2022年浙江省宁波市成考专升本数学(理)自考真题(含答案带解析)

2022年浙江省宁波市成考专升本数学(理)

自考真题(含答案带解析)

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(30题)

1.两个盒子内各有3个同样的小球，每个盒子中的小球上分别标有1,

2,3三个数字，从两个盒子中分别任意取出一个球，则取出的两个球上

所标数字的和为3的概率是()

A.A.1/9B.2/9C.1/3D.2/3

2.若a=(L5,-2),b=(m,2,m+2),且a_Lb,则m的值为()

A.OB.6C.-6D.l

3.从椭圆与x轴的右交点看短轴两端点的视角为60。的椭圆的离心率

()

叵

A.2

B.1/2

C.1

遮

D.

4在^ABC中，若6=25/2,c=V6+&,/B=45°,则。等于人？

B.2或2方'

C2Vs

D.无解

5.

如果函数ftr)在区间La»］上具有单调性.且/Q)♦3)<0.则方程人工)一0在区间上

(

A.至少有翦!

B.至多有一个实根

c.ffiiB

D.必有唯一实根

6.若sina>tana,。仁(-兀/2,兀/2),贝lja《()

A.(-兀/2,兀/2)B.(-7i/2,0)C.(0,7T/4)D.(7T/4,K/2)

已知Igsind=a,Igcos^=b,则sin29=()

(A)号(B)2(a+6)

7(C)10甲(D)2-10***

8.在(2-x)8的展开式中，x5的系数是()

A.448B.1140C.-1140D.-448

9若0<a<£>.且tana=y.tan.则角a+尸

TR6

C4D.f

10.已知平面向量a={3,x),b=-(-2,5),且a，b,则2=

)

A.A.6/5B.5/6C.-5/6D.-6/5

[11为虚数单位•则复数2=号的虚部为

11.J乙I

A.A.!i

5_

B.

二

C.-1'i

_5

小

已知底面边长为6的正三校锥的体积为9盘,则此正三校锥的高为

A.6V6B.376

12.C.2#D.J6

A.A.AB.BC.CD.D

尸=l+rco招

13.圆1>=-2+*8"为参数)的圆心在()上

A.(l,-2)B.(0,5)C.(5,5)D.(0,0)

14.已知IQI=5.141=2,«-*=-54,则。与8的夹角等于(

A.A.K/3B.2K/3C.3K/4D.5兀/6

从0,1,2,3,4.5这六个数字中,每次取出三个数相乘，可以得到不同乘积的个数

是()

(A)10(8)11

]5(C)20(D)120

函数y=口虱/-2)「+的定义域是()

(A)|xIx<3,xeR|

(B)|xIx>-1,xeR|

(C)UI-l<x<3,*eR|

16(D)xlx<T或x>3,xwR：

17.

(12)从3个男生和3个女生中选出2个学生参加文艺汇演,次出的全是女士的概率是

()

<A)T⑻看©*DT

18.

设命题甲：£=1,命题乙:直线与直线y=*+l¥行.则

A.甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件

B.甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件

C.甲小是乙的充分条件也不是乙的必要条件

I).甲造乙的充分必要条件

19.若1名女生和3名男生随机地站成一列，则从前面数第2名是女生

的概率为()。

B-T

3

cI).

4T

20.

正三棱锥底面边长为m,侧棱与底面成60。角，那么棱锥的外接圆锥的

全面积为()

A.7rm2B.可""

7：

21.已知点A(-5,3),B(3,1),则线段AB中点的坐标为()

A.A.(4,-1)B.(-4,l)C.(-2,4)D.(-l,2)

22.过直线3x+2y+l=0与2x-3y+5=0的交点，且垂直于直线L：

6x-2y+5=0的直线方程是()

A.A.x-3y-2=0B.x+3y-2=0C.x-3y+2=0D.x+3y+2=0

23.从6位同学中任意选出4位参加公益活动，不同的选法共有

A.30种B.15种C.10种D.6种

24.下列函数中，为偶函数的是()

A.尸闺

B.L(T)’

A.A.AB.BC.CD.D

25.与直线2x-4y+4=0的夹角为45°,且与这直线的交点恰好在x轴上的

直线方程是0

A.x-3y+2=0

B.3x+y+6:==0

C.x-3y+2=0或3x-y+6=0

D.x+3y+2=0或3x-y+6=0

26.已知正方形ABCD,以A,C为焦点，且过B点的椭圆的离心率为

()

A.A.2

&+i

B.丁

&

C.2

显

D.~

27.^ABC中.巳知AB=73.八(—=1,则sinAF'()

A.A.O

B.l

C.

D.

28.已知tana+cota=4,则sin2a=()

A.A.1/4B.l/2C.3/4D.-3/4

29.在aABC中，ZC=60°,则cosAcosB-sinAsinB的值等于()

B.g

J2

D-衣

•2

A.A.AB.BC.CD.D

30.从6名男大学生和2名女大学生中选取4名做上海世博会的志愿

者，2名女大学生全被选中的概率为（）

A.A.1/3B.3/14C.2/7D.5/14

二、填空题（20题）

31.正方体ABCD—A'B'C'D'中，A'C'与B'C所成的角为

32.函数—京的定义域是____________.

已知大球的表面积为100%另一小球的体积是大球体积的I.则小球的半径

4

33.是•

34.

已知直线1和X—y+l=0关于直线x=-2对称，则1的斜率为.

35.从一批某种型号的电子元件中随机抽取样本进行使用寿命测试，测得

数据如下（单位：h）:

245256247255249260

则该样本的标准差s=（保留小数点后一位）.

36.一个圆柱的底面半径和高都与一个球的直径相等，则该圆柱与该球

的体积的比为

37.1】（45*一045°—

38.

抛物线y2=6x上一点A到焦点的距离为3,则点A的坐标为.

39.正方体的全面积是a2,它的顶点都在球面上，这个球的表面积是

21.曲线y=宜小与尹在点（-1，。）处的切线方程___________

40.4+2

设正三角形的一个顶点在原点，关于X轴对称，另外两个顶点在抛物线尸=2感

41,上.则此三角形的边长为,

42.已知向倭明人若|。|=2.1引=3.a-MMMHM

43.函数y=sinx+cosx的导数y'.

44.设正三角形的一个顶点在原点，且关于x轴对称，另外两个顶点在抛

2—0@x

物线'--,上，则此三角形的边长为.

45.函数f(x)=x2-2x+l在x=l处的导数为o

46.已知a=(6,2),b=(-4,1/2),直线i过点A(3,-1),且与向量a+2b

垂直，则直线i的一般方程为

直线3H+4y-12=。与了轴，轴分别交于两点,0为坐标原点，则△048的

47.同匕为

数(i+i'+i'Xl-i)的实部为.

49.设i,j,k为单位向量且互相垂直，向量a=i+j,b=-i+j-k,贝！］

a*b=__________

5O.Ig(tan430tan45°tan47°)=.

三、简答题(10题)

51.

(本小题满分12分)

已知函数/(X)=F-3/+«1在［-2,2］上有最大值5,试确定常数m,并求这个函数

在该闭区间上的最小值.

52.（本小题满分12分）

设数列1a.I满足5=2.««i=3%-2（n为正喧数）.

⑴求汨；

（2）求数列；的通项•

53.（本小题满分12分）

某服装店将进价为40元一件的衬衫，按50元一件售出时，能卖出500

件，如果这种衬衫每件涨价1元，其销售量就减少10件，商店为了获

得大利润，问售价应为多少？

54.

（本小题满分13分）

2sin0co59+5

设函数/⑼=1°片】

⑴求/优）；

（2）求/（。）的最小值.

55.

（本小题满分13分）

已知B8的方程为一+/+<«+2八1=0.一定点为4（1,2）.要使其过层点做1.2）

作圆的切线有两条.求a的取值范围.

56.（本小题满分12分）

巳知点4（与，%）在曲线？=一匕上

（I）求与的值；

（2）求该曲线在点A处的切线方程.

57.（本小题满分12分）

如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出肘，每天可销售100件。

现采取提高售出价，减少进货量的办法增加每天的利润，已知这种商品

每件涨价1元，其销售数量就减少10件，问将售出价定为多少时，赚

得的利润最大？

58.

（本小题满分12分）

在（a%+l）7的展开式中,73的系数是殍的系数与X4的系数的等差中项，

若实数a>l,求a的值.

59.（本小题满分12分）

已知等差数列｛an｝中，al=9,a3+a8=0.

（1）求数列｛an｝的通项公式；

⑵当n为何值时，数列｛an｝的前n项和Sn取得最大值,并求该最大值.

60.

(本小题满分12分)

已知参数方程

x=~(e'+e'')cosd,

y--^-(e,-e*1)»inft

(1)若，为不等于零的常量,方程衰示什么曲线？

(2)若趴6喈,keN.)为常量.方程表示什么曲线?

(3)求证上述两个方程所表示的曲线有相同的焦点.

四、解答题(10题)

61.

62.

△A5C的三边分别为a.b.c,已知a+。=10.且85c是方程2yXr2=0的根.

(I)求/(：的正弦值।

《11)求4人次的周长最小时的三边。.从c的边长.

63.

(本小题满分12分)

S=—2(4,—人1)

已知数列｛an｝的前n项和

⑴求｛an｝的通项公式；

⑵若ak=128,求ko

64.设函数f(x)=ex-x-l.

(I)求f(x)的单调区间；

(II)求f(x)的极值.

65.设直角三角形的三边为a、b、c,内切圆直径为2r,外接圆直径为

2R,若a、b、c成等差数列，

求证：(I)内切圆的半径等于公差

(H)2r、a、b、2R也成等差数列。

66.

(本小题满分12分)

已知函数f(x)=x3+x2-5x-l。求：

⑴f(x)的单调区间；

(2)f(x)零点的个数。

67.海关缉私船在A处发现一只走私船在它的北偏东54。的方向，相距

15海里的B处向正北方向行驶，若缉私船的时速是走私船时速的2倍，

(I)向缉私船应取什么方向前进才能追上走私船；

(II)此时走私船已行驶了多少海里.

东

在△ABC中,48=8历.8=45。,。=60。,求4C,8c

68.

69.已知椭圆正9=)问实数m在什么范围内，过点(0,m)存在两条

相互垂直的直线都与椭圆有公共点。

70.从椭圆上x2+2y2=2的右焦点引-条倾斜45。的直线，以这条直线与椭

圆的两个交点P、Q及椭圆中心。为顶点，组成△OPQ.

(I)求4(^(3的周长；

(11)求也0「(3的面积.

五、单选题(2题)

71.

已知a,b为任意正实数，则下列等式中恒成立的是()

A.ab=ba

B.?_+2*

72.抛物线丁=3工的准线方程为()。

A-J=fB.

c-x=7D.

六、单选题(1题)

73.不等式，一的解染为()

A.A.(1,+oo)B.(-oo,-1)C.(-1,O)U(1,+00)D.(-oo,-1)U(1,

+00)

参考答案

l.B

2.B

由a_Lb可得a・b=0,即(1,5,-2>(m,2,m+2)=m+5x2-2(m+2)=-

m+6=0,解得m=6.

3.A

求椭圆的离心率，先求出a，c.（如国）

=N1=60°、：.b=-y,c=d屋一'

c2V3

由椭圆定义知e=—=一--=~2•

4.B此题是已知两边和其中一边的对角，解三角形时，会出现-解、两解、

无解的情况，要注意这一点

用余款电双ft!=-u:i-e-iaccosb.Tff.(272=a*+(4+々~2a(>/6+々)cos45,=>8=a,+(8+276X

⑶-2<4卜⑶专a—+2/TI-(而+&品=>d-<"+2)a+4G=0.

解出a=依+士，谑、grl^.^l=Q+i±(G_])=色.

24/±g±2/^l^

(提示,，4-2VI--=/(々-1广)

5.D

D/Q）在区间口，〃I：具有单圄性，故"r）在区

同「"$］上要么单调递增，鳖么单例递M.i/SA

/（6）＜0.故人r）-0必6唯实根.

【分析】女黑寺费时的敕的也调性的了书,根梃典

意.杓遭图拿.全图所示,星越山很有唯一大根.

B山场怠，共有3女5男，按要求可选的情况有：1

女2男,2女I刃，故

n=UC!-*-UC!=45（种1

【分析】本意是妲合应用题,考生应分浒本题总XB序

陡求,两种情况的计算结果用加法（方法分杳里加法》.

6.B首先做出单位圆，然后根据问题的约束条件，利用三角函数线找出

满足条件的a角取值范围.

sina>tana,a£(-n/2,n/2),又Vsina=MP,tana=AT,(l)O<a<n/2,sina<

tana.(2)-7r/2<a<0,sina>tana.

7.D

8.D

:(a+=C'+Ca"+…+d…

.\(2-x>*=«CJ2*<-x)*4-•«•+€!X2*~l•<-x>J+,,，4-C!2*(-x).

z8X7X6X8..

’的系数是，C〃_l»X2‘'=CX-DSX2’.一一3X2X1"°-4480-

9.A

AUI析】由跖角和的正切公式itanQ-m-

一%.得由Q+m-小at•因为

1~~XT

.所以有0<“一片".又tanQ一

4T>0.所以OCQ+N"!,因此m一朽手.

1O.A

x

a£b..*.R•b-(3tx)•(-2,5)-6•5.工-0■才一w.(卷案为A)

11.D

缸虚部为哈•（答案为D）

12.D

所以圆的圆心为0（1,-2）

14.D

15.B

16.D

17.A

18.D

D由于；命题甲分命题乙（甲对乙的允分性）.命

两乙*命命甲（甲财乙的必要性3故选D.

【分析】表16#专时充分必要条件的亚

19.A

该小题主要考查的知识点为随机事件的概率.【考试指导】设A表示

4

第2名是女生，P（A）=

20.C

21.D

22.B

解方程组I/得即两直线的交点坐标为（一1,1）.

12工-3y+5Ho.1yAi♦

又直线/.：6了-2»+5=0的斜率为3,则所求直线的方程为

丫-1二­1（—1）.即工+3,—2=0.（答案为B）

23.B依题意，不同的选法种数为

C：=C若不

考生要牢记排列组合的基本公式及计算方法.

【解题指要】本题主要考查排列组合的相关知识.

24.C

根据函数的奇偶性的定义可知y-r［为偶函数.（答案为C）

25.DA、B只有一个直线方程，排除，从C、D中选.•.•2x-4y+4=0-ki=l/2,

由两条直线的夹角公式，得tan8=|（ki-k2）/（l+kik》|=3两直线的交点为

26.C

27.D

(73)*+2*-T73

由余弦定理有Aff+AC-BCt

cosA=2AB-AC"2X73X2~2'

和则疝认=如+=4.（答案为D）

28.B

（

tana十.8Ur=m一in…er十।c—o：—s>-as-■in■-；a■i■,co—sa----I----j-----I------1,

COMsinaxinaoo%MitocoKa1.t.

ain2a=）.（答案为B）

29.C

在MBC中.A+B=l80,-C.cos（A+W）=cos（!80,-O=-cos（；.

所以cosAcosfisinAsinB-costA+—cos«C-cos60"=—亍.（苏案为C）

30.B

2名女大学生全被选中的概率为杀第=。.伟案为B）

（.■rU14

31.

答案：60。【解析】正方体中A'C'与B'C为异面直线，因为AC

〃A'C',所以AC与B'C所成的角，即为A7C'与B'C所成的

角.又aAB'C为等边三角形.所以NACB7=60。。即A‘C'与B'C

成60o的角.求异面直线所成的角关键是将其转移至同一平面内.并表示

出该角，再求解.

32.{x|-2<x<-l且xr-3/2}

log/（工+2）30，0VH+241

jr^>—2W

x+2>0=><Q=>-2〈工《一1,且工工一等

21+3H0五一丁

“*Jlog］（工+2）o

所以函数y-------X—To---------的定义域是{工1—2O&-1.且1羊—:}.

33.

34.

【答案】-1

【解析】该小题主要考查的知识点为直线的性质.

【考试指导】

—v+1=0•

'得交点（一2,一13

二-2o,

取直线1r-y+l=0上一点（0,1）,则该点关于直

现x=-2对称的点坐标为（-4・1）•则直坎/的斜

率k=-1.

35.S=5.4（使用科学计算器计算）.（答案为5.4）

36.

37.

JOJ9

sin（45*-a）8Sa+co445。-cr〉sina=^in（45°-a+a）=sin45'=茎•（答案为）

38.

19.±3）

39.

设正方体的校长为工,6/喷,因为正方体的大对角线为球体的直径.有2r=信

=*,即一呼叫所以这个球的表面枳是S=41=4x•（答案为彳4）

4

21.y=-4（％+1）

40.*

12

41.

42.

由于cosVa.gH饰相=盥=率所以＜0=多（答案为十

43.

cosx-sinx【解析】＞=（cosx4-sinx）""

-«tn_r+en4j*«=co«_r-sinJ.

【考点指要】本题考查导数知识.函数和的导数等于导数的和.

44.12

遗为正三八册的一个G晨•且在工帖上才©A.加

Mx=>»00»30**-B,s*n30'~2m*

Qtf

1A博E.号)在发物我y.喝f上•从而(子)'TGX亍⑵

44

45.0F(x)=(X2-2X+1),=2X-2,故。⑴=2x1.2=0.

46.

2工一3)—9=0【解析】直线上任取一点P(z,

))，则茂=(3—x,—1—»).因为a+2b=

(一2,3),由题知成・(a+2b)=0,即一2(3一

•z)+3(—1一》)=0,整理得2x—3y—9=0.

47.'2

48.

49.答案：0【解析】由向量的内积坐标式和坐标向量的性质得：

i2=j2=k2=l,i・j=j・k=i,0,Va=i+j,b=-i+j-k,a,b=(i+j)(-i+j-k)=-

i2+j2=-l+l=0.【考点指要】本题考查考生对向量坐标的掌握情况.

50.1g(tan43°tan450tan470)=lg(tan430tan450cot430)=lgtan45°=lgl=0

51.

/*(*)=3/-6x=3*(x-2)

令/(x)=0,得驻点Z=0.均=2

当x<0时>0；

当0<工<2时J(x)<0

.•.x=0是，(*)的极大值点.极大值〃°)="•

.'./(O)=E也是最大值

m=5.又〃-2)-m-20

〃2)=m-4

-2)=-15JX2)=1

二函数人工)在［-2,2］上的最小值为/(-2)=-15.

52.解

⑴a..t=3。.-2

a..।-1=3a.-3=3(a.-1)

(2)|a.-I|的公比为q=3,为等比数列

/.a.-1=(%=g"'=3'T

/.a.=3**'+1

53.解设衬衫每件提高X元售出时，利润为Y元，此时卖出的件数为

500—10x件，获得收入是(50+X)(500-10x)元，则利润

Y=(50+X)(500—10x)—40(500—10x)=—f0x2+400x+5000=—10(x—

20)2+9000,所以当X=20时，利润Y取得最大值9000元，此时售价

为50+20=70元

54.

1+2sin^co#0+~

由题已知

(sine+cosfl)'+—

sin0+coQ

令4=sin0♦cos^・得

由此可求得J(3最小值为历

55.

方程J+>'+ax+2y+J=0裳示圈的充要条件是1+*>°<

即•.所以-

41.2)在91外,应满足：1+2,+a+4+«,>0

HDa'+a+9>0.所以aeR.

综上,a的取值范围是(

56.

(1)因为1上,所以—>=1・

L*0***1

⑵…小

曲线y=-1在其上一点(1处的切线方程为

即x+4y-3=0.

57.

利润=铜售总价-进货总侨

设每件提价H元(HM0),利润为y元，则每天售出(100-10N)件,债售总价

为(10+外•(100-10工)元

进货总价为8(100-1(h)元(OwxWlO)

依题戢有:y=(10+x)•(100-lOx)-8(100-10*)

=(2+x)(100-l0x)

=-10/+80x+200

y'=-20工+80,令y'=0褥H=4

所以当x=4即督出价定为14元一件时，赚得利润殿大,最大利润为360元

由于(ar+I)'=(1+“x)7.

可见.盛开式中，的系数分别为C：a‘，C；J,Ca’.

由巳知,2C；a、=C；a：+C)".

.ac7x6x57x67x6x5is上.A

又。>1.则1li2xa*y・。=T"，5。-10a+3=0.

58'

59.

(1)设等差数列1。1的公差为人由已知。，+，=0,得

2a,+9</=0.又已知5=9.所以d=-2

散列|a.|的通项公式为a.=9-2(n-l)・即a.=11-2m

(2)数列I。」的前n所和

3J

Ss=-^-(9+1—2n)=-n+lOn=—(n-5)+25.

当n=5时.&取得最大值

60.

(1)因为，凶)，所以e'+eV0,e'-e-V0.因此原方程可化为

---^=coa0,①

e+e

户二;=sine.②

>e-e

这里0为参数.01+②1,消去参数风得

J:J

4z4v,Mnx/_,

Q7R3-e-暝2匹亘支上£•

44

所以方程袭示的曲线是椭圆.

(2)由知cos?”。sin?"。.而，为参数,原方程可化为

①1-②1.得

■^17-4^=(«'+C*)1-(e1-e")2.

cos6sin。

因为2e'e'=2e0=2,所以方程化简为

方扁二L

因此方程所表示的曲线是双曲线.

(3)证由(1)知，在确网方程中记。2=旦亨工,川=在上券二工,

44

则J=a'-*=1,c=1,所以焦点坐标为(=1.0).

由(2)知.在双曲线方程中记『=88%.

.则J=J+b'=l,c=l.所以焦点坐标为(±1,0).

因此(I)与(2)中的两方程所表示的曲线有相同的焦点.

61.

(r)证明：连结AC,因为四边形AMD为正方形，所以

Z/Z71AC.

又由巳知PA1底而ABCD福1.F4所以BD»L平面

PAC,BDJLPC.

因为平面〃皿J,MV与BD共而.所以m/MV.

AWxPC.……5分

(11》因为MN，",又巳知AQJLFC,M#与AQ和交，

所以广以平面,tMQM因此PQxQM,"MQ为所求的如

因为P,l!平面,13CD.ABJ_£C,

所以PB1HC.

因为AB=BC=a,/iC=M=^t,

所以匕=2”，-

所以511=60。.

因为lUA/'SC-'RtAPQA/,

所以Z.PMQ=4PC杼=6。，.

所以PB与平.血91QN所成的也为6。。.

62.

(I)解方程A：-3JT—2=。,耨rt.x：2.

因为IcosCiSl.所以《：-4,/(=120”.

因此.4水』苒川20-31《180"-60”)向60’

(H)由于6=10”,由余弦定理可知

/=。"+，-2<x^voM—+《1。一公)’“2c(10a)X(J*)

=</—10fl+10O=Q-5)',4-75.

所以当a=5时.c有Jft小值.WJ/^ABC的周长artH-f10+<力强小值.

此时a—S.AtS-c-^SyS.

63.

《DSI=李(L-D,

J

则%=S.-Si

22

=可(4"-1)----"(4*-1-1)

«53

=2g.

(2)a,=22*-1

=128

=27,

•'•2k—1=7,

:，k=4.

64.

（I）函数的定义域为（-8,+8），

令,《力.0,1—1-0,得*=0.

当jrW（-8,0）时./（x）＜0,

工£（0,4-oo）84,/（x）＞0.

；・/（力在（_8.0）内单调值少,在（0，+°°）单渭增加.

/n），（（））,/-0—1=1-1=°，

又•：八工）在x=0左做通调减少，在右的单调增加•

为极小值点，且/Gr）的糠小值为0*

65.(I)由题意知，2R=c,所以a+b=r+r+x+y,(如图a=x+r,b=y+r)

25题答案图

乂•••《・=工+y=＞2r=。+〃-c,

设公差为4,则三边为，Ld・b,b+d、则有

得6=4d・

即三边a、6、c分别等于3d、4d、5d.

—.3—4+4-4--5-4--d..

（H）由（1）可知，2r、a、b、2R分别为2d、3d、4d、5d,所以这是等

差数列。

66.

(1)/(j-)=3公+2”-5,令//(x)=0,得5=

1』----

当工〉】或1V—等时,/'(“)>0:

当I*V]V1时♦/'(I)<0.

故/(X)的单剧增区间为(-8,_年)和

(1.+8),单调前区间为(--1,1).

⑵