4月大数据模拟卷05（江苏专用）（解析版）高中数学

4月大数据精选模拟卷05（江苏专用）

数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的.

1.已知命题p：Vx>0，x2+ex>0.贝lj—/?为（）

22x

A.3x0<0,x+<0B.Vx>0,x+e<0

2x

C.3x0>0,x^+e^<0D.Vx<0,x+e>0

【答案】C

【详解】

2

结合全称量词命题的否定为存在量词命题，可知命题P：Vx>0，d+炉>0的否定为3xn>0,x0+e'。<0,

故选：C.

2.己知全集［/={xeZ|—2x—3<0},集合4={0,1,2},则4A=（）

A.{-1,3}B.{-1,0}C.{0,3}D.{-1,0,3}

【答案】A

【详解】

解：t/=|xeZ|x2-2x-3<0|={xeZ|-1<%<3）—{-1,0,1,2,3},

则"A={-1,3},

故选：A.

3.2020年11月，兰州地铁2号线二期开通试运营.甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去兰州老街、

西固公园、西站十字，每人只能去一个地方，西站十字一定要有人去，则不同游览方案的种数为（）

A.60B.65C.70D.75

【答案】B

【详解】

解：根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去兰州老街、西固公园、西站十字.每人只能去一

个地方，

则每人有3种选择，则4人一共有3x3x3x3=81种情况，

若西站十字没人去，即四位同学选择「兰州老街、西固公园.

1

每人有2种选择方法，则4人一共有2x2x2x2=16种情况，

故西站十字一定要有人去有81-16=65种情况，

即西站卜字一定有人去的游览方案有65种；

故选：B.

4.为了解某贫困地区实施精准扶贫后的成果，现随机抽取了该地区部分人员，调查了2020年其人均纯收

入状况.经统计，这批人员的年人均纯收入数据（单位：百元）全部介于45至70之间.将数据分成5组，

并得到如图所示的频率分布直方图.现采取分层抽样的方法，从［55,60）,［60,65）,［65,70）这三个区间

中随机抽取6人，再从6人中随机抽取3人，则这三人中恰有2人年人均纯收入位于［60,65）的概率是（）

【答案】D

【详解】

由图可知（0.07+0.06+4+0.02+0.01）x5=1,解得：a=0.04.

［55,60）的频率为0.06x5=0.3,［60,65）的频率为0.04x5=0.2,［65,70）的频率为0.02x5=0.1,则对

应的频率之比为3:2:1,

则［55,60）组抽3人，［60,65）抽取2人，［65,70）抽取1人，

C2cl1

则6人中随机抽取3人，则这三人中恰有2人年人均纯收入位于［60,65）的概率是P=-■#=7.

5.函数=的大致图象为（）

2

【答案】A

【详解】

函数/（力=号*的定义域为（3,0）5（）,+8）,

且〃力=黑7,〃-力=S萼=芸』〃力’所以‘函数〃力为偶函数,

乙丁乙/十//十/

排除BC选项；

当0<x<lH寸，lnx<0.则〃x）="=21nx<0，排除D选项.

V'ix+rxix+rx

3

6.在AOAB中，点尸为边AB上的一点，且衣=2万，点Q为直线0P上的任意一点（与点0不重合），

一一一4

且满足而=4。4+4而，则于=（)

A.1B.2C.一1D-1

【答案】D

【详解】

解：如图，因为点。，P,。三点共线，且点。与点。不重合，所以存在非零实数2满足丽=2而，又

而=2而，所以。户=砺+而=砺+?刀=§以+§。方，则0。=/1行=§9+彳0月，又

丽=4砺+4而，所以4=0，4==,所以

3342

故选：D.

7.已知直三棱柱ABC—4AG的侧棱长为2,且AB_L3C,43=3C=2.过43的中点E，的中

点尸作平面a与平面AAG。垂直，则平面。截直三棱柱ABC-AAG所得截面的面积为（）

A3百口2百「3a口g

A•--D•----------lx•----------L/•-------

2342

【答案】A

【详解】

取AC的中点。，连接30,取4G的中点3，连接用4、DD,,取AO的中点/，连接£：/，连接EP，

并延长与44交于M，取G01的中点/，连接儿〃，交4cl于“，连接FH、IJ，

4

可得E///8D,BD〃B、D\,HIHB.DX,

：.EJ//Hl

又•.•43=3C

:.BDA.AC

41d.面ABC,8。u面ABC

：.A4,1BD

.•.8。_1_面44。1。，

由面面垂直的判定定理，可得到平面£〃HF_L平面AA1GC

则平面即为平面a

y/2

由EJ」BD==---，〃="+2=述，H/=《BQ=曰，HF=6,FE=®，

22

由EZ_L〃，

二所求截面的面积为S五边形EFH〃=S&EFH+S矩形EH"=g娓又去+与X娓=

5

ex+,n2,x<0,/、

8.已知函数/(x)=<6一),尤>。则八2叫=()

22

A.一B.2eD.2e2

e

【答案】A

【详解】

当尤>0时,因为f(x)=〃x—3),所以/(x)=/(x+3),所以/(x)是周期为3的函数,

所以/(2021)=〃3x673+2)=〃2),

*202

又因为〃2)=/(-l)=eT+M2=J=所以/(2021)=1,

故选：A.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.欧拉公式/Jcosx+isinx(其中i为虚数单位，xwR)是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将

指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地

位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是()

A.复数e2'对应的点位于第三象限B.e?为纯虚数

C.复数的模长等于gD./的共聊复数为_L—I?

V3+/2e22

【答案】BC

【详解】

A项：由题可知，e2'=cos2+isin2，

因为cos2<0,sin2>0,所以复数e)对应的点位于第二象限，A错误;

B项：e^'=cos—+isin—=z,则。立为纯虚数,B正确;

22e

cosx+isinx(cosx+isinx)MTGcosx+sinxV3sinx-cosx.

C项:-------------------+--------------------1,

g+i便+i)便-i)44

则复数w7的模长沏

6

、2

'V3cosx+sinx'Gsinx-cosx/3cos2x+sin2x+3sin2x+cos2x1,c正确;

I4~=V162

D项：J1=cos-+isin-=-+-/,共扰复数为立一Lj,D错误,

662222

故选：BC.

10.已知函数/(%)=2卜皿*|+|85目-1,则()

A./(x)在0,|上单调递增B.直线x=］是〃x)图象的一条对称轴

C.方程/(x)=l在［0,句上有三个实根D./(X)的最小值为-1

【答案】BC

【详解】

对于A选项，f

所以，函数/(X)在0,1上不是增函数，A选项错误；

对于B选项，

/(yr-%)=2|sin-x)|+|cos(-x)|-1=2|sinx|+1-cosx|-l=2|sinx|+|cosx|-l=/(x),

所以，直线x='是/(x)图象的一条对称轴，B选项正确；

对于C选项，由/(x)=2|sinx|+|cosx|-1=2,可得|cosx|=2-2卜inx|,

显然2—2卜inx|NO,等式|cosN=2—2卜in^两边平方得cos2X=4+4sin2%—8卜inx|,

整理可得5sin2x-8|sinR+3=0,解得|sinx|=j或|sin=1.

当xe［0,;r］时，OWsinxWl,则$山》=^或$亩％=1.

方程sinx=(在x«0,可时有两解，方程sinx=l在xe［0,司时只有一解.

所以，方程/(x)=l在［0,万］上有三个实根，C选项正确；

对于D选项，假设“X)的最小值为-1，即〃力之一1,即2卜inx|+|cosx花0,

且存在xwR，使得2卜inx|+|cosM=0,此时sinx=cos«r=0,

7

这句sirx+cos2x=l矛盾，假设不成立，D选项错误.

29

11.曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线「+y1（4>0,。>0）上

a~

3

点P（』，No）处的曲率半径公式为氏="从4,则下列说法正确的是（）

4

A.对于半径为R的圆，其圆上任一点的曲率半径均为R

22

B.椭圆与+#=1（。>人>0）上一点处的曲率半径的最大值为。

22.2

C.椭圆三r+方=1（。>/,>0）上一点处的曲率半径的最小值为L

r2+V=l(a>i)上点(；,打

D.对于椭圆餐处的曲率半径随着。的增大而减小

a

【答案】AC

【详解】

22

A：由题设知：圆的方程可写为泉+3=1,所以圆上任一点尸（X。，%）曲率半径为

33

-)

=R，二，正确;

R'=R41zR

x2y2

B、C：由=+=l（a>0,b>0）弯曲最大处为（±a,0）,最小处为（。,土匕），所以在（±a,0）处有

a"

3

2

2

R=a2b25o3b

[a+Fa

3

2»22

在（0,±切处有1丫=工，即幺"故B错误，C正确;

ab4bab

万,光］处的曲率半径R=

D：由题意,,而

8_2

所以R=“2+"一75'令”所?+/一;

8

II

则在a>1上有/⑷—a3(%41a24):0恒成立，故R在上随着”的增大而增大，错误；

6

12.用符号印表示不超过x的最大整数，例如：[0.6]=0,[2.3]=2.设/(幻=(1—11!幻(尔+2山%)有

3个不同的零点演，％,x3,则()

A.%=e是/(x)的一个零点

B.玉+&+毛=2\/e+e

C.“的取值范围是1一：,()]

D.若[引+卜卜卜]=6,则a的范围是,——I.

【答案】AD

【详解】

由题意，令/任)=0,则l-lnx=O或以2+2inx=0，

显然％=e是方程l-lnx=O的解，也是方程/(x)=0的解，所以选项A正确；

因为/(x)有3个不同的零点，所以方程依2+2inx=0有2个不同的解，且两解都不等于e,

i.c-21nx

易知％>0，可—a=--—,

厂

c1

令g(x)=」|二,则直线y=-a与函数g(x)的图象有2个不同交点,

2-41nx

求导得,g'(x)

当xe(0,五)时，g,x)>0,此时函数g(x)单调递增；

当xe(J^,+oo)时，g,x)<0,此时函数g(x)单调递减.

又当X£(O,1)时，g(x)='^<0；当X£(l,+oo)时，g(%)=—¥>。，当工=6时，g(x)取得最

9

可画出函数g(x)的图象，如下图所示,

根据图象可知，当-a〉J时，直线y=-a与函数g(x)的图象没有交点；

e

当一。=,或-aWO时，直线y=-“与函数g(x)的图象只有1个交点；

e

当0<—a<L即」<a<0时，直线y=-a与函数g(x)的图象有2个不同交点.

ee

乂因为g(e)=一等=方，且直线y=-a与函数g(x)的图象的2个不同交点的横坐标不等于e,所以

ee

-ctW-T-,即ciw—，

e-e-

综上所述，当〃时，也绞k一。与函数g(力的图象有2个不同交点，且两个交

点的横坐标都不等于e,此时有.3个不同的零点，故C错误；

不妨设西=6,9,七是直线y=-a与函数g(x)的图象的2个不同交点，且当<刍，

则1<%2<五，f，

根据g(x)的图象，当。趋近与0时，X2趋近于1，均趋近于无穷大，此时玉+/+£趋近于无穷大，故

选项B错误；

对于选项D,由玉=e,1<x2<Ve,可得［玉］=2,卜］=1,

因为［X］+［W］+［F］=6，所以［七］=3,则3Kx3<4，

21n321n4In2

则g⑶g(4)

9~V~~T

10

ln221n32In3In2

所以---<—a<---即-

49~9~

故选项D正确.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知X〜N（l,b2）,若P（J<2）=0.8,则P（0<4<2）=.

【答案】0.6

【详解】

解：因为X〜N（1Q2）,

所以正态密度曲线的对称轴为x=1

因为P信<2）=0.8

所以P（l<《<2）=0.3,

所以P（0<J<2）=2P（l<g<2）=2x0.3=0.6

14.（1-2x）5。+3x『的展开式中按x的升基排列的第3项的系数为.

【答案】-26

【详解】

由题意知：按x的升幕排列的第3项为含/项，

2222

二7；=C；.（-2x）2+c；.（_2幻y.（3幻+C：•（3x）2=4OX-120x+54x=-26x,

该项的系数为—26.

15.已知三棱锥P-ABC中，AP、AB，AC三条棱两两垂直，且长度均为2百，以顶点尸为球心，4

为半径作一个球，则该球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为.

【答案】3〃

【详解】

由题可知：AP，AB，AC三条棱两两垂直，且长度均为26

如图：

II

所以PC=PB=8C

AM,-（2V3）2=2，

所以tanZAPF=tanZAPM=-4==—.则NAPF=ZAPM=-

2V336

TT7T7T

所以NEPF=NCPM=2,则£：/=仰=上><4=々

12123

NE=ZX4=9,MF=^X2=7T

332

yr47r

所以球面被三棱锥四个表面截得的所有弧长之和为'x2+*+万=3万

33

16.如图，抛物线C：r=4），的焦点为为抛物线。在第一象限内的一点，抛物线。在点P处的切线

PM与圆尸相切（切点为M）且交y轴于点。，过点p作圆尸的另一条切线PN（切点为N）交y轴于7点.

若已知但。卜|印，则\FT\的最小值为.

■fe-16

【答案】—

【详解】

*0,1）,设尸（2人产）,

12

由|F0|=|EP|,则Q(0,—/)，抛物线y=W，y'=5,

所以kpM=t,

不妨设NFQP=。,则taneuL/NTFuSe,

t

因为|尸@=|四|，所以NFQP=NFPQ=NTPF=8,

所以/P7y=36<%，

TT

所以e<2,

3

所以tan8=)<百,

t

所以3/一l>0，

在△尸7尸中，由正弦定理有

产+](r2+l)(sin2(9+cos2(9)(r2+l)(tan2^+1)(产+1)一

sin303-4sin~03cos2e-sin?03-tan-03t2-\

_『+1）2」（3产—1）+可［（3如—1）116।8）16

3/2-l9（3Z2-1）99（3r-l）9-9

当且仅当（3/-1）=4时，即*=3时，产几m=3

3min9

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知等差数列｛a,,｝的公差为正数，q=l,其前〃项和为S”,数列｛〃｝为等比数列，4=2，且2$2=12,

/?2+S3=10.

（1）求数列｛%｝与也｝的通项公式；

（2）求数列｛4•勿｝的前〃项和7；.

（3）设%="+不，〃eN*，求数列｛q｝的前2〃项和.

【详解】

（I）设等差数列｛a,,｝的公差为4（">0），等比数列｛2｝公比为夕，

13

b2s2=〃q(2q+d)=2q(2+d)=12解得.卜=2

1

b2+S3=blq+3ai+3d=2q+3+3d=10d=1

a”=1+(〃—l)xl=〃；々=2X2"T=2"；

(2)由(1)得：an-bn=n-2",

.•.7；=lx2i+2x22+3x23+i+(〃一l).2"T+"-2",

27；,=lx22+2x23+3x24+--+(n-l)-2,,+/i-2,,+l,

两式作差得：—7；=2—“.2'川+(2?+23+…+2")=2—".2'川+?,=2-n-2,,+l-4+2,,+|

(l-n)-2n+l-2,

,+

：.Tn^(n-l)-2''+2.

c„=2"+1［一<=2"+—,2=2"+2X\----|

（3）由（1）得:+〃("+1)\n〃+lJ，

IT

22n11

贝ljq+Q+C3H---------Fc=2+2+---+2+2x\\--+---++-------------

2nI2232n2n+l

="+2x］」*>22*2+嘉=*2

2n+l

18.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a<b<c,现有三个条件:

①a,6,c为连续自然数：②c=3a；③C=2A.

（1）从上述三个条件中选出两个，使得AA6c不存在，并说明理由（写出一组作答即可）;

（2）从上述三个条件中选出两个，使得5c存在，并求a的值.

【详解】

解：（1）选①②时三角形不存在，理由如下：

因为a,b,C为连续自然数，a<b<c，所以b=a+l,c=a+2,又因为c=3a,所以a+2=3a.

解得。=l/=2,c=3,不满足a+b>c,所以AA5c不存在.

选②③时三角形不存在，理由如下：

在AABC1中，由正弦定理得一2—=—―»因为C=2A，所以sinC=2sinAcosA,所以cosA=工，

sinAsinC2a

14

3

又因为c=3a，所以cosA=—>1,此时A不存在，所以AABC不存在.

2

(2)选①③时三角形存在：

因为〃，b,c为连续自然数，a<b<c^所以〃=Q+1,C=Q+2,

力2,2_2

(4+1)~+(〃+2)~-Cl~。+5

在AABC中,由余弦定理得cosA=--——

2hc2(q+l)(a+2)2(〃+2)

在△A8C中，由正弦定理得&=——»因为C=2A,所以sinC=2sinAcosA,

sinAsinC

4c4+2

所以cosA=—=----,

2a2a

Q+5。+2

所以FT‘解得

2(a+2)

19.如图，在圆柱W中，点。、。2分别为上、下底面的圆心，平面MNFE是轴截面，点出在上底面圆周

上(异于N、F),点G为下底面圆弧ME的中点，点，与点G在平面MNFE的同侧，圆柱卬的底面半径

为1,高为2.

(1)若平面FM/_L平面N/7G,证明：NGUH；

(2)若直线N”与平面NFG所成线面角a的正弦值等于姮，证明：平面N/7G与平面MNFE所成锐二

5

面角的平面角大于生.

3

【详解】

解：(1)由题知：面FNHL面NHG,而FNHC面NHG=NH.

因为FH工NH,FNu平面FNH.

所以平面AWG.

所以FHLNG.

15

（2）以。2为坐标原点，分别以°26O2E,02a为X、八Z轴建立空间坐标系。2-七",

所以N（0,-1,2）,G（l,0„0）,F（0,l,2）,

设〃(n,2),则m2+n2=l

丽=(人”+1,0)

设平面NFG的法向量1=(%，M，ZJ，

向•柘=02)=0

[ni-NF=0[(须,％/]>(0,2,0)=0

x.+y,-2z.=0—.、

所以仁八，即法向量勺=(2,0,1).

[2,=0

NH•几1_2m2m2m

|丽阿一国6+gi)2^5xVm2+2〃+l\[5xyj2n+25

所以〃解得〃=-▲,,〃=走，所以点”61J

2m2=3+3,T5-?2-

227

设面NHG的法向量［=（9，为，Z2）；

_____f(x2,y2,z2)-(l,l,-2)=0

林,•NG—0/r-X

因为《二一，所以。、(石1c，

n2-NH=0(x2,j2,z,)--,-,0=0

x2+y2-2Z2=0

所以《1,即法向量〃2

~T~X2+二旷2=0

I2-2■

因为面MNFE的法向量n,=（1,0,0），

71

所以面NHG与而M/VFE所成锐二面角的平面角大于一.

3

x2y2

20.已知椭圆7+F=l（a＞匕〉0）的左焦点为F,过F的直线x-4jiy+百=0与椭圆在第一象限交

16

于M点，。为坐标原点，三角形"EO的面积为之.

4

（1）求椭圆的方程；

（2）若A/WC的三个顶点A,B,C都在椭圆上，且。为AABC的重心，判断AABC的面积是否为定

值，并说明理由.

【详解】

（1）直线工一4行旷+6=0过左焦点尸，则有F（-6,0），所以c=6且右焦点尸'（省,0），

又5：=""乂=?得丁"=；,代入直线方程有Xw=6,所以

/.△FMF'为直角三角形且ZMF'F=90°,

由椭圆定义，知：2a=|MF'|+|〃/|=g+J12+；=4，即a=2，

r2

.••椭圆的方程为上+y2=1.

4'

（2）当直线BC的斜率不存在时，设直线BC的方程为％若巩如凹），则C&,一y）,

3

•.•。为AABC的重心，可知A（—2%,0）,代入椭圆方程，得苞2=l,y；="即有13cl=2|y|=百，A

到BC的距离为d=3，

•cRa_3

,•S-ABC=-|5C|-J=-XV3x3=-百y-«

当直线BC的斜率存在时，设直线8C的方程为广麻+机，设8（X1,y）,。伍,必），

2

X2_[

+V-

ill-4-，得(l+4%2)x2+8Amr+4机2-4=0,显然△>(),

y=kx+m

-8km4m2-4

,则%+%=左(0+7)+2加=\二，

••%]+/=f?~'Xt1X1---z--

一4公+1-4/+1^vK।1

2'-2m丫

8km-2m,由A在牌圆上，得!(8，km、

为AA5c的重心，可知A+

4/+1'4公+14（4公+17、422+I.

化简得4"=4左2+1，

17

•••心后」…g".与手=4标.空二端1

3\m\

由重心的性质知：A到直线的距离4等于。到向线距离的3倍，即4=

71+A：2

•C_1।nz-I/_3百

,°S^ABC=-\^C\-d=

综上得，AABC的面积为定值递.

2

21.某公司为研究某种图书每册的成本费y（单位：元）与印刷数量x（单位：千册）的关系，收集了一些数据

并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值.

收

K

韶

勤201

名15F

挈10F

的

5•.

0<id1520253035404550,

印刷数量〃千册

8_8__8_8__

Z（x,.-x）-（y,-y）Z（%-w）2

XyU

/=11=1i=l/=1

15.253.630.2692085.5-230.30.7877.049

1一

表中%=一，忧=二〉Mi

玉8占

（1）根据散点图判断：y=a+加与y=c+邑哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y与印刷数量X

x

的回归方程？（只要求给出判断，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程（结果精确到0.01）；

（3）若该图书每册的定价为9.22元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于80000元？（假设能够

全部售出，结果精确到1）

附:对于一组数据（9,v,）,（牡,岭），…，（4，匕,），其回归直线£=a+网的斜率和截距的最小二乘估计分

18

Z⑷-3)(匕-V)

别为B=匚匕二,a-v~P(o■

-①)2

/=1

【详解】

(1)由散点图判断，y=c+@■更适合作为该图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量彳(单位：千册)的

X

回归方程.

(2)令〃=■!•,先建立y