专题11 几何思想之等腰三角形性质与判定综合专练（解析版）-【考点培优尖子生专用】2021-2022学年七年级数学下册专题训练（沪教版）

编者小k君小注：本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。专题11几何思想之等腰三角形性质与判定综合专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．如图，在ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝30°；④AM＝AN．其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【标准答案】C【思路指引】先证明ACP≌MCP，根据全等三角形的性质得到AP＝MP，判断①；再证明ABQ≌NBQ，根据全等三角形的性质得到CM＝AC＝5，BN＝AB＝6，结合图形计算，判断②；根据三角形内角和定理判断③；根据等腰三角形的判定判断④即可．【详解详析】解：∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACP＝∠NCP，∵AM⊥CE，∴，在ACP和MCP中，，∴ACP≌MCP（ASA），∴AP＝MP，∠CMA＝∠CAM，①结论正确；∵ACP≌MCP，∴CM＝AC＝5，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABQ＝∠NBQ，∵AN⊥BD，∴，在ABQ和NBQ中，，∴ABQ≌NBQ（ASA），∴BN＝AB＝6，∠BNA＝∠BAN，∴BC＝BN+CM﹣MN＝5+6﹣2＝9，②结论正确；∵∠BAC＝110°，∴∠MAC+∠BAN﹣∠MAN＝110°，∵∠CMA＝∠CAM，∠BNA＝∠BAN，∴∠CMA+∠BNA﹣∠MAN＝110°，又∵在AMN中，∠CMA+∠BNA＝180°﹣∠MAN，∴180°﹣∠MAN﹣∠MAN＝110°，∴∠MAN＝35°，③结论错误；④∵AB＝6，AC＝5，∴AB≠AC，∴∠ABC≠∠ACB，∵∠ABC＋2∠ANM＝180°，∠ACC＋2∠AMN＝180°，∴180°－2∠ANM≠180°－2∠AMN，∴∠AMN≠∠ANM，∴AM≠AN，④结论错误，∴正确的结论有①②，故选：C．【名师指路】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，也考查了等腰三角形的判定．2．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【标准答案】C【思路指引】当AB为腰时，分别以点A、点B为圆心，AB长为半径画圆，观察此时满足条件的格点数；当AB为底边时，作线段AB的垂直平分线，观察此时满足条件的格点数，由此得到答案．【详解详析】解：如下图：当AB为腰时，分别以点A、点B为圆心，AB长为半径画圆，观察可知满足条件的格点共4个；当AB为底边时，作线段AB的垂直平分线，观察可知满足条件的格点共4个，所以C是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形的点数共8个．故选：C【名师指路】本题考查格点图中寻找可与已知两点构成等腰三角形的点，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．3．如图，ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高线，E为AB边上一点，EF⊥BC于点F，交CA的延长线于点G，已知EF＝2，EG＝3．则AD的长为（）

A．2.5 B．3.5 C． D．4【标准答案】B【思路指引】根据等腰三角形三线合一的性质推出∠BAD=∠CAD，证明，得到∠G=∠GEA，推出AG=AE，过点A作AH⊥GE于E，求出EH即可得到答案．【详解详析】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴，∴∠G=∠CAD，∠GEA=∠BAD，∴∠G=∠GEA，∴AG=AE，过点A作AH⊥GE于E，则AD=FH，GH=EH=EG＝1.5，∴AD=EH+EF=1.5+2=3.5，故选：B．

【名师指路】此题考查等腰三角形三线合一的性质，平行线的性质，熟记等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．4．有两块相同的直角三角板如图（１）放置（点A、B、D在同一直线上），其中，．现将绕直角顶点A顺时针旋转得到，交于点H（如图2），设旋转角为，当为等腰三角形时，旋转角的度数为（）

A． B．或 C．或 D．【标准答案】C【思路指引】根据旋转的性质得到，当时，得到，可得，当时，得到；【详解详析】∵，，∴，∵绕直角顶点A顺时针旋转得到，∴，当时，则，∴，即；当时，∴，∵，∴，∴，即；综上所述：旋转角的度数为或．故选C．【名师指路】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，准确计算是解题的关键．5．如图，等腰△ABC底边BC的长为4cm，面积为12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC与点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为（）

A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【标准答案】C【思路指引】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．【详解详析】

如图，连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=12，解得：AD=6（cm），∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+BC=6+×4=6+2=8（cm）．故选C．【名师指路】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．6．若等腰三角形的两边长分别为3cm和6cm，则这个三角形的周长是()A．12cm或15cm B．15cm C．12cm D．9cm【标准答案】B【思路指引】根据等腰三角形的性质以及三角形的三边关系进行求解即可．【详解详析】解：由题意可知，等腰三角形的三条边分别为3cm，3cm，6cm或3cm，6cm，6m，当三边分别为3cm，3cm，6cm时，3+3=6，不满足三边关系，舍去；当三边分别为3cm，6cm，6cm时，满足三边关系，则周长为3+6+6=15cm．故选：B．【名师指路】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形周长的计算，熟练掌握三角形的三边关系是解答本题的关键．7．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是（）①；②；③；④A．①③④ B．①③ C．②④ D．①②③【标准答案】D【思路指引】①根据三角形的中线性质、三角形的面积公式即可得；②先根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的两锐角互余、等量代换可得，再根据对顶角相等可得，由此即可得；③先根据直角三角形的两锐角互余、等量代换可得，再根据角平分线的定义即可得；④根据等腰三角形的判定即可得．【详解详析】是的AC边上的中线，，与等底同高，，则说法①正确；CF是的角平分线，，，是高，，，由对顶角相等得：，，则说法②正确；，是高，，，又，即，，则结论③正确；根据已知条件不能推出，不能推出，则说法④错误；综上，说法正确的是①②③，故选：D．【名师指路】本题考查了三角形的中线、直角三角形的两锐角互余、角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握三角形的中线、角平分线、高的性质是解题关键．8．有一种有趣的读数法：如图，在图纸上确定纵轴与横轴，从交点O处开始依次在两轴上画出单位相同的标度，再作两轴交角的角平分线OP，OP上的标度与纵轴上的标度在同一水平线上,拿一根直尺，使得它的两端分别架在横轴和纵轴上，且OA=a，OB=b，读出直尺与OP的交点C的标度就可以求出OC的长度．当a=4，b=6时，读得点C处的标度为（）A． B． C． D．【标准答案】A【思路指引】通过分别向横轴和纵轴作辅助线得到等腰三角形，建立线段之间的对应关系，同时利用平行线分线段成比例的推理，建立比例关系式即可求解．【详解详析】解：如图所示，过C点分别向OA、OB作垂线，垂足分别为点D、点E，因为∠AOB=90°，OP平分∠AOB，∴∠BOC=∠AOC=45°，∴∠BOC=∠OCE=∠AOC=∠OCD=45°，∴OE=CE=CD=OD,设OE=CE=CD=OD=x,∴BE=6-x，∵CE∥OA，∴,∴，∴，∵OP上的标度与纵轴上的标度在同一水平线上,∴点C处的标度等于CD的长，即为，故选：A．【名师指路】本题综合考查了等腰三角形的判定、角平分线的定义和平行线分线段成比例定理的推论等内容，解决本题的关键是正确理解题意与图形，能在图形中得到对应等量关系，能正确作出辅助线构造相似三角形等，本题蕴含了数形结合等思想方法．二、填空题9．如果等腰三角形的一条高与一腰所成角是50°，那么这个等腰三角形的顶角的度数为______．【标准答案】100°或40°或140°【思路指引】根据已知利用三角形内角和定理及三角形外角的性质进行分析求解，注意分情况进行讨论．【详解详析】解：①∵AB=AC，∠ABD=50°，BD⊥AC，∴∠A=40°．②∵AB=AC，∠ABD=50°，BD⊥AC，∴∠BAC=50°+90°=140°．③∵AB=AC，AD⊥BC，∠BAD=50°，∴∠BAC=2∠BAD=100°．故答案为：100°或40°或140°．【名师指路】此题主要考查三角形内角和定理、三角形外角的性质以及等腰三角形的性质综合运用．10．如图，△ABC中，AB平分∠DAC，AB⊥BC，垂足为D，若∠ADC与∠ACB互补，BC＝5，则CD的长为_________．【标准答案】10【思路指引】构造，再证得，求得EB=BC,再通过等量代换、等角的补角相等求得∠E=∠CDE，则CE=2BC=10．【详解详析】解：延长AD.和CB交于点E.∵AB平分∠DAC∴∠EAB=∠CAB又∵∴∠ABE=∠ABC又∵AB=AB∴∴BC=EB=5，∠E=∠ACB，又∵∴∠ACB=∠CDE∴∠E=∠CDE∴.CD=CE又∵CE=2BC=10∴CD=10故答案为：10．【名师指路】本题考查了全等三角形的性质和判定，等角的补角相等，能根据全等三角形的性质找到角与角之间的关系是解答此题的关键．11．如图，AB，CD相交于点E，若ABC≌ADE，∠BAC＝28°，则∠B的度数是____．【标准答案】48°

【思路指引】根据全等三角形的性质得出∠B＝∠D，∠DAE＝∠BAC＝28°，AE＝AC，根据等腰三角形的性质得出∠AEC＝∠ACE，求出∠AEC的度数，再根据三角形的外角性质求出答案即可．【详解详析】∵△ABC≌△ADE，∴AE＝AC，∠B＝∠D，∠DAE＝∠BAC＝28°，∴∠AEC＝∠ACE，∵∠BAC＝28°，∴，∴∠B＝∠D＝∠AEC﹣∠DAE＝76°﹣28°＝48°．故答案为：48°．【名师指路】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理与三角形外角的性质；关键是全等三角形的性质．12．用三根木棒首尾相连围成一个等腰三角形，其中两根木棒的长度分别为3cm和6cm，则第三根木棒长为_____cm．【标准答案】【思路指引】三角形的三边不等关系为：任意两边之差＜第三边＜任意两边之和，即可求解.【详解详析】解：组成等腰三角形的两根木棒的长度分别为3cm和6cm，当3cm为腰长时，3cm+3cm=6cm，不能构成三角形，故不符合题意；当腰长为6cm时，能组成等腰三角形，所以，组成等腰三角形的第三根木棒长为6cm，故答案为：6.【名师指路】此题考查了等腰三角形的定义及三角形三边关系，熟记三角形三边关系式解题的关键．13．如图，点I为△ABC角平分线交点，AB＝8，AC＝6，BC＝4，将∠ACB平移使其顶点C与I重合，则图中阴影部分的周长为___．【标准答案】【思路指引】连接AI、BI，是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD=DI，同理BE=EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB的长．【详解详析】连接，如图，

点为△ABC角平分线交点，平分，，由平移得：同理可德的周长为阴影部分的周长为故答案为：【名师指路】本题考查了角平分线的定义，平移的性质，等角对等边，添加辅助线是解题的关键．14．如图所示，在中，，，点D在CA上，且，动点P从A点出发沿A→B→C的路线运动，运动到点C停止．在点P的运动过程中，使为等腰三角形的点P有______个．【标准答案】【思路指引】点在上时，存在三种情况使为等腰三角，点在上时，存在一种情况使为等腰三角形．【详解详析】解：①点在上时，当时，∵，，∵，∴，∴,∴；当时，；当时，；②当点在上时，存在，综上，使为等腰三角形的点P有个，故答案为：．【名师指路】本题考查了等腰三角形的性质，注意分情况讨论是解本题的关键．15．如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEC，连结AD，若∠B＝58°，则∠1的度数是____．【标准答案】【思路指引】根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出∠CAD=45°，根据角的和差解答即可．【详解详析】解：∵Rt△ABC≌Rt△DEC，

∴AC=CD，∠CDE=∠BAC，

∵∠B=58°，∠ACB=90°，

∴∠BAC=32°，

∴∠CDE=32°，

∵AC=CD，

∴∠CAD=∠ADC=45°，

∴∠1=∠ADC-∠CDE=13°，

故答案为：13°．【名师指路】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．16．如图，中，D为AC中点，E为BC上一点，连接DE，且，若，，则BC的长度为______．

【标准答案】17【思路指引】取BC的中点F，连接DF，由三角形中位线定理可得，DF∥AB，再由可得△DFE是等腰三角形，且EF=DF，则CF可求出来，从而可求得BC的长度．【详解详析】如图，取BC的中点F，连接DF则BC=2CF∵D点是AC的中点∴DF是△ABC的中位线∴，DF∥AB∴∠CFD=∠ABC∵∴∠CFD=2∠DEC∵∠CFD=∠DEC+∠FDE∴∠DEC=∠FDE∴∴∴故答案为：17

【名师指路】本题考查了等腰三角形的判定，三角形中位线定理，取BC的中点F得到等腰△DEF是关键．17．如图，在中，，，点D在AC边上，点E在BC边上，且DB平分，，，则_____________．【标准答案】【思路指引】过点作，交的延长线于点，过点作交的延长线于点，根据设，通过导角可得，，进而可得，进而证明，推出，根据直角的面积等于求得，进而求得【详解详析】解：如图，过点作，交的延长线于点，过点作交的延长线于点，设则DB平分，又故答案为：．【名师指路】本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形三线合一，能找到全等三角形是解答此题的关键．三、解答题18．如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．（1）求证：AD＝BE；（2）求∠AEB的度数；（3）探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM⊥DE于点M，连接BE①∠AEB的度数为②判断线段DM、AE、BE之间的数量关系（直接写出结果，不需要说明理由）【标准答案】（1）见解析；（2）60°；（3）①90°；②AE=BE+2DM【思路指引】（1）证明△ACD≌△BCE即可得证AD=BE；（2）根据△ACD≌△BCE，可得∠ADC＝∠BEC，由△DCE为等边三角形，可得∠CDE＝∠CED=60°，进而即可∠ADC＝∠BEC＝120°，根据∠AEB=∠BEC-∠CED即可求得；（3）①方法同（1）证明△ACD≌△BCE，再根据（2）的方法即可求得∠AEB的度数；②由△DCE为等腰直角三角形，CM⊥DE可得，根据△ACD≌△BCE可得则【详解详析】解：（1）∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA=CB，CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=60°-∠DCB=∠BCE.在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE；（2）∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC，∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED=60°，∴∠ADC＝∠BEC＝120°,∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°（3）①∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=90°-∠DCB=∠BCE.在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ADC＝∠BEC，∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED=45°，∴∠ADC＝∠BEC＝135°,∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°故答案为：90°②∵△DCE为等腰直角三角形，CM⊥DE∴△ACD≌△BCE即AE=BE+2DM【名师指路】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，证明△ACD≌△BCE是解题的关键．19．如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，点P从点A出发，沿折线A－B－C－A以每秒2个单位长度的速度向终点A运动．点Q从点B出发，沿折线B－C－A以每秒1个单位长度的速度运动．P、Q两点同时出发，点P停止时，点Q也随之停止．设点P运动的时间为t秒．（1）当P、Q两点重合时，求t的值．（2）当△BPQ是以PQ为底边的等腰三角形时，求t的值．（3）当△BPQ是直角三角形时，直接写出t的值．

【标准答案】（1）4；（2）或；（3），5，1，6【思路指引】（1）P比Q快1个单位长度，P落后Q4个单位长度，算出追上的时间即可得t的值；（2）分两种情况：①当点P在边AB上，点Q在边BC上时，BP＝BQ，②当点P、Q都在边AC上时，AP＝CQ，列出等量关系式求出t的值即可；（3）分情况讨论：当时和时，根据等边三角形的长度，确定P、Q位置即可求出t的值．【详解详析】（1）∵P比Q快1个单位长度，P落后Q4个单位长度，∴追上的时间为；（2）

如图，当点P在边AB上，点Q在边BC上时，BP＝BQ，即，∴，

如图，当点P、Q都在边AC上时，AP＝CQ，即，∴，综上，t的值为或；（3）

如图，当，点P在边AB上，点Q在边BC上时，∵是等边三角形，∴，∴，即，∴，解得：，

如图，当，点P、Q都在边AC上时，∵是等边三角形，∴点P为AC中点，，

如图，当，点P在边AB上，点Q在边BC上时，∵是等边三角形，∴，∴，即，∴，解得：，

如图，当，点P、Q都在边AC上时，∵是等边三角形，∴点Q是AC中点，，综上：t的值为，5，1，6．【名师指路】本题考查等边三角形上的动点问题，掌握等边三角形的性质、等腰三角形的性质与直角三角形的性质是解题的关键．20．（探索发现）等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A、B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E（1）如图1，已知C点的横坐标为﹣1，请直接写出点A的坐标（2）如图2，当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB＝∠CDE（拓展应用）（3）如图3，若点A在x轴上，且A（﹣4，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，连接CD交y轴于点P，当点B在y轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请直接写出BP的长度为【标准答案】（1）A（0，1）；（2）见解析；（3）不变，2【思路指引】（1）如图（1），过点C作CF⊥y轴于点F，构建全等三角形：△ACF≌△BAO（AAS），结合该全等三角形的对应边相等易得OA的长度，由点A是y轴上一点可以推知点A的坐标；（2）过点C作CG⊥AC交y轴于点G，则△ACG≌△BAD（ASA），即得CG=AD=CD，∠ADB=∠G，由∠DCE=∠GCE=45°，可证△DCE≌△GCE（SAS）得∠CDE=∠G，从而得到结论；（3）BP的长度不变，理由如下：如图（3），过点C作CH⊥y轴于点H，构建全等三角形：△CBH≌△BAO（AAS），结合全等三角形的对应边相等推知：CH=BO，BH=AO=4．再结合已知条件和全等三角形的判定定理AAS得到：△CPH≌△DPB，故BP=HP=2．【详解详析】解：（1）如图（1），过点C作CF⊥y轴于点F，∵CF⊥y轴于点F，∴∠CFA=90°，∠ACF+∠CAF=90°，∵∠CAB=90°，∴∠CAF+∠BAO=90°，∴∠ACF=∠BAO，在△ACF和△ABO中，，∴△ACF≌△BAO（AAS），∴CF=OA=1，∴A（0，1）；（2）如图2，过点C作CG⊥AC交y轴于点G，∵CG⊥AC，∴∠ACG=90°，∠CAG+∠AGC=90°，∵∠AOD=90°，∴∠ADO+∠DAO=90°，∴∠AGC=∠ADO，在△ACG和△ABD中，，∴△ACG≌△BAD（AAS），∴CG=AD=CD，∠ADB=∠AGC，∵∠ACB=45°，∠ACG=90°，∴∠DCE=∠GCE=45°，在△DCE和△GCE中，，∴△DCE≌△GCE（SAS），∴∠CDE=∠AGC，∴∠ADB=∠CDE；（3）BP的长度不变，理由如下：如图，过点C作CH⊥y轴于点H．∵∠ABC=90°，∴∠CBH+∠ABO=90°．∵∠BAO+∠ABO=90°，∴∠CBH=∠BAO．∵∠CHB=∠AOB=90°，AB=AC，∴△CBH≌△BAO（AAS），∴CH=BO，BH=AO=4．∵BD=BO，∴CH=BD．∵∠CHP=∠DBP=90°，∠CPE=∠DPB，∴△CPH≌△DPB（AAS），∴BP=HP=2．故答案为：2．【名师指路】本题考查了三角形综合题．主要利用了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形．21．如图，等边△ABC的边长为10cm，点D在边AB上，且AD=4cm，点P在线段BC上，以每秒2cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上，由点C向点A运动．设点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPD与△CQP全等，求此时t的值及点Q的运动速度．【标准答案】当t=2s，点Q运动的速度为2cm/