全等三角形综合训练（四）（解析版）

全等三角形综合训练（四）1．如图，在正方形中，对角线相交于点O．E、F分别为上一点，且，连接．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵四边形是正方形，∴．∵，∴为等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴．在和中，，∴（SAS）．∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴．故选：B．2．如图，将纸片沿折叠使点落在点处，且平分，平分，若，则的大小为A．44° B．41° C．88° D．82°【答案】C【详解】解：如图，连接．，．平分，平分，，．．．由题意得：．．，，．故选：C．3．如图，在等边三角形中，在AC边上取两点使．若，，，则以为边长的三角形的形状为（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定【答案】C【详解】解：如图所示：将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH，连接HN，由旋转性质可知，BM=BH，CH=AM，，，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，∵∠MBN=30°，∴∠ABM+∠CBN=30°，∴∠NBH=∠CBH+∠CBN=∠ABM+∠CBN=30°，∴∠NBM=∠NBH，在△NBM与△NBH中，，∴△NBM≌△NBH（SAS），∴MN=NH=x，∵∠BCH=∠A=60°，CH=AM=m，∴∠NCH=120°，∴以x，m，n为边长的三角形△NCH是钝角三角形．故选：C．4．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是BC，AB上的点，且BE＝CD，AD与CE相交于点F，连接BF，延长FE至G，使FG＝FA，若△ABF的面积为m，AF：EF＝5：3，则△AEG的面积是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵是等边三角形，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴是等边三角形，，，即，在和中，，，，又，，，，（同底等高），∵，，∴，∴，∴，∴，即的面积为，故选：A．5．已知：如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，，，则的长为___________．【答案】【详解】解：在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接．∵，，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，

∴，∴，∴，∵，∴，故答案为：．6．如图，已知在四边形中，连接、，，，，，若，则的面积是________．【答案】【详解】如图，以为边向上作等边，连接．∵为等边三角形，∴，，∵，，∴，∴，即，∴，∴，∴．又∵，，∴，∴．∵，∴为等边三角形．∵，∴等边的边长为4．∴．故答案为：．7．如图，长方形中，，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，将绕着点E顺时针旋转45°到的位置，连接和，则的最小值为_____．【答案】【详解】解：如图：将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接交于J．∵四边形是矩形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴点G的在射线上运动，∴当时，的值最小，∵，∴，∴，∴，∴四边形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∴的最小值为．8．如图，，都是等边三角形，，相交于点．①；②；③平分；④平分，则以下结论中正确的是______（填序号）．【答案】①③【详解】①证明：和都是等边三角形，，，，，即，在和中，，，即①正确；②解：由①知：，，，在中，，，即②错误；③证明：连接，过点分别作，，垂足为点，，如图所示：由①知：，，，，点在的平分线上，即平分，③正确；④证明：连接，如图所示：由③知，平分，，，，由①知，，，根据三角形内角和定理，可知在和中，即不平分，④错误；故答案为：①③．9．如图，在中，，，，平分交于点，过点作交于点是上的动点，是上的动点，则的最小值为________．【答案】8【详解】解：如图，过作于点，连接，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，作点关于的对称点，连接，则，∴点在直线上，，∴的最小值为的长，且当时，最小，此时点与点重合，∴的最小值为．故答案为：．10．如图，，，，，，连接，，则的面积是___________．【答案】【详解】解：如图，过点A作于A，交FD的延长线于G，过点F作于H，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴四边形CAHF是矩形，∴，，故答案为∶．11．在等腰中，，，动点F在射线BC上，点E是AF上一点．(1)如图，若点F在延长线上，点D为内一点，且满足，，求证：．(2)如图，若点F在边BC上，且满足，，面积为33，求AE的长．【答案】(1)见解析；(2)AE的长为6【详解】（1）证明：∵，，∴，∴，∵，，∴，∴．（2）解：过点C作较的延长线于点G，连接，如图所示：则，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，即，解得：或（舍去），故AE的长为6．12．（1）如图，在四边形中，，．E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法：延长到点G，使．连接．先证明，再证，可得出结论，他的结论应是___________．【灵活运用】（2）如图，若在四边形中，，，F、F分别是、上的点．且，上述结论是否仍然成立？请说明理由．【延伸拓展】（3）如图，在四边形中，，．若点E在的延长线上，点F在的延长线上，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程．【答案】（1）；（2）仍然成立，见解析；（3），证明见解析．【详解】解：（1）；理由：如图，延长到点G，使，连接，∵，，∴，又∵，∴，∴，，∵，，∴，∴；故答案为：；（2）仍然成立；理由：如图，延长到点G，使，连接，∵，，∴，又∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，即；（3）；证明：如图，在延长线上取一点G，使得，连接，∵，，∴，又∵，∴，∴，，∵，，∴，

∴，∵，∴，∴，即∴．13．在中，经过点的直线交边于点，，是直线上一动点，以为边在的左侧作，使且，连接．(1)如图，求证：；(2)探究点的运动路径，并直接写出你得到的结论；（提示：尝试取几个不同位置的点，画图探索结论）(3)当时，若，求的度数．（直接写出答案）【答案】(1)证明见解析；(2)点的运动路径是经过点且垂直于的直线(3)或【详解】（1）解，如图，∴，即，在与中，，∴，∴；（2）解：如图1，如图1，取的中点为，连接，由(1)得，∴，即，∵，∴，∵，为的中点，∴，，∴，∴，∴，∴点的运动路径为过点且垂直于的直线；（3）如图2，取的中点为，连接，设，当点在的上方时，如图2，由（1）（2）得，∴，∵，，∴，在中，∵，∴，∴，∴，在中，∵，∴，∵，，∴，解得，∴，当点在的下方时，如图3由（1）（2）得，，，∴，，在中，，∴，∴，，在中，，∴，∴，∴，解得，∴，综上所述，的度数为或．14．如图，在正方形中，为对角线上一点，连接并延长，交于点，过点做，交于点．(1)用等式表示和的数量关系，并证明；(2)求证：；(3)连接，用等式表示线段，，的数量关系，并证明．【答案】(1)，理由见解析；(2)见解析(3)，理由见解析【详解】（1）解：．理由：∵四边形是正方形，∴，∵，∴，四边形内角和为，∴，即；（2）证明：过作于，过作于，∵四边形是正方形，∴平分，∴，∵，，∴，又，∴（），∴；（3）解∶．理由∶如图，过作交延长线于点，连接，，∵四边形是正方形，∴，，∴，，∴，又，∴（），∴，，∵，，∴，∴，又，∴，∴，又，，∴（），∴，又，，∴15．【尝试应用】小明将两副大小不同的三角板如图所示放置，和为等腰直角三角形，，连接，，直线经过点B交于M，交于N．(1)如图1，若，请直接写出与的数量关系；【类比迁移】(2)如图2，若点M是的中点，请判断与的位置关系和数量关系，并证明；（小明发现：延长线段至点F，使得，连接，证明了与的关系，便可解决问题）请你按照他的思路，完成证明．【拓展应用】(3)如图3，小明又找了两副大小相同的直角三角板，且，，连接，，直线经过点B交于M，交于N，若点M是的中点．求：①；②．【答案】(1)(2)与的位置关系和数量关系为(3)①②【详解】（1）与的数量关系为，理由如下：如图，延长到F，使得，因为和为等腰直角三角形，所以，所以，，因为，所以，，所以，，因为，所以，所以，，所以，，因为，所以，所以