2020-2021学年临沂市沂南县八年级上学期期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年临沂市沂南县八年级上学期期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1.若式子等有意义，则实数》的取值范围是（）

A.%>—2且汽。1B.%。1C.x>1D.x>—2

2.随着电子技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占

0.00000065?7l2.这个数用科学记数法表示为（）77Wl2.

A.6.5x10-6B.0.65x10-6C.65x10-6D.6.5x10-7

3,下列运算中，正确的是（）

A.a2-a3=a6B.（a3）2=a9C.a54-a5=aD.（ah）3=a3-b3

4.如图，在正方形4BCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，4E交BF于

点”，CG///E交B尸于点G.下列结论:①tanZJ/BE=cotzJ/EB；②CG•\

BF=BC-CF；@BH=17G；④襄=■淇中正确的序号是()

A.①②③

BF.C

B.②③④

c.①③④

D.①②④

5.定义运算：a*h=a(l—b),若a,b是方程/一x+=0(m<0)的两根，贝!］匕*匕—(1*£1的

值为()

A.0B.1C.2D.与m有关

6.如图，正五边形ABCOE中,NC4D的度数为()

A.72°

w

B.45°

C.36°

CD

D.35°

7.下列计算正确的是()

A.(%+5)(%—5)=%2—5B.(%+2)(%—3)=%2—6

C.(%+l)(x-2)=%2—x—2D.(%—1)(%+3)=%2—3x—3

A

8.如图，在△ABC中，AB=AC,AB的中垂线。E交4c于点。，交48于点E,

如果BC=10,ADBC的周长为22,那么4B=()

A-10-

小

C.14P----------r-

D.16

32

9.已知x=%—1,y=V5+1，那么代数式消y的值是（）

A.2B.V5C.4D.2V5

10.如图，在AABC中，点D,E分别为边4B,AC上的点，且DE〃BC,若AD=5,个

BD=10,AE=3,贝!MC的长为（）~弋

A.3/\

BC

B.6

C.9

D.12

11.甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个

所用的时间相等，设甲每小时做工个零件，下列方程正确的是()

A120150n120150―120150c120150

A.—=—D.----=-----cD

xx-8x+8x-=v-v=

12.如图示直线小"△ABC被直线0所截,且人〃，2,则。=()

A.41°

B.49°

C.51°

D.59°

二、填空题(本大题共6小题，共18.0分)

13.在平面直角坐标系中，有一只青蛙位于(-2,3)的位置，它先跳到关于工轴对称位置上，接着跳到

关于y轴对称的位置上，最后再跳到关于工轴对称的位置上，则此时它的位置可由坐标表示为

14.因式分解：ab2-6ab+9a=.

15.如图，在矩形中，点E是BC上一点，AE=AD,DF1AE^

F,连接DE,AE=5,BE=4,贝=

BEC

16.计算：（--）'•一=

17.分式方程等=々+1的解为久=____.

xz-lx-1

18.已知AABC中，乙4=60。，高BD、CE相交于点0,则NBOC的度数可能为.

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

19.24.（本题满分10分）类比、探究是数学学习过程中重要的思想和方法，某数学小组在一次课外活

动中对如下题目进行探讨，请你结合所学知识，充分发挥聪明才智，参与进来.

【大胆猜想】（1）如图1,正方形4BCD及等腰Rt△AEF有公共顶点4AEAF=90°,连接BE、DF.

将RtAAEF绕点4旋转，在旋转过程中，BE、。尸具有怎样的数量关系和位置关系呢？直接写出

你的猜想.

【尝试类比】（2）若将（1）中的正方形4BCD变为矩形4BCD,等腰RtA4EF变为RtAAEF,且AD=

kAB,AF=kAE,其它条件不变.（1）中的结论是否发生变化呢？结合图2说明理由；【请你

探究】⑶①若将（2）中的矩形4BCD变为平行四边形4BCD,将Rt△4EF变为△4EF,且NB4D=

/-EAF=.@,其它条件不变，（2）中的结论是否发生变化呢？结合图3,如果不变，直接写出结论；

如果变化，直接用k表示出线段BE、DF的数量关系；②用您表示出直线BE、DF形成的锐角£.

第24题图

四、解答题(本大题共6小题，共56.0分)

20.计算：

(l)(a2)2-a10；

(2)(%2y2)2-(x3y3)3；

(3)(a2b/.(2ab+|a2Z?3)；

(4)(a2b2).[(加)2+(2ab)3+3a2]；

(5)(2久+y)-(3x-2y)；

(6)(6a-5)-(a2+2a+3)+15.

21.如图，O。内切于△ABC,切点分别为D、E、F.已知NB=50。，NC=60。,连接DE、OF,求/EOF.

22.求值.

(1)已知2x+5y+3=0,求牛•32〃的值；

(2)已知2x8^x16=223,求％的值.

23.我们知道，任意一个正整数九都可以进行这样的分解：n=pxq(p,q是正整数，且p<q),在n的

所有这种分解中，如果p、q两因数之差的绝对值最小，我们就称pXq是n的最佳分解.并规定：

FO)节，例如12可以分解成1x12,2x6,或3x4,因为12-1>6-2>4-3,所以3x4

是12的最佳分解，所以尸(12)=*

(1)求F(24)和F(48)；

(2)如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，用字母表示为；这时我们称正整数a是完全

平方数.若m是一个完全平方数，求F(m)的值.

24.某玩具厂投产一种新型电子玩具，每件制作成本为20元，试销过程中发现，每月销售量y(万件)

与销售单价%(元)之间的关系可以近似的看作一次函数y=-2x+100,设每月的利润为w(万元

).(利1润=售价一制作成本)

(1)写出w(万元)与4(元)之间的函数表达式；

(2)商家想每月获得250万元的利润，应将销售单价定为多少元?

(3)如果厂家每月的制作成本不超过400万元，那么厂家销售这种新型电子玩具，每月获得的最

大利润为多少万元.

25.AABC为等边三角形，点M是BC中点，点P在A4BC所在平面内，连接P4PB,PC,PM,直

线PC与直线AB交于点D.

(1)若点「在44BC内，乙BPC=120°.

①如图1,当点P在4M上时，求证：^APD=ABPM-,

②如图2,当点P不在2M上时，乙4PD=NBPM是否任然成立？若成立，请证明；不成立，请说明理

由.

(2)当点P在AZBC外，且点P与点A在直线BC异侧时，若NBPC=60。，NZPD与NBPM有怎样的数量

关系，请直接写出你的结论：.

参考答案及解析

1.答案：A

解析：解：式子里有意义，则x+220且%—1不0,

X-1

解得：x>一2且x*1.

故选：A.

直接利用二次根式中被开方数的取值范围，二次根式中的被开方数是非负数，再结合分式的分母不

为零，进而得出答案.

此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握相关有意义的条件是解题

关键.

2.答案：D

解析：解:0.00000065=6.5X10-7,

故选：D.

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axlO-%与较大数的科学记数法不同

的是其所使用的是负指数累，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为ax10-n,其中1<|a|<10,n为由原数左边起

第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

3.答案:D

解析：解：A：因为a2/3=a5,所以计算错误；

B:因为缶3)2=。6,所以计算错误；

C：因为a5+a5=l,所以计算错误；

D：(ab)3=a3-b3,所以计算正确.

故选：D.

根据同底数幕的乘法，幕的乘方与积的乘方，同底数幕的除法的法则可判断各个选项.

本题考查了同底数幕的乘法，幕的乘方与积的乘方，同底数塞的除法，熟练运用法则是本题的关键.

4.答案：D

解析：解：①•••在正方形4BCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，

・•.Rt△ABE=Rt△BCF,

•••Z-BEA=Z.CFB,

•・•CG//AE,

•••Z.GCB=Z-AEB

•••乙CFG=Z-GCB,

."CFG+乙GCF=90。即4CGF为直角三角形,

:.CG〃AE交BF于前G,

也为直角三角形，

tan/-HBE=cot/.HEB；

•••①正确.

②由①可得△CGF-4BCF,

...-C-G=-C-F.

BCBF

：.CG-BF=BC-CF,

②正确；

③由①得小BHE三&CGF,

•••BH=CG,而不是=FG

③BH=PG错误；

（4）•••△BCG-ABFC,

.•.些=吧，即BC?=BG-BF,

BFBC

同理可得^BCF-ACGF,

可得=BF.GF,

.BC2_BG

CF2GF

・•.④正确，综上所述，正确的有①②④.

故选：D.

①根据正方形的性质求证△BHE为直角三角形即可得出结论；

②由①求证△CGF-4BCF.利用其对应边成比例即可求得结论；

③由①求证△BHE三XCGF即可得出结论，

④利用相似三角形对应边成比例即可求得结论.

此题主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义等知识点

的理解和掌握，步骤繁琐，有一定的拔高难度，属于中档题.

5.答案：A

解析：

本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系得出a+b=1是关键.

(方法一)由根与系数的关系可找出a+b=1,根据新运算找出力★Z?—a★a=h(l—b)—a(l—a),

将其中的1替换成a+b,即可得出结论.

(方法二)由根与系数的关系可找出a+b=L根据新运算找出b*b-a*a=(a-h)(a+b-1),

代入a+b=l即可得出结论.

(方法三)由一元二次方程的解可得出小一。=-^m,b2-b=根据新运算找出b★力一a★a=

-(fo2-b)+(a2-a),代入后即可得出结论.

解：(方法一)・•・a,b是方程/一%+：瓶=OQn<0)的两根，

a+h=1,

—a*a=&(1—b)—a(l—a)

=b(a+b—b)—a(a+b—a)=ab—ab=O.

故选A.

(方法二)・•,a,b是方程/-x+^m=0(m<0)的两根，

・•・a+b=1.

—a^a=&(1—b)—a(l—a)

=b—b2—a+a2

=(a2—h2)+(b—a)

=(a+b)(a—b)—(a-b)

=(a—b)(a+b—1),

又a+b=1,

・••匕★b—a★a=(a—b)(a+b—1)=0.

故选A.

(方法三):a,b是方程%2-%+=0(m<0)的两根，

/.a2—a=~~mb2—b=—-m,

494

b*b—a*a=h(l—b)—a(l—a)

=—(h2—h)+(a2—a)

=-m——m=0.

44

故选：A.

6.答案：C

解析：解：根据正多边形内角和公式可得，

正五边形4BC0E的内角和=180°X(5-2)=540°,

则N82E=AB=NE=?=108°,

根据正五边形的性质，△aBCwAaE£)(sas),

1

・••乙CAB=4DAE=1(180°-108°)=36°,

・•.Z.CAD=108°-36°-36°=36°,

故选：C.

首先可根据五边形内角和公式求出每个内角的度数，然后求出乙C4B和ND4E,即可求出4C/D.

本题考查多边形内角和公式，熟记正多边形的性质是解题的关键..

7.答案：C

解析：解：(%+5)0-5)=/一25,A错误；

(%+2)(%—3)=%2—%—6,B错误；

(%+1)(%—2)=x2—%—2,C正确；

(%—1)(%+3)=%2+2%—3,。错误，

故选：C.

根据多项式与多项式相乘的法则对各个选项进行计算，判断即可.

本题考查的是多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外

一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

8.答案：B

解析：解：・・・AB的中垂线DE交AC于点。，交于点以

AD-BD,

的周长为22,

・•.BC+CDBD=BC+CD+AD=BC+AC=22f

•・,BC=10,

.'.AC=12.

•••AB=AC9

・•・AB=12.

故选：B.

由的中垂线DE交AC于点D,交4B于点E,可得AD=BD,又由BC=10,△DBC的周长为22,可

求得AC的长，继而求得答案.

此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质.此题难度不大,注意掌握数形结合思想

的应用.

9.答案：D

x(x+y)(x-y)

解析：解：原式=

x(x-y)

=X+y

当％=而—1,y=V5+1,

原式=%一1+遍+1

=2V5-

故选：D.

先将分式化简，再代入值求解即可.

本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是掌握分式的化简.

10.答案:c

解析：解：AD=5,BD=10,

：.AB=15,

DE//BC,

_AD_AE

"AB-AC'

■：AE=3,

.■.AC=9,

故选：C.

根据平行线分线段成比例定理即可直接求解.

本题考查了平行线分线段成比例定理，理解定理内容是关键.

1L答案：D

解析：解：设甲每小时做x个零件，可得：—

XX~vo

故选：D.

设甲每小时做x个零件，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等得出方程解答即可.

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

12.答案：B

解析：解：,•・及〃6，

•••a=49°,

故选：B.

根据平行线的性质即可得到结论.

本题考查了平行线的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键.

13.答案：(2,3)

解析：解：(-2,3)关于%轴对称的点的坐标为(-2,-3),

(-2,—3)关于y轴对称的点的坐标为(2,—3),

(2,-3)关于x轴对称的点的坐标为(2,3).

故答案为：(2,3).

根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数"和''关于y轴对称的点，纵坐标相同，

横坐标互为相反数”解答.

本题考查了关于%轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：

(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数.

14.答案:a(b-3)2

解析：解：ab2-6ab+9a,

=a(b2—6b+9),

=a(b—3)2.

先提公因式a,再利用完全平方公式分解因式即可.

本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，本题要进行二次分解因式，分解

因式要彻底.

15.答案：3

解析：解：•••四边形4BCD为矩形，

■■.AD//BC,且NB=90。，

•••/.DAF=乙BEA,

DF1AE,

Z-DFA=Z-B,

在AADF和△E28中

/-DAF=Z-BAE

/-DFA=Z-B

AD=AE

AF=BE=4,

中，AD=AE=5

・•.DF=^JAD2-AF2=V52-42=3.

故答案为：3.

利用矩形的性质结合条件可证得△ADF=LEAB,则可得/F=BE=4,再利用勾股定理可得DF的长.

本题主要考查矩形的性质，利用矩形的性质证得△ADF=A瓦48是解题的关键.

16.答案：X8

解析:

本题考查了整式乘法中的事的乘方与同底数幕相乘.幕的乘方，底数不变，指数相乘;同底数幕相乘,

底数不变，指数相加，掌握运算法则是关键.

解:(--)2.久2,

62

=X-X->

=Xs.

故答案为Xs.

17.答案：—2

解析：解：去分母得：2=x+l+*2—1,即/+x—2=0,

分解因式得：(x—1)(%+2)=0,

解得：x=1或x=-2,

经检验x=l是增根，分式方程的解为久=-2,

故答案为：-2

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到久的值，经检验即可得到分式方程的解.

此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.

18.答案：120°；60°

解析：试题分析：根据三角形外角的性质及三角形的内角和定理.分ABAC与NBOC在一个四边形内,

及NB4C与NB。。不在一个四边形内两种情况讨论.

若ZBOC与这个60。的角在一个四边形内，

如下图：

A

B

■：BD.CE是AaBC的高，

•­•/.BOC=360°-ZX-4ADO-^AEO=120°；

若NBOC与这个60。的角不在一个四边形内，

如下图：

；BD、CE是AaBC的高，

乙BOC=90°-乙DCO=90°-/.ACE=〃=60°.

故答案为：120°,60°.

19.答案：解：⑴口?与BE互相垂直且相等.

证明：延长DF分别交AB、8E于点P、G

在正方形2BCD和等腰直角△4EF中

AD=AB,AF=AE,

乙BAD=Z.EAF=90°

・•・Z.FAD=/-EAB

Fi4£)=AEAB

•••Z-AFD—Z-AEB,DF=BE

•・・Z.AFD+乙4FG=180°,

・•・乙AEG+Z-AFG=180°,

Z.EAF=90°,

・.・立弘F=180。-90。=90。,

・••DF1BE

(2)数量关系改变，位置关系不变.DF=kBE,DF1BE

如图，延长。F交于点”

vAD=kAB,AF=kAE

AD,

AB=k

ADAF

ABAE

•••Z-BAD=Z-EAF=a

・•・Z-FAD=乙EAB

•••△FAD^AEAB

DF=kBE

,・，△FAD〜AEAB,

・•・Z.AFD=Z.AEB,

•・•AAFD+^AFH=180°,

・•・乙AEH+乙AFH=180°,

•・,Z-EAF=90°,

・•・乙EHF=180°-90°=90°,

・•・DF1BE；

(3)不改变.DF=kBE,(=180。一a

延长OF交EB的延长线于点H

ABAE

V乙BAD=Z.EAF=a

・•・/,FAD=乙EAB

•••△FAD^AEAB

BEAE

・•.DF=kBE

由△EAB^Z.AFD=^AEB

•・•/-AFD+乙AFH=180°

・•・^AEB+^AFH=180°

•・•四边形/EHF的内角和为360。,

•••/,EAF+乙EHF=180°

Z.EAF=a,Z,EHF=0

・•・a+S=180°

・•・S=180°-a.

解析：本题(1)中主要利用三角形全等的判定和性质以及正方形的性质进行证明；(2)(3)利用相似三

角形的判定和性质证明，要解决本题，证明三角形全等和三角相似是解题的关键，也是难点所在.

20.答案：解：(1)原式=a，.小。=小，

(2)原式=%4y4,%9y9-x13yl3.

(3)原式=(a4h2)-(2ab+|a2&3)

=2a5b3+工Q6b5

2

(4)原式=(a2/)2)-(a2h4+8a3b3+3a2)

=a2b2-a2b4+a2b2•8a3b3+a2b2•3a2

=a4d6+8a5h5+3a4&2；

(5)原式=2%•3%—2%,2y+3xy—y-2y

=6x2—4xy+3xy—2y2

=6x2—xy—2y2；

(6)原式=6a3+12a2+18a-5a2-10a-15+15

=6a3+7a2+8a.

解析：(1)先计算幕的乘方，再计算同底数幕的乘法；

(2)先计算单项式的乘方，再计算单项式乘单项式可得；

(3)先计算单项式的乘方，再计算单项式乘多项式可得；

(4)先计算括号内单项式的乘方，再计算单项式乘多项式可得；

(5)根据多项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可得；

(6)先根据多项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可得.

本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握单项式的乘方、单项式乘单项式、单项式乘

多项式及多项式乘多项式的运算法则.

21.答案:解：连接。E、OF.

■：NB=50°,NC=60°,

•••AA=70°；

■■AB.AC分别切。。于点E、F,

•••OELAB,OFLAC,

.■Z.AEO=Z.AFO=90,

Z.EOF=110°,

1

又•••乙EDF="EOF,

•••乙EDF=55°.

解析：连接OE和OF,求出/EOF即可知道NEDF,根据三角形内角和定理得出从而得出NE。足即

得NEDF.

本题考查了圆周角和圆心角之间的关系和三角形内角和为180。的定理.

22.答案：解：(1)2x+5y+3=0,

•••2x+5y=—3,

4X-32y=2X-25y=22x+5y=2~3=--

28

(2)2X8XX16=223,

2X23xx24=223,

1+3x+4=23,

解得：x=6.

解析：此题主要考查了幕的乘方运算以及同底数幕的乘法运算，正确将原式变形是解题关键.

(1)直接利用幕的乘方运算法则以及同底数幕的乘法运算法则将原式变形得出答案；

(2)直接利用幕的乘方运算法则以及同底数幕的乘法运算法则将原式变形得出答案.

23.答案：a=b2

解析：解：(1)24=1x24=2x12=3x8=4x6,而24-1>12-2>8-3>6-4,4x6

是24的最佳分解，.•・F(24)=：=g

OD

V48=1x48=2x24=3x16=4x12=6x8,而48-l>24-2>16-3>12-4>8-2,

6'8是48的最佳分解，・・・尸(48)=""

o4

(2)•••一个正整数a是另外一个正整数b的平方，,a=非，

・•・m是一■个完全平方数，.,.设HI=/(X>0),二支x%是m的最佳分解，:=?=1,故答案为：

a=b2.

(1)现将24,48分解因数，进而找出24,48的最佳分解即可得出结论；

(2)根据题意直接填空，在根据(1)的特点找出m的最佳分解即可得出结论.

此题主要考查了分解因数，完全平方数，新定义的理解和应用，掌握分解因数的方法是解本题的关

键.

24.答案:解：(l)w=(-2%+100)(%-20)

=-2%2+140%-2000,

(2)由题意得，-2x2+140%-2000=250,

解得：x1=25,x2=45.

答：销售单价定为25元或45元时厂商每月能获得250万元的利润；

(3)由题意：20(-2x4-100)<400,

解得x>40,

••・利润函数的对称轴x=35,开口向下，

%=40时利润最大，最大利润为400万.

解析：本题考查了二次函数的应用及一元二次方程的应用，解答本题的关键是得出月销售利润的表

达式，要求同学们熟练掌握配方法求二次函数最值的应用.

⑴月销售利润=月销量x(单件售价-单件制造成本)；

(2)构建方程即可解决问题；

(3)构建不等式求出x的取值范围，再利用二次函数的性质解决问题即可.

25.答案：乙APD=^LBPM^APD+乙BPM=180°

解析：解：(1)①证明：•「△ABC是等边三角形，

AAB=AC,•・•点M是中点，

・•.BM=CM,

・•・AM1BC,

CM=BM

在△PMC和△PMB中，乙PMC=^PMB,

、PM=PM

・•.△PMC三〉PMB,

・•・乙MPC=乙MPB="PC=60°,

2

•・•Z-MPC=Z-APD,

・•.Z.APD=乙BPM；

@^APD=/BPM仍然成立，

如图2,延长PM至K,使MK=PM,连接BK,

易证，△MCPwZkMBK(SZS)“倍长中线法“，

・•.CP=BK,(BCP=乙CBK,

・•.CP//BK,

・•・乙PBK=乙PBC+乙CBK=乙PBC+乙BCP=180°一乙BPC=60°,

延长PO至T,使PT=PB,

连接78