2020-2021学年安康市高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年安康市高一上学期期末数学试卷

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1.设集合4={久|/>9},B={X|(2X+1)(X—4)<0},贝IJ(CR2)UB=()

1

A.{x|-3<x<4}B.{%|--<x<3}

C.(x|—3<%<4}D,{x|—|<x<3]

2.设/'(x)=asin(7rx+a)+bcos(?rx+0),其中a,b,a,。都是非零实数，若/'(2017)=-1,那

么/(2018)=()

A.1B.2C.0D.-1

3.关于x的方程sins:=coss;(3>0),bGR,则在区间山b+勺上的个数为()

A.只有一个B.至少一个C.至少两个D.不一定有解

4.设D是含数1的有限实数集，/(X)是定义在。上的函数，若/(x)的图象绕原点逆时针旋转5后与原

图象重合，则在以下各项中f(l)的取值中可能成立的是()

A.V3B.1C.如D.0

3

(y[3x—y<0

5.若点尸(招y)满足线性约束条件|%_8丫+2之0,点火3,旧)，。为坐标原点，则•标的最大

ly>0

值为()

A.0B.3C.-6D.6

6.已知函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称，且当％G(-co,0),/(%)+%/'(%)<0成立.若a=

0202

(2-)-/(2-),b=(Zn2)-/(Zn2),c=(log2^),/(log2j),则a,b,c的大小关系是()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b

7.定义两种运算：a㊉占=。及。@8=。2+/，则函数了(汗=:二'、为()

x2—2

A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数

8.已知函数/工磷=,："11客在则函数/=配典域:#可的零点个数()

A.2B.3C.4D.5

9.将函数y=sin(2%4)图象上的点P(jt)向左平移s(s>0)个单位长度得到点P',若P'位于函数

y=sizi2%的图象上，则()

A.t=gs的最小值状B.t=归s的最小值龙

2626

C.t=gS的最小值况D.t=区S的最小值为日

2323

10.函数y=sin2x—cos2%的一条对称轴为()

A-x=-B.x=--C,x=-D,%=--

11.已函数f(=sin(2x+$(其中|0<》为了得到g(x)sn2x的象，则要将f)图象()

A.向左平移?个单位长度B.向右平移弓个单位长度

63

C.向右平移?个单位长度D.向左平移5个单位长度

63

12.设a为常数，且a>1,04%V2兀，则函数f(%)=cos?%+2asin%-1的最大值为()

A.2a—1B.2a+1C.—2a—1D.a2

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.当ae{-时，幕函数y=%a的图象不可能经过第象限.

14.已知1=(2,3),b=(1,-5)，那么石在五方向上的投影为.

15.定义：区间匕d］(c<d)的长度为d—c.已知函数y=|Iog2%|的定义域为［a,句,值域为［0,2］,则

区间阿切长度的最大值与最小值的差等于.

16.若函数/(%)=2s讥(2%+0)(-兀<w<。)的图象过点(%1)，则/(0)=.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知定义在区间［-1,1］上的函数〃x)=盗为奇函数.

(1)求实数b的值.

(2)判断函数f(x)在区间(-1,1)上的单调性，并证明你的结论.

18.已知向量1=(2,2),向量另与向量或勺夹角为拳且五不=—2,

(1)求向量方；

(2)若E=(1,0)且m，不=(cos42cos2今，其中4、B、C是AdBC的内角，若三角形的三内角4、B、

C依次成等差数列，试求|1+初的取值范围.

19.已知函数/(%)=讥2x+cos2比一siMx.

(1)求函数/'(%)图象的对称轴方程；

(2)求函数/"(%)在区间?勺上的值域.

20.已知平面向量N=(sinx+cosx,2sinx),b=(sinx-cosx,~V3cosx)，函数/Q)=a-K(xGR).

(I)求/(乃的最小正周期及单调递减区间；

(11)若me(0,兀)，/(y)=-|,求sinm的值.

21.设/'(久)=(%+1)(久+4),x<—4或%>—1,g(x)=—(%+

1)(%+4),-4<x<-1.

(1)从以下两个命题中任选一个进行证明：

①当k=9时函数y=/(%)-kx恰有一•个零点；

②当k=一1时函数y=g(x)-kx恰有一个零点；

(2)如图3所示当k>9时(如k=20),y=kx与/(%)的图象"好像"

只有一个交点，但实际上这两个函数有两个交点，请证明：当k>

9时，y=kx与/Q)两个交点.

(3)若方程Kx+1)(%+4)|=k|x|恰有4个实数根，请结合(1)(2)的研

究，指出实数k的取值范围(不用证明).

22.如图，AAOB是边长为2的正三角形，设直线％=t截这个三角形所得

到位于此直线左方的图形面积为S,求S=/(t)的解析式.

x

参考答案及解析

L答案：A

解析：解：集合a={x\x2>9]={x\x<-3或%>3],

B={x|(2x+1)(%—4)<0]={x|—|<x<4},

则CR4={X[—3<x<3},

所以(CR4)UB={X|-3<X<4].

故选：A.

化简集合4B,根据补集和并集的定义计算即可.

本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题.

2.答案：A

解析：解：/(x)=asin(nx+a)+bcos(nx+其中a,b,a,£都是非零实数，

若/'(2017)=as讥(2017兀+a)+bcos(2017n+夕)=—asina—bcos0=—1,则asina+bcos0=1,

那么/(2018)=asin(2018n+a)+6cos(2018兀+£)=asina+bcosp=1,

故选：A.

利用诱导公式求得asina+bsinp=1,由此利用诱导公式可得/(2018)的值.

本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题.

3.答案：B

解析：解：由s讥3%=cosax得,tan(i)x=1,

设y=tana)x((i)>0),

由函数的周期可得：7=今

又区间[瓦b+勺的区间长度d=间用+：—b|=g=T

(1)(i)D

即％的方程sina)%=cosa)%(3>0),bGR,则在区间由b+勺上的个数至少一个，

故选：B.

解三角方程：si九3%=cosa)%,得位几3%=1,由正切函数的周期性为T=巴及区间长度d=巴，可得

Ci)3

解.

本题考查了解三角方程及正切函数的周期性，属简单题.

4.答案:B

解析：解：由题意可得：

问题相当于圆上由6个点为一组，每次绕原点逆时针旋转g个单位后与下一个点会重合.

设/（兀）处的点为

・・•/。）的图象绕原点逆时针旋转g后与原图象重合，A1f4

・•・旋转后&的对应点4也在f（x）的图象上，,彳\

同理&的对应点A也在图象上，当------0，）松

以此类推，f（x）对应的图象可以为一个圆周上6等分的6个点，\\J

当y（l）=旧时，即2式1,8），此时公（1,一百），不满足函数定义；'''f--'''"

I

当f（l）=9时，即&（1片），此时4（1,一争，不满足函数定义；

当/⑴=0时，即4（1，0），此时&或务—务不满足函数定义；

故选：B.

直接利用定义和函数的应用求出结果.

本题考查函数值的求法，考查学生分析解决问题的能力，考查函数定义等基础知识，考查数形结合

思想，是中档题

5.答案：D

解析：解：设z=®<•峦，则z=3x+gy,即y=-Bx+京,

作出不等式组对应的平面区域如图：

平移直线丫=一百％+5，由图象可知当直线y=一百万+专

经过点4时，

直线y=-V3%+专的截距最大，此时z最大，

由忆喘+2.解得2二即心回

此时z=3x1+73x73=3+3=6,

故瓦彳-3?的最大值为6,

故选：D.

设z=Ul•丽，根据数量积的公式计算出z,作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即

可得到结论.

本题主要考查线性规划的应用，根据数量积的公式将条件化简，以及利用数形结合是解决本题的关

键.

6.答案：C

解析：解：・.・函数y=/(%—i)的图象关于点(L0)对称，

・•.函数y=/(%)的图象关于点(0,0)对称，

•••/(%)是奇函数，%/(%)是偶函数.

设gQ)=x/(x),

当％G(—co,0)时，gf(x)=/(%)+xf'(x)<0,

・•・函数g(%)在久e(一8,0)上单调递减，

・•・函数g(%)在XG(0,+8)上单调递增.

0-2

v—log2[=2>2>1>ln2>0,

•1•g(-log2}>g(2°,2)>g(伍2)；

-11

又g(Tog21)=g(iog2/，

即(log2》"(log2》>(2°2)"(2°2)>(m2)"()2);

c>a>b.

故选：C.

由y=f(x-1)的图象关点(1,0)对称,知/(%)是奇函数；令g(%)=%/(%),得9(%)是偶函数;由%G

(一8,0)时，“(%)=/(%)+%((%)<0,得函数9(%)在％e(-8,0)上单调递减，从而得g(%)在(0,+8)

上单调递增；再由-log2：=2>20,2>1>Zn2>0,得Q,b,c的大小.

4

本题考查了函数的图象与奇偶性关系以及用导数研究函数的单调性等知识，解题的关键是构造函数

9(切并求导，属于易出错的题目.

7.答案：A

解析：解：由题意得，va®b=ab,a0b=a2+b2,=,

(r®2)-2r2+2

2x

f(-X)=----=-f(x),

X2+2

・•・函数/(%)是奇函数，故答案选：A.

8.答案：C

解析：

本题考了分段函数和函数的零点，属于中档题.

写出察=.寅:真城:什田的分段函数表达式，画出函数图象，数形结合可得结果.

解：由触L富,激励得：需断口.由需・?蕊Q®得：制鬻TI.所以

|解#11+工需喳TI

；11M斛：十重：#工一31《需喧勉"2U

旗旗=道翼翔的帝山；此时，每一段都是单调递增的，且教一期=翦，

fal富卡为中.L则<,£,<□

卜备哪1r蹴亮11制泼工

教顾：=01，瞽囊：=备由此可作出其简图如下图所示(实线部分)：

由图可知，该函数有4个零点.

故选C.

9.答案：A

解析：

本题考查的知识点是函数y=Asin(a)x+(p)(A>0,3>0)的图象和性质，属于中档题.

将x=3代入y=sin(2x-9得：t=g进而求出平移后P'的坐标，进而得到s的最小值.

4jZ

解：将X=%弋入y=sin(2久一9得：t=sin£=g

4362

将函数y=sin(2%图象上的点P向左平移s个单位，

得到叫十/),

若P'位于函数y=s讥2%的图象上,

贝UsinG-2s)=cos2s=

贝！12s=±g+2k7,kEZ,

则s=±m+k兀，fcGZ,

6

由s>0得s的最小值为，

6

故选：A.

10.答案:D

解析：解：函数y=sin2x—cos2x=V2(sm2xcos--sin-cos2x)=V2sin(2x--).

444

由2%—：=/c7r+]k£Z,可得久=茎+卷fcGZ.

当k=—1时，％=-三是函数的一条对称轴，

故选：D.

利用两角差的正弦函数化简，通过正弦函数的对称性求解即可.

本题考查两角和与差的三角函数，正弦函数的对称性的应用，基本知识的考查.

1L答案：C

7T

右平移;;长朦单位

解析：解：../⑺=心+§——色-----+/(-^)=回2工一]+京=s3=(/

・・.为了到(乃=s2x的象，只要将/Xx)的图象向右移方个单长度，

选C.

利用函数y=Asn(x+0)图变换中加”右“减的原则可得到答案.

本题考查数ysi(3M)的图象变换，注意平的方向平移单是关键，也是易错点属于中档题.

12.答案：A

解析：

本题考查同角关系式及二次函数的应用，属于基础题.

利用同角关系式，将问题转化为二次函数的最值的问题即可求解.

解：f(x)=cos2%+2asinx—1

=1—sin2%+2asinx—1

—(sinx—a)2+a2,

0<%<2TT,：•—1<sinx<1,

又•••a>L所以最大值在sinx=1时取到,

fMrnax=_(1—d)2+a2=2a—1.

故选A.

13.答案：二、四

解析：解：y=%T的图象不可能经过第二、四象限

y=装的图象不可能经过第二、三、四象限

y=x的图象不可能经过第二、四象限

y=%3的图象不可能经过第二、四象限

综上所述，当ae{-时，塞函数y=*a的图象不可能经过第二、四象限

故答案为二、四

当a£{-l,p1,3}时进行逐一取值判定寻函数y=%。的图象不可能经过的象限，然后求出它们都不进

过的象限即可.

本题主要考查了累函数的图象，以及分类讨论的数学思想，属于基础题.

14.答案：—Vi?

解析：解：・・,五=(2,3)1=(1,一5)，

•••方•b=2x1+3X(―5)=—13,|a|=V22+32=VT3?

.­.3在日方向上的投影为■=滞=-V13.

故答案为：-

根据向量五花的坐标即可求出14和I初的值，然后根据投影的计算公式，即可求出了在五方向上的投

影.

本题考查了向量坐标的数量积运算，投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础题.

15.答案：3

解析：解：令/'(X)=|10g2久|=2,可得x或x=4,又因为"1)=0,则最短区间£1],其长度

为*则最长区间[%4],其长度为中，

故区间［a,句长度的最大值与最小值的差等于3,

故答案为：3.

先由函数值域求出函数定义域的取值范围，然后求出区间阿药的长度的最大值、最小值.

本题考查对数函数的定义域和值域，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题

16.答案：—\/3

解析：解：：函数/(%)=2sin(2x+0)(-兀<0<0)的图象过点今,1),•1-2sin(^+(p)=1,即sin(；+

0)=［，

"2+=6'"9=Y，f。)=2sin(2x-1),

则/(0)=2s讥(―$=-V3,

故答案为：

由图象经过定点求出3的值，可得函数的解析式，从而求得/(0)的值.

本题主要考查由函数y=4s讥(3%+租)的部分图象求解析式，由图象经过定点求出0的值，可得函数

的解析式，从而求得〃0)的值.

17.答案：解：(1)•."(%)为奇函数，

/⑶+/(-%)=0,

2%+匕,-2x+b2x+b,-2x+b2b八

13rt-

即1Fx-2-+l17~~(-Gx—)2+=lF-x-2--+-l1；——x2+l=F-x2+=l0,

解得b=0,

(2)函数/Q)在区间(-1,1)上单调递增，

理由如下：

由(1)得〃切=言，

・•.f(X)=炉+1)2=乐炉，

当久G(—1,1)时，f(x)>0恒成立，

・•・函数/(%)在区间(-1,1)上单调递增.

解析：(1)由奇函数的性质可得/(%)+/(-%)=0,由此可求得b值，

(2)由(1)中解析式，利用导数法法，可得函数在区间上的单调性.

本题考查奇函数的性质及其应用，函数的单调性，属基础题.

18.答案：解：(1)设另=Q,y),则2x+2y=—2①，

又㈤=&=1=々+〃②，

联立解得｛江/或｛;即，

：.b=(-1,0)或方=(0,-1);

(2)由三角形的三内角4、B、C依次成等差数列，・••Bug,

••,bit,JLt=(1,0),b=(0,—1).

・•・b+c=(cosA,2cos--1)=(cosA,cosC),

/.|b+c|2=cos2A+cos2C

1

=1+-(COS2T4+cos2C)

=1+；cos2.4+co«2—4)

A427r7Tc▲TT77r

()V-A<,—V2-4——<•,

3666

・••-：<sin(2i4—^)<1,

V2,T*->।Vs

••一<D+C<一•

2112

解析：本题考查了平面向量数量积的运算，考查了等差中项概念，三角的恒等变换，三角函数的性

质，属于中档题.

⑴设出向量石=(3)，由向量b与向量弹勺夹角为亨及本3=-2得到关于尤、y的二元方程组，求解

后可得向量3的坐标；

(2)由三角形的三内角4、B、C依次成等差数列求出角B,再根据31£确定石，运用向量加法的坐标

运算求出3+3代入模的公式后利用三角恒等变换化简，最后根据角的范围确定模的范围.

19.答案:解：(1)函数/(%)=V3sin2x+cos2%—sin2%—V3sin2x+cos2x=2sin(2x+9

令2x+?="+*求得久=4+g故函数/(%)图象的对称轴方程为“今+gkeX.

(2)在区间［―2柒上，2x+江产，等,故当2x+.=J时，中)取得最小值为—1,

当2x+”拊，/(%)取得最大值为2,

故函数/(%)在区间［-，柒上的值域［-1,2］.

解析：(1)利用三角恒等变换化简/。)的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性求出函数/(X)图象

的对称轴方程.

(2)利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f(x)在区间[-上的值域.

本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题.

20.答案：解：(l)f(x)=五•6=siMx—cos2久—2V^sinxcos久

=—cos2x—y/3sin2x=—2sin(2x+)

故T=g=7T,又令2x+旨[-]+2k7r(+2k7r](keZ),

解得单调递减区间为：xe

(2)/(y)=-|^sin(m+5=j,

又sin(m+，)=|<|=sin^=>m+e(0,^)U(7,兀),

ODZOOOO

又zn6(0,兀)，故m+£E(詈，兀)=cos(m+3)=一一，

sinm=sin[(m+£)—3]=*sinQn+看)—^cos(m+%)=包高生.

解析：(1)先利用数量积的定义结合三角恒等变换将函数/(%)化简成4s讥(3%+a)的形式，然后结合

正弦函数的单调性构造关于％的不等式求解即可；

(2)先根据题意求出sin(m+》，cos(m+》的值，然后借助于角的变换即6=(巾+$-*和三角公

式求值即可.

本题考查三角恒等变换以及数量积的运算，同时考查学生的运算能力，属于中档题.

21.答案：

解：(1)当k=9时，/(%)-fcx=(%+1)(%+4)-9%=(%-2尸,

令/(%)=0，解得：％=2,

即函数y=/(%)-k%恰有一个零点，且此零点为2,

选②证明，

证明：当k=-1时,g(%)=—(%+1)(%+4)+%=—(%+2)2,

令g(%)=o,解得：x=-2,

所以函数y=g(%)-k%恰有一个零点，且此零点为一2,