专题16正多边形与圆的有关的证明和计算核心知识点精讲（讲义）（原卷版）

专题16正多边形与圆的有关的证明和计算核心知识点精讲了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；

2．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】

考点一、正多边形和圆1、正多边形的有关概念：(1)正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.

(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.

(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.

(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径）

(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.

2、正多边形与圆的关系：

(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.

(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.

（3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.

3、正多边形性质：

(1)任何正多边形都有一个外接圆.

(2)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.

要点诠释：（1）正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是；所以正n边形的中心角等于它的外角.

（2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比.

考点二、圆中有关计算

1．圆中有关计算

圆的面积公式：，周长.

圆心角为、半径为R的弧长.

圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.

弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.

圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.

圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：

(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；

(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；

(4)扇形两个面积公式之间的联系：.

【题型1：正多边形有关计算】【典例1】将刻度尺按如图所示的方式放置在正六边形上，顶点C，F分别对应直尺上的刻度12和4，则与之间的距离为（

）A．8 B． C． D．41．如图，正五边形内接于，是上一点，则的度数为（

）A． B． C． D．2．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正八边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点M．将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时、点H坐标为，则与0的关系是（

）

A． B． C． D．无法确定3．周长相等的正方形与正六边形的面积分别为、，和的关系为（

）A． B． C． D．【题型2：正多边形与圆有关面积的计算】【典例2】如图，正五边形的边长为2，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．1．如图，正八边形的边长为4，以顶点为圆心，的长为半径画圆，求阴影部分的面积_______（结果保留）．2．如图，在正六边形中，点，分别在对角线和上，且，则的值为（

）A． B． C． D．3．如图，正方形的边长为，点O为对角线交点，以各边中点为圆心，为半径依次作圆，连接点O和的中点E，则图中阴影部分的面积为______．

【题型3：正多边形综合运用的计算】【典例3】我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为_________（结果保留根号）1．楚雄市，隶属于云南省楚雄彝族自治州，彝族人民喜欢用月琴演奏他们在生产生活中喜怒哀乐的情感，月琴也是彝族人民历史悠久的传统乐器之一．彝族月琴有圆形、梨形、六角形、八角形等不同的形状，它由两个面板、手板、长劲头、弦扭、缚弦组成，弦扭通常用大红花树制作．现要制作一个六角月琴，需计算六角月琴一个面板的面积，六角月琴的面板是一个正六边形，若已知正六边形内接于，的半径是，则正六边形的面积是（）A． B． C． D．2．如图，等腰内接于，．(1)如图1，若，连接并延长交于点D，交于点H．①弧的度数为：______；与的数量关系是：______．②请你仅使用无刻度的直尺在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）；(2)如图2，若，E是的中点，请你仅使用无刻度的直尺在图2中，作一个的内接正五边形（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）．1．如图，已知正五边形内接于，则的度数是（

）A． B． C． D．2．如图，点，，，为正边形的顶点，点为正边形的中心．若，则（

）A．七 B．八 C．九 D．十3．半径为1的圆内接正六角形的边心距为_________．4．如图，正六边形，连接，则的度数为___________．

5．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为______（结果保留根号）6．如图，正六边形的边长为1，以对角线为直径作圆，则图中阴影部分的面积为________．1．如图，要拧开一个边长为的正六边形螺帽，则扳手张开的开口b至少为（

）

A． B． C． D．2．如图，正六边形内接于，的半径为1，则的长为（

）A． B． C． D．3．如图，是正五边形外接圆的一条直径，则的度数是（

）A．18° B．36° C．54° D．72°4．如图，是的直径，与交于点，弦平分，，垂足为若的半径为，，则线段的长为（

）A． B． C． D．5．如图，半径为1的是正方形，正六边形的外接圆，则的长为（

）A． B． C． D．6．如图，五边形为的内接正五边形，点P为劣弧上的任意一点（不与D，E重合），则的度数是（

）A． B． C． D．7．如图，点O是正方形和正五边形的中心，连接、交于点P，则（）A． B． C． D．8．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接AD、CE交于点G，DG=2．(1)求正六边形ABCDEF的边长；(2)求阴影部分的面积．9．如图，是的直径，延长弦到点，使，连接，过点作，垂足为．

(1)判断直线与的位置关系，并证明你的结论；(2)若的半径为6，，延长交延长线于点，求阴影部分的面积．10．四边形内接于，，是的直径，过点A作．(1)如图1，求证：是的切线；(2)如图2，当时，连接并延长，分别交于点E，F，交于点G．求图中阴影部分的面积．1．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，矩形内接于，分别以为直径向外作半圆．若，则阴影部分的面积是（

）

A． B． C．