2022-2023学年陕西省宝鸡市陈仓区高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年陕西省宝鸡市陈仓区高一(下)期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知i为虚数单位，z=上,则复数5的虚部为()

A.-2iB.2iC.2D.-2

2.已知4、B为两个随机事件，则“A、B为互斥事件”是“4、B为对立事件”的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件

3.已知向量为=(5,2),b=(-4,-3)1若不满足3方一2万+下=6,则下=()

A.(-23,-12)B.(23,12)C.(7,0)D.(-7,0)

4.从甲、乙、丙、丁4名同学中任选3名同学参加环保宣传志愿服务，则甲被选中的概率为()

11C23

---D-

A.4334

5.已知某7个数据的平均数为5,方差为4,现又加入一个新数据5,此时这8个数的方差s2为

()

A.?B.3C.1D.4

6.已知正方体4BC0-4B1C1A，则下列选项不正确的是()

A.直线与当。所成的角为60。B.1DB]

C.DBi1平面AC%D.B]C1B】D

7.对300名考生的数学竞赛成绩进行统计，将统计数据按[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),

[90,100]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.则下列说法正确的是.()

A.a=0.02B.成绩落在[80,90)的考生人数最多

C.成绩的中位数大于80D.成绩的平均分落在[70,80)内

8.某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面4BCD是边

长为2的正方形，△EAB,△FBC,△GCD,△HD4均为正三角形，且它们所在的平面都与平

面力BCD垂直，则该包装盒的容积为（）

A.竽B.yC.IOCD.20

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下述关于频率与概率的说法中，错误的是（）

A.设有一大批产品，己知其次品率为0.1,则从中任取100件，必有10件是次品

B.做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是5

C.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率

D.利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，如果随机试验的次数超过10000,那么所

估计出的概率一定很准确

10.某学校为普及安全知识,对本校1500名高一学生开展了一次校园安全知识竞赛答题活动

（满分为100分）.现从中随机抽取100名学生的得分进行统计分析，整理得到如图所示的频率分

布直方图，则根据该直方图，下列结论正确的是（）

A.图中x的值为0.016

B.估计该校高一大约有77%的学生竞赛得分介于60至90之间

C.该校高一学生竞赛得分不小于90的人数估计为195人

D.该校高一学生竞赛得分的第75百分位数估计大于80

11.在菱形4BCD中，4B=2,ND4B=60。，点E为线段CD的中点，4和BD交于点。，则（）

A.正前=0B.值初=2C,OEBA=-\D.OEAE=1

12.如图，正方体4BC0-AB'C'。'的棱长为4,M是侧面

40DW上的一个动点（含边界），点P在棱CC'上，S.\PC'\=1,

则下列结论正确的有（）

A.沿正方体的表面从点4到点P的最短距离为4c

B.保持PM与BD'垂直时，点M的运动轨迹长度为3c

C.若保持|PM|=2，可则点M的运动轨迹长度为竽

D.平面AD'P被正方体力BCD-A'B'C'D'截得截面为等腰梯形

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.设。4BCD在复平面内，4为原点，B,。两点对应的复数分别是3+2i和2-43则点C对

应的复数是.

14.为了了解高一、高二、高三年级学生的身体状况，现用分层随机抽样的方法抽取一个容

量为1200的样本，三个年级学生人数之比依次为上5：3.已知高一年级共抽取了240人，则

高三年级抽取的人数为人.

15.正方体ABC。中，与对角线4cl异面的棱有条.

16.己知随机事件4、B相互独立，若PQ4)="(B)=|,则P(ACB)=.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

某校高三分为四个班.调研测试后，随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计，各班被抽

取的学生数依次为22,22+d,22+2d,22+3d人.抽取出来的所有学生的测试成绩统计结

果的频率分布条形图如图所示，其中120〜130的频率为0.05,此分数段的人数为5人.

(1)问各班被抽取的学生人数各为多少人？

(2)在抽取的所有学生中，任取一名学生,

18.(本小题12.0分)

已知复数z=(m2—8m+15)+(m2—9m+18)i,实数m取什么值时，

(1)复数z是实数；

(2)复数z是纯虚数；

(3)复数z对应的点位于第三象限.

19.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P-ABC。中，平面P4B1平面〃平面P40,N4BC=90。,PA=PB=

分4B求证:

(1)40〃平面PBC；

(2)平面PBC，平面PAD.

20.(本小题12.0分)

设向量五，9满足五不=3，|方|=3,向=2.

(1)求向量方，石的夹角；

(2)求|五一石

21.(本小题12.0分)

甲、乙、丙、丁四名选手进行羽毛球单打比赛.比赛采用单循环赛制，即任意两位参赛选手

之间均进行一场比赛.每场比赛实行三局两胜制，即最先获取两局的选手获得胜利，本场比

赛随即结束.假定每场比赛、每局比赛结果互不影响.

(1)若甲、乙比赛时，甲每局获胜的概率为主求甲获得本场比赛胜利的概率；

(2)若甲与乙、丙、丁每场比赛获胜的概率分别为：，|,试确定甲第二场比赛的对手，使

得甲在三场比赛中恰好连胜两场的概率最大.

22.(本小题12。分)

如图所示，在棱长为2的正方体力BCD中，E、F分别为。劣、DB的中点.

(1)求证：EF〃平面力BCiDi；

(2)求证：EF1fijC；

(3)求三棱锥/1-EFC的体积.

答案和解析

I.【答案】。

【解析】解：Z=,3他=2(1+i)=2+2i,

故W=2-2i,

故3的虚部是-2,

故选：D.

化简z,求出从而求出5的虚部即可.

本题考查了复数的运算，共施复数问题，是一道基础题.

2.【答案】B

【解析】解：根据互斥事件和对立事件的概念可知，互斥不一定对立，对立一定互斥，

所以“4、B为互斥事件”是“4、B为对立事件”的必要非充分条件.

故选:B.

根据互斥事件和对立事件的概念直接判断即可.

本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，考查了互斥事件和对立事件的概念，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：・向量五=(5,2),b=(-4,-3).且3万一23+不=6，

：.c=2b-3a=2(-4,-3)-3(5,2)=(-8-15,-6-6)=(-23,-12).

故选：A.

根据向量的坐标运算，进行解答即可.

本题考查了平面向量的坐标运算，是基础题.

4.【答案】D

【解析】解：从甲、乙、丙、丁4名同学中任选3名同学共有：

(甲乙丙)，(甲丙丁)，(甲乙丁)，(乙丙丁)，4种情况，

甲被选中共有3种情况，故对应的概率为*

故选：D.

列举出所有的基本事件，然后得到甲被选中的情况，利用古典概型求解即可.

本题主要考查古典概型及其概率计算公式，考查运算求解能力，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：因为7个数据的平均数为5,方差为4,

又加入一个新数据5,则这8个数的平均数为£=出等=5,

O

方差为s2=1x[4x7+(5-5)2]=

oL

故选：C.

根据平均数和方差的定义，计算加入一个新数据后，这组数据的平均数和方差.

本题考查了平均数与方差的计算问题，是基础题.

6.【答案】。

【解析】解：正方体4BCD-&B1GD1，如图，

&8〃。道，.••直线/C与B[C所成的角即为直线与%C所成的角.

又ABiCDi为等边三角形，二ND1C々=60。，故A正确；

•••四边形ABC。为正方形，4C1BD,

BB]1平面力BCD,ABBI1AC.

•••B。u平面BBiu平面BBWi。，BDnBB1=B,

•••AC1平面BBiOQ又Bi。u平面88也0,:.AC1DB1,

同理ADiA.DB1,

又ACu平面也＜=平面4。。1，ACnADi-A,

DB]1平面ACO],DB]1DC

又A\B//D\C,故8,C正确；

设正方体ABC。-A/iGCi的棱长为1,

则。C=l,B［C=4,DBI=GCOSNCBW=（''=H,故。错误.

2xv2Xv33

故选：D.

由&B〃Z\C,得直线DiC与BiC所成的角即为直线4卷与BiC所成的角，由△&CD1为等边三角形，

求出NDiCBi=60°；由四边形4BC0为正方形，得4c1BD.BB11平面4BCD,从而BB】1AC,从

而4c_L平面AC1再由A。11。当，得OB11平面4cDB11DXC,由AiB//。1。，

得设正方体ABCD-41B1C1%的棱长为1,利用余弦定理判断D.

本题考查异面直线所成角、线面垂直、线线垂直的判定与性质等基础知识，考查运算求解能力，

是中档题.

7.【答案】D

【解析】解：对于4,由频率分布直方图性质得：（a+0.02+0.035+0.025+a）x10=1,

解得a=0.01,故A错误；

对于B,由频率分布直方图得成绩落在［70,80）的概率最大，

所以成绩落在［70,80）的考生人数最多，故B错误；

对于C,由频率分布直方图得：［50,70）的频率为（0.01+0.02）x10=0.3,［70,80）的频率为0.035x

10=0.35,

・••成绩的中位数位于［70,80）内，故C错误；

对于O,估计成绩的平均数为工=55x0.01x10+65x0.02x10+75x0.035x10+85x

0.025X10+95X0.01X10=75.5,

•••成绩的平均数落在［70,80）内，故。正确.

故选：D.

对于A,由频率分布直方图性质列出方程，由此能求出a；对于B,由频率分布直方图得成绩落在

［70,80）的概率最大，由此能判断正误；对于C,由频率分布直方图得［50,70）的频率为0.3,由此能

求出［70,80）的频率为0.35,从而求出成绩的中位数位于［70,80）内；对于D,由频率分布直方图的

性质能估计成绩的平均数.

本题主要考查了频率分布直方图的性质，考查了学生的运算求解能力，是基础题.

8.【答案】A

【解析】解：如图，可知包装盒的容积为长方体的体积减去

四个三棱锥的体积，

其中长方体的高=EE'=，？，

长方体的体积U=2x2x<3=4，G，

一个三棱锥的体积片=④x《x1x1)xC=孕.

326

则包装盒的容积为U—47=一4xq=萼I

63

故选：A.

首先确定儿何体的空间特征，然后结合相关的棱长计算其体积即可.

本题考查空间几何体体积的计算，考查运算求解能力，是中等题.

9.【答案】ABCD

【解析】解：A：次品率描述出现次品的概率，即可能情况不是必然发生，错误；

B,C-.概率是多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近，此常数为概率，与描述不符，错

误；

D：10000次的界定没有科学依据，“一定很准确”的表达错误，试验次数越多，频率越稳定在概

率值附近，但并非试验次数越多，频率就等于概率，。错误.

故选：ABCD.

根据频率与概率的关系，结合各选项的描述判断正误.

本题主要考查概率及其性质，属于基础题.

10.【答案】BCD

【解析】解：由频率分布直方图的性质得：

(0.01+0.013+x+0.028+0.032)X10=1,

解得x=0.017,故A错误；

得分介于60至90之间的频率为(0.028+0.032+0.017)x10=0.77,故8正确；

得分不小于90的人数估计为1500x0.013X10=195,故C正确；

得分介于50至80之间的频率为0.01x10+0.028x10+0.032x10=0.7<0.75,

该校高一学生竞赛得分的第75百分位数估计大于80,故。正确.

故选：BCD.

根据频率分布直方图性质可得x=0.017,判断4计算出得分介于60至90之间的频率，判断B；

利用1500乘以得分不小于90的频率，判断C；计算得到介于50至80之间的频率，判断D.

本题考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

11.【答案】ABD

【解析】解：如图，4BCD为菱形，：.AC1BD,

：.AC-'BD=0,A正确；

AB=AD=2,/.DAB=60°,AB-AD=\AB\\AD|co$60°=2x2x|=2,B正确；

BD=2,OD=1,OC=C，且E为CD的中点，.•.小•丽=；（而+元）•而=X前+元）•

（OD-OC）=^（OD2-OC2）=-1,C错误；

OE//AD,OE=1,■■OE-AE=OE-（AD+=OE-AD+^OE-DC=2-^OE-BA=2+

1=|，O正确.

故选：ABD.

可画出图形，根据条件知4c_LBD,从而可判断4的正误；进行数量积的运算即可判断B的正误;

根据条件可求出。D=1,0C=「，根据话・瓦？=；（而+历）・（而一记）即可判断C的正误；

根据条件可得出。E〃/ID,OE=1,从而根据而•荏=而•（而+3时即可判断。的正误.

本题考查了菱形的定义，菱形的对角线互相垂直，向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计

算公式，向量加法的平行四边形法则，相等向量和相反向量的定义，考查了计算能力，属于基础

题.

12.【答案】BCD

【解析】解：对于4将正方体的下面和侧面展开可得如图图形,

连接力P，则|4P|=V16+49=\T~65<4门，故A错误;

对于B,如图：

•••DD'^ABCD,ACa^^ABCD,DD'1AC,5LAC1BD,

DD'CBD=D,DD',BDu平面帅B,

•••AC1平面DD'B,BD'u平面DD'B.

,­MCIBD",同理可得BO'IAB',ACAC=A,AC,AB'cTffiACB'.

BD'_L平面ACB'.

二过点P作PG〃C'D交CD交于G,过G作GF〃AC交4。交于F,

^AB'//C'D,可得PG〃/IB',PGC平面4CB',AB'u平面ACB',

PG〃平面A函，同理可得GF〃平面ace.

则平面PGF〃平面4CB'.

设平面PEF交平面ZDD'A于EF,则M的运动轨迹为线段EF,

由点P在棱CC'上，且|PC'|=1,可得|0G|=|DF|=|AE|=1,

\EF\=^\A'D\=故B正确；

对于C,如图:

若|PM|=2C，则M在以P为球心，2c为半径的球面上，

过点P作PQJ•平面ADD'4',则|D'Q|=1,此时|QM|=J1PMi2-|PQ『=2.

.•.点M在以Q为圆心，2为半径的圆弧上，此时圆心角为冷.

点M的运动轨迹长度"x2=与，故C正确；

对于。，如图：

延长DC,D'P交于点H,连接力”交BC于/,连接P/,

平面力D'P被正方体4BCD-A'B'C'D'截得的截面为2/PD'.

△•・除嘲啮/

•••■=品=恐=本•・•w/皿且1叫,1皿，

截面A/PZ)'为梯形，

\AI\=\PD'\=V16+1=Q7,•••截面4/PD'为等腰梯形，故。正确.

故选：BCD.

根据平面展开即可判断4过P做平面PEF〃平面4CB',即可判断8；根据点M的轨迹是圆弧，即

可判断C；作出正方体ABCD-A'B'C'D'被平面AD'P所截的截面即可判断D.

本题考查正方体中的线面，面面的位置关系，考查正方体的结构特征，多面体和旋转体表面上的

最短距离问题，属于难题.

13.【答案】5-2i

【解析】解：依题意得4(0,0),8(3,2),。(2,-4),同=(3,2),而=(2,-4)，

•••四边形力BCD是平行四边形，

.-.AC=AB+AD=(3,2)+(2,-4)=(5,-2).故点C对应的复数为5-2i.

故答案为：5-2i.

分别得出点4点B,点。的坐标，再由四边形4BCD是平行四边形得出前=卷+而计算即可.

本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查逻辑思维能力和转化能力，属于常考题.

14.【答案】360

【解析】解：••・高一年级抽取的比例为螺=£

又•••三个年级学生人数之比依次为近5：3,

故高三年级抽取的人数为1200x幻翡=360.

故答案为：360.

根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解.

本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题.

15.【答案】6

【解析】解：在正方体的每个面上都有一条棱和对角线AC】异面，

它们分别为：4速、BC5C、BD共有6条，

故答案为6.

根据面直线的定义，在每个面上找出和对角线4G异面的棱，可得结果.

本题考查异面直线的判定方法，在每个面上找出和对角线AC1异面的棱，是解题的难点.

16.【答案】|

【解析】解：由题意，所以PQ4nB)=P(4)P(B)=*x|=：.

故答案为:

根据相互独立事件概率公式求得正确答案.

本题主要考查了相互独立事件概率公式，属于基础题.

17.【答案】解：(1)由频率等于频数除以总数知，抽取的学生总数为盛=100人，

又各班被抽取的学生人数成等差数列，人数最少的班被抽取了22人，

则首项为22.设公差为d,

则4X22+竽d=100,

・•・d=2,

因此各班被抽取的人数分别是22人，24人，26人，28人；

(2)在抽取的所有学生中，任取一名学生，分数不低于90分的概率等于1减去分数低于90分的概率,

而分数低于90分的概率等于0.05+0.20=0.25,

因此所求概率为1-0.25=0.75.

【解析】(1)由频率分布条形图知抽取的学生总数，各班被抽取的学生人数成等差数列，设公差为

d,则4x22+竽d=100,求出d可得答案；

(2)任取一名学生，分数不低于90分的概率等于1减去分数低于90分的概率，结合频率分布直方图

可得答案.

本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于中档题.

18.【答案】解：⑴•.,复数z是实数，二虚部十一9m+18=0,解得TH=3或6；

(2)：复数2是纯虚数，.」小；一^巾+：?=?,解得6=5;

-9m+18Ho

(3)由复数z对应的点位于第三象限，.•・慎二黑膜<o-

解得3<m<5.

因此当3<m<5时，复数z对应的点位于第三象限.

【解析】(1)由复数Z是实数，可得：虚部m2一9771+18=0,解得即可；

(2)由复数z是纯虚数，可得一+；?=?，解得即可；

—9m+18。0

⑶由复数Z对应的点位于第三象限，可得偿29m+18Jo-

本题考查了复数为实数及纯虚数的条件、复数的几何意义，属于基础题.

PA1PB.

由NABC=90。，知BOB,

又•.•平面P4B_L平面ABCD,

平面/MBn平面4BCD=4B,BCu平面4BCD,

BC1平面P4B,

又•••P4u平面P4B,BCLPA,

•••PA1PB,PBCBC=B,PA_L平面PBC.

PAu平面PAD,

平面PBCJ_平面pm

【解析】⑴由8c〃平面PAD,^BC//AD,由此能证明40〃平面PBC.

(2)推导出P41PB,BC1AB,从而BCJL平面P4B,进而2C1PA,由PA1PB,得PA1平面PBC,

由此能证明平面PBC_L平面P4D.

本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,

考查运算求解能力，是中档题.

20.【答案】解：(1)va-b=3>|方|=3,\b\=2>

,-W、林31

9<»>=丽=m=5，

又Va,b>G[0,n]f*,•<五，b>=,

(2)|a-6|=(a-b)2=|\a\2-2a-b+\b\2=y/9-2X3+4=<7-

【解析】(1)直接利用数量积求夹角即可;

(2)由|弓一方|=](五一石)2,展开后代入已知得答案-

本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查向量模的求法，训练了利用数量积求夹角，是基础

题.

21.【答案】解：(1)设甲在第i局获胜为事件4。=123),事件B为“甲获得本场比赛胜利”，

——2

贝加=AtA2+&&&+&&&，又P(4)=3'

=3X3+(1-3)X3X3+3X(1-3)X3=27；

(2)若甲在第二场与乙比赛，则甲胜乙，且在甲与丙、甲与丁的比赛中，甲只胜一场.

此时,甲恰好连胜两场的概率A="x[|x(1—4+(1—|)x|]x2=磊；

若甲在第二场与丙比赛，则甲胜丙，且在甲与乙、甲与丁的比赛中，甲只胜一场.

此时，甲恰好连胜两场的概率P?=|x[|