山东省济南市2023年各地区中考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（13套）-03解答题（较难题）②

山东省济南市2023年各地区中考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（13套）-03解答题（较难题）②一．反比例函数综合题（共3小题）1．（2023•市中区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象与矩形OABC相交于D，E两点，点A，C分别在y轴和x轴的正半轴上，点B的纵坐标为6，点D的横坐标为2．连接DE，OB，DE与OB相交于点F．（1）求反比例函数的表达式；（2）求证：DF＝EF；（3）连接OD，当△ODF是直角三角形时，求此时OF的长．2．（2023•济南二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x+b与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线H：y＝交于点P（2，），直线x＝m分别与直线l和双曲线H交于点E、D．（1）求k和b的值；（2）当点E在线段AB上时，如果ED＝BO，求m的值；（3）如果△BDE是以BE为腰的等腰三角形，求点E的坐标．​3．（2023•商河县二模）如图，在矩形OABC中，OA＝4，OC＝6，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．（1）连接OE，若△EOA的面积为3，则k＝；（2）连接CA，DE与CA是否平行？请说明理由；（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．二．二次函数综合题（共5小题）4．（2023•市中区二模）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，3），点D为OC的中点，连接BD，点P在抛物线上．（1）求b，c的值；（2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC交于点M．是否存在这样的点P，使得PM＝MH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝S△QRB，求点P的横坐标．5．（2023•历下区二模）如图1，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（﹣1，0）和点B（4，0），与x轴交于点C，顶点是G，连接AC，BC．（1）求抛物线的表达式和顶点G的坐标；（2）如图2，若平移抛物线y＝ax2+bx﹣2，使其顶点M在直线AC上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为D，连接DG，CG，当时，求点M的坐标；（3）如图3，若将抛物线y＝ax2+bx﹣2进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y＝ax2+bx﹣2平移的最短距离及此时抛物线的顶点坐标．6．（2023•历城区二模）如图1，在平面直角坐标系中．抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图2，点M为直线AC上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交AC于点N，过点M作x轴的平行线，交直线AC于点Q，求△MNQ周长的最大值；（3）点P为抛物线上的一动点，且∠ACP＝45°﹣∠BAC，请直接写出满足条件的点P的坐标．7．（2023•商河县二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．（1）试求抛物线的解析式；（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，m取最大值时，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．8．（2023•长清区二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（4，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．（1）求函数表达式及C坐标；（2）Q在抛物线的对称轴上，连接CQ、BQ，若△QBC为以BC为底的等腰三角形，求Q点坐标．（3）P在抛物线上且在第一象限内，过点P作PM⊥AC，PN⊥y轴，求的最大值并写出P点坐标．三．切线的性质（共1小题）9．（2023•市中区二模）如图，已知AB为⊙O的直径，过⊙O上点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC于点D．且交⊙O于点F，连接BC，CF，AC．（1）求证：BC＝CF；（2）若AD＝3，DE＝4，求BE的长．四．几何变换综合题（共5小题）10．（2023•市中区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，D，E，F分别为AC，AB，BC的中点，连接DE，DF．（1）如图1，求证：DF＝DE；（2）如图2，将∠EDF绕点D顺时针旋转一定角度，得到∠PDQ，当射线DP交AB于点G，射线DQ交BC于点N时，连接FE并延长交射线DP于点M，判断FN与EM的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，当DP⊥AB时，求DN的长．11．（2023•钢城区二模）在△ABC与△ADE中，连接DC，点M、N分别为DE和DC的中点，连接CE．（1）【观察猜想】如图①，若AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，MN与BD的数量关系是；（2）【类比探究】如图②，若AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，请写出MN与BD的数量关系并就图②的情形说明理由；（3）【解决问题】如图③，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠AED＝30°，3AD＝AB＝6，将△ADE绕点A进行旋转，当点D落在△ABC的边所在的直线上时，请求出MN的长．12．（2023•历下区二模）如图1，△ABC和△DEB都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠BDE＝90°，将△BDE绕点B逆时针旋转α（0＜α＜360），连接EC，取EC中点F，连接AF，DF．（1）如图1，当点D落在BC边上，点E落在AB边上时，线段AF和线段DF的位置关系是，数量关系是；（2）如图2，当点D落在△ABC内部时，（1）的结论是否仍然成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．九年级一班数学兴趣小组的同学提出了三种思路：小聪：过点D作DM⊥BE交线段BE于点M，过点A作AN⊥BC交线段BC于点N……小明：延长ED至点G，使DG＝DE，延长CA至点H使AH＝AC，连接GB、BH……小智：延长DF至点P，使DF＝PF，连接PC，AD，AP……请你选择一种思路，完善证明过程；（3）若AB＝6，BD＝2，在△BDE旋转的过程中，当点E，D，F三点共线时，连接AD，请直接写出AD的长．13．（2023•商河县二模）在等腰△ABC中，∠B＝90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC，垂足为N，∠EMF＝135°、将∠EMF绕点M旋转，使∠EMF的两边交直线AB于点E，交直线AC于点F，请解答下列问题：（1）当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF＝BM；（2）当∠EMF绕点M旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE，CF，BM之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）和（2）的条件下，tan∠BEM＝，AN＝2+2，求CF的长．14．（2023•长清区二模）已知点C为△ABC和△CDE的公共顶点，将△CDE绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜360°），连接BD，AE，请完成如下问题：（1）如图1，若△ABC和△CDE均为等边三角形，线段BD与线段AE的数量关系是；类比探究：（2）如图2，若∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD＝60°，其他条件不变，请写出线段BD与线段AE的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：如图3，D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，，直接写出AD的长．

山东省济南市2023年各地区中考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（13套）-03解答题（较难题）②参考答案与试题解析一．反比例函数综合题（共3小题）1．（2023•市中区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象与矩形OABC相交于D，E两点，点A，C分别在y轴和x轴的正半轴上，点B的纵坐标为6，点D的横坐标为2．连接DE，OB，DE与OB相交于点F．（1）求反比例函数的表达式；（2）求证：DF＝EF；（3）连接OD，当△ODF是直角三角形时，求此时OF的长．【答案】（1）y＝．（2）见解析；（3）OF的长为4或．【解答】（1）解：∵四边形OABC是矩形，点A，C分别在y轴和x轴的正半轴上，∴BC∥x轴，AB∥y轴，∵点B的纵坐标为6，点D的横坐标为2，∴D（2，6），∵反比例函数y＝的图象经过点D（2，6），∴k＝xy＝2×6＝12，∴反比例函数的表达式为y＝．（2）证明：设A（x，0）（x＞0），则E（x，），B（x，6），∴BD＝x﹣2，BE＝6﹣，如图1，∵＝＝1﹣，＝＝1﹣，∴，∵∠DBE＝∠OAB＝90°，∴△DBE∽△OAB，∴∠DEB＝∠OBA，∵∠EDB+∠DEB＝90°，∠OBD+∠OBA＝90°，∴∠EDB＝∠OBD，∴DF＝EF＝BF．（3）解：当△ODF是直角三角形，且∠OFD＝90°，如图2，∵DF＝EF，OB⊥DE，∴BD＝BE，∴x﹣2＝6﹣，解得x1＝6，x2＝2（不符合题意，舍去），∴AO＝AB＝6，BD＝BE＝6﹣2＝4，∴OB＝＝＝6，DE＝＝＝4，∴BF＝DE＝2，∴OF＝OB﹣BF＝6﹣2＝4；当△ODF是直角三角形，且∠ODF＝90°，如图3，∵∠DBE＝∠OCD＝90°，∴∠BDE＝∠COD＝90°﹣∠CDO，∴△BDE∽△COD，∴，∵CO＝AB＝6，CD＝2，∴BD＝•BE＝3BE，∴x﹣2＝3（6﹣），解得x1＝18，x2＝2（不符合题意，舍去），∴AO＝18，BE＝6﹣＝，BD＝18﹣2＝16，∴OB＝＝＝6，DE＝＝＝，∴BF＝DE＝，∴OF＝OB﹣BF＝6﹣＝，综上所述，OF的长为4或．2．（2023•济南二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x+b与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线H：y＝交于点P（2，），直线x＝m分别与直线l和双曲线H交于点E、D．（1）求k和b的值；（2）当点E在线段AB上时，如果ED＝BO，求m的值；（3）如果△BDE是以BE为腰的等腰三角形，求点E的坐标．​【答案】（1）k＝9，b＝3；（2）﹣2；（3）E（﹣3，）或（，）．【解答】解：（1）把点P（2，）代入y＝，得＝，解得k＝9，把点P（2，）代入y＝x+b，得+b＝，解得b＝3；（2）在直线y＝x+3中，令x＝0，得y＝3，∴B（0，3），∴OB＝3，令y＝0，得x+3＝0，解得x＝﹣4，∴A（﹣4，0），∵直线x＝m，分别与直线l和双曲线H交于点E、D，∴E（m，m+3），D（m，），∵点E在线段AB上，∴﹣4≤m≤0，∴ED＝m+3﹣，∵ED＝BO，∴m+3﹣＝3，解得m＝﹣2，m'＝2（不符合题意，舍去），∴m的值为﹣2；（3）如图，过点E作EF⊥y轴于点F，∵B（0，3），E（m，m+3），D（m，），∴F（0，m+3），∴BE＝＝＝＝|m|，又∵DE＝|m+3﹣|，△BDE是以BE为腰的等腰三角形，且点E在AB上，D点在双曲线上，∴只存在BE＝DE时，即|m|＝|m+3﹣|，解得m＝﹣3，m'＝，∴E（﹣3，）或（，）．3．（2023•商河县二模）如图，在矩形OABC中，OA＝4，OC＝6，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．（1）连接OE，若△EOA的面积为3，则k＝6；（2）连接CA，DE与CA是否平行？请说明理由；（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）6；（2）结论：DE∥AC．理由见解析部分；（3）D（，6）．【解答】解：（1）连接OE，如图1，∵Rt△AOE的面积为3，∴k＝2×3＝6．故答案为：6；（2）结论：DE∥AC．理由：连接AC，如图1，设D（x，6），E（4，x），则BD＝4﹣x，BE＝6﹣x，∴＝＝，∵＝＝，∴，又∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BCA，∴∠BED＝∠BAC，∴DE∥AC；（3）假设存在点D满足条件．设D（x，6），E（4，x），则CD＝x，BD＝4﹣x，BE＝6﹣x，AE＝x．作EF⊥OC，垂足为F，由△B′CD∽△EFB′，可得，∴＝，∴B′F＝x，由勾股定理得，CB′2+CD2＝B′D2，∴（6﹣3x）2+x2＝（4﹣x）2，解这个方程得，x1＝2（舍去），x2＝，∴满足条件的点D存在，D的坐标为D（，6）．二．二次函数综合题（共5小题）4．（2023•市中区二模）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，3），点D为OC的中点，连接BD，点P在抛物线上．（1）求b，c的值；（2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC交于点M．是否存在这样的点P，使得PM＝MH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝S△QRB，求点P的横坐标．【答案】（1）b＝2，c＝3；（2）P的坐标为（，），使得PM＝MH；（3）点P坐标为（1，4）．【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、C（0，3），∴c＝3，∴﹣1﹣b+3＝0．解得：b＝2．故答案为：b＝2，c＝3．（2）存在满足条件呢的点P，使得PM＝MH．∵二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3，当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），则M（t，﹣t+3），H（t，0），∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，MH＝3﹣t，∵PM＝MH，∴﹣t2+3t＝（3﹣t），解得：t1＝，t2＝3（舍去），∴P（，），∴P的坐标为（，），使得PM＝MH．（3）∵点D为OC的中点．OC＝3．∴点D的坐标为（0，），∴BD的解析式为：y＝﹣+，过点P作PF⊥x轴于F，交直线BD于E，∵OB＝3，OD＝，∠BOD＝90°，∴BD＝＝，∴cos∠OBD＝，∵PQ⊥BD于点Q，PF⊥x轴于点F，∴∠PQE＝∠BQR＝∠PFR＝90°，∴∠PRF+∠OBD＝∠PRF+∠EPQ＝90°，∴∠EPQ＝∠OBD，即cos∠EPQ＝cos∠OBD＝，在Rt△PQE中，cos∠EPQ＝，∴PQ＝PE，在Rt△PFR中，cos∠RPF＝，∴PR＝PF，∵S△PQB＝S△QRB，S△PQB＝BQ•PQ，S△QRB＝BQ•QR，∴PQ＝QR．设直线BD与抛物线交于点G，∵﹣+＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝3（即点B横坐标），x2＝﹣，∴点G横坐标为﹣，设P（t，﹣t2+2t+3）（t＜3），则E（t，﹣t+），∴PF＝|﹣t2+2t+3|，PE＝|﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）|＝|﹣t2+t+|，①若﹣＜t＜3，则点P在直线BD上方，如图2，∴PF＝﹣t2+2t+3，PE＝﹣t2+t+，∵PQ＝QR，∴PQ＝PR．∴PE＝•PF，即4PE＝3PF，∴4（﹣t2+t+）＝3（﹣t2+2t+3），解得：t1＝1，t2＝3（舍去），∴P（1，4），②若﹣1＜t＜﹣，则点P在x轴上方、直线BD下方，如图3，此时，PQ＜QR，即S△PQB＝S△QRB不成立．③若t＜﹣1，则点P在x轴下方，如图4，∴PF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，PE＝﹣t+﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣t﹣，∵PQ＝2QR，∴PQ＝2PR，∴PE＝2•PF，即2PE＝5PF，∴2（t2﹣t﹣）＝5（t2﹣2t﹣3），解得：t1＝﹣（不在范围舍去），t2＝3（不在范围舍去），∴此种情况不存在符合条件的P点．综上所述，点P坐标为（1，4）．5．（2023•历下区二模）如图1，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（﹣1，0）和点B（4，0），与x轴交于点C，顶点是G，连接AC，BC．（1）求抛物线的表达式和顶点G的坐标；（2）如图2，若平移抛物线y＝ax2+bx﹣2，使其顶点M在直线AC上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为D，连接DG，CG，当时，求点M的坐标；（3）如图3，若将抛物线y＝ax2+bx﹣2进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y＝ax2+bx﹣2平移的最短距离及此时抛物线的顶点坐标．【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2，顶点G的坐标为（，﹣）；（2）M（2，﹣6）；（3）抛物线平移的最短距离为，此时顶点坐标为N（，﹣）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（﹣1，0）和点B（4，0），∴，解得：，∴该抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣2，∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，∴顶点G的坐标为（，﹣）；（2）由（1）知，G（，﹣），∵S△CDG＝CD•xG＝，∴CD＝＝＝2，由（1）知，抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣2，∴C（0，﹣2），∵点D在y轴负半轴上，∴D（0，﹣4），设直线AC的解析式为y＝kx+c，把A（﹣1，0）、C（0，﹣2）代入得：，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2，∵平移后的抛物线的顶点M在直线AC上运动，∴设M（m，﹣2m﹣2），则平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣m）2﹣2m﹣2，将点D（0，﹣4）代入得：m2﹣2m﹣2＝﹣4，解得：m1＝m2＝2，∴M（2，﹣6）；（3）解：过点G作BC的垂线，交BC于H，交y轴于点F，过点G作GE⊥y轴于点E，如图，当抛物线沿着直线GF的向上平移时，平移距离最短，设直线BC的解析式为y＝k1x+b1，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，∵G（，﹣），∴GE＝，OE＝，∵FH⊥BC，∴∠CFH+∠FCH＝∠OBC+∠FCH＝90°，∴∠CFH＝∠OBC，∴Rt△OCB∽Rt△EGF，∴，∵OC＝2，OB＝4，∴EF＝3，而EF＜OE，即点F在y轴负半轴上，∴OF＝OE﹣FE＝﹣3＝，∴F（0，﹣），设直线GF的解析式为y＝k2x+b2，则，解得：，∴直线GF的解析式为y＝﹣2x﹣，设平移后抛物线的顶点N坐标为（n，﹣2n﹣），则平移后抛物线解析式为y＝（x﹣n）2﹣2n﹣，∵抛物线y＝（x﹣n）2﹣2n﹣与直线BC恰有一个公共点，∴，整理得：4x2﹣（8n+4）x+4n2﹣16n+15＝0，∴Δ＝[﹣（8n+4）]2﹣4×4（4n2﹣16n+15）＝0，解得：n＝，此时平移后抛物线的顶点坐标为N（，﹣），而点G的坐标为（，﹣），∴GN＝＝，∴抛物线平移的最短距离为，此时顶点坐标为N（，﹣）．6．（2023•历城区二模）如图1，在平面直角坐标系中．抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图2，点M为直线AC上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交AC于点N，过点M作x轴的平行线，交直线AC于点Q，求△MNQ周长的最大值；（3）点P为抛物线上的一动点，且∠ACP＝45°﹣∠BAC，请直接写出满足条件的点P的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；（2）△MNQ周长最大值为6+2；（3）P的坐标为（﹣5，﹣3）或（﹣，）．【解答】解：（1）把A（﹣4，0）和B（1，0）代入y＝ax2+bx+2得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；（2）由y＝﹣x2﹣x+2可得C（0，2），设直线AC解析式为y＝kx+2，把A（﹣4，0）代入得：﹣4k+2＝0，解得k＝，∴直线AC解析式为y＝x+2，设M（x，﹣x2﹣x+2），则N（x，x+2），∴MN＝﹣x2﹣x+2﹣（x+2）＝﹣x2﹣2x，∵MQ∥x轴，MN∥y轴，∴∠MQN＝∠CAO，∠NMQ＝∠AOC＝90°，∴△QMN∽△AOC，∴＝＝，即＝＝，∴MQ＝2MN，NQ＝MN，∴△MNQ周长MN+MQ+NQ＝MN+2MN+MN＝（3+）MN＝（3+）×（﹣x2﹣2x）＝﹣（x+2）2+6+2，∵﹣＜0，∴当x＝﹣2时，△MNQ周长最大值为6+2；（3）在x轴负半轴上取D，使OC＝OD，连接CD交抛物线于P，如图：∴D（﹣2，0），∠CDO＝45°，此时∠ACP＝45°﹣∠BAC，P是满足条件的点，∵C（0，2），D（2，0），∴直线CD解析式为y＝x+2，由得或，∴P（﹣5，﹣3），作D关于直线AC的对称点E，连接CE并延长交抛物线于P'，由对称性知∠ACP'＝∠ACP，P'是满足条件的点，设E（m，n），根据AE＝AD，CE＝CD可得：，解得或，∴E（﹣，），由E（﹣，），C（0，2）可得直线CE解析式为：y＝x+2，解得或，∴P'（﹣，），综上所述，P的坐标为（﹣5，﹣3）或（﹣，）．7．（2023•商河县二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．（1）试求抛物线的解析式；（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，m取最大值时，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣（x+2）（x﹣4）或y＝﹣x2+x+4或y＝﹣（x﹣1）2+；（2）当n＝2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）；（3）N（，3）或（6，﹣3）．【解答】解：（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，所以可以假设y＝a（x+2）（x﹣4），∵OC＝2OA，OA＝2，∴C（0，4），代入抛物线的解析式得到a＝﹣，∴y＝﹣（x+2）（x﹣4）或y＝﹣x2+x+4或y＝﹣（x﹣1）2+．（2）如图1中，由题意，点P在y轴的右侧，作PE⊥x轴于E，交BC于F．∵CD∥PE，∴△CMD∽△FMP，∴m＝＝，∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1），∵BC的解析式为y＝﹣x+4，设P（n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4），∴PF＝﹣n2+n+4﹣（﹣n+4）＝﹣（n﹣2）2+2，∴m＝＝﹣（n﹣2）2+，∵﹣＜0，∴当n＝2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）．（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．①当DP是矩形的边时，有两种情形，a、如图2﹣1中，四边形DQNP是矩形时，由（2）可知P（2，4），代入y＝kx+1中，得到k＝，∴直线DP的解析式为y＝x+1，可得D（0，1），E（﹣，0），由△DOE∽△QOD可得＝，∴OD2＝OE•OQ，∴1＝•OQ，∴OQ＝，∴Q（，0）．根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，∴N（2+，4﹣1），即N（，3）b、如图2﹣2中，四边形PDNQ是矩形时，∵直线PD的解析式为y＝x+1，PQ⊥PD，∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+，∴Q（8，0），根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，∴N（0+6，1﹣4），即N（6，﹣3）．②当DP是对角线时，设Q（x，0），则QD2＝x2+1，QP2＝（x﹣2）2+42，PD2＝13，∵Q是直角顶点，∴QD2+QP2＝PD2，∴x2+1+（x﹣2）2+16＝13，整理得x2﹣2x+4＝0，方程无解，此种情形不存在，综上所述，满足条件的点N坐标为（，3）或（6，﹣3）．8．（2023•长清区二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（4，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．（1）求函数表达式及C坐标；（2）Q在抛物线的对称轴上，连接CQ、BQ，若△QBC为以BC为底的等腰三角形，求Q点坐标．（3）P在抛物线上且在第一象限内，过点P作PM⊥AC，PN⊥y轴，求的最大值并写出P点坐标．【答案】（1）函数表达式为入y＝﹣x2+3x+4，C的坐标为（0，4）；（2）Q（，）；（3）的最大值是，P点坐标为（3，4）．【解答】解：（1）把A（4，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+4得：，解得：，∴函数表达式为入y＝﹣x2+3x+4，令x＝0得y＝4，∴C的坐标为（0，4）；（2）∵y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴为直线x＝，设Q（，m），∵△QBC为以BC为底的等腰三角形，∴BQ＝CQ，∵B（﹣1，0），C（0，4），∴+m2＝+（m﹣4）2，解得m＝，∴Q（，）；（3）过P作PH∥y轴交AC于H，过H作HK⊥y轴交于K，如图：∵A（4，0），C（0，4）∴直线AC解析式为y＝﹣x+4，∠ACO＝∠CAO＝45°，设P（t，﹣t2+3t+4），则H（t，﹣t+4），∴PN＝t，PH＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，∵PH∥y轴，∴∠PHM＝∠ACO＝45°，∴△PHM是等腰直角三角形，∴PM＝MH＝PH＝﹣t2+2t，∵∠PNK＝∠NKH＝∠PHK＝90°，∴四边形PNKH是矩形，∴KH＝PN＝t，∵∠ACO＝45°，∠NKH＝90°，∴△CKH是等腰直角三角形，∴CH＝KH＝t，∴CM＝CH﹣MH＝t﹣（﹣t2+2t）＝t2﹣t，∴＝＝﹣t2+3t﹣4＝﹣（t﹣3）2+，∵﹣＜0，∴当t＝3时，取最大值，最大值为，此时P（3，4），∴的最大值是，P点坐标为（3，4）．三．切线的性质（共1小题）9．（2023•市中区二模）如图，已知AB为⊙O的直径，过⊙O上点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC于点D．且交⊙O于点F，连接BC，CF，AC．（1）求证：BC＝CF；（2）若AD＝3，DE＝4，求BE的长．【答案】（1）证明过程见解答；（2）BE的长为．【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵ED切⊙O于点C，∴CO⊥ED，∵AD⊥EC，∴CO∥AD，∴∠OCA＝∠CAD，∵∠OCA＝∠OAC，∴∠OAC＝∠CAD，∴＝，∴BC＝CF；（2）解：在Rt△ADE中，∵AD＝3，DE＝4，根据勾股定理得AE＝5，∵CO∥AD，∴△EOC∽△EAD，∴＝，设⊙O的半径为r，∴OE＝5﹣r，∴＝，∴r＝，∴BE＝5﹣2r＝，答：BE的长为．四．几何变换综合题（共5小题）10．（2023•市中区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，D，E，F分别为AC，AB，BC的中点，连接DE，DF．（1）如图1，求证：DF＝DE；（2）如图2，将∠EDF绕点D顺时针旋转一定角度，得到∠PDQ，当射线DP交AB于点G，射线DQ交BC于点N时，连接FE并延长交射线DP于点M，判断FN与EM的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，当DP⊥AB时，求DN的长．【答案】（1）见解答；（2），理由见解答；（3）DN＝．【解答】（1）证明：如图1，连接AF，∵AB＝AC＝，BC＝2，D，E，F分别为AC，AB，BC的中点，∴DE＝BC＝1，AF⊥BC，∴DF＝AC＝∴；（2）解：，理由如下：连接AF，如图2，∵AB＝AC＝，BC＝2，E，F分别为AC，AB，BC的中点，∴，∴四边形CDEF是平行四边形，∴∠DEF＝∠C，∵，∴∠DFC＝∠C，∴∠DFC＝∠DEF，∴180°﹣∠DFC＝180°﹣∠DEF，∴∠DFN＝∠DEM，∵将∠EDF绕点D顺时针旋转一定角度，得到∠PDQ，∴∠EDF＝∠PDQ，∵∠FDN+∠NDE＝∠EDM+∠NDE，∴∠FDN＝∠EDM，∴△DNF∽△DME，∴，∴；（3）解：如图，连接AF，过点C作CH⊥AB于H，Rt△AFC中，FC＝BC＝1，∴AF＝＝2，∴S△ABC＝BC•AF＝AB•CH，∴HC＝＝＝，∵DP⊥AB，∴△AGD∽△AHC，∴，∴GD＝HC＝，Rt△GED中，GE＝＝＝，Rt△AGD中，AG＝＝，∴tan∠ADG＝＝，∵EF∥AD，∴∠EMG＝∠ADG，∴，∴MG＝GE＝×＝，∴MD＝MG+GD＝+＝，∵△DNF∽△DME，∴，∴DN＝DM＝×＝．11．（2023•钢城区二模）在△ABC与△ADE中，连接DC，点M、N分别为DE和DC的中点，连接CE．（1）【观察猜想】如图①，若AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，MN与BD的数量关系是BD＝2MN；（2）【类比探究】如图②，若AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，请写出MN与BD的数量关系并就图②的情形说明理由；（3）【解决问题】如图③，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠AED＝30°，3AD＝AB＝6，将△ADE绕点A进行旋转，当点D落在△ABC的边所在的直线上时，请求出MN的长．【答案】（1）BD＝2MN，60；（2）BD＝2MN，∠BPM＝90°；（3）MN的长为或4或2．【解答】解：（1）连接CE，延长CE交AB于点Q，交直线BD于点G，∵点M、N分别为DE和DC的中点，∴MN∥CE，CE＝2MN，∴∠BPM＝∠QGB，∵∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，即∠DAB＝∠EAC，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴∠DBA＝∠ECA，BD＝CE＝2MN．故答案为：BD＝2MN；（2）BD＝2MN．理由：连接CE，延长CE交AB于点Q，交直线BD于点G，∵点M、N分别为DE和DC的中点，∴MN∥CE，CE＝2MN，∴∠BPM＝∠QGB，∵∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，即∠DAB＝∠EAC，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴∠DBA＝∠ECA，BD＝CE＝2MN；（3）连接BD，CE，则CE＝BD，同（2）可得MN＝EC，∴MN＝BD，∴点D在以A为圆心，AD长为半径的圆上，故分四种情况讨论：①当点D落在AC上时，∵3AD＝AB＝6，∴AD＝2；∴BD＝＝＝2，∴MN＝BD＝；②当点D落在BA的延长线上时，∴BD＝AB+AD＝8，∴MN＝BD＝4；③当点D落在CA的延长线上时，此时BD＝2，∴MN＝BD＝；④当点D落在边AB上时，∴BD＝AB﹣AD＝4，∴MN＝BD＝2，综上所述，MN的长为或4或2．12．（2023•历下区二模）如图1，△ABC和△DEB都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠BDE＝90°，将△BDE绕点B逆时针旋转α（0＜α＜360），连接EC，取EC中点F，连接AF，DF．（1）如图1，当点D落在BC边上，点E落在AB边上时，线段AF和线段DF的位置关系是AF⊥DF，数量关系是AF＝DF；（2）如图2，当点D落在△ABC内部时，（1）的结论是否仍然成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．九年级一班数学兴趣小组的同学提出了三种思路：小聪：过点D作DM⊥BE交线段BE于点M，过点A作AN⊥BC交线段BC于点N……小明：延长ED至点G，使DG＝DE，延长CA至点H使AH＝AC，连接GB、BH……小智：延长DF至点P，使DF＝PF，连接PC，AD，AP……请你选择一种思路，完善证明过程；（3）若AB＝6，BD＝2，在△BDE旋转的过程中，当点E，D，F三点共线时，连接AD，请直接写出AD的长．【答案】（1）结论：AF⊥DF，AF＝DF．理由见解析部分；（2）结论成立，理由见解析部分；（3）AD＝﹣或+．【解答】解：（1）结论：AF⊥DF，AF＝DF．理由：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝45°，∵∠BDE＝90°，∴∠EDC＝90°，∵EF＝FC，∴AF＝EF＝CF＝DF，∴∠FAC＝∠FCA，∠FCD＝∠FDC，∵∠AFE＝∠FAC+∠FCA＝2∠FCA，∠EFD＝∠FDC+∠FCD＝2∠FCD，∴∠AFD＝∠AFE+∠EFD＝2（∠ACF+∠FCD）＝2∠ACB＝90°，∴AF⊥DF，AF＝DF．故答案为：AF⊥DF，AF＝DF；（2）结论成立．理由：延长DF到M，使得FM＝DF，连接AM，AD，CM，延长BD交CM的延长线于点J，AC交BJ于点O．∵FE＝FC，EFD＝CFM，FD＝FM，∴△EFD≌△CFM（SAS），∴DE＝CM，∠DEF＝∠FCM，∴DE∥CJ，∴∠EDJ＝∠J＝90°，∵∠BAO＝∠OJC＝90°，∴∠ABD＝∠ACM，∵BA＝CA，BD＝DE＝CM，∴△ABD≌△ACM（SAS），∴∠BAD＝∠CAM，AD＝AM，∴∠DAM＝∠BAC＝90°，∵DF＝FM，∴AF⊥FM，AF＝DF＝FM，即AF⊥DF，AF＝DF；（3）当点D在线段CE上时，∵AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，∴BC＝＝＝6，∵∠BDC＝90°，BD＝2，∴CD＝＝＝2，∴EC＝DE+CD＝2+2，∴EF＝CF＝1+，∴AF＝DF＝1+﹣2＝﹣1，∴AD＝AF＝﹣，当点E在线段CD上时，同法可得AF＝DF＝+1，∴AD＝AF＝+．综上所述，AD＝﹣或+．13．（2023•商河县二模）在等腰△ABC中，∠B＝90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC，垂足为N，∠EMF＝135°、将∠EMF绕点M旋转，使∠EM