座建筑物D4与C8,其中CB的高为120米，从D4的

顶点A测得CB顶部B的仰角为30°,测得其底部C的俯角为45°,求这两座建筑物的

地面距离。C为多少米？（结果保留根号）

【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】55E：解直角三角形及其应用.

【分析】作AELBC于E,设利用正切的定义用x表示出EC,结合题意列方程

求出X,计算即可.

【解答】解：作AEJ_BC于E,

则四边形AOCE为矩形，

：.AD=CE,

设BE=x,

在RtAABE中，tanBAE=El,

AE

则AE=----蚂----=

tanNBAE

'：ZEAC=45°,

EC=AE=，

由题意得，BE+CE=\20,即日+x=120,

解得，x=60（遥-1）,

：.AD=CE=-/s>c=\SO-60a,

.,.QC=180-60«,

答：两座建筑物的地面距离。C为（180-60代）米.

B

A

T

rE-

n

n

a

T

l

DC

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟

记锐角三角函数的定义是解题的关键.

21.（10分）（2019•内江）如图，一次函数y=，〃x+”（wWO）的图象与反比例函数>=工（A

x

WO）的图象交于第二、四象限内的点A（a,4）和点8（8,b）.过点A作x轴的垂线,

垂足为点C,△AOC的面积为4.

（1）分别求出a和6的值；

(2)结合图象直接写出/nr+〃<k的解集；

x

(3)在x轴上取点P,使以-PB取得最大值时，求出点P的坐标.

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题.

【专题】533：一次函数及其应用；534：反比例函数及其应用；558：平移、旋转与对称.

【分析】(1)由△AOC的面积为4,可求出a的值，确定反比例函数的关系式，把点B

坐标代入可求6的值，

(2)根据图象观察当自变量x取何值时，一次函数图象位于反比例函数图象的下方即可，

注意由两部分.

(3)由对称对称点8关于x轴的对称点8,，直线AB'与x轴交点就是所求的点P,求

出直线与x轴的交点坐标即可.

【解答】解:(1);点A(a,4),

：.AC=4,

'：S^AOC=4,BP1Q(：.AC=4,

：.0C=2,

:点A(a,4)在第二象限，

；.a=-2A(-2,4),

将A(-2,4)代入y=K得：k=-8,

X

...反比例函数的关系式为：y=J-,

X

把8(8,b)代入得：b=-1,

：.B(8,-1)

因此a=-2,b=-1；

(2)由图象可以看出见的解集为：-2<x<0或x>8；''B'

X

(3)如图，作点B关于x轴的对称点8',直线4B'与x轴交于P,

此时PA-PB最大，

(8,-1)

:.B'(8,1)

设直线AP的关系式为y=fcc+b,将4(-2,4),B'(8,1)代入得:

(-2k+b=4

I8k+b=l

解得：k———,b—1^-,

105

直线AP的关系式为)，=工r+TL

■105

当y=O时，即^一乏。+1_1_=0,解得士，

1053

：.P(空，0)

【点评】考查反比例函数的图象和性质、一次函数、轴对称以及待定系数法求函数的关

系式等知识，理解作点8关于x轴的对称点8,，直线AB'与x轴交于P,

此时必-PB最大.

四、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分.)

22.(6分)(2019•内江)若|100]_〃|+真_1002=〃，则100、=1002.

【考点】72：二次根式有意义的条件.

【专题】514：二次根式.

【分析】由二次根式有意义的条件得到“21002,据此去绝对值并求得a的值，代入求值

即可.

【解答】解：100220,

/.a>1002.

由11001-«l+Va-1002=a>得-1001+a+<a_1002=“，

-'•Va-1002=1001,

：.a-1002=10012.

：.a-100l2=1002.

故答案是：1002.

【点评】考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数.

23.（6分）（2019•内江）如图，点A、B、C在同一直线上，且A8=2AC,点。、E分别

3

是A8、BC的中点，分别以AB,DE,BC为边,在AC同侧作三个正方形，得到三个平

行四边形（阴影部分）的面积分别记作Si、S2、S3,若&=依，则S2+S3=_2E」.

【考点】KX：三角形中位线定理；L5：平行四边形的性质；LE：正方形的性质.

【专题】556：矩形菱形正方形.

【分析】设BE=x,根据正方形的性质、平行四边形的面积公式分别表示出Si,S2,S3,

根据题意计算即可.

【解答】解：设BE=x,则EC=x,AD=BD=2x,

：.ZABF=45",

...△BD”是等腰直角三角形，

:.BD=DH=2x,

：.S\=DH*AD=yf5>即2尸级=依,

2娓

VZ：----'

4

'：BD=2x,BE=x,

:.S2=MH・BD=(3x-2%)・2^=2?,

S3=EN,BE=x*x=/,

/.S2+S3=2f+/=3/=35,

_4

故答案为：运.

4

【点评】本题考查的是正方形的性质、平行四边形的性质，掌握正方形的四条边相等、

四个角都是90°是解题的关键.

24.（6分）（2019•内江）若x、az为实数，且卜+2丫"=4,则代数式3，^的最大

Ix-jH-2z=l

值是26.

【考点】9C：解三元一次方程组；H7：二次函数的最值.

【专题】535：二次函数图象及其性质.

【分析】解三元一次方程组，用z表示出X、-根利用配方法计算即可.

【解答】解：［x+2y-z=42,

1x-y+2z=l②

①-②得，y=l+z,

把y=l+z代入①得，x=2-z,

则X2-3y2+z2=（2-z）2-3（1+z）2+z2=-z2-10z+l=-（z+5）2+26,

当z=-5时，?-3y2+z2的最大值是26,

故答案为：26.

【点评】本题考查的是二次函数的最值、三元一次方程组的解法，掌握配方法求二次函

数最大值的一般步骤是解题的关键.

25.（6分）（2019•内江）如图，在菱形ABC。中，sinB=-l,点E,尸分别在边A。、8C上，

5

将四边形4EFB沿EF翻折，使AB的对应线段经过顶点C,当MNJ_BC时，幽的

AD

值是2.

-9-

【考点】L8：菱形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）.

【专题】556：矩形菱形正方形；558：平移、旋转与对称.

【分析】由折叠的性质可得AE=ME,ZA=ZEMC,BF=FN,NB=NN,AB=MN,

设CF=4x,FN=5x,BC=9x,由勾股定理可得CN=3x,GM=K,AE=EM=2x,即

5

可求处的值.

AD

【解答】解：延长CM交A。于点G,

•••将四边形AEFB沿EF翻折，

：.AE=ME,NA=NEMC,BF=FN,ZB=ZN,AB=MN

:四边形ABC。是菱形

：.AB=BC^CD=AD,NB=ND,/A+/B=180°

VsinB=A=sinA^=-^,

5FN

.•.设CF=4x,FN=5x,

CN='FN2vp2=3x,

：.BC=9x=AB=CD=AD,

,.•sinB=&=sin£>=^-

5CD

GC=36x

5

GM=GC-(MN-CN)=0空-6x=9t

55

VZA+ZB=180°,ZFMC+ZEMG=180°

NB=NEMG

sinB=sinN£MG=4=股

5EM

cosNEMG=W=例

5EM

；・EM=2x,

•AE=2,Xi

•AE_2x_2

*"AD^9xV

故答案为：1

9

【点评】本题考查翻折变换，菱形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利

用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分.）

26.（12分）（2019•内江）某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商

品每件的进价多20元，用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同.商

店将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元.

（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？

（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数

量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？

（3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠机（10＜根＜

20）元，B种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最

大的进货方案.

【考点】B7：分式方程的应用；CE：一元一次不等式组的应用；FH：一次函数的应用.

【专题】522：分式方程及应用.

【分析】（1）设A种商品每件的进价是x元，根据用3000元购进A种商品和用1800元

购进B种商品的数量相同，列分式方程，解出可得结论；

（2）设购买A种商品。件，根据用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，

A种商品的数量不低于8种商品数量的一半，列不等式组，解出取正整数可得结论；

（3）设销售4、B两种商品共获利y元，根据y=4商品的利润+B商品的利润，根据机

的值及一次函数的增减性可得结论.

【解答】解：（1）设A种商品每件的进价是x元，则8种商品每件的进价是（x-20）元,

由题意得：3000=1800,

xx-20

解得：x=50,

经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，

50-20=30,

答：A种商品每件的进价是50元，8种商品每件的进价是30元;

(2)设购买A种商品a件，则购买8商品(40-a)件,

'50a+30(40-a)4156C

由题意得：，40-a>

a》/

解得：当<a418，

为正整数，

，“=14、15、16、17、18,

...商店共有5种进货方案；

(3)设销售A、B两种商品共获利y元，

由题意得：y=(80-50-m)a+(45-30)(40-a),

=(15-/n)a+600,

①当10<"?<15时，15-m>0,y随a的增大而增大，

.,.当a=18时，获利最大，即买18件A商品，22件8商品，

②当，〃=15时，15-m—0,

y与。的值无关，即(2)问中所有进货方案获利相同，

③当15</n<20时，15-m<0,y随a的增大而减小，

♦，.当a=14时，获利最大，即买14件A商品，26件8商品.

【点评】本题考查了分式方程和一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，

设出未知数，找出合适的等量关系，列方程可不等式组求解，分式方程要注意检验.

27.(12分)(2019•内江)AB与。。相切于点A,直线/与。。相离，于点8,且OB

=5,。8与OO交于点尸，AP的延长线交直线/于点C.

(1)求证：AB=BC；

(2)若。。的半径为3,求线段AP的长；

(3)若在。。上存在点G,使△G8C是以8c为底边的等腰三角形，求。。的半径r的

取值范围.

B

【考点】MR：圆的综合题.

【专题】152：几何综合题.

【分析】（1）连接04,根据切线的性质得到/。48=90。，根据等腰三角形的性质、对

顶角相等得到/54C=/BC4,根据等腰三角形的判定定理证明结论；

（2）连接A0并延长交。0于D,连接PD,根据勾股定理求出BC,PC,证明△D4P

s/\PBC,根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；

（3）作BC的垂直平分线MN,作0ELMN于E,根据勾股定理用r表示出AB,得到

OE的长，根据题意计算，得到答案.

【解答】（1）证明：如图1,连接0A,

"：AB与。。相切，

：.ZOAB=90°,

：.ZOAP+ZBAC=90a,

：.ZBCA+ZBPC=90°,

\"0A=0P,

：.ZOAP=N=NBPC,

：.ZBAC=ZBCA,

，AB=BC；

（2）解：如图1,连接AO并延长交00于。，连接PD

则NAPO=90°,

VOB=5,0P=3,

：.PB=2,

•'-BC=/'S=VOB2-OA2=4,

在RtZXPBC中，PC=JpB2+BC2=25/5,

:NDAP=/CPB,NAPZ）=NPBC=90°,

:.XDAPSXPBC、

.•我=胆，即空=q,

PBPC2275

解得，”=殳应

5

（3）解：如图2,作BC的垂直平分线MN,作OE_LMV于E,

则0E=4C=LB=LX、偿~2,

222v5-r

由题意得，。。于MN有交点，

；.OEWr,吗•乂正一产八

解得，心旗，

•.•直线/与。0相离，

：.r<5,

则使aGBC是以BC为底边的等腰三角形，。0的半径，•的取值范围为：依Wr<5.

显、

图1

【点评】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性

质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角

形的判定定理和性质定理是解题的关键.

28.（12分）（2019•内江）两条抛物线Ci：yi=37-6x-1与C1-.yi—j?-inx+n的顶点相

同.

（1）求抛物线C2的解析式；

（2）点A是抛物找C2在第四象限内图象上的一动点，过点A作APLx轴，P为垂足,

求AP+OP的最大值；

（3）设抛物线C2的顶点为点C,点B的坐标为（-1,-4）,问在C2的对称轴上是否

存在点Q，使线段QB绕点。顺时针旋转90°得到线段QB',且点B'恰好落在抛物线

C2上？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【考点】HF：二次函数综合题.

【专题】535：二次函数图象及其性质.

【分析】(1)yi=37-6x-1的顶点为(1,-4)也是”=/-mx+n的顶点，即可求加，

〃；

(2)作AP_Lx轴，设A(a,a2-2a-3),所以AP=-/+24+3,尸。=小可得AP+O尸

=-J+3a+3=-埒^由已知可知0<“<3,即可求；

(3)假设C2的对称轴上存在点Q,过点8作于点。，可得NB3Q=90°；

①当点Q在顶点C的下方时，可证△BCQ四△QO®,设点。(1,b),所以87)=CQ=

-4-b,QD=BC=2,可知B'(-3-b,2+b),可得(-3-人)2-2(-3-b)-3=2+b,

可求〃=-5,Q(1,-5),②当点0在顶点C的上方时，同理可得。(1,-2).

【解答】解：(1)yi=37-6x-1的顶点为(1>-4),

:抛物线Ci：yx—'ix2'-6x-1与C2：*=/-mx+n的顶点相同

♦•机=2,几=-3,

.•.”=/-2x-3；

(2)作AP_Lx轴，

设A(a,cP-2a-3),

・・・A在第四象限，

・・・0V〃V3,

.\AP=-a2+2a+3,PO=a,

22

：.AP+OP=-a+3a+3=-(a_J-)+^

'：0<a<3,

.♦.AP+OP的最大值为WL；

4

(3)假设C2的对称轴上存在点Q,

过点B作于点。，

，/8。。=90°,

①当点。在顶点C的下方时，

"：B(-1,-4),C(1,-4),抛物线的对称轴为x=l,

J.BCU,BC=2,/8CQ=90°,

：./\BCQ^/^QDB'(AAS)

：.B'D=CQ,QD=BC,

设点。(1,h),

.,.8'Z)=CQ=-4-b,QD=BC=2,

可知BY-3-b,2+b),

：.(-3-/>)2-2(-3-fe)-3=2+/?,

./+76+10=0,

.,.b--2或b--5,

"：b<-4,

：.Q(1,-5),

②当点。在顶点C的上方时，同理可得0(1,-2)；

综上所述：Q(1,-5)或Q(l,-2)；

【点评】本题是二次函数的综合题；熟练掌握二次函数的图象及性质，分类探索点的存

在性，数形结合解题是关键.

考点卡片

1.相反数

(1)相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.

(2)相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除。外，互

为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等.

(3)多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”

号，结果为正.

(4)规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-如a的相反

数是-“，，”+〃的相反数是-(,"+〃)，这时机+”是一个整体，在整体前面添负号时，要用

小括号.

2.科学记数法一表示较大的数

(I)科学记数法：把一个大于10的数记成aX10"的形式，其中a是整数数位只有一位的

数，〃是正整数，这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式：&X10",其中lWa<10,

〃为正整数

(2)规律方法总结：

①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数

位数少1;按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用

此法表示，只是前面多一个负号.

3.实数的运算

(1)实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、

乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

(2)在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算

乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1.运算法则：乘方和开方运算、幕的运算、指数(特别是负整数指数，0指数)运算、根

式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从

左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

4.合并同类项

（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项.

（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不

变.

（3）合并同类项时要注意以下三点：

①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同

系数的代数项；字母和字母指数；

②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数

会减少，达到化简多项式的目的；

③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字

母和字母的指数不变.

5.规律型：图形的变化类

图形的变化类的规律题

首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化

规律后直接利用规律求解.探寻规律要认真观察、仔细思考、善用联想来解决这类问题.

6.同底数幕的乘法

（1）同底数暴的乘法法则：同底数塞相乘，底数不变，指数相加.

是正整数）

（2）推广：（加，n,p都是正整数）

在应用同底数基的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25,（〃2层）3与（/必）

4,（x-y）2与晨-川3等；②〃可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只

有相乘时才是底数不变，指数相加.

（3）概括整合：同底数幕的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键.在

运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变

形为同底数基.

7.毒的乘方与积的乘方

（1）基的乘方法则：底数不变，指数相乘.

（am）n=amn（nt,〃是正整数）

注意：①基的乘方的底数指的是累的底数；②性质中“指数相乘”指的是累的指数与乘方

的指数相乘，这里注意与同底数