2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题变式题18-22题-（解析版）

2021年全国新高考I卷数学试题变式题18-22题

原题18

1.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A,B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类

问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答

正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结

束4类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答

正确得80分，否则得。分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答3

类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

变式题1基础

2.某商店欲购进某种食品（保质期为两天），且该商店每两天购进该食品一次（购进时，

该食品是刚生产的）.根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无

法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响.为了解市场的需求情况，现

统计该食品在本地区100天的销售量，如下表：

销售量（份）15161718

天数20304010

（1）根据该食品在本地区100天的销售量统计表，记两天一共销售该食品的份数为4，

求€的分布列与数学期望；（视样本频率为概率）

（2）以两天内该食品所获得的利润的数学期望为决策依据，若该商店计划一次性购进

32份或33份该食品，试判断哪一种获得的利润更高.

变式题2基础

3.某品牌餐饮企业为满足人们餐饮需求、丰富产品花色、提高企业竞争力，研发了一款

新产品.该产品每份成本60元，售价80元，产品保质期为两天，若两天内未售出，则产

品过期报废.由于烹制工艺复杂，该产品在最初推广阶段由企业每两天统一生产、集中配

送一次.该企业为决策每两天的产量，选取旗下的直营连锁店进行试销，统计并整理连

续30天的日销量（单位：百份），假定该款新产品每日销量相互独立，得到右侧的柱状图：

天数

（1）记两天中销售该新产品的总份数为欠单位：百份），求彳的分布列和数学期望；

（2）以该新产品两天内获得利润较大为决策依据，在每两天生产配送27百份、28百份

两种方案中应选择哪种？

变式题3巩固

4.某班体育课组织篮球投篮考核，考核分为定点投篮与三步篮两个项目.每个学生在每

个项目投篮5次，以规范动作投中3次为考核合格，定点投篮考核合格得4分，否则得

0分；三步篮考核合格得6分，否则得。分.现将该班学生分为两组，一组先进行定点投

篮考核，一组先进行三步篮考核，若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，直

接判定为考核不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目进行考核，无论第二个

项目考核是否合格都结束考核.已知小明定点投篮考核合格的概率为0.8,三步篮考核合

格的概率为0.7,且每个项目考核合格的概率与考核次序无关.

（1）若小明先进行定点投篮考核，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由.

变式题4巩固

5.绿水青山就是金山银山，生态环境日益受大家重视.2021年广州市某公司为了动员

职工积极参加植树造林，在3月12日植树节期间开展植树有奖活动，设有甲、乙两个

摸奖箱，每位植树者植树每满15棵获得一次甲箱内摸奖机会，植树每满25棵获得一次

乙箱内摸奖机会.每箱内各有10个球（这些球除颜色外全相同），甲箱内有红、黄、黑

三种颜色的球，其中“个红球、6个黄球、5个黑球乙箱内有4个红球和

6个黄球.每次摸出一个球后放回原箱，摸得红球奖100元，黄球奖50元，摸得黑球

则没有奖金.

（1）经统计，每人的植树棵数X服从正态分布N（20,25）,现有100位植树者，请估计

试卷第2页，共10页

植树的棵数X在区间（15,25）内的人数（结果四舍五入取整数）；

（2）某人植树50棵，有两种摸奖方法：方法一：三次甲箱内摸奖机会；方法二：两次

乙箱内摸奖机会；请问：这位植树者选哪一种方法所得奖金的期望值较大？

附参考数据：若XN（〃,CT2）,则尸（M—b<X44+b）B0.6827,

P（〃-2cr<XW〃+2o•b0.9545.

变式题5提升

6.为加强防疫宣传，某学校举行防疫知识问答竞赛，竞赛共有两类题，第一类是5个

中等难度题，每答对一个得10分，答错得。分，第二类是数量较多、难度相当的难题，

每答对一个得20分，答错一个扣5分.每位参加竞赛的同学从这两类题中共抽出4个

回答（每个题抽后不放回），要求第二类题中至少抽2个.学生小明第一类5题中有4

个答对，第二类题中答对每个问题的概率都是=.

（1）若小明选择从第一类题中抽两个题，求这次竞赛中，小明共答对3个题的概率；

（2）若小明第一个题是从第一类题中抽出并回答正确，根据得分期望给他建议，后面

三个题应该选择从第二类题中抽出多少个题回答？

变式题6提升

7.在我国，11月9日的月日数恰好与火警电话号码119相同，而且这一天前后，正值风

干物燥、火灾多发之际，全国各地都在紧锣密鼓地开展冬季防火工作，为增加全民的消

防安全意识，于1992年发起，公安部将每年的11月9日定为全国的“消防日”.为切实提

高中学生消防安全知识，增强火灾的应对能力，某市特举办以“消防安全进万家，平安

相伴你我他”为主题的知识竞赛，甲、乙同学将代表学校参加.为取得好成绩，二人在

消防知识题库中各随机选取50题练习，每题答对得5分，答错得。分，练习结果甲得200

分，乙得150分.若以二人练习中答题正确的频率作为竞赛答题正确的概率，回答下列

问题.

⑴竞赛第一环节，要求甲乙二人各选两题做答，每题答对得5分，答错不得分，求甲

乙二人得分和的概率分布列和期望；

（2）第二环节中，要求二人自选两道题或四道题做答，要求一半及一半以上正确才能过

关，那么甲乙二人怎样选择，各自过关的可能性较大.

原题19

8.记.ABC是内角A,B,C的对边分别为。，b,c.已知点。在边AC上,

BDsinZABC=asinC.

(1)证明：BD=b；

(2)^AD=2DC,求cosZAfiC.

变式题1基础

9.在,ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，J12acosC-/>cosC=ccosS.

(1)求角C；

(2)若a+6=2,求c的取值范围.

变式题2基础

10.设三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且a=»sinA.

(1)求角8的大小；

(2)若a=3G，b=41,且三角形ABC是锐角三角形，求。的值

变式题3巩固

11.在二ABC中，内角A,B,C的对边分别是。，b,。，已知“sinB=〃sin(

(1)求角A的大小；

(2)若。是线段BC上的点，AD=BD=2,CD=4,求A3的长.

变式题4巩固

12.已知在43c中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosC+且c=%.

2

(1)求角A的值；

(2)若a=l,求26的取值范围.

变式题5提升

13.已知,ABC的三个内角A,B,C的对边分别为“，b,。满足

(/?cosC+ccosB)sinB+\/3A>cosA=0.

(I)求A；

(2)若c=2,a=2x/3,角8的角平分线交边AC于点。，求8。的长.

变式题6提升

14.已知在‘ABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,sinA:sinB=6:5,cosC=1.

(1)求cosA的值；

(2)若点线段AB上的一点。满足。。08=0，求cosNDCB的值.

原题20

15.如图，在三棱锥A-BCD中，平面的£)1.平面BCD,AB^AD,。为8£)的中点.

试卷第4页，共10页

(1)证明：0A1CD；

(2)若,.OC£＞是边长为1的等边三角形，点E在棱A£＞上，DE=2EA,且二面角

E-BC-D的大小为45°,求三棱锥A-BCD的体积.

变式题1基础

16.如图，已知正四棱锥P-ABC。底面边长为。，高P0力a,过AC且与尸8平行

2

的平面交尸。于点E.

(1)求证：OE工PD,OE1AC；

(2)求三棱锥P-ACE的体积.

变式题2基础

17.如图，在四棱锥S-M8中，SAJ■平面A3CD,底面ABC。为直角梯形，AD//BC,

ZABC=90°,SA=AB=AD=],BC=2.

(I)求证：ADISB；

(ID求三棱锥O-SBC的体积.

变式题3巩固

18.如图所示，在三棱锥A-BCD中，CD1BD,AB=AD,E为BC的中点.

⑴求证：AE1BD；

⑵设平面ABDJ_平面BCD,AD=CD=2,BC=4,求三棱锥D-ABC的体积.

变式题4巩固

19.如图①，在等腰梯形ABCD中，AB//CQE,尸分别为的中点

CD=2AB=2EF=4,M为DF中点，现将四边形BEFC沿E/7折起，使平面BEFC_L平面

AEFD,得到如图②所示的多面体，在图②中.

(1)证明：EFLMC；

(2)求三棱锥的体积.

变式题5提升

20.如图，在三棱锥A-BCD中，平面43£)_L平面8C。，AB=AD,。为的中点.

试卷第6页，共10页

K

（1）证明：OAA.CD-,

（2）若08是边长为2的等边三角形，点E在棱AO上，OE=2E4且二面角

E-BC-。的大小为60,求三棱锥A-8C£＞的体积.

原题21

21.在平面直角坐标系火刀中，已知点耳（-J万,0）、8（＞/万,0川叫|-|g|=2,点.

的轨迹为C.

（1）求C的方程；

（2）设点T在直线x=g上，过T的两条直线分别交C于A、8两点和P,。两点，且

\TA\-\TB\^\TP\-\TQ\,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

变式题1基础

22.在平面直角坐标系xOy中，点E到两点6（-1，0）,月（1,0）的距离之和为2近，设点

E的轨迹为曲线C.

（1）写出C的方程；

（2）设过点玛（1,0）的斜率为2（ZwO）的直线/与曲线C交于不同的两点/，N,点P

在）'轴上，且1PMi=归M，求点尸纵坐标的取值范围.

变式题2基础

23.已知双曲线C以耳（一2,0）、鸟（2,0）为焦点，点A（-l,0）在双曲线C上.

（1）求双曲线C的方程；

（2）若斜率为1的直线机与双曲线C相交于A、B两点,且。（。为坐标原点），

求直线〃，的方程.

变式题3巩固

24.在平面直角坐标系xOy中，已知动点P到点尸（2,0）的距离与它到直线x的距离

之比为过1.记点尸的轨迹为曲线C.

3

(1)求曲线C的方程；

(2)过点尸作两条互相垂直的直线4,勾.4交曲线C于A,8两点，4交曲线C于S,

T两点，线段AB的中点为线段ST的中点为N.证明：直线MN过定点，并求出

该定点坐标.

变式题4巩固

25.已知动圆与圆6：(x+5『+y2=49和圆石：(x—5)?+y2=l都外切.

(1)证明动圆圆心M的轨迹C是双曲线的一支，并求其方程；

(2)若直线AB与轨迹C交于4,B两点.Q(3,0),记直线A。和8。的斜率分别为人，

心，且3秘2+16=0,QPLAB于点P.证明：存在点M使得|八囹为定值.

变式题5提升

26.已知双曲线C：H=l(a>0,b>0)的离心率为且，双曲线上的点到焦点的最小距

ab'2

离为"-2.

(1)求双曲线C的方程；

(2)四边形MNP0的四个顶点均在双曲线C上，且MQ//NP,MQLx轴，若直线

和直线。P交于点5(4,0),四边形MNP。的对角线交于点。，求点。到双曲线C的渐

近线的距离之和.

变式题6提升

22

27.已知双曲线C:0-\=l(a>O力>0)的实半轴长为1,且C上的任意一点〃到C的

3

两条渐近线的距离乘积为T

(1)求双曲线C的方程；

(2)设直线/过双曲线C的右焦点F,与双曲线C相交于RQ两点，问在x轴上是否存

在定点。，使得NPQ2的平分线与x轴或>轴垂直？若存在，求出定点。的坐标;否则，

说明理由.

原题22

28.已知函数〃x)=x(l-lnx).

(1)讨论f(x)的单调性;

试卷第8页，共10页

(2)设。，6为两个不相等的正数，且从na-alnb=a-b,证明：2<-+-<e.

ab

变式题1基础

29.已知函数/(x)=lnx+ar+Z?,a,»£R.

(1)讨论/*)的单调性；

(2)当。=0,和弓为两个不相等的正数，证明：/，)；/(*)>五

2x}+x2

变式题2基础

30.已知函数/(尤)=abvc+x2+x

(1)讨论函数/(X)的单调性；

(2)设。<0,若不相等的两个正数“々满足八用习〈工2)，证明：尸(近产)>0.

变式题3巩固

31.已知函数〃++R).

(1)当”>1时，讨论的单调性；

(2)设函数g(x)=f(x)+”,若存在不相等的实数为，%使得g&)=g(5)，证

明：0<m<X+九2.

变式题4巩固

32.已知函数/(x)=lnx+/nr,meR.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若8(》)=/。)+3*2有两个极值点为,*2,求证：g(xJ+g(%2)+3<0.

变式题5提升

33.设函数/(x)=-/Inx+V-ar(aeR).

(1)试讨论函数.f(x)的单调性；

(2)设奴x)=2x+(a2-a)]nx,记〃(x)=/(x)+奴x),当”>0时，若方程〃(x)=m(/neR)

有两个不相等的实根七，x”证明"(土产)>0.

变式题6提升

34.已知函数/(x)=lnx.

(1)讨论函数g(x)=f[x)-av(aeR)的单调性；

(2)设函数F(x)=/(x)-[㈠为自然对数的底数)在区间(1,2)内的零点为x°,记

zw（x）=minjv（x）,京）（其中min{a,〃}表示a,分中的较小值），若〃?（犬）="（〃€/?）在区

间（l,y）内有两个不相等的实数根与，入2（氏<9），证明：A,+X2>2x0.

试卷第10页，共10页

参考答案：

1.（1）见解析；（2）B类.

【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分X的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可.（2）

与（1）类似，找出先回答8类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可.

【详解】（1）由题可知，X的所有可能取值为0,20,100.

p(X=0)=l-0.8=0.2；

产(X=20)=0.8(1—(16)=0.32；

=100)=0.8x0.6=0.48.

所以X的分布列为

X020100

P0.20.320.48

（2）由（1）知，£（X）=：0x0.2+20x0.32+100x0.48=54.4.

若小明先回答8问题，记y为小明的累计得分，则y的所有可能取值为0,80,100.

p（y=0）=l-0.6=0.4；

p（y=80）=0.6（l-0.8）=0.12；

P（X=100）=0.8x06=0.48.

所以£（¥）=0x0.4+80x0.12+100x0.48=57.6.

因为54.4<57.6,所以小明应选择先回答B类问题.

2.（1）分布列见解析，32.8；（2）当一次性购进32份该食品时，获得的利润更高.

【分析】（1）根据题意，两天一共销售该食品的份数为4的取值依次为3（）,31,32,33,34,35,36,

求出各概率得分布列，再由期望公式计算出期望；

（2）根据（1）的分布列求出购进32份和33份该食品的利润期望，比较可得.

【详解】（1）根据题意，两天一共销售该食品的份数为4的取值依次为30,31,32,33,34,35,36,

P（"30）=d，

I33

p（^=31）=-x—x2=—,

'751025

答案第1页，共42页

%=32）=衿⑶^

s2al1-32^7

P（J=33）=—x—x2+—x—x2=—

1751010525

皿,八31o2211

1710105550

21?

尸（4二35）=—x—x2=—,

,751025

P（^=36）=—x—=—^―,

,71010100

所以4的分布列为

g30313233343536

13£71121

P

25254255025Too

13171121

所以七《)=30X——+31X——+32X—+33x——+34x——+35x——+36x——=32.8

25254255025100

(2)当一次性购进32份时，利润的数学期望为

213I

32x4x-+（31x4-8）x_+（30x4-16）x_=l25.6

当一次性购进33份时，利润的数学期望为

59131

33x4x-^+（32x4-8）x-+（31x4-16）x^+（30x4-24）x—=124.68,

由125.6>124.68可知，当一次性购进32份该食品时，获得的利润更高.

3.(1)分布列答案见解析，数学期望：27.4；(2)选择每两天生产配送27百份.

【分析】(1)根据相互独立事件概率计算公式，计算出4的分布列并求得数学期望.

(2)分别计算出配送27百份、配送28百份所获利润，由此作出决策.

【详解】（1）根据题意可得,4的所有可能取值为24,25,26,27,28,29,30.

p（^=24）=—X—=—

''1010100

133

p（^=25）=—x—x2=—

'）101050

„/„八八123317

P（£=26）=—x—x2+—x—=---

v71051010100

_/„1233c7

=27）=—x—X2H--x—x2=—

'7105101025

八/尸31c227

P（g=28）=—x—X2H—x—=—

'71055525

答案第2页，共42页

214

p(^=29)=-x-x2=—

P(J=30)=聂总

4的分布列如下:

€24252627282930

13177741

P

loo5010025252525

I3177741

£⑶=24x——+25X——+26X——+27x——+28x——+29x——+30x——=27.4

v71005010025252525

(2)当每两天生产配送27百份时，利润为

1Q17

(24x20—3x60)x——+(25x20-2x60)x—+(26x20-lx60)x——

I7100v750v7100

117

+27x20x(1---------)=514.4百元.

100100

当每两天生产配送28百份时，利润为

1317

(24x20-4x60)x——+(25x20-3x60)x—+(26x20-2x60)x——.

'710050100

712

+(27x20-lx60)x—+28x20x—=492.8HTC.

由于514.4>492.8,

所以选择每两天生产配送27百份.

4.(1)分布列答案见解析；(2)小明应选择先进行定点投篮考核，理由见解析.

【分析】(1)由已知可得，X的所有可能取值为0,4,10,分别计算出概率得分布列；

(2)由(1)求出期望风X),再求得小明先进行三步篮考核，记丫为小明的累计得分的分

布列，计算出期望后(丫)，比较期望的大小可得.

【详解】解：(1)由已知可得，X的所有可能取值为0,4,10,

则尸(X=0)=l-0.8=0.2,

尸(X=4)=0.8x(1-0.7)=0.24,

P(X=10)=0.8x0.7=0.56,

所以X的分布列为：

X0410

答案第3页，共42页

P0.20.240.56

(2)小明应选择先进行定点投篮考核，理由如下：

由(1)可知小明先进行定点投篮考核，累计得分的期望为

E(X)=0x0.2+4x0.24+10x0.56=6.56,

若小明先进行三步篮考核，记y为小明的累计得分，

则y的所有可能取值为o,6,io,

p(y=0)=1-0.7=0.3,

p(y=6)=0.7x(1-0.8)=0.14,

P(y=10)=0.7x0.8=0.56,

贝ijy的期望为E(y)=0x0.3+6x0.14+10x0.56=6.44,

因为E(X)>E(y),

所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先进行定点投篮考核.

5.(1)68人；(2)第二种方法所得奖金期望值大.

【分析】(1)根据正态分布三段区间的概率值，求特殊区间概率，进而求得植树在(15,25)内

的人数.

(2)由题设a+b=5,确定甲箱摸奖的概率，注意参数的取值范围求期望值的最值，再由

乙箱摸奖的概率求期望值，比较它们的大小.

【详解】(1)由题设，〃=20,b=5,而P(15<X<25)=P(〃一b<X<〃+b)a0.6827,

100位植树者中植树的棵数在(15,25)内的人数为100x0.6827768人.

(2)摸甲箱：由题设知”+。=5,故中100元、50元、没中奖的概率分别为2、：、g；

23

摸乙箱：中100元、50元的概率分别为二、

二甲箱内一次摸奖，奖金可能值为X={0,50,100},且P(X=0)=g,P(X=50)=\,

P(X=100)=e,贝lJE(X)=0x」+50x2+ioox_l=5b+10q=25+5。，

1021010

三次摸奖的期望为3E(X)=75+15。,而。可能取值为{1,2,3,4},g[J3£(X)<135.

两次乙箱内摸奖，所得奖金可能值为X={100,150,200},

答案第4页，共42页

39231224

P(X=100)=C^(-)2=—,P(X=150)=C^(-)(-)=—,P(X=200)=C；(12=

JNJJJJ乙D

9124

此时，期望奖金为耳(X)=100x元+150x芯+200x云=140元.

综上，3£(X)<135<£,(%)=140,故第二种方案摸奖期望值大.

6.(1)4；(2)第二类题目中选3道.

【分析】(1)小明共答对3个题有两种情况：第一类题目答对2道，第二类题答对1道或第

一类题目答对1道，第二类题答对2道，分别求概率再相加即可求解：

(2)有两种情况：第一类题目选。道，第二类题目选3道或第一类题目选1道，第二类题目

选2道，分别计算两种情况下后三道题目得分的期望，即可求解.

【详解】(1)小明共答对3个题有两种情况：

当第一类题目答对2道，第二类题答对1道时，

第一类题目答对2道概率为段=《=|,第二类题答对1道概率为C；xqx(l-£|=B，

此时小明共答对3个题概率为:3xB3=弓9，

5840

当第一类题目答对1道，第二类题答对2道时，

1

r'C42，八2Q

第一类题目答对1道概率为罟=m=于第二类题答对2道概率为

此时小明共答对3个题概率为彳2>39==9，

51640

所以小明共答对3个题的概率为芯9+《9==9，

404020

(2)由题意知：有以下两种情况：

第一类题目选0道，第二类题目选3道，

第二类题目答对的数学期望为3>4=g,答错的期望为3x[1-1]=],

44I4J4

所以这三道题得分的数学期望为gx20-]x5=学分，

444

第一类题目选I道，第二类题目选2道，

由于小明第一个题是从第一类题中抽出并回答正确，则剩下的4个题中有3个会做,

第一题得分的期望为310=]分，

第二题得分的期望为『32'20-(113-3、卜2*5=不55分，

答案第5页，共42页

所以这三道题得分的数学期望为1+苧=35分，

因为粤＞35,所以应从第二类题目中选3道.

4

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点选对正确的分布模型，才可准确求出概率以及数学

期望，作出正确的决策.

7.(1)分布列见解析，数学期望为14；(2)甲选4道题，乙选2道题.

【分析】(1)求出甲答题的正确率和乙答题的正确率，设甲乙二人得分和的随机变量为X,

则X的可能取值为0,5,10,15,20,进而求出相应概率并列分布列，利用数学期望的

计算方法计算即可；

(2)分别求出甲乙选2题和选4道题的过关率，即可判断.

【详解】解：(1)由已知得，甲答题的正确率为券=0.8,乙答题的正确率为券=0.6,

设甲乙二人得分和的随机变量为X,则X的可能取值为0,5,10,15,20.

则P(X=0)=(1-OB)?x(1-06)2=0.0064

P(X=5)=CJX(1-0.8)X0.8X(0.4)2+CX1-0.8)2X(1-0.6)X0.6=0.0704

p(X=10)=(1-0.8/x(0.6『+(0.8)2x(l_0.6『+@x(l-0.8)x0.8x

C；x(l—0.6)*0.6=0.2704

p(X=15)=C；x(1-0.8)x0.8x(OS)?+C；(0.8『x(1-0.6)x0.6=04224

X=20)=(0.8)2x(0.6)2=0.2304

X的分布列为

X05101520

P0.00640.07040.27040.42240.2304

£(%)=0x0.0064+5x0.0704+10x0.2704+15x0.4224+20x0.2304=14

(2)甲选2题,过关率为1-(1-0.8『=0.96

甲选4题时，过关率为1—(1-0.8)4-CJX0.8X(1-0.8)3=0.9728

答案第6页，共42页

•••甲选4道题

乙选2题，过关率为1-(1-0.6『=0.84

乙选4题，过关率为1一(1一0.6)4-C：x0.6x(l-0.6)3=0.8208

，乙选2道题.

8.(1)证明见解析；(2)cosZ4BC=4.

【分析】(1)根据正弦定理的边角关系有BQ=^,结合已知即可证结论.

h

(2)方法一：两次应用余弦定理，求得边。与。的关系，然后利用余弦定理即可求得

cos/ABC的值.

【详解】(1)设.A8C的外接圆半径为R,由正弦定理，

bc

得sinZABC=一,sinC=上，

2R2R

be

因为80sinNABC=asinC,所以30---=。---,即BZ>b=ac.

2R2R

又因为b?=〃c,所以BD=b.

(2)［方法一］【最优解】：两次应用余弦定理

2»22

因为4)=2QC,如图，在，ABC中，cosC="+'一，',①

lab

由①②得力+从-。2=3Y+gy-/，整理得2/一日从+°2=（）.

又因为b,=ac,所以6a°—1iac+3c2=0,解得a或4=会，

当a=:/=ac=J时，a+h=-+^^-<c（舍去）.

3333

答案第7页，共42页

,（2S>+C2_£

当〃=时，cosZABC=^--——2-=—

222.至.c12

2

7

所以cosZ48C=—.

12

［方法二］:等面积法和三角形相似

2

如图,已知AD=2DC'则S△八6八二"S^ABC.

I921

即一x一sinZ.ADB=—x—tzcxsinZ.ABC,

2332

故有NA£y3=/43C,从而ZABD=NC.

brCQA

由j,即丁1gP-=-,即."S,3

2b

,,ADAB——

故一=—,w即n3£,

ABAC-y

b

2

又b?=ac,所以。=§〃，

7

则cosZABC=c+"-"

2acn

［方法三］：正弦定理、余弦定理相结合

21

由（1）知5O=b=AC,再由AD=2OC得AO=-b,CO=-b.

33

AnBD

在中，由正弦定理得

sinA

2

又ZABD=/C,所以二_b,化简得sinC=-sinA.

sinC一sin423

22

在，/IBC中，由正弦定理知C=§a,又由层="C,所以从=］/.

24222

22_J_2a4—a—a

在：ABC中，由余弦定理，得cosNABC=%:工=一.3

2以2x2〃

3

答案第8页，共42页

7

故cosZABC=—.

12

I方法四］:构造辅助线利用相似的性质

如图，作。石〃交BC于点、E,则△OECsAzmc.

由AD=2OC,得DE=&EC=jBE=2.

333

(笠+(守-从

在.BED中，cosNBED=」一~#-----.

22«£

Ta

〃2.62_1/1

在.ABC中cosZABC=-~~.

2ac

因为cosZABC=—cos/BED，

所以

lac2ac

/.,—,一

33

整理得6a2-1g2+3。2=0.

又因为从=〃c,所以6/-1lac+3c2=0,

即白二：或.二会.

下同解法L

［方法五］:平面向量基本定理

因为A£>=2£)C,所以AO=2£)C.

21

以向量BA,BC为基底，^BD=-BC+-BA.

一,242412

所以30=-BC+-BABC+-BA,

999

即从=-a2+-accosZABC+-c2,

999

又因为〃=ac,W9ac=4c/24-4ac-cosZABC4-c2.③

答案第9页，共42页

由余弦定理得b2^a2+c2-2accosZABC，

所以ac=/+c：-2accosZABC④

联立得6/-11碇+3c2=0.

31

所以。=；。或〃=一。.

23

下同解法1.

［方法六］:建系求解

以。为坐标原点，AC所在直线为x轴，过点。垂直于AC的直线为y轴,

DC长为单位长度建立直角坐标系，

如图所示,则0（0,0）,A（-2,0）,C（1,0）.

由（1）知，BD=b=AC=3,所以点B在以。为圆心，3为半径的圆上运动.

设8（x,y）（-3Vx<3）,则/+丁=9.⑤

由后=或知，忸A|•忸C|=|AC「，

BPyl（x+2）2+y2-y］（x-l）2+y2=9.@

7705

联立@©解得x=—;或x=（舍去），/二

4216

代入⑥式得a=|BC|=,c=|BA|=娓,b=3,

2

2

由余弦定理得cos/A8c="c*=L.

2ac12

【整体点评】（2）方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质

和正余弦定理的性质解题；

方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单

的问题，相似是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；

方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系

答案第10页，共42页

的不错选择；

方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运

算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；

方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使

得问题更加直观化.

9.(1)C=1；(2)［1,2).

【分析】(1)由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式结合诱导公式求出cosC,结合

角C的范围即可求解；

(2)利用余弦定理将,2表示为关于。的二次函数，结合0<。<2求出,?的范围，进而可得c

的取值范围.

【详解】(1)由正弦定理得2sinAcosC-sin8cosC=sinCcos3,

即2sinAcosC=sinBcosC+sinCeosB,

2sinAcosC=sin(B+C)=sin(元一A)=sinA,

因为A£(0,2,所以sinAwO,所以cosC=；,

7T

又因为Ce(O,兀)，所以C=］；

(2)由。+8=2得人=2-且0<。<2

jr

由(1)知：C=p由余弦定理得：

c2=a2+b2-2abcosC=a2+(2-a)2-a(2-a)

=3tJ2-6a+4=3(«-l)2+l

当0<a<2时，由二次函数的性质知：

y=3(。-iy+1的值域为［1,4),当且仅当。=1时取等号，此时。=1,

所以1W<4,即1KcV2

所以。的取值范围为［1,2).

10.(1)8=£或8="；(2)5.

66

【分析】(1)利用正弦定理将已知条件边化角即可求解；

⑵由己知8=4,利用余弦定理可求得C的值，结合；A5C为锐角三角形，则〃+C?-/>0,

O

答案第11页，共42页

得c>2石，从而可得答案.

【详解】解：在三角形ABC中，由"=2/jsinA,根据正弦定理得sinA=2sinBsinA,

XsinB>0,所以sinB=J,

因为0<8〈万，

所以8=9或8=

66

TT

(2)因为二ABC为锐角三角形，所以6=m，

6

因为a=3G,b=y/1,

所以由余弦定理，得/=/+c2—2accos3,即7=27+c2-2x3gx且c,

2

解得c=5或c=4,

又,A3C为锐角三角形，所以y+/-/>(),即c〉2后，

所以。=5.

11.(1)y;(2)26.

【分析】(1)由正弦定理化边为角，再由三角函数恒等变换公式变形可求得A；

(2)在一ABC.A80..A8中分别应用余弦定理可求得A8.

【详解】(1)asinB=Z?sin(A-W),由正弦定理得sinAsin3=sin,

式乃乃］百

sinAsinB=sinBs\n(A)=sin8(sinAcoscosAsin—=—sinAsin8cosAsin3,

33322

—sinAsinBcos/lsin8=0,B是三角形内角，sin3w0,则，sinA+—cos/4=0,

2222

sin(A+1)=0,因为Ae(0z),所以A+g=7t,即4=与；

(2)设AB=x,AC=y,

45c中由余弦定理得/+)「一2盯cos聋=6?,即x2+y2+盯=36①，

在△ABD中2?+2)—8cosZADB=d②，

△ACD中，42+22-16cosZADC=y2®

因为ZA£>C+ZADB=180°,cosZADB+cosZADC=0,

所以②x2+③得36=2x2+y2@

由①④联立可解得x=y=2g.

答案第12页，共42页

所以A8=2百.

12.(1)A=1；⑵(-2,6)