第四章 圆和扇形（压轴题专练）（解析版）

第四章圆和扇形（压轴题专练）压轴题1组合图形的周长问题例题1如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，若点D是AB的中点，分别以点A、B为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的周长是．【答案】【分析】根据勾股定理首先求出AB，由于D是AB中点,因此就可以得到圆的半径AD，从而计算得到CE、CF,在△ABC中，AC＝BC＝4,可得∠A＝∠B＝45°，利用圆弧的计算公式，计算的值．【详解】解：∵AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝4，又点D是AB中点，∴AD＝BD＝2，由题意知∠A＝∠B＝45°，AD＝AE＝BD＝BF＝2，则阴影部分周长为2×（4﹣2+）＝8﹣4+π，故答案为8﹣4+π．【点睛】本题主要考查圆弧长的计算公式，结合直角三角形，关键在于计算圆弧的半径，此题综合性比较强．压轴题2组合图形的面积问题例题2一把直角三角尺的一边紧贴在直线上，，，，直角三角尺先绕点顺时针旋转，使落在直线上，然后绕点顺时针旋转，使落在直线上，再绕点顺时针旋转，使落在直线上，此时，三角形的放置方式与初始的放置方式一样，我们称这样的旋转为一个周期．请问，再经过几个周期，点走过的路程就会超过？（取3.14）

【答案】25【分析】当三角形的放置方式与初始的放置方式一样时，旋转为一个周期．点走过的路程为以为半径和以为半径的两个扇形的弧长．【详解】解：，，点走过的路程为以为半径，圆心角为的扇形的弧长和以为半径，圆心角为的扇形的弧长和，三角形旋转一个周期．点走过的路程为：，，答：从初始位置开始至少经过25个周期，点走过的路程会超过．【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，掌握点经过的图形的形状是关键．变式1如图长方形的长BC为8，宽AB为4．以BC为直径画半圆，以点D为圆心，CD为半径画弧．求阴影部分的周长和面积．【答案】周长为【分析】根据图形得到阴影部分的周长=半圆的周长，由割补法可得S1=S2=S3，阴影部分的面积=，代入数据计算即可．【详解】解：，如图，，，．【点睛】此题主要考查了三角形面积和圆的面积的计算方法的灵活应用．巧用割补法将不规则图形面积转为规则图形是解题关键．变式2某服装厂有形状为等腰三角形的边角布料，测的得，米，现要从此三角形中剪出若干扇形，以制作不同形状的玩具，要求扇形的两条半径恰好都在的边上，扇形的弧与的一边有一个公共点（或两边各有一个公共点）．如第一幅图所示的扇形符合题意．现请设计其他符合题意的一种方案，要求在第二幅图中画出图形，请直接写出半径并求扇形的周长（结果保留π），若想不出其他方案，可以直接根据第一幅图写出半径并求该扇形的周长（结果保留π），若还有更多方案，可以画在后面的图中．

【答案】（米），（米）；（米），（米），图形见解析【分析】第一幅图中的扇形半径等于等腰三角形腰的一半，用弧长公式求出弧长，再算扇形周长，第二幅图可以以B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点D，画出一个扇形，用同样的方法求出扇形周长．【详解】解：方案一，如图，过点O作于点D，作于点E，O是AB的中点，四边形ODCE是正方形，（米），即半径（米），弧长（米），扇形周长（米）；

方案二，如图，以B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点D，半径（米），弧长（米），周长（米），

综上：（米），（米）；（米），（米）．【点睛】本题考查扇形的周长的求解，解题的关键是掌握扇形的周长的求解方法．压轴题3运动中的面积问题例题3在一空旷场地上设计一个落地为长方形的小屋，边长边长，拴住小狗的绳子长，其中一端固定在点B处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，设小狗活动的区域面积为．（π取3）

(1)如图1，若，求此时S的值．(2)如图2，现考虑在图1中的长方形小屋的右侧以为边拓展一个正三角形区域，使之变成一个落地为五边形的小屋，其他条件不变，在（1）的条件下，则_____．【答案】(1)(2)【分析】（1）小狗活动的区域面积为以B为圆心、10为半径的圆，以C为圆心、6为半径的圆和以A为圆心、4为半径的圆的面积和，据此列式求解可得；（2）小狗活动的区域面积为以B为圆心、10为半径的圆，以C为圆心、6为半径,圆心角为的扇形和以A为圆心、4为半径的圆的面积和，据此列式求解可得．【详解】（1）如图1，拴住小狗的长的绳子一端固定在B点处，小狗可以活动的区域如图所示：

由图可知，小狗活动的区域面积为以B为圆心、10为半径的圆，以C为圆心、6为半径的圆和以A为圆心、4为半径的圆的面积和，∴，故答案为：；（2）如图2，

根据，，可得：，在（1）的条件下：，则，∴，，即小狗活动的区域面积为以B为圆心、10为半径的圆，以C为圆心、6为半径,圆心角为的扇形和以A为圆心、4为半径的圆的面积和，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了圆的面积、扇形的面积等知识，解题的关键是根据绳子的长度结合图形得出其活动区域．变式3如图，一只小羊被主人用绳子拴在长为5米，宽为4米的长方形水泥台的一个顶点上，水泥台的周围都是草地，(1)若绳子长为4米，求这只羊能吃到草的区域的最大面积（结果保留）(2)为了增加小羊吃草的范围，现决定把绳子的长度增加到6米，求这只羊现在能吃到草的区域的最大面积（结果保留）【答案】(1)平方米(2)平方米【分析】（1）先根据题意画出图形，列出算式，再求出即可；（2）先根据题意画出图形，列出算式，再求出即可．【详解】（1）解：假设羊绷着绳子跑，则羊能到达的区域就是最大区域的边界，当绳子长为4米时，这只羊能吃到草的区域的最大区域为图中阴影部分，则面积（平方米），答：这只羊能吃到草的区域的最大面积是平方米；（2）如图，当绳长为6米时，羊活动的最大区域为阴影部分，其中分为扇形，扇形，扇形，∵，，，∴，，∴阴影部分面积为．【点睛】本题考查了扇形的面积计算，能根据题意画出图形，列出算式是解此题的关键．压轴题4阅读型问题例题4在研究圆的面积时，将圆等分成若干个扇形再拼起来，可以发现把圆等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方形，这个长方形的面积就越接近于圆的面积，其中这个长方形的长是圆周长的一半，宽等于圆的半径，故由长方形的面积推导出圆的面积，这个过程体现了“无限逼近”的数学思想．(1)小明在数学活动中，把一个圆等分成若干个扇形，然后拼成了一个近似的长方形，并量的这个长方形的长是厘米，那么这个圆的面积是多少平方厘米？(2)生活中的易拉罐、圆形笔筒等都是一种叫做圆柱体的立体图形（如图），它的上底面、下底面是两个大小相等的圆，侧面展开后是一个长方形，上、下底面之间的距离叫做圆柱体的高．小明在学习了《圆的面积》后，也想用类似的方法研究圆柱体的体积，他将一个圆柱体等分成若干分，拼成了一个近似的长方体（如图），他发现把圆柱体等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方体，这个长方体的体积就越接近于圆柱体的体积，故由长方体的体积推导出圆柱体的体积.如果设这个圆柱体底面的半径为，高为，体积为，那么这个长方体的长=，宽=，所以圆柱体的体积．(3)将一个底面周长是厘米的圆柱体斜着截去一段，截后的形体如图所示，求这个截后的体积是多少立方厘米？【答案】(1)平方厘米(2)，，(3)立方厘米【分析】（1）求出圆的半径，再根据圆的面积公式求出结果即可；（2）由（1）可知拼成的长方体的长、宽，再根据长方体体积的计算公式进行计算即可；（3）求出圆柱的底面半径，再根据截后的体积底面半径为2，高为2的圆柱体体积的一半底面半径为2，高为3的圆柱体的体积进行计算即可．【详解】（1）解：设圆的半径为厘米，由题意得，，解得，圆的面积为（平方厘米），答：这个圆的面积是28.26平方厘米；（2）由（1）可知，所拼成的长方体的长为圆周长的一半，即，宽为圆的半径，由于长方体的体积为长宽高，所以圆柱的体积为，故答案为：，，；（3）设圆柱底面半径为厘米，则，解得，所以截后的体积为（立方厘米），答：截后的体积为50.24立方厘米．【点睛】本题考查认识立体图形，截一个几何体，掌握圆面积、圆周长、长方体体积、圆柱体积的计算方法是正确解答的前提．压轴题5轨迹问题例题5等边三角形的边长是3厘米，现将沿一条直线翻滚30次，如图所示，求点经过的路程的长．【答案】125.6cm【分析】翻转第一次转动，它走的路程是圆心角是的圆弧；翻转第二次转动，它走的路程是圆心角是的圆弧；第三次点是不动的，因此每翻滚一次，就有一次固定不动，以此类推，根据圆的周长公式求出点经过的路程，由此求解．【详解】A点运动一次走过的路程是圆心角为半径为3厘米的扇形的弧长，但连续运动两次之后，第三次A点是不动的，因此每翻滚一次，就有一次固定不动，A点经过的路程的长为：．【点睛】本题综合性较强，一方面要分清楚点的运动路径，另一方面要确定三角形在旋转时的旋转中心．变式5如图1，是等边三角形，曲线……叫做“等边三角形的渐开线”，曲线的各部分均为圆弧．设的边长为3厘米，求前5段弧长的和（即曲线的长）是多少厘米？（2）如图2，有一只狗被拴在一建筑物的墙角上，这个建筑物是边长为400厘米的正方形，拴狗的绳子长18米．现狗从点A出发，将绳子拉紧按顺时针方向跑，可跑多少米？【答案】（1）厘米；（2）米．【分析】（1）利用弧长公式计算．但要先确定弧所对的圆心角都是120度，半径却在不断的增大，第一次是3厘米，第二次是6厘米，第三次是9厘米，依此下去第五次是15厘米，总和就是把五段弧加起来；（2）分别以B为圆心，为半径跑到F点，以E为圆心，为半径跑到G点，此时跑的距离是，以D为圆心，为半径跑到H点，此时距离是，以C为圆心，为半径跑到K点，此时距离是，以B为圆心，为半径跑到点L，此时距离是，求出总距离即可．【详解】（1）解：前5段弧长的和（即曲线的长）是：（厘米）．故前5段弧长的和（即曲线的长）是厘米．（2）解：以B为圆心，为半径跑到F点，此时跑的距离是，∵，，∴，以E为圆心，为半径跑到G点，此时跑的距离是，∵，，∴，以D为圆心，为半径跑到H点，此时距离是，∵，，∴，以C为圆心，为半径跑到K点，此时距离是，∵，，∴，以B为圆心，为半径跑到点L，此时距离是，∴，∴将绳子拉紧按顺时针方向跑，可跑米．【点睛】本题考查了圆的应用和弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），等边三角形和正方形的性质，确定每一段弧所在圆的半径是解题的关键．变式5.1×2＋3×4＋5×6＋…＋199×200的结果是奇数还是偶数？为什么？【答案】偶数，理由见详解【分析】计算时，第一步先算乘，乘都是奇数乘偶数，积都是偶数；第二步再算加，都是偶数相加，和还是偶数，所以最后的结果一定是偶数．【详解】结果是偶数，因为每一个乘积都是偶数，这些偶数的和一定是偶数．压轴题6方案问题例题6中学原计划在一个直径为20米的圆形场地内修建圆形花坛（花坛指的是图中实线部分），为使花坛修得更加美观、有特色，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出三种方案：方案A：如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛；方案B：如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成2：3的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛；方案C：如图3所示，先画一条直径，然后在直径上任意取四点，把直径分成5条线段，再分别以这5条线段为直径修5个圆形花坛．(1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是______．(2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？(3)如果按照方案C修，学校要求在8小时内完成，甲工人承包了此项工程，他做了4小时后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的效率是甲的，乙加入后，甲的效率也提高了，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到10元钱，修完花坛后，甲可以得到多少钱？（取3）【答案】(1)20π(2)不省料，因为方案B与方案A的周长相等．(3)甲可以得到360元【分析】（1）根据圆的周长公式：c=πd，把数据代入公式求此直径是10米的两个圆的周长即可．（2）首先根据圆的周长公式：c=πd，求出直径是8米、和12米的圆的周长和，然后与图1进行比较．（3）因为圆的周长和直径成正比例，所以5个小圆的周长和等于直径20米的圆的周长．设甲原来每小时的工作效率为每小时x米，则乙的工作效率为每小时x米，甲的速度提高后为每小时x米，据此列方程解答．【详解】（1）π×10×2=20π（米），答：修的花坛的周长是20π米．（2）2+3=520×=8（米）20×=12（米），8π+12π=20π（米），答：不省料，因为方案B与方案A的周长相等．（3）综合前两问可得，花坛的总周长为20π，修完花坛共花费20π×10=200π=600元，设甲原来每小时的工作效率为每小时x米，则乙的工作效率为每小时x米，甲的速度提高后为每小时x米，4x+（x+x）×（8-4）=20π解得x=4，（4×4+4××4）×10=360（元），答：甲可以得到360元．【点睛】此题解答关键是明确：圆的周长和直径成正比例，（3）找出等量关系列方程解答．变式6如图，半径分别是8和28的两个圆盘，其中大圆是固定的，小圆在大圆的外面，沿大圆圆周按逆时针方向滚动．开始时小圆圆周上的点与大圆圆周上的点重合．当、两点再次重合时，至少绕小圆圆心转动了多少圈？【答案】7圈．【分析】根据题意，小圆转一圈，A点经过的路径长是小圆的周长，大圆的周长是，它们不是整数倍关系，所以小圆绕着大圆转一圈，A和B并不能重合，需要求16和56的最小公倍数，然后求出小圆需要自转多少圈．【详解】解：小圆周长，大圆周长=，算出16和56的最小公倍数是112，则小圆需要自转（圈），∴A至少绕着小圆圆心转7圈．【点睛】本题考查圆的周长，以及最小公倍数的应用，解题的关键是分析题目，知道需要求两个圆的周长的最小公倍数．巩固训练1.下图是一块草地上残留的一段墙角，，米，米，为紧靠在段残墙外侧地面上的一个木桩，米．现木桩上拴有一只白山羊，若这只羊能吃到草的最远距离为8米，求这只羊能吃到草的区域的最大面积．（取3.14，结果保留两位小数）

【答案】159.36平方米【分析】根据题意，这只羊吃到草的区域是半径为8米的半圆（红色部分），以及半径是米的半圆（蓝色部分），以及半径是米的四分之一圆（黄色部分），根据扇形的面积公式求解即可．【详解】解：这只羊吃到草的区域是半径为8米的半圆（红色部分），以及半径是米的半圆（蓝色部分），以及半径是米的四分之一圆（黄色部分），

所以这只羊能吃到草的面积为：（平方米）．【点睛】本题考查扇形的面积，明确羊能够吃到草的面积是哪几个部分是解题的关键．2.已知正方形的边长为8，圆的半径为1．（1）如图①，若圆在正方形的内侧沿着正方形的四条边无滑动地滚动一周回到原来的位置，求圆心经过的路程和圆扫过区域的面积；（结果保留）（2）如图②，若圆在正方形的外侧沿着正方形的四条边无滑动地滚动一周回到原来的位置，求圆心经过的路程和圆扫过区域的面积．（结果保留）【答案】（1）路程为24，面积为；（2）路程为，面积为【分析】（1）如图①，圆心经过的路程，就是边长为6的正方形的周长；圆滚动一周，滚不到的面积（阴影部分）是四周的角以及中间的一个小正方形，四周的角合起来相当于一个边长为2的正方形减去一个半径为1的圆的面积，中间小正方形的边长为，然后用大的正方形面积减去滚动不到的面积，即可解得；（2）如图②，圆形经过的路程，是四周的角和四条长度为8的线段组成的图形的周长，四个角合起来相当于一个半径为1的圆的周长，然后求和即可解得；如图③，圆滚动一周，扫过的面积（阴影部分）是四周的角以及四个长方形组成，四周的角合起来相当于一个半径2的圆的面积，四个长方形的边长是长为8和宽为2，然后将两部分面积求和，即可解得；【详解】（1）如图①，圆心经过的路程=大的正方形面积=中间小的正方形面积=四周角的面积=则圆扫过区域的面积=（2）如图②，圆心经过的路程=如图③，圆扫过区域的面积=【点睛】本题主要考查正方形和圆的组合图形的周长和面积的计算，解题的关键是弄清楚圆心经过的图形的形状和圆滚动的地方由哪几部分组成．3.小华的爸爸要用一块矩形铁皮加工出一个底面半径为，高为的锥形漏斗，要求只能有一条接缝（接缝忽略不计）你能求出这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角吗？如图，有两种设计方案，请你计算一下，哪种方案所用的矩形铁皮面积较少？【答案】（1）120°（2）方案二所用的矩形铁皮面积较少【分析】（1）先根据勾股定理求出母线长为60，然后根据圆锥侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式计算锥形漏斗的侧面展开图的圆心角；（2）如图1，矩形的一边长等于母线长60，再利用含30度的直角三角形三边的关系计算出OB，从而得到BC长，再计算矩形ABCD的面积；如图2，矩形的一边长等于母线